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    2021高三统考北师大版数学一轮学案:第4章第6讲 正弦定理和余弦定理
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    2021高三统考北师大版数学一轮学案:第4章第6讲 正弦定理和余弦定理

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    第6讲 正弦定理和余弦定理
    基础知识整合
    1.正弦定理
    ===2R,
    其中2R为△ABC外接圆的直径.
    变式:a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC.
    a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinC.
    2.余弦定理
    a2=b2+c2-2bccosA;b2=a2+c2-2accosB;
    c2=a2+b2-2abcosC.
    变式:cosA=;cosB=;cosC=.
    sin2A=sin2B+sin2C-2sinBsinCcosA.
    3.在△ABC中,已知a,b和A时,三角形解的情况


    图形
    关系式
    解的个数
    A为锐角

    a 无解

    a=bsinA
    一解

    bsinA 两解

    a≥b
    一解
    A为钝角
    或直角

    a>b
    一解

    a≤b
    无解

    4.三角形中常用的面积公式
    (1)S=ah(h表示边a上的高).
    (2)S=bcsinA=acsinB=absinC.
    (3)S=r(a+b+c)(r为三角形的内切圆半径).

    1.三角形内角和定理
    在△ABC中,A+B+C=π;
    变形:=-.
    2.三角形中的三角函数关系
    (1)sin(A+B)=sinC;(2)cos(A+B)=-cosC;
    (3)sin=cos;(4)cos=sin.
    3.三角形中的射影定理
    在△ABC中,a=bcosC+ccosB;
    b=acosC+ccosA;
    c=bcosA+acosB.
                          
    1.(2019·北京西城模拟)已知△ABC中,a=1,b=,B=45°,则A等于(  )
    A.150° B.90°
    C.60° D.30°
    答案 D
    解析 由正弦定理,得=,得sinA=.又a 2.(2019·安徽马鞍山一模)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知a=,b=2,A=60°,则c=(  )
    A. B.1
    C. D.2
    答案 B
    解析 ∵a=,b=2,A=60°,∴由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA,得3=4+c2-2×2×c×,整理得c2-2c+1=0,解得c=1.故选B.
    3.(2019·安徽合肥模拟)在△ABC中,A=60°,AB=2,且△ABC的面积为,则BC的长为(  )
    A. B.
    C.2 D.2
    答案 B
    解析 因为S=AB·ACsinA=×2×AC=,所以AC=1,所以BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos60°=3.所以BC=.
    4.(2019·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知asinA-bsinB=4csinC,cosA=-,则=(  )
    A.6 B.5
    C.4 D.3
    答案 A
    解析 ∵asinA-bsinB=4csinC,∴由正弦定理,得a2-b2=4c2,即a2=4c2+b2.由余弦定理,得cosA====-,∴=6.故选A.
    5.设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=2,cosC=-,3sinA=2sinB,则c=________.
    答案 4
    解析 由3sinA=2sinB及正弦定理,得3a=2b,所以b=a=3.由cosC=,得-=,解得c=4.
    6.在△ABC中,AB=,∠A=75°,∠B=45°,则AC=________.
    答案 2
    解析 因为∠A=75°,∠B=45°,所以∠C=60°,由正弦定理可得=,解得AC=2.

    核心考向突破
    考向一 利用正、余弦定理解三角形                      
    例1 (1)(2018·全国卷Ⅱ)在△ABC中,cos=,BC=1,AC=5,则AB=(  )
    A.4 B.
    C. D.2
    答案 A
    解析 因为cosC=2cos2-1=2×2-1=-,所以AB2=BC2+AC2-2BC·AC·cosC=1+25-2×1×5×=32,所以AB=4.选A.
    (2)(2019·沧州七校联考)已知在△ABC中,a=,b=,∠A=30°,则c=(  )
    A.2 B.
    C.2或 D.均不正确
    答案 C
    解析 ∵=,
    ∴sinB==·sin30°=.
    ∵b>a,∴B=60°或120°.
    若B=60°,则C=90°,∴c==2.
    若B=120°,则C=30°,∴a=c=.


    解三角形问题的技巧

    (1)解三角形时,如果式子中含有角的余弦或边的二次式,要考虑用余弦定理;如果式子中含有角的正弦或边的一次式时,则考虑用正弦定理;以上特征都不明显时,则要考虑两个定理都有可能用到.
    ①应用正弦定理求角时容易出现增解或漏解的错误,要根据条件和三角形的限制条件合理取舍.
    ②求角时易忽略角的范围而导致错误,因此需要根据大边对大角,大角对大边的规则,画图进行判断.
    (2)三角形解的个数的判断:已知两角和一边,该三角形是确定的,其解是唯一的;已知两边和一边的对角,该三角形具有不唯一性,通常根据三角函数值的有界性和大边对大角规则进行判断.



