2021高三统考北师大版数学一轮学案：第4章第4讲　函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象及应用

第4讲　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用

基础知识整合

1．y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念

2．用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个特征点

如下表所示．

3．函数y＝sinx的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象的步骤

1．对函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k(A>0，ω>0，φ≠0，k≠0)，其图象的基本变换有：

(1)振幅变换(纵向伸缩变换)：是由A的变化引起的，A>1时伸长，A<1时缩短．

(2)周期变换(横向伸缩变换)：是由ω的变化引起的，ω>1时缩短，ω<1时伸长．

(3)相位变换(横向平移变换)：是由φ引起的，φ>0时左移，φ<0时右移．

(4)上下平移(纵向平移变换)：是由k引起的，k >0时上移，k<0时下移．

可以使用“先伸缩后平移”或“先平移后伸缩”两种方法来进行变换．

2．当相应变换的函数名不同时，先利用诱导公式将函数名化一致，再利用相应的变换得到结论．

3．由y＝Asin(ωx＋φ)＋k(A>0，ω>0，φ≠0，k≠0)的图象得到y＝sinx的图象，可采用逆向思维，将原变换反过来逆推得到．

1．为了得到函数y＝sin的图象，只需把函数y＝sin2x的图象上的所有点(　　)

A．向左平行移动个单位长度

B．向右平行移动个单位长度

C．向左平行移动个单位长度

D．向右平行移动个单位长度

答案　D

解析　∵y＝sin＝sin2，∴只需将函数y＝sin2x图象上的所有点向右平移个单位长度即可得到函数y＝sin的图象．故选D.

2．函数y＝sin在区间上的简图是(　　)

答案　A

解析　令x＝0得y＝sin＝－，排除B，D.由x＝－时，y＝0，x＝时，y＝0，排除C.故选A.

3．(2019·西安九校联考)将f(x)＝cosx图象上所有的点向右平移个单位，得到函数y＝g(x)的图象，则g＝(　　)

A.   B．－ 

C.   D．－

答案　C

解析　由题意得g(x)＝cos，

故g＝cos＝sin＝.

4．函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是(　　)

A．2，－   B．2，－

C．4，－   D．4，

答案　A

解析　由图可知，T＝＋＝，所以T＝π，ω＝＝2.因为点在图象上，所以2×＋φ＝＋2kπ，k∈Z，所以φ＝－＋2kπ，k∈Z.又－<φ<，所以φ＝－.故选A.

5．(2019·天津高考)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π)是奇函数，将y＝f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象对应的函数为g(x)．若g(x)的最小正周期为2π，且g＝，则f＝(　　)

A．－2   B．－ 

C.   D．2

答案　C

解析　因为f(x)是奇函数(显然定义域为R)，所以f(0)＝Asinφ＝0，所以sinφ＝0.又|φ|<π，所以φ＝0.

由题意得g(x)＝Asin，且g(x)的最小正周期为2π，所以ω＝1，即ω＝2.所以g(x)＝Asinx，

所以g＝Asin＝A＝，所以A＝2.

所以f(x)＝2sin2x，所以f＝.故选C.

6．函数y＝tan的图象与x轴交点的坐标是________．

答案　，k∈Z

解析　令2x＋＝kπ(k∈Z)，得x＝－(k∈Z)．

∴函数y＝tan的图象与x轴交点的坐标是，k∈Z.

核心考向突破

考向一　三角函数的图象变换　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

例1　将函数y＝sinx的图象上所有的点向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是(　　)

A．y＝sin   B．y＝sin

C．y＝sin   D．y＝sin

答案　C

解析　将函数y＝sinx的图象上所有的点向右平移个单位长度后，所得图象的函数解析式为y＝sin；再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是y＝sin.故选C.

