2021高三统考北师大版数学一轮学案：第4章第5讲　简单的三角恒等变换


第5讲　简单的三角恒等变换
基础知识整合

1．两角和与差的正弦、余弦和正切公式

2．二倍角的正弦、余弦、正切公式
公式名
公式
二倍角的正弦
sin2α＝2sinαcosα
二倍角的余弦
cos2α＝cos2α－sin2α＝1－2sin2α＝2cos2α－1
二倍角的正切
tan2α＝


1．公式的常用变式：tanα±tanβ＝tan(α±β)(1∓tanαtanβ)；tanαtanβ＝1－＝－1.
2．降幂公式：sin2α＝；cos2α＝；sinαcosα＝sin2α.
3．升幂公式：1＋cosα＝2cos2；1－cosα＝2sin2；1＋sinα＝2；1－sinα＝2.
4．常用拆角、拼角技巧：例如，2α＝(α＋β)＋(α－β)；α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β；β＝－＝(α＋2β)－(α＋β)；α－β＝(α－γ)＋(γ－β)；＋α＝－等．
5．辅助角公式：一般地，函数f(α)＝asinα＋bcosα(a，b为常数)可以化为f(α)＝sin(α＋φ)或f(α)＝cos(α－φ).
　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．sin415°－cos415°＝(　　)
A. B．－
C. D．－
答案　D
解析　sin415°－cos415°＝(sin215°－cos215°)(sin215°＋cos215°)＝sin215°－cos215°＝－cos30°＝－.故选D.
2．(2018·全国卷Ⅲ)若sinα＝，则cos2α＝(　　)
A. B．
C．－ D．－
答案　B
解析　cos2α＝1－2sin2α＝1－＝.故选B.
3．(2019·南宁联考)若角α满足sinα＋2cosα＝0，则tan2α＝(　　)
A．－ B．
C．－ D．
答案　D
解析　由题意知，tanα＝－2，所以tan2α＝＝.故选D.
4．(2019·全国卷Ⅱ)已知α∈，2sin2α＝cos2α＋1，则sinα＝(　　)
A. B．
C. D．
答案　B
解析　由2sin2α＝cos2α＋1，得4sinαcosα＝2cos2α.
又α∈，∴tanα＝，∴sinα＝.故选B.
5．cos18°cos42°－cos72°sin42°＝________.
答案　
解析　cos18°cos42°－cos72°sin42°＝cos18°cos42°－sin18°sin42°＝cos(18°＋42°)＝cos60°＝.
6.若tanα＝，tan(α＋β)＝，则tanβ＝________.
答案　
解析　tanβ＝tan(α＋β－α)＝＝＝＝.

核心考向突破
考向一　三角函数的化简　
例1　(1)(2019·天津河北区二模)已知函数f(x)＝cos－2sincos，x∈R，给出下列四个命题：
①函数f(x)的最小正周期为2π；
②函数f(x)的最大值为1；
③函数f(x)在上单调递增；
④将函数f(x)的图象向左平移个单位长度，得到的函数解析式为g(x)＝sin2x.
其中正确命题的个数是(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
答案　B
解析　∵f(x)＝cos－sin
＝cos2xcos＋sin2xsin－cos2x
＝sin2x－cos2x＝sin.
∴f(x)的最小正周期T＝＝π，可知①错误；sin∈[－1,1]，即f(x)的最大值为1，可知②正确；
当x∈时，2x－∈，此时f(x)不单调，可知③错误；f(x)的图象向左平移个单位长度，即g(x)＝f＝sin＝sin2x，可知④正确．故正确命题的个数为2.故选B.
(2)(2019·安徽省江淮十校高三第三次联考)已知函数f(x)＝(1＋cosx)cosxtan，那么下列说法正确的是(　　)
A．函数f(x)在上是增函数，且最小正周期为π
B．函数f(x)在上是减函数，且最小正周期为2π
C．函数f(x)在上是增函数，且最小正周期为π
D．函数f(x)在上是减函数，且最小正周期为2π
答案　A
解析　f(x)＝(1＋cosx)cosxtan＝(1＋cosx)cosx·＝(1＋cosx)cosx·＝(1＋cosx)cosx·＝sin2x，且1＋cosx≠0，即定义域为{x|x≠2kπ＋π，k∈Z}，由此可知f(x)的最小正周期是π，且在上是增函数，在上是减函数，故选A.


