2021高三统考北师大版数学一轮学案：第5章第2讲　平面向量的基本定理及坐标表示

第2讲　平面向量的基本定理及坐标表示

基础知识整合

1．平面向量的基本定理

如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2使a＝λ1e1＋λ2e2.

2．平面向量的坐标表示

在直角坐标系内，分别取与x轴、y轴正方向相同的两个单位向量i，j作为基底，对任一向量a，有唯一一对实数x，y，使得：a＝xi＋yj，(x，y)叫做向量a的直角坐标，记作a＝(x，y)，显然i＝(1,0)，j＝(0,1)，0＝ (0,0)．

3．平面向量的坐标运算

(1)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，

则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，

a－b＝(x1－x2，y1－y2)，

λa＝(λx1，λy1)．

(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

则＝(x2－x1，y2－y1)，

||＝ .

4．平面向量共线的坐标表示

设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b⇔a＝λb(λ∈R)⇔x1y2－x2y1＝0.

1．平面向量一组基底是两个不共线向量，平面向量基底可以有无穷多组．

2．当且仅当x2y2≠0时，a∥b与＝等价，即两个不平行于坐标轴的共线向量的对应坐标成比例．

3．若a与b不共线，且λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0.

4．已知P为线段AB的中点，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则P点坐标为.

5．已知△ABC的顶点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则△ABC的重心G的坐标为.

6．A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)三点共线的充要条件为(x2－x1)(y3－y1)－(x3－x1)(y2－y1)＝0，或(x2－x1)(y3－y2)＝(x3－x2)(y2－y1)，或(x3－x1)(y3－y2)＝(x3－x2)(y3－y1)．

1．(2019·福州模拟)已知向量a＝(2,4)，b＝(－1,1)，则2a＋b等于(　　)

A．(5,7)  B．(5,9)

C．(3,7)  D．(3,9)

答案　D

解析　2a＋b＝2×(2,4)＋(－1,1)＝(3,9)，故选D.

2．(2019·郑州模拟)设向量a＝(x,1)，b＝(4，x)，若a，b方向相反，则实数x的值是(　　)

A．0  B．±2

C．2  D．－2

答案　D

解析　由题意可得a∥b，所以x2＝4，解得x＝－2或2，又因为a，b方向相反，所以x＝－2.故选D.

3．(2019·桂林模拟)下列各组向量中，可以作为基底的是(　　)

A．e1＝(0,0)，e2＝(1，－2)

B．e1＝(－1,2)，e2＝(5,7)

C．e1＝(3,5)，e2＝(6,10)

D．e1＝(2，－3)，e2＝

答案　B

解析　两个不共线的非零向量构成一组基底，A中向量e1为零向量，C，D中两向量共线，B中e1≠0，e2≠0，且e1与e2不共线．故选B.

4．在△ABC中，已知A(2,1)，B(0,2)，＝(1，－2)，则向量＝(　　)

A．(0,0)  B．(2,2)

C．(－1，－1)  D．(－3，－3)

答案　C

解析　因为A(2,1)，B(0,2)，所以＝(－2,1)．又因为＝(1，－2)，所以＝＋＝(－2,1)＋(1，－2)＝(－1，－1)．故选C.

5．已知点A(1,3)，B(4，－1)，则与同方向的单位向量是(　　)

A.  B.

C.  D.

答案　A

解析　因为＝(3，－4)，所以与同方向的单位向量为＝.

6．已知向量a＝(1,2)，b＝(1,0)，c＝(3,4)．若λ为实数，(a＋λb)∥c，则λ等于________．

答案　

解析　因为a＋λb＝(1＋λ，2)，c＝(3,4)，且(a＋λb)∥c，所以＝，所以λ＝.

核心考向突破

考向一　平面向量基本定理的应用

例1　(1)(2019·四川雅安模拟)已知A，B，C三点不共线，且点O满足＋＋＝0，则下列结论正确的是(　　)

A.＝＋  B.＝＋

C.＝－  D.＝－－

答案　D

解析　∵＋＋＝0，∴O为△ABC的重心，∴＝－×(＋)＝－(＋)＝－(＋＋)＝－(2＋)＝－－.故选D.