关于y＝Asin(ωx＋φ)函数图象由y＝sinx的图象的变换，先将y＝sinx的图象向左(向右)平移|φ|个单位，再将其上的横坐标缩短(ω>1)或伸长(0<ω<1)到原来的倍，再将其纵坐标伸长(A>1)或缩短(0<A<1)到原来的A倍，也可先进行伸缩变换，再进行平移变换，此时平移不再是|φ|个单位，而是个单位，原则是保证x的系数为1，同时注意变换的方法不能出错．

[即时训练]　1.将函数y＝cos的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移个单位，所得函数图象的一条对称轴方程是(　　)

A．x＝   B．x＝

C．x＝π   D．x＝

答案　D

解析　y＝cosy＝cosy＝cos，即y＝cos.

由余弦函数的性质知，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，又当x＝时，y＝cos＝1.故选D.

考向二　求函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

例2　已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π)的部分图象如图所示，则f(x)的解析式为(　　)

A．f(x)＝2sin B．f(x)＝2sin

C．f(x)＝2sin D．f(x)＝2sin

答案　D

解析　由图象可知，A＝2，

T＝2×[6－(－2)]＝16，

所以ω＝＝＝.

所以f(x)＝2sin.

由函数的对称性得f(2)＝－2，

即f(2)＝2sin＝－2，

即sin＝－1，

所以＋φ＝2kπ－(k∈Z)，

解得φ＝2kπ－(k∈Z)．

因为|φ|<π，所以φ＝－.

故函数f(x)的解析式为

f(x)＝2sin.

(1)求A，b，确定函数的最大值M和最小值m，则A＝，b＝.

 (2)求ω，确定函数的周期T，则ω＝.

 (3)求φ的常用方法

①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象上的最高点或最低点代入．

②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口．

[即时训练]　2.设函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)，x∈R，其中ω>0，|φ|<π.若f＝2，f＝0，且f(x)的最小正周期大于2π，则(　　)

A．ω＝，φ＝   B．ω＝，φ＝－

C．ω＝，φ＝－   D．ω＝，φ＝

答案　A

解析　∵f＝2，f＝0，f(x)的最小正周期大于2π，∴＝－＝，∴T＝3π，ω＝＝，又f＝2sin＝2，∴sin＝1，

∴＋φ＝2kπ＋，k∈Z，∴φ＝2kπ＋，k∈Z.

∵|φ|<π，∴φ＝，故选A.

精准设计考向，多角度探究突破

考向三　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象与性质

角度1　　函数图象与性质的综合应用

例3　(2019·山西临汾模拟)函数f(x)＝cos(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f(x)的单调递减区间为(　　)

A.，k∈Z

B.，k∈Z

C.，k∈Z

D.，k∈Z

答案　D

解析　由图象可知＋φ＝＋2mπ，＋φ＝＋2mπ，m∈Z，所以ω＝π，φ＝＋2mπ，m∈Z，所以函数f(x)＝cos＝cos的单调递减区间为2kπ<πx＋<2kπ＋π，k∈Z，即2k－<x<2k＋，k∈Z.故选D.

角度2　　图象变换与性质的综合应用

例4　(2019·河北五校联盟摸底)把函数y＝sin的图象向左平移个单位后，所得函数图象的一条对称轴方程为(　　)

A．x＝0   B．x＝

C．x＝   D．x＝－

答案　C

解析　y＝sin y＝sin，令2x＋＝＋kπ(k∈Z)，得x＝＋π(k∈Z)，当k＝0时，x＝.故选C.

角度3　　三角函数模型的简单应用

例5　某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t(单位：h)的变化近似满足函数关系：

f(t)＝10－cost－sint，t∈[0,24)．

(1)求实验室这一天的最大温差；

(2)若要求实验室温度不高于11 ℃，则在哪段时间实验室需要降温？

解　(1)f(t)＝10－2＝10－2sin，

因为0≤t<24，

所以≤t＋<，－1≤sin≤1.

当t＝2时，sin＝1；

当t＝14时，sin＝－1.

于是f(t)在[0,24)上取得最大值12，取得最小值8.

故实验室这一天最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃.

