2021高三统考北师大版数学一轮学案：第4章第1讲　任意角和弧度制及任意角的三角函数

第四章   三角函数、解三角形

第1讲　任意角和弧度制及任意角的三角函数

基础知识整合

1．角的概念

(1)分类

(2)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．

2．弧度的定义和公式

(1)定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad.

(2)公式：①弧度与角度的换算：360°＝2π弧度；180°＝π弧度；②弧长公式：l＝|α|r；③扇形面积公式：S扇形＝lr＝|α|r2.

说明：②③公式中的α必须为弧度制！

3．任意角的三角函数

(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，则sinα＝y，cosα＝x，tanα＝(x≠0)．

(2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示．正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0)．

如图中有向线段MP，OM，AT分别叫做角α的正弦线，余弦线和正切线．

(3)三角函数值在各象限内的符号

三角函数值在各象限内的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦．

1．任意角的三角函数的定义(推广)

设P(x，y)是角α终边上异于顶点的任一点，其到原点O的距离为r，则sinα＝，cosα＝，tanα＝(x≠0)．

2．象限角

3．轴线角

4．重要结论

若α∈，则tanα>α>sinα.

1．(2019·山东枣庄模拟)设角α的终边与单位圆相交于点P，则sinα－cosα的值是(　　)

A．－   B．－ 

C.   D．

答案　A

解析　由题意知sinα＝－，cosα＝，所以sinα－cosα＝－－＝－.故选A.

2.给出下列四个命题：

①－是第二象限角；②是第三象限角；

③－400°是第四象限角；④－315°是第一象限角．

其中正确命题的个数是(　　)

A．1   B．2 

C．3   D．4

答案　C

解析　①中－是第三象限角，故①错．②，＝π＋，从而是第三象限角，正确．③，－400°＝－360°－40°，从而③正确．④，－315°＝－360°＋45°，从而④正确．故选C.

3．下列与的终边相同的角的表达式中正确的是(　　)

A．2kπ＋45°(k∈Z)   B．k·360°＋π(k∈Z)

C．k·360°－315°(k∈Z)   D．kπ＋(k∈Z)

答案　C

解析　与的终边相同的角可以写成2kπ＋(k∈Z)，但是角度制与弧度制不能混用，所以只有答案C正确．

4．若sinθcosθ<0，则角θ是(　　)

A．第一或第二象限角   B．第二或第三象限角

C．第三或第四象限角   D．第二或第四象限角

答案　D

解析　因为sinθcosθ<0，所以或所以角θ是第二或第四象限角．故选D.

5．单位圆中，200°的圆心角所对的弧长为(　　)

A．10π   B．9π

 C.   D．

答案　D

解析　单位圆的半径r＝1,200°的弧度数是200×＝，由弧度数的定义得＝，所以l＝.

6．(2019·三明模拟)若420°角的终边所在直线上有一点(－4，a)，则a的值为________．

答案　－4

解析　由三角函数的定义有：tan420°＝.又tan420°＝tan(360°＋60°)＝tan60°＝，故＝，得a＝－4.

核心考向突破

考向一　角的概念及表示

例1　(1)设集合M＝，N＝，判断两集合的关系为(　　)

A．M＝N   B．MN

C．NM   D．M∩N＝∅

答案　B

解析　解法一：由于M＝＝{…，－45°，45°，135°，225°，…}，

N＝＝{…，－45°，0°，45°，90°，135°，180°，225°，…}，显然有MN.

解法二：在集合M中，x＝·180°＋45°＝k·90°＋45°＝45°·(2k＋1)，2k＋1是奇数；在集合N中，x＝·180°＋45°＝k·45°＋45°＝(k＋1)·45°，k＋1是整数，因此必有MN.故选B.

(2)已知角α的终边在第二象限，则的终边在第________象限．

答案　一或三

解析　因为角α的终边在第二象限，

所以＋k·2π<α<π＋k·2π，k∈Z，所以＋kπ<<＋kπ，k∈Z.

所以当k＝2m(m∈Z)时，＋m·2π<<＋m·2π，

此时的终边在第一象限；

当k＝2m＋1(m∈Z)时，

＋m·2π<<＋m·2π，

此时的终边在第三象限．

综上，的终边在第一或第三象限．

1．终边相同角的集合的应用

利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需角．

2．象限角的两种判断方法

(1)图象法：在平面直角坐标系中作出已知角，并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角．

 (2)转化法：先将已知角化为2kπ＋α(α∈[0,2π)，k∈Z)的形式，即找出与已知角终边相同的角α，再由角α终边所在的象限判断已知角是第几象限角．

3．求或nθ(n∈N*)所在象限的方法

(1)将θ的范围用不等式(含有k)表示．

(2)两边同除以n或乘n.

