2021高三统考北师大版数学一轮学案：第6章高考大题冲关系列（3）高考中数列问题的热点题型

对应学生用书P100　　命题动向：从近五年高考试题分析来看，等差、等比数列是重要的数列类型，高考考查的主要知识点有：等差、等比数列的概念、性质、前n项和公式．由于数列的渗透力很强，它和函数、方程、向量、三角形、不等式等知识相互联系，优化组合，无形中加大了综合的力度．解决此类题目，必须对蕴藏在数列概念和方法中的数学思想有较深的理解．

题型1　等差、等比数列的综合运算

例1　(2019·河南八市第五次测评)已知等差数列{an}中，a3＝3，a2＋2，a4，a6－2顺次成等比数列．

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)记bn＝，{bn}的前n项和为Sn，求S2n.

解　(1)设等差数列{an}的公差为d，

∵a2＋2，a4，a6－2顺次成等比数列，

∴a＝(a2＋2)(a6－2)，

∴(a3＋d)2＝(a3－d＋2)(a3＋3d－2)，

又a3＝3，∴(3＋d)2＝(5－d)(1＋3d)，

化简得d2－2d＋1＝0，解得d＝1，

∴an＝a3＋(n－3)d＝3＋(n－3)×1＝n.

(2)由(1)得bn＝＝(－1)n

＝(－1)n，

∴S2n＝b1＋b2＋b3＋…＋b2n

＝－＋－＋…＋＝－1＋＝.

[冲关策略]　解决由等差数列、等比数列组成的综合问题，首先要根据两数列的概念，设出相应的基本量，然后充分使用通项公式、求和公式、数列的性质等确定基本量．解综合题的关键在于审清题目，弄懂来龙去脉，揭示问题的内在联系和隐含条件．

变式训练1　(2019·湖南4月联考)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3＝9，a1，a3，a7成等比数列．

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)若数列{an}是递增数列，数列{bn}满足bn＝2an，Tn是数列{anbn}的前n项和，求Tn并求使Tn>1000成立的n的最小值．

解　(1)∵S3＝9，∴a2＝3，

∴a1＋d＝3，①

∵a1，a3，a7成等比数列，∴a＝a1a7，

∴(a1＋2d)2＝a1(a1＋6d)，②

由①②得或

当时，an＝3，当时，an＝n＋1.

(2)∵数列{an}是递增数列，∴d≠0，

∴an＝n＋1，∴bn＝2n＋1，从而anbn＝(n＋1)·2n＋1，

Tn＝2·22＋3·23＋4·24＋…＋(n＋1)·2n＋1，①

2Tn＝2·23＋3·24＋4·25＋…＋(n＋1)·2n＋2，②

由①－②，得－Tn＝8＋23＋24＋…＋2n＋1－(n＋1)·2n＋2＝8＋－(n＋1)·2n＋2＝－n·2n＋2，

∴Tn＝n·2n＋2，易知数列{Tn}是递增数列，又T5＝640，T6＝1536，∴使Tn>1000成立的n的最小值为6.

题型2　数列的通项与求和

例2　(2019·广州调研)已知数列{an}满足a1＋4a2＋42a3＋…＋4n－1an＝(n∈N*)．

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)设bn＝，求数列{bnbn＋1}的前n项和Tn.

解　(1)当n＝1时，a1＝.

因为a1＋4a2＋42a3＋…＋4n－2an－1＋4n－1an＝，①

所以a1＋4a2＋42a3＋…＋4n－2an－1＝(n≥2，n∈N*)，②

由①－②，得4n－1an＝(n≥2，n∈N*)，

所以an＝(n≥2，n∈N*)．

由于a1＝，故an＝(n∈N*)．

(2)由(1)得bn＝＝，

所以bnbn＋1＝＝，

故Tn＝×＝×＝.

[冲关策略]　(1)一般求数列的通项往往要构造数列，此时要从证的结论出发，这是很重要的解题信息．

(2)根据数列的特点选择合适的求和方法，常用的有错位相减法，分组求和法，裂项求和法等．

变式训练2　(2019·张家口模拟)已知数列{an}满足a1＝1，2an·an＋1＋an＋1－an＝0，数列{bn}满足bn＝.

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)记数列{bn}的前n项和为Sn，问：是否存在n，使得Sn的值是？

解　(1)因为2an·an＋1＋an＋1－an＝0，

所以an＋1＝，

－＝－＝2，

由等差数列的定义可得是首项为＝1，公差为d＝2的等差数列．

故＝1＋2(n－1)＝2n－1，所以an＝.