    [即时训练] 1.在△ABC中,已知b=40,c=20,C=60°,则此三角形的解的情况是(  )
    A.有一解
    B.有两解
    C.无解
    D.有解但解的个数不确定
    答案 C
    解析 由正弦定理,得=,
    ∴sinB===>1.
    ∴角B不存在,即满足条件的三角形不存在.
    2.(2019·浙江高考)在△ABC中,∠ABC=90°,AB=4,BC=3,点D在线段AC上.若∠BDC=45°,则BD=________,cos∠ABD=________.
    答案  
    解析 如图,
    易知sin∠C=,
    cos∠C=.
    在△BDC中,由正弦定理可得
    =,
    ∴BD===.
    由∠ABC=∠ABD+∠CBD=90°,
    可得cos∠ABD=cos(90°-∠CBD)=sin∠CBD
    =sin[π-(∠C+∠BDC)]
    =sin(∠C+∠BDC)
    =sin∠C·cos∠BDC+cos∠C·sin∠BDC
    =×+×=.
    考向二 利用正、余弦定理判断三角形形状                      
    例2 (1)设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a2+b2-c2=ab,且2cosAsinB=sinC,则△ABC的形状为(  )
    A.等边三角形 B.直角三角形
    C.钝角三角形 D.不确定
    答案 A
    解析 ∵a2+b2-c2=ab,∴cosC==,又0 (2)在△ABC中,a,b,c分别表示三个内角A,B,C的对边,如果(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)sin(A+B),则该三角形的形状为(  )
    A.直角三角形
    B.等边三角形
    C.等腰三角形或直角三角形
    D.等腰直角三角形
    答案 C
    解析 ∵(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)sin(A+B),
    ∴(a2+b2)(sinAcosB-cosAsinB)
    =(a2-b2)(sinAcosB+cosAsinB),
    ∴a2cosAsinB=b2sinAcosB,
    ∴sin2AcosAsinB=sin2BsinAcosB,
    ∴sinAcosA=sinBcosB,
    ∴sin2A=sin2B,
    ∴A=B或A+B=,即△ABC是等腰三角形或直角三角形.


    三角形形状的判定方法
    (1)通过正弦定理和余弦定理,化边为角(如a=2RsinA,a2+b2-c2=2abcosC等),利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断.此时注意一些常见的三角等式所体现的内角关系,如sinA=sinB⇔A=B;sin(A-B)=0⇔A=B;sin2A=sin2B⇔A=B或A+B=等.
    (2)利用正弦定理、余弦定理化角为边,如sinA=,cosA=等,通过代数恒等变换,求出三条边之间的关系进行判断.
    提醒:(1)注意无论是化边还是化角,在化简过程中出现公因式不要约掉,否则会有漏掉一种形状的可能.
    (2)在判断三角形形状时一定要注意解是否唯一,并注重挖掘隐含条件.另外,在变形过程中要注意角A,B,C的范围对三角函数值的影响.



    [即时训练] 3.(2019·陕西安康模拟)设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bcosC+ccosB=asinA,则△ABC的形状为(  )
    A.锐角三角形 B.直角三角形
    C.钝角三角形 D.不确定
    答案 B
    解析 ∵bcosC+ccosB=asinA,∴由正弦定理,得sinBcosC+sinCcosB=sin2A,∴sin(B+C)=sin2A,即sinA=sin2A.又sinA>0,∴sinA=1,又A∈(0,π),∴A=,故△ABC为直角三角形.
    4.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若 A.钝角三角形 B.直角三角形
    C.锐角三角形 D.等边三角形
    答案 A
    解析 根据正弦定理得= ∵A+B+C=π,∴sinC=sin(A+B)0,∴cosB<0,∴ 精准设计考向,多角度探究突破
    考向三 正、余弦定理的综合应用
    角度1  三角形面积问题
    例3 (1)在锐角△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若sinA=,a=3,S△ABC=2,则b的值为(  )
    A.6 B.4
    C.2 D.2或3
    答案 D
    解析 因为S△ABC=2=bcsinA,sinA=,且A∈,所以bc=6,cosA=,又因为a=3,由余弦定理,得9=b2+c2-2bccosA=b2+c2-4,所以b2+c2=13,可得b=2或b=3.
    (2)(2019·全国卷Ⅱ)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若b=6,a=2c,B=,则△ABC的面积为________.
    答案 6
    解析 由余弦定理,得b2=a2+c2-2accosB.
    又b=6,a=2c,B=,
    ∴36=4c2+c2-2×2c2×,
    ∴c=2,∴a=4,
    ∴S△ABC=acsinB=×4×2×=6.
    (3)(2020·合肥八中模拟)在古希腊数学家海伦的著作《测地术》中记载了著名的海伦公式,利用三角形的三条边长求三角形面积,若三角形的三边长分别为a,b,c,则其面积S=,这里p=(a+b+c).已知在△ABC中,BC=6,AB=2AC,则其面积取最大值时,sinA=________.
    答案 
    解析 已知在△ABC中,BC=6,AB=2AC,
    所以a=6,c=2b,所以p=(6+b+2b)=3+,
    △ABC的面积S=



