2021高三统考北师大版数学一轮学案：第8章第5讲　直线、平面垂直的判定及性质


第5讲　直线、平面垂直的判定及性质
基础知识整合

1．直线与平面垂直
(1)直线与平面垂直的定义
如果一条直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直．
(2)直线与平面垂直的判定定理


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判定定理
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直


⇒l⊥α

(3)直线与平面垂直的性质定理


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性质定理
垂直于同一个平面的两条直线平行


⇒a∥b

2．平面与平面垂直
(1)平面与平面垂直的定义
两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．
(2)平面与平面垂直的判定定理


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判定定理
一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直


⇒α⊥β

(3)平面与平面垂直的性质定理


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性质定理
两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直


⇒l⊥α

3．直线与平面所成的角
(1)定义：平面的一条直线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角．
(2)线面角θ的范围：θ∈[0°，90°]．
4．二面角的有关概念
(1)二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．
(2)二面角的平面角：过二面角棱上的任一点，在两个半平面内分别作与棱垂直的射线，则两射线所成的角叫做二面角的平面角．

直线与平面垂直的五个结论
(1)若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于这个平面内的任意一条直线．
(2)若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面．
(3)垂直于同一条直线的两个平面平行．
(4)过一点有且只有一条直线与已知平面垂直．
(5)过一点有且只有一个平面与已知直线垂直．

　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

1．设α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，且l⊂α，m⊂β，下列结论正确的是(　　)
A．若l⊥β，则α⊥β B．若α⊥β，则l⊥m
C．若l∥β，则α∥β D．若α∥β，则l∥m
答案　A
解析　根据线面垂直的判定定理知A正确；当α⊥β，l⊂α，m⊂β时，l与m可能平行、相交或异面，故B错误；当l∥β，l⊂α时，α与β可能平行，也可能相交，故C错误；当α∥β，l⊂α，m⊂β时，l与m可能平行，也可能异面，故D错误．故选A.
2．(2019·浙江杭州模拟)已知互相垂直的平面α，β交于直线l.若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则(　　)
A．m∥l B．m∥n
C．n⊥l D．m⊥n
答案　C
解析　∵α∩β＝l，∴l⊂β，∵n⊥β，∴n⊥l.故选C.
3．(2019·广东五校诊断考试)设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是(　　)
A．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n
B．若m⊥α，m∥n，n⊂β，则α⊥β
C．若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥β
D．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n
答案　B
解析　A项，若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n或m，n相交或m，n为异面直线，故不正确；C项，若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α，β有可能相交但不垂直，故不正确；D项，若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m，n有可能是异面直线，故不正确，故选B.
4．若a，b，c是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则a⊥b的一个充分不必要条件是(　　)
A．a⊥c，b⊥c B．α⊥β，a⊂α，b⊂β
C．a⊥α，b∥α D．a⊥α，b⊥α
答案　C
解析　对于A，B，直线a，b可能是平行直线，相交直线，也可能是异面直线；对于C，在平面α内存在c∥b，因为a⊥α，所以a⊥c，故a⊥b；对于D，一定能推出a∥b.故选C.
5．(2019·江西南昌模拟)如图，在四面体ABCD中，已知AB⊥AC，BD⊥AC，那么D在平面ABC内的射影H必在(　　)
A．直线AB上 B．直线BC上
C．直线AC上 D．△ABC内部
答案　A
解析　由AB⊥AC，BD⊥AC，AB∩BD＝B，则AC⊥平面ABD，而AC⊂平面ABC，则平面ABC⊥平面ABD，因此D在平面ABC内的射影H必在平面ABC与平面ABD的交线AB上，故选A.
6．(2019·沈阳模拟)已知P为△ABC所在平面外一点，且PA，PB，PC两两垂直，则下列命题：
①PA⊥BC；②PB⊥AC；③PC⊥AB；④AB⊥BC.
其中正确的个数是________．
答案　3
解析　如图所示．∵PA⊥PC，PA⊥PB，PC∩PB＝P，∴PA⊥平面PBC.
又BC⊂平面PBC，∴PA⊥BC.同理可得PB⊥AC，PC⊥AB.
但AB不一定垂直于BC.
核心考向突破