(3)对k进行讨论，得到或nθ(n∈N*)所在的象限．

(4)对判断象限问题可采用等分象限法．

[即时训练]　1.(2019·绵阳质检)点A(sin2019°，cos2019°)在直角坐标平面上位于(　　)

A．第一象限   B．第二象限

C．第三象限   D．第四象限

答案　C

解析　sin2019°＝sin219°＝－sin39°＜0，cos2019°＝cos219°＝－cos39°＜0.选C.

2．(2019·潍坊模拟)集合中的角所表示的范围(阴影部分)是(　　)

答案　C

解析　当k＝2n(n∈Z)时，2nπ＋≤α≤2nπ＋，此时α表示的范围与≤α≤表示的范围一样；当k＝2n＋1(n∈Z)时，2nπ＋π＋≤α≤2nπ＋π＋，此时α表示的范围与≤α≤表示的范围一样．故选C.

精准设计考向，多角度探究突破

考向二　三角函数的定义及其应用

角度1　　利用定义求三角函数的值

例2　(1)已知角α的终边经过点P(－4a,3a)(a<0)，则2sinα＋cosα的值为(　　)

A．－   B．

C．0   D．或－

答案　A

解析　因为x＝－4a，y＝3a，a＜0，所以r＝－5a，

所以sinα＝－，cosα＝，2sinα＋cosα＝2×＋＝－.故选A.

(2)(2019·福州检测)若角α的终边在直线3x＋4y＝0上，求sinα，cosα和tanα的值．

解　设α终边上任一点为P(－4a,3a)，a≠0，

当a>0时，r＝5a，sinα＝，cosα＝－，tanα＝－；

当a<0时，r＝－5a，sinα＝－，cosα＝，tanα＝－.

角度2　　判断三角函数值的符号

例3　(1)(2019·吉林模拟)若sinαtanα＜0，且＜0，则角α是(　　)

A．第一象限角   B．第二象限角

C．第三象限角   D．第四象限角

答案　C

解析　角α在第三象限时，sinα＜0，cosα＜0，tanα＞0，满足题意．选C.

(2)sin2·cos3·tan4的值(　　)

A．小于0   B．大于0 

C．等于0   D．不存在

答案　A

解析　∵＜2＜3＜π＜4＜，∴sin2＞0，cos3＜0，tan4＞0.∴sin2·cos3·tan4＜0.选A.

角度3　　利用三角函数的定义求参数

例4　(1)设α是第二象限角，P(x,4)为其终边上的一点，且cosα＝x，则tanα＝(　　)

A.   B． 

C．－   D．－

答案　D

解析　∵α是第二象限角，∴x＜0.又由题意知＝x，解得x＝－3.∴tanα＝＝－.

(2)(2019·莆田模拟)若角α的终边上有一点P(－4，a)，且sinα·cosα＝，则a的值为(　　)

A．4   B．±4

C．－4或－   D．

答案　C

解析　由三角函数的定义得sinα·cosα＝·＝＝，即a2＋16a＋16＝0，解得a＝－4或a＝－.故选C.

角度4　　利用三角函数线解决三角不等式

例5　函数y＝lg (2sinx－1)＋的定义域为________．

答案　

解析　要使函数有意义，必须有即如图，在单位圆中作出相应的三角函数线，由图可知，原函数的定义域为.

1．用定义法求三角函数值的两种情况

(1)已知角α终边上一点P的坐标，则可先求出点P到原点的距离r，然后用三角函数的定义求解．

 (2)已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后用三角函数的定义来求解．

2．要判定三角函数值的符号，关键是要搞清三角函数中的角是第几象限角，再根据正、余弦函数值在各象限的符号确定值的符号．如果不能确定角所在象限，那就要进行分类讨论求解．

3．利用单位圆解三角不等式(组)的一般步骤

(1)用边界值定出角的终边位置．

 (2)根据不等式(组)定出角的范围．

(3)求交集，找单位圆中公共的部分．

 (4)写出角的表达式．

[即时训练]　3.(2019·温州模拟)若角α的终边过点P(2sin30°，－2cos30°)，则sinα的值为(　　)

A.   B．－ 

C．－   D．－

答案　C

解析　∵x＝2sin30°＝1，y＝－2cos30°＝－，∴r＝|OP|＝＝2，∴sinα＝＝－.故选C.

