2021高考数学一轮复习统考第11章概率高考大题冲关系列6高考中概率与统计的热点题型学案含解析北师大版

高考中概率与统计的热点题型
命题动向：统计与概率的综合是历年高考的必考内容之一，主要考查古典概型、频率分布直方图、抽样方法、数据的数字特征、统计案例等知识，命题的热点主要是概率与统计、统计案例的综合，试题多以生活的实际问题为背景，考查学生的数据处理能力，基本运算能力，分析问题及解决问题能力．
题型1　古典概型的概率计算
例1　(2019·天津高考)2019年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除．某单位老、中、青员工分别有72,108,120人，现采用分层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取25人调查专项附加扣除的享受情况．
(1)应从老、中、青员工中分别抽取多少人？
(2)抽取的25人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有6人，分别记为A，B，C，D，E，F.享受情况如下表，其中“○”表示享受，“×”表示不享受．现从这6人中随机抽取2人接受采访．
　　　员工
项目　　　
A
B
C
D
E
F
子女教育
○
○
×
○
×
○
继续教育
×
×
○
×
○
○
大病医疗
×
×
×
○
×
×
住房贷款利息
○
○
×
×
○
○
住房租金
×
×
○
×
×
×
赡养老人
○
○
×
×
×
○
①试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；
②设M为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”，求事件M发生的概率．
解　(1)由已知得老、中、青员工人数之比为6∶9∶10，由于采用分层抽样的方法从中抽取25位员工，因此应从老、中、青员工中分别抽取6人、9人、10人．
(2)①从已知的6人中随机抽取2人的所有可能结果为{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，{C，D}，{C，E}，{C，F}，{D，E}，{D，F}，{E，F}，共15种．
②由表格知，符合题意的所有可能结果为{A，B}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，{C，E}，{C，F}，{D，F}，{E，F}，共11种．
所以，事件M发生的概率P(M)＝.
[冲关策略]　一般来说，对古典概型的考查要先对事件中的所有元素进行设元或编号，再按照要求把所有的基本事件一一列举出来，从中找到所有满足研究事件的基本事件，最后根据古典概型的概率公式求解．
变式训练1　(2019·河南开封三模)为评估设备M生产某种零件的性能，从设备M生产该零件的流水线上随机抽取100个零件作为样本，测量其直径后，整理得到下表：
直径/
mm
58
59
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
73
件数
1
1
3
5
6
19
33
18
4
4
2
1
2
1
合计
100
经计算，样本的平均值＝65，标准差s＝2.2，以频率值作为概率的估计值．
(1)为评判一台设备M的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为X，并根据以下不等式进行判定(P表示相应事件的概率)：①P(－s (2)将直径尺寸在(－2s，＋2s)之外的零件认定为是“次品”，将直径尺寸在(－3s，＋3s)之外的零件认定为“突变品”．从样本的“次品”中随意抽取两件，求至少有一件“突变品”的概率．
解　(1)－s＝62.8，＋s＝67.2，－2s＝60.6，＋2s＝69.4，－3s＝58.4，＋3s＝71.6，由表知，P(－s0.6826，P(－2s (2)样品中直径尺寸在(－2s，＋2s)之外的零件共六件，直径尺寸在(－3s，＋3s)之外的零件共两件，分别记为A，B，C，D，a，b，其中a，b为直径尺寸在(－3s，＋3s)之外的零件，从样本的“次品”中随意抽取两件，所有情况共15种：{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，a}，{A，b}，{B，C}，{B，D}，{B，a}，{B，b}，{C，D}，{C，a}，{C，b}，{D，a}，{D，b}，{a，b}，
至少有一件“突变品”的所有情况共9种：{A，a}，{A，b}，{B，a}，{B，b}，{C，a}，{C，b}，{D，a}，{D，b}，{a，b}，
记从样本的“次品”中随意抽取两件，至少有一件“突变品”为事件Y ，则P(Y)＝＝.
题型2　概率与统计的综合问题
例2　某学校为了解学生的体质健康状况，对高一、高二两个年级的学生进行了体质测试．现从两个年级学生中各随机选取20人，将他们的测试数据，用茎叶图表示，如图所示，《国家学生体质健康标准》的等级标准如表．规定：测试数据≥60，体质健康为合格．

