2021届山东高考数学一轮创新教学案：第2章　第10讲　导数的概念及运算

第10讲　导数的概念及运算

1.变化率与导数

(1)平均变化率

(2)导数

续表

2.导数的运算

1.概念辨析

(1)f′(x0)与(f(x0))′表示的意义相同．(　　)

(2)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．(　　)

(3)曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线与过点P(x0，y0)的切线相同．(　　)

(4)函数f(x)＝sinπ的导数f′(x)＝cosπ.(　　)

答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×

2.小题热身

(1)下列函数求导运算正确的个数为(　　)

①(3x)′＝3xlog3e；②(log2x)′＝；

③(x2ex)′＝2x＋ex；④′＝x.

A.1  B．2 

C．3  D．4

答案　A

解析　①中，(3x)′＝3xln 3，错误；②中，(log2x)′＝，正确；③中，(x2ex)′＝(x2)′ex＋x2(ex)′＝(2x＋x2)ex，错误；④中，′＝＝－，错误，因此求导运算正确的个数为1.

(2)有一机器人的运动方程为s＝t2＋(t是时间，s是位移)，则该机器人在时刻t＝2时的瞬时速度为(　　)

A.  B. 

C.  D.

答案　D

解析　s′＝′＝2t－，当t＝2时，s′＝2×2－＝，所以该机器人在t＝2时的瞬时速度为.

(3)函数f(x)＝x3＋4x＋5的图象在x＝1处的切线在x轴上的截距为(　　)

A.10  B．5 

C．－1  D．－

答案　D

解析　∵f(x)＝x3＋4x＋5，

∴f′(x)＝3x2＋4，

∴f′(1)＝7，即切线的斜率为7，

又f(1)＝10，故切点坐标为(1,10)，

∴切线的方程为y－10＝7(x－1)，

当y＝0时，x＝－，切线在x轴上的截距为－.

(4)已知直线y＝－x＋1是函数f(x)＝－·ex图象的切线，则实数a＝________.

答案　e2

解析　设切点为(x0，y0)，则f′(x0)＝－·ex0＝－1，∴ex0＝a，又－·ex0＝－x0＋1，∴x0＝2，a＝e2.

题型 一　导数的运算

1.(2019·华中师范大学第一附中模拟)设函数f(x)的导数为f′(x)，且f(x)＝x3＋x2－x，则f′(1)＝________.

答案　0

解析　因为f(x)＝x3＋x2－x，

所以f′(x)＝3x2＋2x－1.

所以f′＝3×2＋2×－1.

解得f′＝－1.

所以f′(x)＝3x2－2x－1，所以f′(1)＝0.

2.求下列函数的导数：

(1)y＝(2x2－1)(3x＋1)；

(2)y＝x－sincos；

(3)y＝excosx；

(4)y＝.

解　(1)因为y＝(2x2－1)(3x＋1)＝6x3＋2x2－3x－1，

所以y′＝18x2＋4x－3.

(2)因为y＝x－sincos，

所以y＝x－sinx，

所以y′＝1－cosx.

(3)y′＝(excosx)′＝(ex)′cosx＋ex(cosx)′

＝excosx－exsinx＝ex(cosx－sinx)．

(4)y′＝＝＝.

1.谨记一个原则

先化简解析式，使之变成能用求导公式求导的函数的和、差、积、商，再求导.

2.熟记求导函数的五种形式及解法

(1)连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导，如举例说明2(1)．

(2)分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导；

(3)对数形式：先化为和、差的形式，再求导；

(4)根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导；

(5)三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导．如举例说明2(2).

求下列函数的导数：

(1)y＝ln x＋；(2)y＝；

(3)y＝x2cosx.

解　(1)y′＝′＝(ln x)′＋′＝－.

(2)y′＝′＝＝.

(3)y′＝(x2)′cosx＋x2(cosx)′＝2xcosx＋x2(－sinx)＝2xcosx－x2sinx.

题型 二　导数的几何意义　

角度1　求切线方程

1.过点(1，－2)且与y＝x3－3x相切的直线方程为(　　)

A.y＝－2或9x＋4y－1＝0

B.y＝－2

C.9x＋4y＋1＝0

D.y＝0或9x＋4y＋1＝0

答案　A

解析　y′＝3x2－3，设切点坐标为(x0，x－3x0)，此时在切点处的斜率为y′x＝x0＝3x－3，所以切线方程为y－(x－3x0)＝(3x－3)(x－x0)，将点(1，－2)代入切线方程，整理得2x－3x＋1＝0，即(x0－1)2(2x0＋1)＝0，解得x0＝1或x0＝－，分别代入切线方程可得y＝－2或9x＋4y－1＝0.