    =3.
    故当b2=20时,S有最大值,
    所以b=2,c=4,
    cosA==,
    所以sinA=.


    三角形面积公式的应用原则
    (1)对于面积公式S=absinC=acsinB=bcsinA,一般是已知哪一个角就使用哪一个公式.
    (2)与面积有关的问题,一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化.



    [即时训练] 5.(2018·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知bsinC+csinB=4asinBsinC,b2+c2-a2=8,则△ABC的面积为________.
    答案 
    解析 根据题意,结合正弦定理可得sinBsinC+sinCsinB=4sinAsinBsinC,所以sinA=,结合余弦定理可得2bccosA=8,所以A为锐角,所以cosA=,所以bc=,所以△ABC的面积为S=bcsinA=××=.
    6.(2020·福建三明质量检查)△ABC的内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且b=3(acosB+bcosA),b+c=8.
    (1)求b,c;
    (2)若BC边上的中线AD=,求△ABC的面积.
    解 (1)由正弦定理,得
    sinB=3(sinAcosB+sinBcosA),
    所以sinB=3sin(A+B),因为A+B+C=π,
    所以sin(A+B)=sin(π-C)=sinC,
    所以sinB=3sinC,
    所以b=3c,又b+c=8,
    所以b=6,c=2.
    (2)在△ABD和△ACD中,由余弦定理,得
    c2=AD2+BD2-2AD·BD·cos∠ADB,
    b2=AD2+CD2-2AD·CD·cos∠ADC.
    因为∠ADB+∠ADC=π,
    所以cos∠ADB=-cos∠ADC,
    又因为b=6,c=2,BD=DC=,AD=,
    所以a2=31,
    所以cos∠BAC==,
    又因为∠BAC∈(0,π),所以sin∠BAC=.
    所以△ABC的面积S△ABC=bcsin∠BAC=.
    角度2  三角形中的范围问题
    例4 (1)(2019·江西赣州模拟)在锐角△ABC中,若B=2A,则的取值范围是(  )
    A.(,) B.(1,)
    C.(,) D.(,)
    答案 C
    解析 ∵B=2A,∴==2cosA.
    又△ABC为锐角三角形,
    ∴A+B=3A>,B=2A<,∴ (2)(2018·北京高考)若△ABC的面积为(a2+c2-b2),且∠C为钝角,则∠B=________;的取值范围是________.
    答案  (2,+∞)
    解析 依题意有acsinB=(a2+c2-b2)=×2accosB,则tanB=,
    ∵0<∠B<π,∴∠B=.
    ===+=+·,
    ∵∠C为钝角,∴-∠A>,
    又∠A>0,∴0<∠A<,则0 ∴>,故>+×=2.
    ∴的取值范围为(2,+∞).



    解三角形问题中,求解某个量(式子)的取值范围是命题的热点,其主要解决思路是:
    要建立所求量(式子)与已知角或边的关系,然后把角或边作为自变量,所求量(式子)的值作为函数值,转化为函数关系,将原问题转化为求函数的值域问题.这里要利用条件中的范围限制,以及三角形自身范围限制,尽量把角或边的范围(也就是函数的定义域)找完善,避免结果的范围过大.



    [即时训练] 7.(2019·山东实验中学等四校联考)如图所示,边长为1的正三角形ABC中,点M,N分别在线段AB,AC上,将△AMN沿线段MN进行翻折,得到右图所示的图形,翻折后的点A在线段BC上,则线段AM的最小值为________.