等级
优秀
良好
及格
不及格
测试数据
[90,100]
[80,89]
[60,79]
[0,59]
(1)从该校高二年级学生中随机选取一名学生，试估计这名学生体质健康合格的概率；
(2)从两个年级等级为优秀的样本中各随机选取一名学生，求选取的两名学生的测试数据平均数大于95的概率．
解　(1)因为高二年级学生样本中合格的学生数为3＋4＋4＋4＝15，所以样本中学生体质健康合格的频率为＝.即从该校高二年级学生中随机选取一名学生，估计这名学生体质健康合格的概率为.
(2)设等级为优秀的样本中高一年级测试数据是93,94,96的学生分别为a1，a2，a3，高二年级测试数据是90,95,98的学生分别为b1，b2，b3.选取的两名学生构成的基本事件空间为{(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，b3)，(a3，b1)，(a3，b2)，(a3，b3)}，总数为9.选取的测试数据平均数大于95的两名学生构成的基本事件空间为{(a1，b3)，(a2，b3)，(a3，b2)，(a3，b3)}，总数为4，所以从两个年级等级为优秀的样本中各随机选取一名学生，选取的两名学生的测试数据平均数大于95的概率为.
[冲关策略]　概率与统计作为考查考生应用意识的重要载体，已成为近几年高考的一大亮点和热点．它与其他知识融合、渗透，情境新颖，充分体现了概率与统计的工具性和交汇性．统计以考查抽样方法、样本的频率分布、样本特征数的计算为主，概率以考查概率计算为主，往往和实际问题相结合，要注意理解实际问题的意义，使之和相应的概率计算对应起来，只有这样才能有效地解决问题．
变式训练2　(2019·江西九江二模)为了打好“精准扶贫攻坚战”，某村扶贫书记打算带领该村农民种植新品种蔬菜，可选择的种植量有三种：大量种植，适量种植，少量种植．根据收集到的市场信息，得到该地区该品种蔬菜年销量频率分布直方图如图，然后，该扶贫书记同时调查了同类其他地区农民以往在各种情况下的平均收入如表1(表中收入单位：万元)，但表格中有一格数据被墨迹污损，好在当时调查的数据频数分布表还在，其中大量种植的100户农民在市场销量好的情况下收入情况，如表2.

收入(万元)
11
11.5
12
12.5
13
13.5
14
14.5
15
频数(户)
5
10
15
10
15
20
10
10
5
表1
　　　销量
种植量　　　　
好
中
差
大量
■
8
－4
适量
9
7
0
少量
4
4
2
表2
(1)根据题中所给数据，请估计在市场销量好的情况下，大量种植的农民每户的预期收益(用以往平均收入来估计)；
(2)若该地区年销量在10千吨以下表示销量差，在10千吨至30千吨之间表示销量中，在30千吨以上表示销量好，试根据频率分布直方图计算销量分别为好、中、差的概率(以频率代替概率)；
(3)如果你是这位扶贫书记，请根据(1)(2)，从农民预期收益的角度分析，你应该选择哪一种种植量．
解　(1)在市场销量好的情况下，表2中的100户农民收入的平均数＝×(11×5＋11.5×10＋12×15＋12.5×10＋13×15＋13.5×20＋14×10＋14.5×10＋15×5)＝×(55＋115＋180＋125＋195＋270＋140＋145＋75)＝＝13(万元)．
由此估计在市场销量好的情况下，大量种植的农民每户的预期收益可达到13万元．
(2)由频率分布直方图可知，市场销量好的概率
P1＝(0.02＋0.02)×5＝0.2.
市场销量中的概率
P2＝(0.02＋0.03＋0.03＋0.02)×5＝0.5.
市场销量差的概率
P3＝(0.02＋0.04)×5＝0.3.
(3)由(1)(2)可得，
大量种植方案的预期收益
Q1＝0.2×13＋0.5×8＋0.3×(－4)＝5.4(万元)．
适量种植方案的预期收益
Q2＝0.2×9＋0.5×7＋0.3×0＝5.3(万元)．
少量种植方案的预期收益
Q3＝0.2×4＋0.5×4＋0.3×2＝3.4(万元)．
从预期收益看，大量种植的预期收益最大，因此应该选择大量种植．
题型3　概率与线性回归的综合问题
例3　(2019·湖北武汉5月模拟)某市房管局为了了解该市市民2018年1月至2019年1月期间购买二手房情况，首先随机抽样其中的200名购房者，并对其购房面积m(单位：平方米，60≤m≤130)进行了一次调查统计，制成了如图1所示的频率分布直方图，接着调查了该市2018年1月～2019年1月期间当月在售二手房均价y(单位：万元/平方米)，制成了如图2所示的散点图(图中月份代码1～13分别对应2018年1月至2019年1月)．