4．设α是第四象限角，则以下函数值一定为负值的是(　　)

A．tan   B．sin 

C．cos   D．cos2α

答案　A

解析　因为2kπ－<α<2kπ(k∈Z)，

所以kπ－<<kπ，4kπ－π<2α<4kπ，k∈Z.

故cos2α，cos，sin的值正负不定．

当k为偶数时，是第四象限角；

当k为奇数时，是第二象限角．因此tan<0.

故选A.

5．若α是第二象限角，其终边上一点P(x，)，且cosα＝x，则sinα的值是(　　)

A.   B． 

C.   D．－

答案　A

解析　r＝|PO|＝，由三角函数的定义知cosα＝＝x，则x2＋5＝8.sinα＝＝＝.故选A.

6．sin1，cos1，tan1的大小关系是(　　)

A．sin1<cos1<tan1   B．tan1<sin1<cos1

C．cos1<tan1<sin1   D．cos1<sin1<tan1

答案　D

解析　如图，单位圆中∠MOP＝1 rad> rad.因为OM<<MP<AT，所以cos1<sin1<tan1.故选D.

考向三　扇形的弧长、面积公式

例6　已知一扇形的圆心角为α，半径为R，弧长为l，

(1)若α＝60°，R＝10 cm，求扇形的弧长l；

(2)若扇形周长为20 cm，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大？

解　(1)∵α＝60°＝ rad，R＝10 cm，

∴扇形的弧长l＝α·R＝×10＝(cm)．

(2)由题意得l＋2R＝20，∴l＝20－2R.

∴S扇＝lR＝(20－2R)·R＝－R2＋10R＝－(R－5)2＋25.

∴当R＝5 cm时，S扇有最大值25 cm2.

此时l＝20－2×5＝10(cm)，α＝＝＝2 rad.

∴当α＝2 rad时，扇形面积最大．

弧长和扇形面积的计算方法

(1)在弧度制下，记住下列公式

①弧长公式：l＝|α|r；②扇形的面积公式：S＝lr＝|α|r2(其中l是扇形的弧长，α是扇形的圆心角，r是扇形的半径)．

 (2)求扇形面积的关键是求得扇形的圆心角、半径、弧长三个量中的任意两个量．

[即时训练]　7.已知弧度数为2的圆心角所对的弦长为2，则这个圆心角所对的弧长是(　　)

A．2   B．2sin1

C.   D．sin2

答案　C

解析　∵2Rsin1＝2，∴R＝，l＝|α|R＝.故选C.

8．如果一个圆的半径变为原来的一半，而弧长变为原来的倍，则该弧所对的圆心角是原来的________倍．

答案　3

解析　设圆的半径为r，弧长为l，则其弧度数为.将半径变为原来的一半，弧长变为原来的倍，则圆心角的弧度数变为＝3·，即圆心角的弧度数变为原来的3倍．

1.不等式sinx≥的解集为________．

答案　

解析　过点作平行于x轴的直线，交单位圆于点P1，P2，则以OP1，OP2为终边的角分别为＋2kπ，＋2kπ(k∈Z)，其正弦值为，终边落在阴影部分的角的正弦值不小于，所以sinx≥的解集为.

2．函数f(x)＝＋lg (2cosx－)的定义域为________．

答案　

解析　由得

在单位圆中分别画出不等式①②的解集对应的区域，其公共区域为不等式组的解集，

∴函数f(x)的定义域为.

答题启示

利用三角函数线解三角不等式，通常采用数形结合的方法，一般来说sinx≥b，cosx≥a，只需作直线y＝b，x＝a与单位圆相交，连接原点与交点即得角的终边所在的位置，此时再根据方向即可确定相应的x的范围．

对点训练

1．不等式cosx≥－的解集为________．

答案　

解析　过点作垂直于x轴的直线与单位圆交于点Q1，Q2，则以OQ1，OQ2为终边的角的余弦值为－，其对应的角分别为2kπ＋，2kπ－(k∈Z)，终边落在阴影部分的角的余弦值不小于－.

∴cosx≥－的解集为.

2．(2019·郑州模拟)函数y＝lg (2sinx－1)＋的定义域为________．

答案　(k∈Z)

解析　要使原函数有意义，必须有

即

如图，在单位圆中作出相应三角函数线，

由图可知，原函数的定义域为(k∈Z)．