2021高三统考北师大版数学一轮学案：第6章第1讲　数列的概念与简单表示法


第六章 数列
第1讲　数列的概念与简单表示法
基础知识整合

1．数列的定义
按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．
2．数列的分类
分类原则
类型
满足条件
按项数分类
有穷数列
项数有限
无穷数列
项数无限
按项与项间的大小关系分类
递增数列
an＋1＞an
其中n∈N*
递减数列
an＋1＜an
常数列
an＋1＝an,
摆动数列
从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列

3．数列的表示法
数列有三种常见表示法，它们分别是列表法、图象法和解析法．
4．数列的通项公式
如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．

1．在数列{an}中，若an最大，则
若an最小，则
2．数列与函数的关系
数列是一种特殊的函数，即数列是一个定义在非零自然数集或其子集上的函数，当自变量依次从小到大取值时所对应的一列函数值，就是数列．
3．数列通项公式的注意点
(1)并不是所有的数列都有通项公式；
(2)同一个数列的通项公式在形式上未必唯一；
(3)对于一个数列，如果只知道它的前几项，而没有指出它的变化规律，是不能确定这个数列的．
4．递推公式：如果已知数列{an}的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．
5．通项公式和递推公式的异同点

不同点
相同点
通项
公式
可根据某项的序号n的值，直接代入求出an
都可确定一个数列，也都可求出数列的任意一项
递推
公式
可根据第一项(或前几项)的值，通过一次(或多次)赋值，逐项求出数列的项，直至求出所需的an，也可通过变形转化，直接求出an
6．数列{an}的an与Sn的关系
若数列{an}的前n项和为Sn，通项公式为an，
则an＝
　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．在数列1,1,2,3,5,8,13，x,34,55，…中，x应取(　　)
A．19 B．20
C．21 D．22
答案　C
解析　a1＝1，a2＝1，a3＝2，∴an＋2＝an＋1＋an，∴x＝8＋13＝21，故选C.
2．数列0，，，，…的一个通项公式为(　　)
A．an＝ B．an＝
C．an＝ D．an＝
答案　C
解析　将0写成，观察数列中每一项的分子、分母可知，分子为偶数列，可表示为2(n－1)，n∈N*；分母为奇数列，可表示为2n－1，n∈N*，故选C.
3．在数列{an}中，a1＝1，anan－1＝an－1＋(－1)n(n≥2，n∈N*)，则的值是(　　)
A. B.
C. D.
答案　C
解析　由已知得a2＝1＋(－1)2＝2，∴2a3＝2＋(－1)3，a3＝，∴a4＝＋(－1)4，a4＝3，∴3a5＝3＋(－1)5，∴a5＝，∴＝×＝.故选C.
4．(2019·济宁模拟)若Sn为数列{an}的前n项和，且Sn＝，则等于(　　)
A. B.
C. D．30
答案　D
解析　∵当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝，∴＝5×(5＋1)＝30.
5．在数列{an}中，若a1＝2，an＝(n≥2，n∈N*)，则a8＝(　　)
A．－1 B．1
C. D．2
答案　A
解析　因为a1＝2，an＝(n≥2，n∈N*)，所以a2＝＝－1，a3＝＝，a4＝＝2，所以{an}是周期数列，周期是3，所以a8＝a2＝－1.
6．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋，则数列an＝________.
答案　3－
解析　由题意，得an＋1－an＝＝－，
an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝＋＋…＋＋＋2＝3－.

核心考向突破
考向一　利用an与Sn的关系求通项公式　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
例1　(1)已知数列{an}的前n项和Sn＝3n＋1，则an＝________.
答案　
解析　当n＝1时，a1＝S1＝3＋1＝4；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n＋1)－(3n－1＋1)＝2×3n－1.
当n＝1时，2×31－1＝2≠a1，
所以an＝
(2)(2018·全国卷Ⅰ)记Sn为数列{an}的前n项和，若Sn＝2an＋1，则S6＝________.
答案　－63
解析　根据Sn＝2an＋1，可得Sn＋1＝2an＋1＋1，两式相减得an＋1＝2an＋1－2an，即an＋1＝2an，当n＝1时，S1＝a1＝2a1＋1，解得a1＝－1，所以数列{an}是以－1为首项，以2为公比的等比数列，所以S6＝＝－63.