(1)试估计该市市民的平均购房面积；
(2)现采用分层抽样的方法从购房面积位于[110,130]的40位市民中随机抽取4人，再从这4人中随机抽取2人，求这2人的购房面积中恰好有一人的在[120,130]的概率；
(3)根据散点图选择＝＋和＝＋ln x两个模型进行拟合，经过数据处理得到两个回归方程，分别为＝0.9369＋0.0285和＝0.9554＋0.0306ln x，并得到一些统计量的值，如表所示：

＝0.9369＋0.0285
＝0.9554＋0.0306ln x
(yi－)2
0.000591
0.000164
(yi－)2
0.006050
请利用相关指数R2判断哪个模型的拟合效果更好，并用拟合效果更好的模型预测2019年6月份的二手房购房均价(精确到0.001)．
参考数据：ln 2≈0.69，ln 3≈1.10，ln 17≈2.83，ln 19≈2.94，≈1.41，≈1.73，≈4.12，≈4.36.参考公式：相关指数R2＝1－.
解　(1)＝65×0.05＋75×0.1＋85×0.2＋95×0.25＋105×0.2＋115×0.15＋125×0.05＝96.
(2)设从位于[110,120)的市民中抽取x人，从位于[120,130]的市民中抽取y人，由分层抽样可知＝＝，解得x＝3，y＝1，在抽取的4人中，记购房面积位于[110,120)的3名市民为A1，A2，A3，购房面积位于[120,130]的1名市民为B，从这4人中随机抽取2人，情况为：(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B)，(A2，A3)，(A2，B)，(A3，B)，故基本事件共有6种，其中恰有一人的购房面积在[120,130]的基本事件共有3种，设C为“这2人的购房面积中恰好有一人的在[120,130]”，则P(C)＝＝.
(3)设模型＝0.9369＋0.0285和＝0.9554＋0.0306ln x的相关指数分别为R，R，则R＝1－，R＝1－，∴R [冲关策略]　(1)准确运算，合理选择计算公式，求出回归线性方程，并且能作合理应用．
(2)分析题意，合理选择概率类型，方能准确求出事件的概率．
变式训练3　(2019·山东日照5月校际联考)随着人民生活水平的日益提高，某小区居民拥有私家车的数量与日俱增．由于该小区建成时间较早，没有配套建造地下停车场，小区内无序停放的车辆造成了交通的拥堵．该小区的物业公司统计了近五年小区登记在册的私家车数量(累计值，如147表示2016年小区登记在册的所有车辆数，其余意义相同)，得到如下数据：
编号x
1
2
3
4
5
年份
2014
2015
2016
2017
2018
数量y(单位：辆)
37
104
147
196
216
(1)若私家车的数量y与年份编号x满足线性相关关系，求y关于x的线性回归方程，并预测2020年该小区的私家车数量；
(2)小区于2018年底完成了基础设施改造，划设了120个停车位．为解决小区车辆乱停乱放的问题，加强小区管理，物业公司决定禁止无车位的车辆进入小区．由于车位有限，物业公司决定在2019年度采用网络竞拍的方式将车位对业主出租，租期一年，竞拍方案如下：①截至2018年已登记在册的私家车业主拥有竞拍资格；②每车至多申请一个车位，由车主在竞拍网站上提出申请并给出自己的报价；③根据物价部门的规定，竞价不得超过1200元；④申请阶段截止后，将所有申请的业主报价自高到低排列，排在前120位的业主以其报价成交；⑤若最后出现并列的报价，则以提出申请的时间在前的业主成交，为预测本次竞拍的成交最低价，物业公司随机抽取了有竞拍资格的40位业主，进行了竞拍意向的调查，并对他们的拟报竞价进行了统计，得到如图频率分布直方图：

(ⅰ)求所抽取的业主中有意向竞拍报价不低于1000元的人数；
(ⅱ)如果所有符合条件的车主均参与竞拍，利用样本估计总体的思想，请你据此预测至少需要报价多少元才能竞拍车位成功？(精确到整数)
参考公式及数据：对于一组数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其回归方程＝x＋的斜率和截距的最小二乘估计分别为：＝，＝－；
(xi－)(yi－)＝450.
解　(1)由表中数据，计算得＝×(1＋2＋3＋4＋5)＝3，＝×(37＋104＋147＋196＋216)＝140，＝＝＝＝45，＝－＝140－45×3＝5.
故所求线性回归方程为＝45x＋5，
令x＝7，得＝45×7＋5＝320.
(2)(ⅰ)由频率分布直方图可知，有意向竞拍报价不低于1000元的频率为(0.25＋0.05)×1＝0.3，共抽取40位业主，40×0.3＝12，所以有意向竞拍报价不低于1000元的人数为12.
(ⅱ)由题意得＝，由频率分布直方图估算知，报价应该在900～1000元之间，设报价为x百元，则(10－x)×0.4＋0.3＝.解得x≈9.36.所以至少需要报价936元才能竞拍成功．
题型4　概率与独立性检验的综合问题
例4　(2019·攀枝花三模)某企业为了检查甲、乙两条自动包装流水线的生产情况，随机在这两条流水线上各抽取100件产品作为样本称出它们的质量(单位：毫克)，质量值落在(175,225]的产品为合格品，否则为不合格品．如表是甲流水线样本频数分布表，如图是乙流水线样本的频率分布直方图．
产品质量/毫克
频数
[165,175]
3
(175,185]
2
(185,195]
21
(195,205]
36
(205,215]
24
(215,225]
9
(225,235]
5