2.(2019·全国卷Ⅰ)曲线y＝3(x2＋x)ex在点(0,0)处的切线方程为________．

答案　y＝3x

解析　y′＝3(2x＋1)ex＋3(x2＋x)ex＝ex(3x2＋9x＋3)，∴斜率k＝e0×3＝3，∴切线方程为y＝3x.

角度2　求切点坐标

3.(2019·广州模拟)设函数f(x)＝x3＋ax2，若曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线方程为x＋y＝0，则点P的坐标为(　　)

A.(0,0)  B．(1，－1)

C.(－1,1)  D．(1，－1)或(－1,1)

答案　D

解析　f′(x)＝(x3＋ax2)′＝3x2＋2ax，

由题意得f′(x0)＝－1，x0＋f(x0)＝0，

所以

由①知x0≠0，故②可化为1＋x＋ax0＝0，所以ax0＝－1－x代入①得3x＋2(－1－x)＝－1，即x＝1，

解得x0＝±1.

当x0＝1时，a＝－2，f(x0)＝x＋ax＝－1；

当x0＝－1时，a＝2，f(x0)＝x＋ax＝1，

所以点P的坐标为(1，－1)或(－1,1).

角度3　求参数的值(范围)

4.(2019·全国卷Ⅲ)已知曲线y＝aex＋xln x在点(1，ae)处的切线方程为y＝2x＋b，则(　　)

A.a＝e，b＝－1  B．a＝e，b＝1

C.a＝e－1，b＝1  D．a＝e－1，b＝－1

答案　D

解析　y′＝aex＋ln x＋1，k＝y′|x＝1＝ae＋1，

∴切线方程为y－ae＝(ae＋1)(x－1)，

即y＝(ae＋1)x－1.

又∵切线方程为y＝2x＋b，

∴即a＝e－1，b＝－1.故选D.

5.若曲线y＝f(x)＝ln x＋ax2(a为常数)不存在斜率为负数的切线，则实数a的取值范围是(　　)

A.  B.

C.(0，＋∞)  D．[0，＋∞)

答案　D

解析　f′(x)＝＋2ax＝(x>0)，根据题意有f′(x)≥0(x>0)恒成立，所以2ax2＋1≥0(x>0)恒成立，即2a≥－(x>0)恒成立，所以a≥0，故实数a的取值范围为[0，＋∞).

求切线方程问题的两种类型及方法

(1)求“在”曲线y＝f(x)上一点P(x0，y0)处的切线方程：点P(x0，y0)为切点，切线斜率为k＝f′(x0)，有唯一的一条切线，对应的切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)．如举例说明2.

(2)求“过”曲线y＝f(x)上一点P(x0，y0)的切线方程：切线经过点P，点P可能是切点，也可能不是切点，这样的直线可能有多条．如举例说明1，解决问题的关键是设切点，利用“待定切点法”，即：

①设切点A(x1，y1)，则以A为切点的切线方程为y－y1＝f′(x1)(x－x1)；

②根据题意知点P(x0，y0)在切线上，点A(x1，y1)在曲线y＝f(x)上，得到方程组求出切点A(x1，y1)，代入方程y－y1＝f′(x1)(x－x1)，化简即得所求的切线方程．

1.若直线y＝ax是曲线y＝2ln x＋1的一条切线，则实数a＝(　　)

A.e－  B．2e－ 

C．e  D．2e

答案　B

解析　依题意，设直线y＝ax与曲线y＝2ln x＋1的切线的横坐标为x0，则有y′|x＝x0＝，于是有解得x0＝，则a＝＝2e－，故选B.

2.(2019·长沙模拟)已知f(x)是奇函数，当x＞0时，f(x)＝－，则曲线f(x)在x＝－1处的切线方程是(　　)

A.2x－y＋1＝0  B．x－2y＋2＝0

C.2x－y－1＝0  D．x＋2y－2＝0

答案　A

解析　当x＜0时，－x＞0，所以f(－x)＝－.因为f(x)是奇函数，所以f(x)＝(x＜0)．所以f′(x)＝，所以曲线f(x)在x＝－1处的切线的斜率k＝f′(－1)＝2.切点为(－1，－1)，所以曲线f(x)在x＝－1处的切线方程为y＋1＝2(x＋1)，即2x－y＋1＝0.

