2021高三统考北师大版数学一轮学案：第2章第8讲　函数与方程

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第8讲　函数与方程
基础知识整合

1．函数的零点
(1)函数零点的定义
对于函数y＝f(x)(x∈区间D)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈区间D)的零点．
(2)三个等价关系
方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点.
(3)函数零点的判定(零点存在性定理)
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．
2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与零点的关系

Δ>0
Δ＝0
Δ<0
二次函数
y＝ax2＋bx＋c
(a>0)的图象



与x轴的交点
(x1,0)，(x2,0)
(x1,0)
无交点
零点个数
2
1
0


有关函数零点的结论
(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点．
(2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．
(3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号．
(4)函数的零点是实数，而不是点，是方程f(x)＝0的实根．
(5)由函数y＝f(x)(图象是连续不断的)在闭区间[a，b]上有零点不一定能推出f(a)·f(b)<0，如图所示，所以f(a)·f(b)<0是y＝f(x)的闭区间[a，b]上有零点的充分不必要条件．


1．(2020·云南玉溪一中二调)函数f(x)＝2x＋3x的零点所在的一个区间是(　　)
A．(－2，－1) B．(－1,0)
C．(0,1) D．(1,2)
答案　B
解析　易知函数f(x)＝2x＋3x在定义域上单调递增，且f(－2)＝2－2－6<0，f(－1)＝2－1－3<0，f(0)＝1>0，所以由零点存在性定理得，零点所在的区间是(－1，0)．故选B．
2．(2019·全国卷Ⅲ)函数f(x)＝2sinx－sin2x在[0,2π]的零点个数为(　　)
A．2 B．3
C．4 D．5
答案　B
解析　令f(x)＝0，得2sinx－sin2x＝0，即2sinx－2sinxcosx＝0，∴2sinx(1－cosx)＝0，∴sinx＝0或cosx＝1.又x∈[0,2π]，∴由sinx＝0得x＝0，π或2π，由cosx＝1得x＝0或2π.故函数f(x)的零点为0，π，2π，共3个．故选B．
3．函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是(　　)
A．(1,3) B．(1,2)
C．(0,3) D．(0,2)
答案　C
解析　因为f(x)在(0，＋∞)上是增函数，则由题意得f(1)·f(2)＝(0－a)(3－a)<0，解得0 4．(2019·河南郑州模拟)函数f(x)＝|x－2|－ln x在定义域内的零点的个数为(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
答案　C
解析　作出函数y＝|x－2|与g(x)＝ln x的图象，如图所示．由图象可知两个函数的图象有两个交点，即函数f(x)在定义域内有2个零点．故选C．

5．函数f(x)＝ex＋3x的零点有________个．
答案　1
解析　∵f(x)＝ex＋3x在R上是单调递增函数，且f(－1)＝e－1－3<0，f(0)＝1>0，∴函数f(x)有1个零点．
6．函数y＝|x|－m有两个零点，则m的取值范围是________.
答案　(0,1)
解析　如图，作出y＝|x|的图象．则当0
核心考向突破
考向一　函数零点所在区间的判断

例1　(1)(2019·重庆模拟)设函数y＝x2与y＝x－2的图象交点为(x0，y0)，则x0所在区间是(　　)
A．(0,1) B．(1,2)
C．(2,3) D．(3,4)
答案　B
解析　因函数y＝x2与y＝x－2的图象交点为(x0，y0)，则x0是方程x2＝x－2的解，也是函数f(x)＝x2－x－2的零点．∵函数f(x)在R上单调递增，f(2)＝22－1＝3>0，f(1)＝1－2＝－1<0，∴f(1)·f(2)<0.由零点存在性定理可知，方程的解在(1,2)内．故选B．
(2)(2019·包头模拟)已知函数f(x)＝ln x＋3x－8的零点x0∈[a，b]，且b－a＝1，a，b∈N*，则a＋b＝(　　)
A．0 B．2
C．5 D．7
答案　C
解析　∵f(2)＝ln 2＋6－8＝ln 2－2<0，f(3)＝ln 3＋9－8＝ln 3＋1>0，且函数f(x)＝ln x＋3x－8在(0，＋∞)上为单调递增函数，∴x0∈[2,3]，即a＝2，b＝3，∴a＋b＝5.

判断函数零点所在区间的常用方法
(1)定义法：利用函数零点存在性定理，首先看函数y＝f(x)的区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点．
(2)解方程法：当对应方程易解时，可通过解方程确定方程是否有根落在给定区间上．
(3)数形结合法：画出相应的函数图象，通过观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断，或者转化为两个函数图象在给定区间上是否有交点来判断．