(1)根据乙流水线样本的频率分布直方图，求乙流水线样本质量的中位数(结果保留整数)；
(2)从甲流水线样本中质量在(165,185]的产品中任取两件产品，求两件产品中恰有一件合格品的概率；
(3)由以上统计数据完成下面2×2列联表，能否在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为产品的包装合格与两条自动包装流水线的选择有关？

甲流水线
乙流水线
总计
合格品



不合格品



总计



下面临界值表仅供参考：
P(K2≥k0)
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
参考公式：K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.
解　(1)因为前三组的频率之和为10×(0.002＋0.009＋0.020)＝0.31＜0.5，
前四组的频率之和为10×(0.002＋0.009＋0.020＋0.034)＝0.65＞0.5.
所以中位数在第四组，设为x，
由(x－195)×0.034＋0.31＝0.5，解得x≈201.
(2)甲流水线样本中质量在(165,185]的产品共有5件，其中合格品有2件，设为A，B；不合格品3件，设为a，b，c，从中任取2件的所有取法有(A，B)，(A，a)，(A，b)，(A，c)，(B，a)，(B，b)，(B，c)，(a，b)，(a，c)，(b，c)，共10种，恰有一件合格品的取法有(A，a)，(A，b)，(A，c)，(B，a)，(B，b)，(B，c)，共6种，所以两件产品中恰有一件合格品的概率为P＝＝.
(3)由乙流水线样本的频率分布直方图可知，合格品的个数为100×(1－0.04)＝96，
所以，2×2列联表如下所示，

甲流水线
乙流水线
总计
合格品
92
96
188
不合格品
8
4
12
总计
100
100
200
所以K2＝
＝≈1.418＜2.072，
故在犯错误的概率不超过0.15的前提下，不能认为产品的包装合格与两条自动包装流水线的选择有关．
[冲关策略]　此类题目虽然涉及的知识点较多，但每个知识点考查程度相对较浅，考查深度有限，所以解决此类问题，最主要的是正确掌握概率与统计案例的基本知识，并能对这些知识点进行有效地融合，把统计图表中的量转化为概率求解中的有用的量是解决此类问题的关键．
变式训练4　(2019·黄山二模)2019年全国“两会”，即中华人民共和国第十三届全国人大二次会议和中国人民政治协商会议第十三届全国委员会第二次会议，分别于2019年3月5日至15日和3月3日至13日在北京召开．为了了解哪些人更关注“两会”，某机构随机抽取了年龄在15～75岁之间的200人进行调查，并按年龄绘制的频率分布直方图如下图所示，把年龄落在区间[15,35)和[35,75]内的人分别称为“青少年人”和“中老年人”．经统计“青少年人”和“中老年人”的人数之比为19∶21.其中“青少年人”中有40人关注“两会”，“中老年人”中关注“两会”和不关注“两会”的人数之比是2∶1.

(1)求图中a，b的值；
(2)现采用分层抽样的方法在[25,35)和[45,55)中随机抽取8名代表，从8人中任选2人，求2人中至少有1人是“中老年人”的概率是多少？
(3)根据已知条件，完成下面的2×2列联表，并根据此统计结果判断：能否有99.9%的把握认为“中老年人”比“青少年人”更加关注“两会”？

关注
不关注
合计
青少年人



中老年人



合计



附：
P(K2≥k0)
0.050
0.010
0.001
k0
3.841
6.635
10.828
K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.
解　(1)由题意得，
解得
(2)由题意得，在[25,35)中抽取6人，记为A，B，C，D，E，F，在[45,55)中抽取2人，记为a，b.则从8人中任选2人的全部基本事件有：
AB，AC，AD，AE，AF，Aa，Ab，BC，BD，BE，BF，Ba，Bb，CD，CE，CF，Ca，Cb，DE，DF，Da，Db，EF，Ea，Eb，Fa，Fb，ab，共28种．
选取的2人中至少有1人是“中老年人”的基本事件有：Aa，Ab，Ba，Bb，Ca，Cb，Da，Db，Ea，Eb，Fa，Fb，ab，共13种．
记2人中至少有1个是“中老年人”的概率是P，
则P＝.
(3)2×2列联表如下：