3.已知直线l为曲线y＝在点(1，a)处的切线，当直线l与坐标轴围成的三角形面积为时，实数a的值为________．

答案　0或

解析　因为y′＝，所以切线l的斜率为1－a，则切线l的方程为y－a＝(1－a)(x－1)，

令x＝0得y＝2a－1.

令y＝0得x＝.

所以直线l与坐标轴围成的三角形面积为|2a－1|·＝，即|2a－1|2＝|a－1|.

则4a2－4a＋1＝1－a　①或4a2－4a＋1＝a－1　②，

由方程①解得a＝0或a＝，方程②无解．

所以a＝0或a＝.

　组　基础关

1.设f(x)＝x(2019＋ln x)，若f′(x0)＝2020，则x0等于(　　)

A.e2  B．1 

C．ln 2  D．e

答案　B

解析　f′(x)＝2019＋ln x＋1＝2020＋ln x，由f′(x0)＝2020，得2020＋ln x0＝2020，则ln x0＝0，解得x0＝1.

2.(2020·宁夏中卫月考)函数y＝f(x)的图象在点P(5，f(5))处的切线方程是y＝－x＋8，则f(5)＋f′(5)＝(　　)

A.1  B．2 

C．3  D．4

答案　B

解析　由条件知f′(5)＝－1，又在点P处的切线方程为y－f(5)＝－(x－5)，∴y＝－x＋5＋f(5)，即y＝－x＋8，∴5＋f(5)＝8，∴f(5)＝3，∴f(5)＋f′(5)＝2.

3.若点P是曲线y＝x2－ln x上任意一点，则点P到直线y＝x－2的最小距离为(　　)

A.1  B. 

C.  D.

答案　B

解析　设P(x0，y0)，当点P处的切线与直线y＝x－2平行时，点P到直线y＝x－2的距离最小．又y′＝2x－，则y′x＝x0＝2x0－＝1，解得x0＝1或x0＝－(舍去)，则y0＝1，即P(1,1)，所以最小距离为＝.

4．已知函数f(x)的图象如图，f′(x)是f(x)的导函数，则下列数值排序正确的是(　　)

A.0<f′(2)<f′(3)<f(3)－f(2)

B.0<f′(3)<f′(2)<f(3)－f(2)

C.0<f′(3)<f(3)－f(2)<f′(2)

D.0<f(3)－f(2)<f′(2)<f′(3)

答案　C

解析　f′(2)，f′(3)表示曲线y＝f(x)在点A，B处切线的斜率，又f(3)－f(2)＝表示直线AB的斜率．所以0<f′(3)<f(3)－f(2)<f′(2).

5.(2019·太原模拟)已知函数f(x)＝xln x＋a的图象在x＝e处的切线经过原点，则f(1)＝(　　)

A.e  B. 

C．1  D．0

答案　A

解析　由题意，得f′(x)＝ln x＋1.所以f′(e)＝ln e＋1＝2，f(e)＝e＋a.所以函数f(x)的图象在x＝e处的切线方程为y＝2(x－e)＋e＋a.因为此切线经过原点，所以2(－e)＋e＋a＝0，解得a＝e.所以f(1)＝a＝e.

6.(2019·青岛模拟)已知f1(x)＝sinx＋cosx，fn＋1(x)是fn(x)的导函数，即f2(x)＝f1′(x)，f3(x)＝f2′(x)，…，fn＋1(x)＝fn′(x)，n∈N*，则f2022(x)＝(　　)

A.－sinx－cosx  B．sinx－cosx

C.－sinx＋cosx  D．sinx＋cosx

答案　C

解析　∵f1(x)＝sinx＋cosx，∴f2(x)＝f1′(x)＝cosx－sinx，∴f3(x)＝f2′(x)＝－sinx－cosx，∴f4(x)＝f3′(x)＝－cosx＋sinx，∴f5(x)＝f4′(x)＝sinx＋cosx，∴fn(x)是以4为周期的函数，∴f2022(x)＝f2(x)＝cosx－sinx.