考向一　有关垂直关系的判断
　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
例1　(1)已知平面α及α外的一条直线l，下列命题中不正确的是(　　)
A．若l垂直于α内的两条平行线，则l⊥α
B．若l平行于α内的一条直线，则l∥α
C．若l垂直于α内的两条相交直线，则l⊥α
D．若l平行于α内的无数条直线，则l∥α
答案　A
解析　由直线与平面平行的有关定理和结论可知选项B，D正确，选项C是直线与平面垂直的判定定理，而A中，直线l可以是与平面α相交但不垂直的直线或平行的直线，故选A.

(2)(2019·江西临川一中期末)三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1垂直于底面A1B1C1，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中点，则下列叙述正确的是(　　)
①CC1与B1E是异面直线；②AE与B1C1是异面直线，且AE⊥B1C1；③AC⊥平面ABB1A1；④A1C1∥平面AB1E.
A．② B．①③
C．①④ D．②④
答案　A
解析　对于①，CC1，B1E都在平面BB1C1C内，故错误；对于②，AE，B1C1为在两个平行平面中且不平行的两条直线，底面三角形ABC是正三角形，E是BC的中点，所以AE⊥BC，又因为B1C1∥BC，故AE⊥B1C1，故正确；对于③，上底面ABC是一个正三角形，不可能存在AC⊥平面ABB1A1，故错误；对于④，A1C1所在的平面与平面AB1E相交，且A1C1与交线有公共点，故错误．故选A.


判断垂直关系需注意的问题
(1)作图要熟练，借助几何图形来说明线面关系要做到作图快、准．
(2)善于寻找反例，若存在反例，结论就被驳倒了．
(3)要思考完整，反复验证所有可能的情况，必要时要运用判定或性质定理进行简单说明．


[即时训练]　1.已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中一定能推出m⊥β的是(　　)
A．α⊥β，且m⊂α B．m∥n，且n⊥β
C．α⊥β，且m∥α D．m⊥n，且n∥β
答案　B
解析　因为α⊥β，m⊂α，则m，β的位置关系不确定，可能平行、相交、m在β面内，故A错误；由线面垂直的性质定理可知B正确；若α⊥β，m∥α，则m，β的位置关系也不确定，故C错误；若m⊥n，n∥β，则m，β的位置关系也不确定，故D错误．故选B.
2．(2019·银川模拟)如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，G是EF的中点，现沿AE，AF及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B，C，D三点重合，重合后的点记为H，那么，在这个空间图形中必有(　　)

A．AH⊥平面EFH B．AG⊥平面EFH
C．HF⊥平面AEF D．HG⊥平面AEF
答案　A
解析　由平面图形，得AH⊥HE，AH⊥HF，又HE∩HF＝H，∴AH⊥平面EFH，故选A.
精准设计考向，多角度探究突破
考向二　直线与平面垂直的判定与性质
角度1　　利用线线垂直证明线面垂直

例2　(1)(2019·河北唐山一模)如图，在△ABC中，AB＝BC＝4，∠ABC＝90°，E，F分别为AB，AC边的中点，以EF为折痕把△AEF折起，使点A到达点P的位置，且PB＝BE.

①证明：BC⊥平面PBE；
②求点F到平面PEC的距离．
解　①证明：因为E，F分别为AB，AC边的中点，所以EF∥BC，因为∠ABC＝90°，所以EF⊥BE，EF⊥PE，又因为BE∩PE＝E，所以EF⊥平面PBE，
所以BC⊥平面PBE.

②取BE的中点O，连接PO，
由①，知BC⊥平面PBE，BC⊂平面BCFE，
所以平面PBE⊥平面BCFE，
因为PB＝BE＝PE，所以PO⊥BE，又因为PO⊂平面PBE，平面PBE∩平面BCFE＝BE，所以PO⊥平面BCFE，在Rt△POC中，PC＝＝2，在Rt△EBC中，EC＝＝2，
在△PEC中，PC＝EC＝2，PE＝2，所以S△PEC＝，又因为S△ECF＝2，设点F到平面PEC的距离为d，由VF－PEC＝VP－ECF，得S△PEC·d＝S△ECF·PO，即×d＝2×，所以d＝.即点F到平面PEC的距离为.