关注
不关注
合计
青少年人
40
55
95
中老年人
70
35
105
合计
110
90
200
K2＝≈12.157>10.828.
所以有99.9%的把握认为“中老年人”比“青少年人”更加关注“两会”．
题型5　概率、统计与函数的综合问题
例5　(2019·晋冀鲁豫中原名校第三次联考)某企业购买某种仪器，在仪器使用期间可能出现故障，需要请生产仪器的企业派工程师进行维修，因为考虑到人力、成本等多方面的原因，生产仪器的企业提供以下购买仪器维修服务的方案：在购买仪器时，可以直接购买仪器维修服务，维修一次1000元；在仪器使用期间，如果维修服务次数不够再次购买，则需要每次1500元．现需决策在购买仪器的同时购买几次仪器维修服务，为此搜集并整理了500台这种机器在使用期内需要维修的次数，得到如下表格：
维修次数
5
6
7
8
9
频数(台)
50
100
150
100
100
记x表示一台仪器在使用期内维修的次数，y表示一台仪器在使用期内维修所需要的费用，n表示购买仪器的同时购买的维修服务的次数．
(1)若n＝6，求y与x的函数关系式；
(2)以这500台仪器在使用期内维修次数的频率代替一台仪器维修次数发生的概率，求6≤x≤8的概率；
(3)假设购买这500台仪器的同时每台都购买7次维修服务，或每台都购买8次维修服务，请分别计算这500台仪器在购买维修服务所需要费用的平均数，以此为决策依据，判断应该购买7次还是8次维修服务？
解　(1)当x≤6时，y＝6×1000＝6000；
当x>6时，y＝6000＋1500(x－6)＝1500x－3000.
故y与x的函数关系式为
y＝
(2)6≤x≤8的概率为＝0.7.
(3)购买7次维修服务所需费用的平均数为×(300×7000＋100×8500＋100×10000)＝7900.
购买8次维修服务所需费用的平均数为×(400×8000＋100×9500)＝8300.
因为7900<8300，故应该购买7次维修服务．
[冲关策略]　与实际应用相结合是高考命题的动向，此类问题的特点是通过现实生活中的事例考查书本知识，解决此类题的关键是细心读题，吃透题意，将实际问题转化为数学模型进行解答．
变式训练5　(2019·山东潍坊5月三模)十九大以来，某贫困地区扶贫办积极贯彻落实国家精准扶贫的政策要求，带领农村地区人民群众脱贫奔小康，扶贫办计划为某农村地区购买某农机机器，假设该种机器使用三年后即被淘汰．该农机机器制造商对购买该机器的客户推出了两种销售方案
方案一：每台机器售价7000元，三年内可免费保养2次，超过2次每次收取保养费200元；
方案二：每台机器售价7050元，三年内可免费保养3次，超过3次每次收取保养费100元．
扶贫办需要决策在购买机器时应该选取那种方案，为此搜集并整理了50台这种机器在三年使用期内保养的次数，得下表：
保养次数
0
1
2
3
4
5
台数
1
10
19
14
4
2
记x表示1台机器在三年使用期内的保养次数．
(1)用样本估计总体的思想，求“x不超过2”的概率；
(2)若y表示1台机器的售价和三年使用期内花费的费用总和(单位：元)，求选用方案一时，y关于x的函数解析式；
(3)按照两种销售方案，分别计算这50台机器在三年使用期内的总费用(总费用＝售价＋保养费)，以每台每年的平均费用作为决策依据，判断扶贫办选择哪种销售方案购买机器更合算？
解　(1)从题表中可以看出50台机器维修次数不超过2次的有30台，故“x不超过2”的概率为P＝＝0.6.
(2)当x≤2时，y＝7000，
当x>2时，y＝7000＋(x－2)×200＝6600＋200x，
故y关于x的函数解析式为
y＝
(3)在方案一中，这50台机器售价和保养总费用为
50×7000＋14×200＋4×200×2＋2×200×3＝355600(元)，
所以每台每年平均费用为元．
在方案二中，这50台机器售价和保养总费用为
50×7050＋4×100＋200×2＝353300(元)．
所以每台每年平均费用为元．
因为>，
所以扶贫办选择第二种方案更合算．