7.若曲线y＝的一条切线经过点(8,3)，则此切线的斜率为(　　)

A.  B.

C.或  D.或

答案　C

解析　由题意，可设切点坐标为(x0，)，由y＝＝x，得y′＝，切线斜率k＝，由点斜式可得切线方程为y－＝(x－x0)，又切线过点(8,3)，所以3－＝(8－x0)，整理得x0－6＋8＝0，解得＝4或2，所以切线斜率k＝或.故选C.

8.曲线y＝在点(1，－1)处的切线方程为________．

答案　y＝－2x＋1

解析　由题意可得，y′＝－，则曲线在点(1，－1)处的切线斜率为－2，所以所求的切线方程为y＝－2x＋1.

9.已知函数f(x)＝axln x，x∈(0，＋∞)，其中a>0且a≠1，f′(x)为f(x)的导函数，若f′(1)＝3，则a的值为________．

答案　3

解析　因为f(x)＝axln x，所以f′(x)＝ln a·axln x＋.又f′(1)＝3，所以a＝3.

10.已知y＝f(x)是可导函数，如图，直线y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)＝________.

答案　0

解析　由题图可知曲线y＝f(x)在x＝3处切线的斜率等于－，∴f′(3)＝－.

∵g(x)＝xf(x)，∴g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，

∴g′(3)＝f(3)＋3f′(3)，

又由题图可知f(3)＝1，∴g′(3)＝1＋3×＝0.

　组　能力关

1.已知函数f(x)＝＋x3＋sinx，其导函数为f′(x)，则f(2020)＋f′(2020)＋f(－2020)－f′(－2020)的值为(　　)

A.4040  B．4 

C．2  D．0

答案　B

解析　函数f(x)＝＋x3＋sinx⇒f(x)＋f(－x)＝＋＝4，因为f′(x)＝－＋3x2＋cosx为偶函数，所以f′(x)－f′(－x)＝0，所以f(2020)＋f′(2020)＋f(－2020)－f′(－2020)＝4.

2.(2019·蚌埠模拟)已知函数f(x)＝x＋，若曲线y＝f(x)存在两条过点(1,0)的切线，则a的取值范围是(　　)

A.(－∞，1)∪(2，＋∞)  B．(－∞，－1)∪(2，＋∞)

C.(－∞，0)∪(2，＋∞)  D．(－∞，－2)∪(0，＋∞)

答案　D

解析　f′(x)＝1－，设切点坐标为，则切线方程为y－x0－＝(x－x0)，又切线过点(1,0)，可得－x0－＝(1－x0)，整理得2x＋2ax0－a＝0，曲线存在两条切线，故方程有两个不等实根，即满足Δ＝4a2－8(－a)＞0，解得a＞0或a＜－2.

3.设函数f(x)＝ax－，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0.

(1)求f(x)的解析式；

(2)证明：曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形的面积为定值，并求此定值．

解　(1)方程7x－4y－12＝0可化为y＝x－3.

当x＝2时，y＝.又f′(x)＝a＋，

于是解得故f(x)＝x－.

(2)设P(x0，y0)为曲线上任一点，由y′＝1＋，

知曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为

y－y0＝(x－x0)，

即y－＝(x－x0)．

令x＝0，得y＝－，

从而得切线与直线x＝0的交点坐标为.

令y＝x，得y＝x＝2x0，

从而得切线与直线y＝x的交点坐标为(2x0,2x0)．

所以点P(x0，y0)处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形的面积为S＝|2x0|＝6.

故曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形的面积为定值，且此定值为6.

4.已知函数f(x)＝x3＋x－16.

(1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线方程；

(2)直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标．

解　(1)可判定点(2，－6)在曲线y＝f(x)上．

因为f′(x)＝(x3＋x－16)′＝3x2＋1，

所以f(x)在点(2，－6)处的切线的斜率为f′(2)＝13.

所以切线方程为y＋6＝13(x－2)，即y＝13x－32.

(2)设切点坐标为(x0，y0)，

则直线l的斜率k为f′(x0)＝3x＋1，

y0＝x＋x0－16，

所以直线l的方程为

y＝(3x＋1)(x－x0)＋x＋x0－16.

又因为直线l过原点(0,0)，

所以0＝(3x＋1)(－x0)＋x＋x0－16，

整理得，x＝－8，所以x0＝－2，

所以y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，

得切点坐标为(－2，－26)，k＝3×(－2)2＋1＝13.

所以直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26).