已知Sn求an的一般步骤
(1)当n＝1时，由a1＝S1求a1的值；
(2)当n≥2时，由an＝Sn－Sn－1，求得an的表达式；
(3)检验a1的值是否满足(2)中的表达式，若不满足，则分段表示a1；
(4)写出an的完整表达式．



[即时训练]　1.(2019·宁夏中卫市模拟)设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，则Sn＝________.
答案　－
解析　∵an＋1＝Sn＋1－Sn，∴Sn＋1－Sn＝Sn＋1Sn，又由a1＝－1，知Sn≠0，∴－＝1，∴是等差数列，且公差为－1，而＝＝－1，
∴＝－1＋(n－1)×(－1)＝－n，∴Sn＝－.
2．设数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝4，an＋1＝2Sn＋1，n∈N*，则a1＝________，S5＝________.
答案　1　121
解析　解法一：由解得a1＝1.由an＋1＝Sn＋1－Sn＝2Sn＋1，得Sn＋1＝3Sn＋1，所以Sn＋1＋＝3，所以是以为首项，3为公比的等比数列，所以Sn＋＝×3n－1，即Sn＝，所以S5＝121.
解法二：由解得又因为an＋1＝2Sn＋1，an＋2＝2Sn＋1＋1，两式相减，得an＋2－an＋1＝2an＋1，即＝3，又因为＝3，所以{an}是首项为1，公比为3的等比数列，所以an＋1＝3n，所以Sn＝，所以S5＝121.
考向二　由递推关系求数列的通项公式
例2　分别求出满足下列条件的数列的通项公式．
(1)a1＝0，an＋1＝an＋(2n－1)(n∈N*)；
(2)a1＝1，an＝an－1(n≥2，n∈N*)；
(3)a1＝1，an＋1＝3an＋2(n∈N*)；
(4)a1＝－2，an＋1＝3an＋6(n∈N*)．
解　(1)an＝a1＋(a2－a1)＋…＋(an－an－1)＝0＋1＋3＋…＋(2n－5)＋(2n－3)＝(n－1)2，
所以数列的通项公式为an＝(n－1)2.
(2)当n≥2，n∈N*时，
an＝a1×××…×＝1×××…×××＝n，
当n＝1时，也符合上式，
所以该数列的通项公式为an＝n.
(3)因为an＋1＝3an＋2，所以an＋1＋1＝3(an＋1)，所以＝3，所以数列{an＋1}为等比数列，公比q＝3，又a1＋1＝2，所以an＋1＝2·3n－1，所以该数列的通项公式为an＝2·3n－1－1.
(4)因为an＋1＝3an＋6，所以an＋1＋3＝3(an＋3)，
又因为a1＝－2，所以a1＋3＝1，
所以{an＋3}是首项为1，公比为3的等比数列，
所以an＋3＝3n－1，所以an＝3n－1－3.


由递推关系式求通项公式的常用方法
(1)已知a1且an－an－1＝f(n)，可用“累加法”求an.
(2)已知a1且＝f(n)，可用“累乘法”求an.
(3)已知a1且an＋1＝qan＋b，则an＋1＋k＝q(an＋k)(其中k可由待定系数法确定)，可转化为等比数列{an＋k}．
(4)形如an＋1＝(A，B，C为常数)的数列，可通过两边同时取倒数的方法构造新数列求解．



　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

[即时训练]　3.在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝(n∈N*)，则是这个数列的(　　)
A．第6项 B．第7项
C．第8项 D．第9项
答案　B
解析　由an＋1＝可得＝＋，即数列是以＝1为首项，为公差的等差数列，故＝1＋(n－1)×＝n＋，即an＝，由＝，解得n＝7.故选B.
4．若数列{an}满足：a1＝1，an＋1＝an＋2n，则数列an＝________.
答案　2n－1
解析　由题意知an＋1－an＝2n，
an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝2n－1＋2n－2＋…＋2＋1＝＝2n－1.
5．在数列{an}中，a1＝4，nan＋1＝(n＋2)an，则数列an＝________.
答案　2n(n＋1)(n∈N*)
解析　由递推关系得＝，又a1＝4，
∴an＝··…···a1
＝×××…×××4
＝×4＝2n(n＋1)(n∈N*)．
精准设计考向，多角度探究突破
考向三　数列的性质
角度1　　数列的单调性
例3　(2019·永州模拟)已知数列{an}中，a1＝a，a2＝2－a，an＋2－an＝2，若数列{an}单调递增，则实数a的取值范围为________．
答案　(0,1)
解析　由an＋2－an＝2可知数列{an}的奇数项、偶数项分别递增，若数列{an}单调递增，则必有a2－a1＝(2－a)－a>0且a2－a1＝(2－a)－a 角度2　　数列的周期性
例4　数列{an}中，a1＝2，a2＝3，an＋1＝an－an－1(n≥2)，那么a2019＝(　　)
A．1 B．－2
C．3 D．－3
答案　A
解析　因为an＝an－1－an－2(n≥3)，所以an＋1＝an－an－1＝(an－1－an－2)－an－1＝－an－2，所以an＋3＝－an，所以an＋6＝－an＋3＝an，所以{an}是以6为周期的周期数列．因为2019＝336×6＋3，所以a2019＝a3＝a2－a1＝3－2＝1.故选A.
角度3　　数列的最值
例5　(1)若数列{an}的前n项和Sn＝n2－10n(n∈N*)，则数列{nan}中数值最小的项是(　　)
A．第2项 B．第3项
C．第4项 D．第5项
答案　B
解析　∵Sn＝n2－10n，
∴当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－11；
当n＝1时，a1＝S1＝－9也适合上式．
∴an＝2n－11(n∈N*)．
记f(n)＝nan＝n(2n－11)＝2n2－11n，此函数图象的对称轴为直线n＝，但n∈N*，∴当n＝3时，f(n)取最小值．于是数列{nan}中数值最小的项是第3项．
(2)已知数列{an}的通项公式为an＝(n＋2)n，则当an取得最大值时，n＝________.
答案　5或6
解析　当an取得最大值时，有
∴解得
∴当an取得最大值时，n＝5或6.