(2)(2019·广东揭阳二模)已知如图，长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝4，BB1＝2，点E，F，M分别为C1D1，A1D1，B1C1的中点，过点M的平面α与平面DEF平行，且与长方体的相应面相交，交线围成一个几何图形．
①在图中画出这个几何图形，并求这个几何图形的面积(画图说出作法，不用说明理由)；
②求证：D1B⊥平面DEF.
解　①设N为A1B1的中点，连接MN，AN，AC，CM，则四边形MNAC为所作图形．连接A1C1，易知MN∥A1C1，且MN＝A1C1，又因为A1C1綊AC，所以四边形MNAC为梯形，且MN＝AC＝2，过M作MP⊥AC于点P，因为MC＝＝2，

PC＝＝，所以MP＝＝，所以梯形MNAC的面积
S＝×(2＋4)×＝6.

②证法一：在长方体ABCD－A1B1C1D1中，设D1B1交EF于点Q，连接DQ，则Q为EF的中点并且为D1B1的四等分点，如图，D1Q＝×4＝，由DE＝DF，得DQ⊥EF，
又因为B1D1⊥EF，B1D1∩DQ＝Q，
所以EF⊥平面BB1D1D，则EF⊥D1B.
因为＝＝，且∠QD1D＝∠D1DB，
则△QD1D∽△D1DB，
所以∠D1QD＝∠BD1D，
所以∠QD1B＋∠D1QD＝∠DD1B＋∠BD1Q＝90°，
所以DQ⊥D1B，又因为EF∩DQ＝Q，所以D1B⊥平面DEF.
证法二：设D1B1交EF于点Q，连接DQ，则Q为EF的中点，且为D1B1的四等分点，D1Q＝×4＝，
由BB1⊥平面A1B1C1D1，知BB1⊥EF.
又因为B1D1⊥EF，BB1∩B1D1＝B1，
所以EF⊥平面BB1D1D，所以EF⊥D1B，
由＝＝，得tan∠QDD1＝tan∠D1BD，
得∠QDD1＝∠D1BD，
所以∠QDB＋∠D1BD＝∠QDB＋∠QDD1＝90°，
所以DQ⊥D1B，又因为DQ∩EF＝Q，所以D1B⊥平面DEF.
角度2　　利用线面垂直证明线线垂直

例3　(1)(2019·广东韶关模拟)如图，四边形ABCD是直角梯形，其中BC＝CD＝1，AD＝2，∠ADC＝90°.点E是AD的中点，将△ABE沿BE折起如图，使得A′E⊥平面BCDE.点M，N分别是线段A′B，EC的中点．

①求证：MN⊥BE；
②求三棱锥E－BNM的体积．
解　①证明：∵AD＝2，且点E是AD的中点∴ED＝1.
∵四边形ABCD是直角梯形，BC＝1，
∴ED綊BC，
∴四边形BCDE为平行四边形，
∵BC＝CD＝DE＝1，∠ADC＝90°，
∴四边形BCDE为正方形．
∵N是EC的中点，∴N是BD的中点．
又M是A′B的中点，∴MN∥A′D.
∵A′E⊥平面BCDE，∴BE⊥A′E，
又BE⊥ED，且A′E∩ED＝E，
∴BE⊥平面A′ED，∴BE⊥A′D，则BE⊥MN.
②∵A′E⊥平面BCDE，且M是线段A′B的中点，
∴M到底面BEN的距离为A′E＝，
又正方形BCDE的边长为1，
∴S△BNE＝×1×1＝.
∴三棱锥E－BNM的体积V＝VM－BEN＝××＝.
(2)(2019·北师大实验中学3月模拟)如图，在四棱锥S－ABCD中，底面ABCD是正方形，SA⊥底面ABCD，SA＝AD＝1，点M是SD的中点，AN⊥SC，交SC于点N.
①求证：SC⊥AM；
②求△AMN的面积．
解　①证明：∵SA⊥底面ABCD，CD⊂底面ABCD，
∴SA⊥CD，又CD⊥AD，AD∩SA＝A，
∴CD⊥平面SAD.
∵AM⊂平面SAD，∴CD⊥AM.
又SA＝AD＝1，点M是SD的中点，∴AM⊥SD.
∵SD∩CD＝D，∴AM⊥平面SCD.
∵SC⊂平面SDC，∴SC⊥AM.
②∵M是SD的中点，
∴VS－ACM＝VD－ACM＝VM－ADC，
∴VS－ACM＝S△ACD ·SA＝××＝，
∵AN⊥SC，SC⊥AM，AN∩AM＝A，
∴SC⊥平面AMN，
∴VS－ACM＝S△AMN·SC.∵SC＝，
∴△AMN的面积S△AMN＝＝.