(2)如图所示，||＝||＝1，||＝，∠AOB＝60°，⊥，设＝x＋y，则x＋y＝________.

答案　－1

解析　如图，过C作CD∥OB，交OA的反向延长线于点D，连接BC，由||＝1，||＝，⊥，得∠OCB＝30°.又∠COD＝180°－∠COB－∠AOB＝30°，∴BC∥OD，∴＝＋＝－2＋.∴x＝－2，y＝1，则x＋y＝－1.

应用平面向量基本定理表示向量的方法

应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加法、减法或数乘运算，基本方法有两种：

(1)运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行化简，直至用基底表示为止．

(2)将向量用含参数的基底表示，然后列方程或方程组，利用基底表示向量的唯一性求解．

[即时训练]　1.(2019·河北保定质检)设M是△ABC所在平面上的一点，且＋＋＝0，D是AC的中点，则的值为(　　)

A.  B.

C．1  D．2

答案　A

解析　∵D是AC的中点，∴＋＝0.

又＋＋＝0，

∴＝－(＋)＝－(－＋－)，即＝3，故＝，∴＝.故选A.

2．如图，在△ABC中，N为线段AC上靠近A的三等分点，点P在BN上且A＝＋B，则实数m的值为(　　)

A．1  B.

C.  D.

答案　D

解析　设B＝λ＝λ(A－A)＝λ＝－λ＋A(0≤λ≤1)，

∴A＝A＋B＝(1－λ)A＋A.

又A＝A＋B＝A＋(A－A)＝m＋A，

∴解得∴m＝.故选D.

考向二　平面向量的坐标表示　

例2　(1)(2019·河南洛阳统考)如图，在正方形ABCD中，M，N分别是BC，CD的中点，若＝λ＋μ，则λ＋μ的值为(　　)

A.  B.

C．1  D．－1

答案　A

解析　建立如图所示的平面直角坐标系，不妨令正方形ABCD的边长为2，则＝(2,2)，＝(2,1)，＝(－1,2)．

由＝λ＋μ，

得解得∴λ＋μ＝.故选A.

(2)(2019·河北武邑模拟)已知在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝1，AC＝2，D是△ABC内一点，且∠DAB＝60°，设＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则＝(　　)

A.  B.

C．3  D．2

答案　A

解析　如图，以A为原点，AB所在直线为x轴，AC所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则B点的坐标为(1,0)，C点的坐标为(0,2)，因为∠DAB＝60°，所以设D点的坐标为(m，m)(m≠0).＝(m，m)＝λ＋μ＝λ(1,0)＋μ(0,2)＝(λ，2μ)⇒λ＝m，μ＝m，则＝.故选A.

平面向量坐标运算的技巧

(1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．

(2)解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解，并注意方程思想的应用．

[即时训练]　3.已知OB是平行四边形OABC的一条对角线，O为坐标原点，＝(2,4)，＝(1,3)，若点E满足＝3，则点E的坐标为(　　)

A.  B.

C.  D.

答案　A

解析　易知＝－＝(－1，－1)，

则C(－1，－1)，设E(x，y)，

则3＝3(－1－x，－1－y)＝(－3－3x，－3－3y)，

由＝3，知所以

所以点E的坐标为.

4．(2020·天津和平区模拟)如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，AD⊥DC，AD＝DC＝2AB，E为AD的中点，若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值为(　　)

A.  B.

C．2  D.

答案　B

解析　建立如图所示的平面直角坐标系，则D(0,0)．

不妨设AB＝1，则CD＝AD＝2，

∴C(2,0)，A(0,2)，B(1,2)，E(0，1)，

∴＝(－2,2)，＝(－2,1)，＝(1,2)，∵＝λ＋μ，

∴(－2,2)＝λ(－2,1)＋μ(1,2)，∴

解得λ＝，μ＝，则λ＋μ＝.故选B.