(1)利用递推公式探求数列的周期性的两种思想
思想1：根据递推公式，写出数列的前n项直到出现周期情况后，利用an＋T＝an写出周期(n＋T)－n＝T.
思想2：利用递推公式“逐级”递推，直到出现an＋T＝an，即得周期T＝(n＋T)－n.

(2)判断数列的单调性的两种方法




[即时训练]　6.已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝(n∈N*)，则a1·a2·a3·…·a2019＝(　　)
A．－6 B．6
C．－3 D．3
答案　D
解析　∵a1＝2，an＋1＝，∴a2＝＝－3，a3＝－，a4＝，a5＝2，…，∴an＋4＝an，又a1a2a3a4＝1，∴a1·a2·a3·…·a2019＝(a1a2a3a4)504×a1a2a3＝1×2×(－3)×＝3.故选D.
7．已知数列{an}满足an＝(n∈N*)，若对任意的n∈N*，均有an>an＋1，则实数a的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
答案　D
解析　由题意知解得 8．已知数列{an}中，an＝1＋(n∈N*，a∈R，且a≠0)．
(1)若a＝－7，求数列{an}中的最大项和最小项的值；
(2)若对任意的n∈N*，都有an≤a6成立，求a的取值范围．
解　(1)∵an＝1＋(n∈N*，a∈R，且a≠0)，又a＝－7，
∴an＝1＋.
结合函数f(x)＝1＋的单调性，可知1>a1>a2>a3>a4，a5>a6>a7>…>an>1(n∈N*)．
∴数列{an}中的最大项为a5＝2，最小项为a4＝0.
(2)an＝1＋＝1＋.
∵对任意的n∈N*，都有an≤a6成立，
结合函数f(x)＝1＋的单调性，
知5<<6，∴－10 故a的取值范围为(－10，－8)．

(2019·济南模拟)已知数列{an}中，a1＋a2＋…＋an＝2an－1(n∈N*)．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若对任意的n∈N*，不等式2kan≥2n－9恒成立，求实数k的取值范围．
解　(1)令n＝1，则a1＝2a1－1，解得a1＝1.
由a1＋a2＋…＋an＝2an－1(n∈N*)，
知a1＋a2＋…＋an－1＝2an－1－1(n≥2)，
两式相减得an＝2an－2an－1，化简得an＝2an－1(n≥2)，
∴＝··…·＝2n－1，
∴数列{an}的通项公式为an＝2n－1.
(2)由2kan≥2n－9，整理得k≥，令bn＝，
则bn＋1－bn＝－＝，
当n＝1,2,3,4,5时，bn＋1－bn＝>0，
∴b1 当n＝6,7,8，…时，bn＋1－bn＝<0，
∴b6>b7>b8>…，∴bn的最大值是b6＝.
∴实数k的取值范围是.
答题启示
在含有an，Sn对任意正整数n恒成立的等式中，可以通过升降角标的方法再得出一个等式，通过两式相减得出数列递推式，再根据递推式判断数列类型，求得其通项公式．
对点训练
1．(2019·陕西咸阳模拟)已知正项数列{an}中，＋＋…＋＝(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为(　　)
A．an＝n B．an＝n2
C．an＝ D．an＝
答案　B
解析　∵＋＋…＋＝(n∈N*)，∴＋＋…＋＝(n≥2)，两式相减得＝－＝n，∴an＝n2(n≥2)，又＝＝1，∴a1＝1，符合上式，故选B.
2．已知a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－1an＝9－6n，则数列an＝________.
答案　
解析　令Sn＝a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－1an，
则Sn＝9－6n，
当n＝1时，a1＝S1＝3；
当n≥2时，2n－1an＝Sn－Sn－1＝－6，
∴an＝－.而n＝1时，a1＝3，不符合上式，
∴通项公式an＝