三角函数式化简的常用方法
(1)异角化同角：善于发现角之间的差别与联系，合理对角拆分，恰当选择三角公式，能求值的求出值，减少角的个数．
(2)异名化同名：统一三角函数名称，利用诱导公式切弦互化、二倍角公式等实现名称的统一．
(3)异次化同次：统一三角函数的次数，一般利用降幂公式化高次为低次．



[即时训练]　1.(2018·全国卷Ⅲ)函数f(x)＝的最小正周期为(　　)
A. B．
C．π D．2π
答案　C
解析　由已知得f(x)＝＝＝sinxcosx＝sin2x，所以f(x)的最小正周期T＝＝π.故选C.
2．(2019·河北省级示范性高中联合体联考)已知函数f(x)＝2cos2＋sin，则下列判断错误的是(　　)
A．f(x)为偶函数
B．f(x)的图象关于直线x＝对称
C．f(x)的值域为[－1,3]
D．f(x)的图象关于点对称
答案　D
解析　因为f(x)＝1＋cos＋sin＝1＋2sin＝1＋2cos4x，所以f(x)为偶函数，A正确；由4x＝kπ(k∈Z)，得x＝(k∈Z)，当k＝1时，x＝，B正确；因为2cos4x∈[－2,2]，所以f(x)的值域为[－1,3]，C正确；令x＝－，则f＝1≠0，故D错误．故选D.
精准设计考向，多角度探究突破
考向二　三角函数的求值
角度1　　给值求值
例2　(1)(2020·湖北襄阳调研)已知sinx＋cosx＝，则cos＝(　　)
A. B．
C. D．
答案　B
解析　由sinx＋cosx＝，得2sin＝，则cos＝sin＝.故选B.
(2)(2019·安徽皖南八校第三次联考)若sinα－cosβ＝，cosα＋sinβ＝，则sin(α－β)＝(　　)
A. B．
C. D．
答案　D
解析　sinα－cosβ＝，①
cosα＋sinβ＝，②
①2＋②2，可得(sin2α＋cos2α)＋(sin2β＋cos2β)－2(sinαcosβ－cosαsinβ)＝1，即2－2sin(α－β)＝1，即sin(α－β)＝，故选D.
(3)(2019·重庆检测)已知α是第四象限角，且sinα＋cosα＝，则tan＝________.
答案　－
解析　因为sinα＋cosα＝，α是第四象限角，所以sinα＝－，cosα＝，则tan＝＝＝＝－.



给值求值是指已知某个角的三角函数值，求与该角相关的其他三角函数值的问题，解题的基本方法是通过角的三角函数的变换把求解目标用已知条件表达出来．



[即时训练]　3.(2019·江苏高考)已知＝－，则sin的值是______．
答案　
解析　解法一：由＝＝
＝－，解得tanα＝2或－.
sin＝(sin2α＋cos2α)
＝(2sinαcosα＋2cos2α－1)
＝(sinαcosα＋cos2α)－
＝·－
＝·－，
将tanα＝2和－分别代入得sin＝.
解法二：∵＝＝－，
∴sinαcos＝－cosαsin.①
又sin＝sin
＝sincosα－cossinα＝，②
由①②，解得sinαcos＝－，
cosαsin＝.
∴sin＝sin
＝sinαcos＋cosαsin＝.
角度2　　给角求值

例3　(1)(2019·浙江温州模拟)tan70°＋tan50°－tan70°tan50°的值等于(　　)
A. B．
C．－ D．－
答案　D
解析　因为tan120°＝＝－，所以tan70°＋tan50°－tan70°·tan50°＝－.故选D.
(2)－＝(　　)
A．4 B．2
C．－2 D．－4
答案　D
解析　－＝－
＝＝＝＝－4.故选D.




该类问题中给出的角一般都不是特殊角，需要通过三角恒等变换将其变为特殊角，或者能够正负相消，或者能够约分相消，最后得到具体的值．



[即时训练]　4.(2019·九江模拟)化简等于(　　)
A．－2 B．－
C．－1 D．1
答案　C
解析　＝＝＝－1.
5．化简＝________.
答案　－4
解析　原式＝
＝
＝
＝＝－4.
角度3　　给值求角
例4　(1)(2019·四川成都模拟)若sin2α＝，sin(β－α)＝，且α∈，β∈，则α＋β的值是(　　)
A. B．
C.或 D．或
答案　A
解析　因为α∈，所以2α∈，又因为sin2α＝，所以2α∈，α∈，所以cos2α＝－.又因为β∈，所以β－α∈，故cos(β－α)＝－，所以cos(α＋β)＝cos[2α＋(β－α)]＝cos2αcos(β－α)－sin2αsin(β－α)＝－×－×＝，又因为α＋β∈，故α＋β＝.选A.
(2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝，tanβ＝－，则2α－β的值为________．
答案　－
解析　∵tanα＝tan[(α－β)＋β]＝＝＝>0，∴0<α<.
又tan2α＝＝＝>0，
∴0<2α<，
∴tan(2α－β)＝＝＝1.
∵tanβ＝－<0，∴<β<π，∴－π<2α－β<0，
∴2α－β＝－.