考向三　平面向量共线的坐标表示　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

例3　(1)已知向量＝(1，－3)，＝(2，－1)，＝(k＋1，k－2)，若A，B，C三点不能构成三角形，则实数k应满足的条件是(　　)

A．k＝－2  B．k＝

C．k＝1  D．k＝－1

答案　C

解析　若点A，B，C不能构成三角形，

则向量，共线，

∵＝－＝(2，－1)－(1，－3)＝(1,2)，

＝－＝(k＋1，k－2)－(1，－3)＝(k，k＋1)，

∴1×(k＋1)－2k＝0，解得k＝1.故选C.

(2)(2019·福建福州质检)设向量＝(1，－2)，＝(a，－1)，＝(－b,0)，其中O为坐标原点，a>0，b>0，若A，B，C三点共线，则＋的最小值为(　　)

A．4  B．6

C．8  D．9

答案　C

解析　∵＝(1，－2)，＝(a，－1)，＝(－b,0)，

∴＝－＝(a－1,1)，＝－＝(－b－1,2)，∵A，B，C三点共线，

∴＝λ，即(a－1,1)＝λ(－b－1,2)，

∴可得2a＋b＝1，

∵a>0，b>0，

∴＋＝(2a＋b)＝2＋2＋＋≥4＋2＝8，

当且仅当＝，即a＝，b＝时取等号，故＋的最小值为8.故选C.

利用两向量共线解题的技巧

(1)一般地，在求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为λa(λ∈R)，然后结合其他条件列出关于λ的方程，求出λ的值后代入λa即可得到所求的向量．

 (2)如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，那么利用“若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是x1y2＝x2y1”解题比较方便．

[即时训练]　5.已知点A(8，－1)，B(1，－3)，若点C(2m－1，m＋2)在直线AB上，则实数m＝(　　)

A．－12  B．13

C．－13  D．12

答案　C

解析　＝(－7，－2)，因为点C在直线AB上，故与共线．又因为＝(2m－9，m＋3)，故＝，所以m＝－13.故选C.

6．(2019·唐山模拟)已知在平面直角坐标系xOy中，P1(3,1)，P2(－1,3)，P1，P2，P3三点共线且向量与向量a＝(1，－1)共线，若＝λ＋(1－λ)·，则λ＝(　　)

A．－3  B．3

C．1  D．－1

答案　D

解析　设＝(x，y)，则由∥a知x＋y＝0，于是＝(x，－x)．若＝λ＋(1－λ)，则有(x，－x)＝λ(3,1)＋(1－λ)(－1,3)＝(4λ－1,3－2λ)，即所以4λ－1＋3－2λ＝0，解得λ＝－1.故选D.

在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若＝λ＋μ，则λ＋μ的最大值为(　　)

A．3  B．2 

C.  D．2

答案　A

解析　分别以C为坐标原点，，为x轴的正方向、y轴的正方向建立直角坐标系，则A(2,1)，B(2,0)，D(0，1)．∵点P在以C为圆心且与BD相切的圆上，∴可设P.则＝(0，－1)，＝(－2，0)，＝.又＝λ＋μ，∴λ＝－sinθ＋1，μ＝－cosθ＋1，∴λ＋μ＝2－sinθ－cosθ＝2－sin(θ＋φ)，其中tanφ＝，∴(λ＋μ)max＝3.

答题启示

本题首先通过建立平面直角坐标系，引入向量的坐标运算，然后用三角函数的知识求出λ＋μ的最大值．引入向量的坐标运算使得本题比较容易解决，体现了坐标法解决问题的优势，凸显出了向量的代数特征，为用代数的方法研究向量问题奠定了基础．

对点训练

(2019·湖南永州模拟)给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为.如图所示，点C在以O为圆心的上运动．若＝x＋y，其中x，y∈R，求x＋y的最大值．

解　以O为坐标原点，所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，如图所示，

则A(1,0)，B.

设∠AOC＝α(α∈ )，则C(cosα，sinα)，

由＝x＋y，得

所以x＝cosα＋sinα，y＝sinα，

所以x＋y＝cosα＋sinα＝2sin，

又α∈[0，]，所以当α＝时，x＋y取得最大值2.