[即时训练]　1.函数f(x)＝＋ln 的零点所在的大致区间是(　　)
A．(1,2) B．(2,3)
C．(3,4) D．(4,5)
答案　B
解析　易知f(x)＝＋ln ＝－ln (x－1)在(1，＋∞)上单调递减且连续，当10，所以f(x)>0，故函数f(x)在(1,2)上没有零点．f(2)＝1－ln 1＝1，f(3)＝－ln 2＝＝，＝2≈2.828>e，所以8>e2，即ln 8>2，所以f(3)<0.所以f(x)的零点所在的大致区间是(2,3)，故选B．
2．若a A．(a，b)和(b，c)内 B．(－∞，a)和(a，b)内
C．(b，c)和(c，＋∞)内 D．(－∞，a)和(c，＋∞)内
答案　A
解析　函数y＝f(x)是开口向上的二次函数，最多有两个零点，由于a0，f(b)＝(b－c)(b－a)<0，f(c)＝(c－a)(c－b)>0.所以f(a)f(b)<0，f(b)f(c)<0，即f(x)在区间(a，b)和区间(b，c)内各有一个零点．
考向二　函数零点个数的讨论

例2　(1)(2020·福州期末)已知函数f(x)＝则函数y＝f(x)＋3x的零点个数是(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
答案　C
解析　令f(x)＋3x＝0，则或
解得x＝0或x＝－1，所以函数y＝f(x)＋3x的零点个数是2.故选C．
(2)(2019·南昌模拟)已知函数y＝f(x)是周期为2的周期函数，且当x∈[－1,1]时，f(x)＝2|x|－1，则函数F(x)＝f(x)－|lg x|的零点个数是(　　)
A．9 B．10
C．11 D．18
答案　B
解析　在同一平面直角坐标系内作出函数y＝f(x)与y＝|lg x|的大致图象如图，由图象可知，它们共有10个不同的交点，因此函数F(x)＝f(x)－|lg x|的零点个数是10.故选B．


确定函数零点个数的方法及思路
(1)解方程法：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．
(2)零点存在性定理法：利用定理不仅要求函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点或零点值所具有的性质．
(3)数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题．先画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．

[即时训练]　3.(2019·乐山模拟)函数f(x)＝x2－|x|的零点个数为(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
答案　C
解析　由f(x)＝x2－|x|，得f(－x)＝(－x)2－|－x|＝f(x)，∴f(x)为偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增，又f(0)·f(1)<0，∴f(x)在(0，＋∞)上有且仅有1个零点．∴函数f(x)的零点个数为2，故选C．
4．函数f(x)＝2x|log0.5x|－1的零点个数为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
答案　B
解析　由2x|log0.5x|－1＝0得|log0.5x|＝x，作出y＝|log0.5x|和y＝x的图象，如图所示，则两个函数图象有两个交点，故函数f(x)＝2x|log0.5x|－1有两个零点．


精准设计考向，多角度探究突破
考向三　函数零点的应用
角度　　利用零点比较大小

例3　(1)(2019·承德模拟)已知a是函数f(x)＝2x－logx的零点，若0 A．f(x0)＝0 B．f(x0)>0
C．f(x0)<0 D．f(x0)的符号不确定
答案　C
解析　在同一平面直角坐标系中作出函数y＝2x，y＝logx的图象(图略)，由图象可知，当0 (2)已知函数f(x)＝x＋2x，g(x)＝x＋ln x，h(x)＝x－－1的零点分别为x1，x2，x3，则x1，x2，x3的大小关系是(　　)
A．x2 C．x1 答案　B
解析　令y1＝2x，y2＝ln x，y3＝－－1，因为函数f(x)＝x＋2x，g(x)＝x＋ln x，h(x)＝x－－1的零点分别为x1，x2，x3，则y1＝2x，y2＝ln x，y3＝－－1的图象与y＝－x的交点的横坐标分别为x1，x2，x3，在同一平面直角坐标系内分别作出函数y1＝2x，y2＝ln x，y3＝－－1及y＝－x的图象如图，结合图象可得x1

在同一平面直角坐标系内准确作出已知函数的图象，数形结合，对图象进行分析，找出零点的范围，进行大小比较．

[即时训练]　5.(2019·广东七校联考)已知函数f(x)＝x－log3x，若实数x0是方程f(x)＝0的解，且x0 A．恒为负 B．等于零
C．恒为正 D．不大于零
答案　A
解析　由于函数f(x)＝x－log3x在定义域内是减函数，于是，若f(x0)＝0，当x0 6．已知x0是函数f(x)＝2x＋的一个零点．若x1∈(1，x0)，x2∈(x0，＋∞)，则(　　)
A．f(x1)<0，f(x2)<0 B．f(x1)<0，f(x2)>0
C．f(x1)>0，f(x2)<0 D．f(x1)>0，f(x2)>0
答案　B
解析　在同一平面直角坐标系内作出函数y＝2x和函数y＝的图象，如图所示．

由图象可知函数y＝2x和函数y＝的图象只有一个交点，即函数f(x)＝2x＋只有一个零点x0，且x0>1.
因为x1∈(1，x0)，x2∈(x0，＋∞)，则由函数图象可知，f(x1)<0，f(x2)>0.
角度　　由函数零点存在情况或个数求参数范围

例4　(1)(2019·天津高考)已知函数f(x)＝若关于x的方程f(x)＝－x＋a(a∈R)恰有两个互异的实数解，则a的取值范围为(　　)
A． B．
C．∪{1} D．∪{1}
答案　D
解析　如图，分别画出两函数y＝f(x)和y＝－x＋a的图象．