(2)依题意，当f(t)>11时实验室需要降温．

由(1)得f(t)＝10－2sin，

故有10－2sin>11，

即sin<－.

又因为0≤t<24，因此<t＋<，

即10<t<18.

所以若要求实验室温度不高于11 ℃，则在10时至18时实验室需要降温．

(1)解三角函数模型应用题的关键是求出函数解析式，可以根据给出的已知条件确定模型f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋k中的待定系数．

(2)研究y＝Asin(ωx＋φ)的性质时可将ωx＋φ视为一个整体，利用换元法和数形结合思想进行解题．

[即时训练]　3.(2019·安徽安庆模拟)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象如图所示，则f(x)的递增区间为(　　)

A.，k∈Z

B.，k∈Z

C.，k∈Z

D.，k∈Z

答案　B

解析　解法一：由图象可知A＝2，T＝－＝，

所以T＝π，故ω＝2.

由f＝－2，得φ＝2kπ－(k∈Z)．

因为|φ|<，所以φ＝－.

所以f(x)＝2sin.

由2x－∈(k∈Z)，

得x∈(k∈Z)．

解法二：T＝－＝，

所以T＝π，－＝－＝－，

＋＝＋＝，

所以f(x)的递增区间是(k∈Z)．故选B.

4．一物体相对于某一固定位置的位移y(cm)和时间t(s)之间的一组对应值如下表所示，则可近似地描述该物体的位移y(cm)和时间t(s)之间关系的一个三角函数关系式为________．

答案　y＝－4cost

解析　设y＝Asin(ωt＋φ)，则从表中可以得到A＝4，T＝0.8，

所以ω＝＝＝，所以y＝4sin，

又由4sinφ＝－4.0，得sinφ＝－1，取φ＝－，

故y＝4sin＝－4cost.

5．(2019·昆明模拟)把函数y＝sin2x的图象沿x轴向左平移个单位，纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)后得到函数y＝f(x)的图象，对于函数y＝f(x)有以下四个判断：

①该函数的解析式为y＝2sin；

②该函数图象关于点对称；

③该函数在上是增函数；

④若函数y＝f(x)＋a在上的最小值为，则a＝2.

其中正确判断的序号是________．

答案　②④

解析　将函数y＝sin2x的图象向左平移个单位得到y＝sin＝sin的图象，然后纵坐标伸长到原来的2倍得到y＝2sin的图象，①不正确；y＝f＝2sin＝2sinπ＝0，函数图象关于点对称，②正确；由－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，即函数的单调增区间为，k∈Z，当k＝0时，增区间为，③不正确；y＝f(x)＋a＝2sin＋a，当0≤x≤时，≤2x＋≤，当2x＋＝，即x＝时，函数取得最小值，ymin＝2sin＋a＝－＋a＝，解得a＝2，④正确．故填②④.

(2017·全国卷Ⅰ)已知曲线C1：y＝cosx，C2：y＝sin，则下面结论正确的是(　　)

A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2

B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2

C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2

D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2

答案　D

解析　首先利用诱导公式化异名为同名．y＝sin＝cos＝cos＝cos[2]，由y＝cosx的图象得到y＝cos2x的图象，需将曲线C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变；由y＝cos2x的图象得到y＝cos[2]的图象，需将y＝cos2x的图象上的各点向左平移个单位长度．故选D.

答题启示

解决三角函数图象变换题时，若两函数异名，则通常利用公式sinx＝cos和cosx＝sin将异名三角函数转化为同名三角函数，然后分析变换过程．

对点训练

(2019·合肥二检)为了得到函数y＝cos的图象，可将函数y＝sin2x的图象(　　)

A．向左平移个单位长度  B．向右平移个单位长度

C．向左平移个单位长度  D．向右平移个单位长度

答案　C

解析　由题意，得y＝cos＝sin＝sin[2]，则它的图象是由y＝sin2x的图象向左平移个单位长度得到的．故选C.