(2)由(1)得bn＝，

所以Sn＝＋＋…＋，

两边同乘以得，Sn＝＋＋…＋，

两式相减得Sn＝＋2－，

即Sn＝＋2×－＝－－，

所以Sn＝3－.

因为Sn＋1－Sn＝－＝>0，所以数列{Sn}是关于项数n的递增数列，所以Sn≥S1＝，因为<，所以不存在n，使得Sn＝.

题型3　数列与其他知识的交汇

角度1　　数列与函数的交汇

例3　(2019·浙江台州模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，对一切正整数n，点Pn(n，Sn)都在函数f(x)＝x2＋2x的图象上，且过点Pn(n，Sn)的切线的斜率为kn.

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)设Q＝{x|x＝kn，n∈N*}，R＝{x|x＝2an，n∈N*}，等差数列{cn}的任一项cn∈Q∩R，其中c1是Q∩R中的最小数，110<c10<115，求{cn}的通项公式．

解　(1)因为点Pn(n，Sn)都在函数f(x)＝x2＋2x的图象上，所以Sn＝n2＋2n(n∈N*)．

所以当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋1.

而当n＝1时，a1＝S1＝3，满足上式，

所以数列{an}的通项公式为an＝2n＋1.

(2)对f(x)＝x2＋2x求导可得f′(x)＝2x＋2.

因为过点Pn(n，Sn)的切线的斜率为kn，

所以kn＝2n＋2，

所以Q＝{x|x＝2n＋2，n∈N*}，

R＝{x|x＝4n＋2，n∈N*}．

所以Q∩R＝R.

又因为cn∈Q∩R，其中c1是Q∩R中的最小数，

所以c1＝6，

则{cn}的公差是4的倍数，

所以c10＝4m＋6(m∈N*)．

又因为110<c10<115，所以

解得m＝27，所以c10＝114.

设等差数列{cn}的公差为d，则d＝＝＝12，所以cn＝6＋(n－1)×12＝12n－6，

所以数列{cn}的通项公式为cn＝12n－6.

[冲关策略]　(1)数列与函数的综合问题一般是以函数作为背景，给出数列所满足的条件．解决这类问题的关键是利用函数知识，将条件进行准确转化．

(2)此类问题多考查函数思想及性质(多为单调性)，注意题中的限制条件，如定义域．

变式训练3　(2019·河北保定二模)已知函数f(x)＝log3(ax＋b)的图象经过点A(2,1)和B(5,2)，an＝an＋b，n∈N*.

(1)求an；

(2)设数列{an}的前n项和为Sn，bn＝2n＋2，求数列{bn}的前n项和Tn.

解　(1)由函数f(x)＝log3(ax＋b)的图象经过点A(2,1)和B(5,2)，得

解得所以an＝2n－1.

(2)由(1)知数列{an}为以1为首项，2为公差的等差数列，所以Sn＝n＋×2＝n2，得bn＝2n＋2＝2n＋2n.

所以Tn＝(2×1＋21)＋(2×2＋22)＋(2×3＋23)＋…＋(2×n＋2n)＝2×(1＋2＋3＋…＋n)＋(21＋22＋23＋…＋2n)＝2×＋＝2n＋1＋n2＋n－2.

角度2　　数列与不等式的交汇

例4　(2019·福建三明质检)已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝2，an＋1＝Sn＋2.

(1)求数列{an}的前n项和Sn；

(2)设bn＝log2(S3n＋2)，数列的前n项和为Tn，求证：≤4Tn＜.

解　(1)因为an＋1＝Sn＋2，①

所以当n≥2时，an＝Sn－1＋2，②

由①－②得，an＋1－an＝Sn－Sn－1，

即an＋1＝2an(n≥2)，又因为a2＝a1＋2＝4，

即a2＝2a1，所以an＋1＝2an(n≥1)，

即数列{an}是以a1＝2为首项，q＝2为公比的等比数列，所以an＝2·2n－1＝2n，an＋1＝2n＋1，

则Sn＝an＋1－2＝2n＋1－2.

(2)证明：由(1)得S3n＝23n＋1－2，所以S3n＋2＝23n＋1，则bn＝log223n＋1＝3n＋1，

则＝＝×，

所以Tn＝＋＋…＋＝×＝×＝－.

因为>0，所以Tn<.

又因为Tn＝＝，当n＝1时，Tn取得最小值为，

所以≤Tn＜，即≤4Tn＜.