(1)证明线线垂直的常用方法
①利用特殊图形中的垂直关系．
②利用等腰三角形底边中线的性质
③利用勾股定理的逆定理．
④利用直线与平面垂直的性质．
(2)证明线面垂直的常用方法
①利用线面垂直的判定定理，它是最常用的思路．
②利用线面垂直的性质：若两条平行线之一垂直于平面，则另一条线必垂直于该平面．
③利用面面垂直的性质：a.两个平面互相垂直，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面．
b．若两个相交平面都垂直于第三个平面，则它们的交线垂直于第三个平面．

[即时训练]　3．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD＝60°，PA＝PD＝AD＝2，点M在线段PC上，且PM＝2MC，N为AD的中点．
(1)求证：AD⊥平面PNB；
(2)若平面PAD⊥平面ABCD，求三棱锥P－NBM的体积．
解　(1)证明：连接BD.∵PA＝PD，N为AD的中点，∴PN⊥AD.
又底面ABCD是菱形，∠BAD＝60°，
∴△ABD为等边三角形，
∴BN⊥AD.又PN∩BN＝N，∴AD⊥平面PNB.
(2)∵PA＝PD＝AD＝2，∴PN＝NB＝.
又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PN⊥AD，
∴PN⊥平面ABCD，∴PN⊥NB，
∴S△PNB＝××＝.
∵AD⊥平面PNB，AD∥BC，∴BC⊥平面PNB.
又PM＝2MC，∴VP－NBM＝VM－PNB＝VC－PNB
＝×××2＝.
4．(2019·湖南六校联考)如图，几何体的底面ABCD是边长为2的菱形，∠DAB＝60°，EB⊥底面ABCD，FD⊥底面ABCD，EB＝2FD＝4.
(1)求证：EF⊥AC；
(2)求几何体EFABCD的体积．

解　(1)证明：连接BD，∵FD⊥底面ABCD，EB⊥底面ABCD，
∴EB∥FD，AC⊥EB，且E，F，D，B四点共面，设DB∩AC＝O，
∵底面ABCD为菱形，
∴AC⊥DB，又DB∩EB＝B，
∴AC⊥平面EFDB.
∵EF⊂平面EFDB，∴AC⊥EF.
(2)∵EB∥FD，EB⊥BD，
∴四边形EFDB为直角梯形，在菱形ABCD中，
∵∠DAB＝60°，AB＝2，BD＝2，∴AO＝CO＝，
∴梯形EFDB的面积S＝＝6.
∵AC⊥平面EFDB，∴VEFABCD＝VC－EFDB＋VA－EFDB＝S·AO＋S·CO＝4.
考向三　面面垂直的判定与性质