①先研究当0≤x≤1时，直线y＝－x＋a与y＝2的图象只有一个交点的情况．
当直线y＝－x＋a过点B(1,2)时，
2＝－＋a，解得a＝.所以0≤a≤.
②再研究当x>1时，直线y＝－x＋a与y＝的图象只有一个交点的情况：
a．相切时，由y′＝－＝－，得x＝2，此时切点为，则a＝1.
b．相交时，由图象可知直线y＝－x＋a从过点A向右上方移动时与y＝的图象只有一个交点．过点A(1,1)时，1＝－＋a，解得a＝.所以a≥.
结合图象可得，所求实数a的取值范围为∪{1}．故选D．
(2)(2019·浙江高考)设a，b∈R，函数f(x)＝若函数y＝f(x)－ax－b恰有3个零点，则(　　)
A．a<－1，b<0 B．a<－1，b>0
C．a>－1，b<0 D．a>－1，b>0
答案　C
解析　由题意，b＝f(x)－ax＝
设y＝b，g(x)＝
即以上两个函数的图象恰有3个交点，根据选项进行讨论．
①当a<－1时，1－a>0，可知g(x)在(－∞，0)上单调递增；
由g′(x)＝x2－(a＋1)x＝x[x－(a＋1)](x≥0)，a＋1<0，
可知g(x)在(0，＋∞)上单调递增．
此时直线y＝b与g(x)的图象只有1个交点，不符合题意，故排除A，B．
②当a>－1，即a＋1>0时，
因为g′(x)＝x[x－(a＋1)](x≥0)，
所以当x≥0时，
由g′(x)<0可得0 所以当x≥0时，g(x)在(0，a＋1)上单调递减，g(x)在(a＋1，＋∞)上单调递增．

如图，y＝b与y＝g(x)(x≥0)的图象至多有2个交点．
当1－a>0，即－1 当1－a＝0时，y＝g(x)与y＝b的图象可以有1个、2个或无数个交点，但不存在恰有3个交点的情况，不符合题意，舍去；
当1－a<0，即a>1时，y＝g(x)与y＝b的图象可以有1个或2个交点，但不存在恰有3个交点的情况，不符合题意，舍去．
综上，－1
已知函数零点求参数范围的常用方法
(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．
(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．
(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，作出函数的图象，然后数形结合求解．

[即时训练]　7.(2019·唐山模拟)当x∈[1,2]时，若函数y＝x2与y＝ax(a>0)的图象有交点，则a的取值范围是________.
答案　
解析　当a＝1时，显然成立．当a>1时，如图①所示，使得两个函数图象有交点，需满足×22≥a2，即1 　
当0 8．若函数f(x)＝4x－2x－a，x∈[－1,1]有零点，则实数a的取值范围是________.
答案　
解析　因为函数f(x)＝4x－2x－a，x∈[－1,1]有零点，
所以方程4x－2x－a＝0在[－1,1]上有解，
即方程a＝4x－2x在[－1,1]上有解．
方程a＝4x－2x可变形为a＝2－，
因为x∈[－1,1]，所以2x∈，
所以2－∈.
所以实数a的取值范围是.

(2019·温州模拟)设函数f(x)＝ex＋x－2，g(x)＝ln x＋x2－3.若实数a，b满足f(a)＝0，g(b)＝0，则(　　)
A.g(a)<0 C.0 答案　A
解析　由f′(x)＝ex＋1>0知f(x)是R上的增函数，因为g(x)的定义域为(0，＋∞)，
所以g′(x)＝＋2x>0，所以g(x)在(0，＋∞)上是增函数．
因为f(0)＝－1<0，f(1)＝e－1>0，所以0 因为g(1)＝－2<0，g(2)＝ln 2＋1>0，所以1 所以f(b)>0，g(a)<0，即f(b)>0>g(a)，故选A.
答题启示
(1)本题以函数的零点为背景，综合考查函数的导数与单调性的关系，函数的零点存在性定理，所考查知识点具有隐蔽性是本题的最大特色．
(2)本题中由等量关系到不等关系的转化，考查学生分析问题、解决问题的能力及逆向思维意识．
对点训练
已知x1，x2是函数f(x)＝e－x－|ln x|的两个零点，则(　　)
A. C.1 答案　A
解析　在同一平面直角坐标系中作出函数y＝e－x与y＝|ln x|的图象，结合图象不难看出，它们的两个交点中，其中一个交点的横坐标属于区间(0,1)，另一个交点的横坐标属于区间(1，＋∞)，即在x1，x2中，其中一个属于区间(0,1)，另一个属于区间(1，＋∞)．不妨设x1∈(0,1)，x2∈(1，＋∞)，则有e－x1＝|ln x1|＝－ln x1∈(e－1,1)，e－x2＝|ln x2|＝ln x2∈(0，e－1)，e－x2－e－x1＝ln x2＋ln x1＝ln (x1x2)∈(－1,0)，于是有e－1