[冲关策略]　数列中不等式的处理方法

(1)函数方法：即构造函数，通过函数的单调性、极值等得出关于正实数的不等式，通过对关于正实数的不等式特殊赋值得出数列中的不等式．

(2)放缩方法：数列中不等式可以通过对中间过程或者最后的结果放缩得到．本题第(2)问中用到“放缩”．一般地，数列求和中的放缩的“目标数列”为“可求和数列”，如等比数列、可裂项相消求和的数列等．

(3)比较方法：作差比较或作商比较．

变式训练4　已知各项均不为零的数列{an}的前n项和为Sn，且对任意的n∈N*，满足Sn＝a1(an－1)．

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)设数列{bn}满足anbn＝log2an，数列{bn}的前n项和为Tn，求证：Tn<.

解　(1)当n＝1时，a1＝S1＝a1(a1－1)＝a－a1，

∵a1≠0，∴a1＝4.

∴Sn＝(an－1)，

∴当n≥2时，Sn－1＝(an－1－1)，

两式相减得an＝4an－1(n≥2)，

∴数列{an}是首项为4，公比为4的等比数列，

∴an＝4n.

(2)证明：∵anbn＝log2an＝2n，∴bn＝，

∴Tn＝＋＋＋…＋，

Tn＝＋＋＋…＋，

两式相减得Tn＝＋＋＋＋…＋－＝2－＝2×－＝－－＝－.

∴Tn＝－<.

角度3　　数列与实际应用问题的交汇

例5　(2019·黑龙江大庆模拟)某企业2019年的纯利润为500万元，因设备老化等原因，企业的生产能力将逐年下降．若不进行技术改造，预测从2020年起每年比上一年纯利润减少20万元.2020年初，该企业将一次性投入资金600万元进行技术改造，预测在未扣除技术改造资金的情况下，第n年(2020年为第1年)的利润为500万元(n∈N*)．

(1)设从2020年起的前n年，若该企业不进行技术改造的累计纯利润为An万元，进行技术改造后的累计纯利润为Bn万元(扣除技术改造资金)，求An和Bn的表达式；

(2)依上述预测，从2020年起该企业至少经过多少年，进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润？

解　(1)由题意得An＝(500－20)＋(500－40)＋…＋(500－20n)＝490n－10n2；

Bn＝500×－600＝500n－－100.

(2)由(1)得Bn－An＝－(490n－10n2)＝10n2＋10n－－100＝10.

∵函数y＝x(x＋1)－－10在(0，＋∞)上为增函数，

∴当1≤n≤3时，n(n＋1)－－10≤12－－10<0；

当n≥4时，n(n＋1)－－10≥20－－10>0.

∴当且仅当n≥4时，Bn>An.

综上，至少经过4年，该企业进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润．

[冲关策略]　(1)此类问题的解题思路：仔细阅读所给材料，认真理解题意，将已知条件翻译成数学语言并转化为数学问题，分清是等差数列还是等比数列，是求通项问题还是求项数问题，或是求和问题等，并建立相应数学模型求解．

(2)一般涉及递增率，要用等比数列，涉及依次增加或者减少，要用等差数列，有的问题是通过转化得到等差或等比数列，在解决问题时要向这些方向思考．

变式训练5　(2019·宁夏银川模拟)某企业为了适应市场需求，计划从2020年元月起，在每月固定投资5万元的基础上，元月份追加投资6万元，以后每月的追加投资额均为之前几个月投资额总和的20%，但每月追加部分最高限额为10万元．记第n个月的投资额为an万元．

(1)求an关于n的关系式；

(2)预计2020年全年共需投资多少万元？

(精确到0.01，参考数据：1.22＝1.44,1.23≈1.73,1.24≈2.07,1.25≈2.49,1.26≈2.99)

解　(1)设前n个月投资总额为Sn，

则当n≥2时，an＝5＋Sn－1，①

所以an＋1＝5＋Sn，②

由①②两式相减，得

an＋1－an＝(Sn－Sn－1)＝an，

所以an＋1＝an.

又因为a1＝11，a2＝5＋a1＝，

所以an＝×n－2＝6×n－1(n≥2)．

又因为an≤15，所以6×1.2n－1≤15，

所以n－1≤5，所以n≤6.

所以an＝2≤n≤6，

(2)由(1)得，2020年全年的投资额是(1)中数列{an}的前12项和，所以S12＝a1＋(a2＋…＋a6)＋(a7＋…＋a12)＝11＋6×(1.2＋…＋1.25)＋6×15＝101＋6×≈154.64(万元)．

所以预计2020年全年共需投资154.64万元．