(1)已知正切函数值，则选正切函数．
(2)已知正、余弦函数值，则选正弦或余弦函数．若角的范围是，则选正、余弦函数皆可；若角的范围是(0，π)，则选余弦函数较好；若角的范围为，则选正弦函数较好．



[即时训练]　6.(2020·福建漳州八校联考)已知锐角α的终边上一点P(sin40°，1＋cos40°)，则α等于(　　)
A．10° B．20°
C．70° D．80°
答案　C
解析　由题意，得tanα＝＝
＝＝＝tan70°.
又α为锐角，∴α＝70°，故选C.
7．(2019·江苏徐州质检)已知cosα＝，cos(α－β)＝，且0<β<α<，则β的值为________．
答案　
解析　∵0<β<α<，∴0<α－β<.
又cos(α－β)＝，
∴sin(α－β)＝＝.
∵cosα＝，0<α<，∴sinα＝，
∴cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)＝×＋×＝.
∵0<β<，∴β＝.
考向三　三角恒等变换的综合应用　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
例5　(2019·广东模拟)已知函数f(x)＝2－2sin2.
(1)若f(x)＝，求sin2x的值；
(2)求函数F(x)＝f(x)·f(－x)＋f2(x)的最大值与单调递增区间．
解　(1)由题意知f(x)＝1＋sinx－(1－cosx)＝sinx＋cosx，
又f(x)＝，∴sinx＋cosx＝，
∴sin2x＋1＝，∴sin2x＝.
(2)F(x)＝(sinx＋cosx)·[sin(－x)＋cos(－x)]＋(sinx＋cosx)2
＝cos2x－sin2x＋1＋sin2x
＝cos2x＋sin2x＋1
＝sin＋1，
当sin＝1时，F(x)取得最大值，
即F(x)max＝＋1.
令－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ(k∈Z)，
∴kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，
从而函数F(x)的最大值为＋1，单调递增区间为
(k∈Z)．


三角恒等变换的应用策略

(1)进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；注意公式的逆用和变形使用．
(2)把形如y＝asinx＋bcosx化为y＝sin(x＋φ)，可进一步研究函数的周期性、单调性、最值与对称性．



[即时训练]　8.(2019·贵阳模拟)已知函数f(x)＝cosx·sin－cos2x＋，x∈R.
(1)求f(x)的最小正周期，对称轴方程，对称中心坐标；
(2)求f(x)在闭区间上的最大值和最小值．
解　(1)由已知，有
f(x)＝cosx·－cos2x＋
＝sinx·cosx－cos2x＋
＝sin2x－(1＋cos2x)＋
＝sin2x－cos2x＝sin.
所以f(x)的最小正周期T＝＝π.
由2x－＝＋kπ(k∈Z)得对称轴方程为x＝＋(k∈Z)；
由2x－＝kπ(k∈Z)得x＝＋(k∈Z)，
所以对称中心坐标为(k∈Z)．
(2)由x∈得2x－∈，
则sin∈，
所以函数f(x)＝sin∈.
所以函数f(x)在闭区间上的最大值为，最小值为－.

1．(2019·海口模拟)4cos50°－tan40°＝(　　)
A. B．
C. D．2－1
答案　C
解析　4cos50°－tan40°＝
＝＝
＝
＝＝.
2．(2019·四川成都七中5月模拟)已知sin－2sin3xcos＝，则cos＝(　　)
A. B．－
C. D．－
答案　B
解析　因为sin＝sin
＝sin3xcos＋cos3xsin，
所以sin－2sin3xcos
＝－sin3xcos＋cos3xsin＝，
整理得－sin＝，即sin＝－，
所以cos＝cos
＝－cos＝2sin2－1
＝－，故选B.
答题启示
角的变换是三角函数变化的一种常用技巧，解题时要看清楚题中角与角之间的和差、倍半、互余、互补的关系，把“目标角”变成“已知角”，通过角的变换，沟通条件与结论中角的差异，使问题获得解决．
对点训练
1．(2019·江西九江第二次统考)若sin＝2cosαsin，则＝(　　)
A. B．
C．2 D．4
答案　B
解析　∵sin＝2cosαsin，
∴sinαcos－cosαsin＝2cosαsin，
即sinαcos＝3cosαsin，∴tanα＝3tan，
则＝
＝
＝＝＝.故选B.
2．(2019·合肥模拟)计算：tan20°＋4sin20°＝________.
答案　
解析　原式＝＋4sin20°
＝
＝＝
＝＝
＝＝.