例4　(1)(2019·陕西汉中重点中学3月联考)在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD为平行四边形，AA1⊥平面ABCD.AB＝2AD＝4，∠DAB＝60°.
①证明：平面D1BC⊥平面D1BD；
②若直线D1B与底面ABCD所成的角为30°，M，N，Q分别为BD，CD，D1D的中点，求三棱锥C－MNQ的体积．
解　①证明：∵D1D⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，
∴D1D⊥BC.
又AB＝4，AD＝2，∠DAB＝60°，
∴BD＝＝2，
∵AD2＋BD2＝AB2，∴AD⊥BD.
又AD∥BC，∴BC⊥BD.
又D1D∩BD＝D，
BD⊂平面D1BD，D1D⊂平面D1BD，
∴BC⊥平面D1BD，而BC⊂平面D1BC，
∴平面D1BC⊥平面D1BD.
②∵D1D⊥平面ABCD，∴∠D1BD即为直线D1B与底面ABCD所成的角，即∠D1BD＝30°，而BD＝2，
∴DD1＝2，又VC－MNQ＝VQ－CMN＝VQ－BDC，
∴VC－MNQ＝×××2×2×1＝.
(2)(2019·河南焦作四模)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，底面为正三角形，AA1⊥底面ABC，AA1＝3AB，点E在线段CC1上，平面AEB1⊥平面AA1B1B.
①请指出点E的位置，并给出证明；
②若AB＝1，求点B1到平面ABE的距离．

解　①点E为线段CC1的中点．
证明如下：取AB的中点为F，AB1的中点为G，
连接CF，FG，EG.
则FG∥CE，FG＝CE，
所以四边形FGEC为平行四边形．所以CF∥EG.
因为CA＝CB，AF＝BF，所以CF⊥AB.
又因为AA1⊥底面ABC，CF⊂底面ABC，
所以AA1⊥CF.
又因为AA1∩AB＝A，所以CF⊥平面AA1B1B.
所以EG⊥平面AA1B1B，
而EG⊂平面AEB1，所以平面AEB1⊥平面AA1B1B.
②由AB＝1，得AA1＝3.由①可知，点E到平面ABB1的距离为EG＝CF＝.
而△ABB1的面积S△ABB1＝×1×3＝，
AE＝BE＝，等腰△ABE底边AB上的高为＝.记点B1到平面ABE的距离为h，由VB1－ABE＝VE－ABB1⇒×h××1×＝××，解得h＝，即点B1到平面ABE的距离为.


(1)证明面面垂直的方法
证明两平面垂直常转化为线面垂直，利用线面垂直的判定定理来证明．也可作出二面角的平面角，证明平面角为直角，利用定义来证明．
(2)面面垂直的性质
已知两个平面垂直时，过其中一个平面内的一点作交线的垂线，则由面面垂直的性质定理可得此直线垂直于另一个平面，于是面面垂直转化为线面垂直，由此得出结论：两个相交平面同时垂直于第三个平面，则它们的交线也垂直于第三个平面．


[即时训练]　5．(2020·长郡中学选拔考试)如图所示，△ABC所在的平面与菱形BCDE所在的平面垂直，且AB⊥BC，AB＝BC＝2，∠BCD＝60°，点M为BE的中点，点N在线段AC上．
(1)若＝λ，且DN⊥AC，求λ的值；
(2)在(1)的条件下，求三棱锥B－DMN的体积．

解　(1)如图，取BC的中点O，连接ON，OD，因为四边形BCDE为菱形，∠BCD＝60°，所以DO⊥BC，因为△ABC所在的平面与菱形BCDE所在的平面垂直，所以DO⊥平面ABC，因为AC⊂平面ABC，所以DO⊥AC，
又DN⊥AC，且DN∩DO＝D，所以AC⊥平面DON，
因为ON⊂平面DON，所以ON⊥AC，
由O为BC的中点，AB＝BC，可得NC＝AC，
所以＝3，即λ＝3.
(2)由平面ABC⊥平面BCDE，AB⊥BC，可得AB⊥平面BCDE，由AB＝2，＝3，可得点N到平面BCDE的距离h＝AB＝，由∠BCD＝60°，点M为BE的中点，可得DM⊥BE，且DM＝＝＝，所以△BDM的面积S＝×DM×BM＝，所以三棱锥B－DMN的体积VB－DMN＝VN－BDM＝Sh＝××＝.