    答案 2-3
    解析 设AM=x,∠AMN=α,则BM=1-x,
    ∠AMB=180°-2α,∴∠BAM=2α-60°,
    在△ABM中,由正弦定理可得
    =,即=,
    ∴x=,
    ∴当2α-60°=90°,即α=75°时,x取得最小值为=2-3,即线段AM的最小值为2-3.
    8.(2019·陕西第三次教学质量检测)在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,且(a+b+c)(a+b-c)=3ab.
    (1)求角C的值;
    (2)若c=2,且△ABC为锐角三角形,求a+b的取值范围.
    解 (1)由题意知(a+b+c)(a+b-c)=3ab,
    ∴a2+b2-c2=ab,由余弦定理可知,
    cosC==,
    又C∈(0,π),∴C=.
    (2)由正弦定理可知,
    ===,即
    a=sinA,b=sinB,
    ∴a+b=(sinA+sinB)

    =2sinA+2cosA=4sin,
    又△ABC为锐角三角形,
    ∴即 ∴2<4sin≤4,
    综上a+b的取值范围为(2,4].
    角度3  正、余弦定理解决平面几何问题
    例5 (2019·南宁模拟)如图,在△ABC中,∠B=,AB=8,点D在BC边上,且CD=2,cos∠ADC=.
    (1)求sin∠BAD;
    (2)求BD,AC的长.
    解 (1)由cos∠ADC=知sin∠ADC=,
    于是sin∠BAD=sin(∠ADC-∠B)
    =sin∠ADC·cos-cos∠ADC·sin
    =×-×=.
    (2)在△ABD中,由正弦定理,得
    BD====3.
    在△ABC中,由余弦定理,得
    AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cosB
    =82+52-2×8×5×=49.
    所以AC=7.



    平面几何图形中研究或求与角有关的长度、角度、面积的最值、优化设计等问题,通常是转化到三角形中,利用正、余弦定理通过运算的方法加以解决.在解决某些具体问题时,常先引入变量,如边长、角度等,然后把要解三角形的边或角用所设变量表示出来,再利用正、余弦定理列出方程,解之,若研究最值,常使用函数思想.



    [即时训练] 9.(2020·河北唐山期末)如图,在梯形ABCD中,∠A=∠D=90°,M为AD上一点,AM=2MD=2,∠BMC=60°.

    (1)若∠AMB=60°,求BC的长;
    (2)设∠DCM=θ,若MB=4MC,求tanθ.
    解 (1)由∠BMC=60°,∠AMB=60°,得∠CMD=60°.
    在Rt△ABM中,MB=2AM=4;
    在Rt△CDM中,MC=2MD=2.
    在△MBC中,由余弦定理,得
    BC2=MB2+MC2-2MB·MC·cos∠BMC=12,所以BC=2.
    (2)因为∠DCM=θ,所以∠ABM=60°-θ,
    0°<θ<60°.
    在Rt△MCD中,MC=,
    在Rt△MAB中,MB=,
    由MB=4MC,得2sin(60°-θ)=sinθ,
    所以cosθ-sinθ=sinθ,即2sinθ=cosθ,
    整理可得tanθ=.

    (2018·江苏高考)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,∠ABC=120°,∠ABC的平分线交AC于点D,且BD=1,则4a+c的最小值为________.
    答案 9
    解析 依题意画出图形,如图所示.
    易知S△ABD+S△BCD=S△ABC,
    即csin60°+asin60°=acsin120°,
    ∴c+a=ac,∴+=1,
    ∴4a+c=(4a+c)=5++≥9,当且仅当=,即a=,c=3时取“=”.
    答题启示
    利用基本不等式破解三角形中的最值问题时,当所求最值的代数式中的变量比较多时,通常是考虑利用已知条件消去部分变量后,凑出“和为常数”或“积为常数”,最后利用基本不等式求最值.                      

    对点训练
    (2019·山东烟台模拟)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知2(tanA+tanB)=+.
    (1)证明:a+b=2c;
    (2)求cosC的最小值.
    解 (1)证明:由题意知2=+,化简得2(sinAcosB+sinBcosA)=sinA+sinB,即2sin(A+B)=sinA+sinB.因为A+B+C=π,所以sin(A+B)=sin(π-C)=sinC,从而sinA+sinB=2sinC.由正弦定理,得a+b=2c.
    (2)由(1)知c=,
    所以cosC==
    =-≥-=,
    当且仅当a=b时,等号成立.
    故cosC的最小值为.

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