2021届高考数学人教版一轮创新教学案：第11章第1讲　算法初步


第十一章　算法、复数与推理证明
第1讲　算法初步
[考纲解读]　1.了解算法的含义及思想，掌握程序框图的三种基本逻辑结构：顺序结构、条件结构、循环结构．(重点)
2．了解几种算法的基本语句，输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句的含义．

[考向预测]　从近三年高考情况来看，本讲是每年高考的必考内容．预测2021年将会考查：①框图的直接计算；②根据框图的输出值添加满足的条件．题型为客观题，试题难度不大，属中、低档题型.

1.算法的含义与程序框图
(1)算法：算法是指按照一定规则解决某一类问题的明确和有限的步骤．
(2)程序框图：程序框图又称流程图，是一种用程序框、流程线及文字说明来表示算法的图形．
在程序框图中，一个或几个程序框的组合表示算法中的一个步骤；带有方向箭头的流程线将程序框连接起来，表示算法步骤的执行顺序．
(3)算法框图的图形符号及其功能

2．三种基本逻辑结构及相应语句
名称
示意图
相应语句
顺序结构是由若干个依次执行的步骤组成的，这是任何一个算法都离不开的基本结构

①输入语句：
INPUT“提示内容”；变量
②输出语句：
PRINT“提示内容”；表达式
③赋值语句：
变量＝表达式

续表

名称
示意图
相应语句
算法的流程根据条件是否成立有不同的流向，处理这种过程的结构是条件结构

IF条件THEN
语句体
END__IF

IF条件THEN
语句体1
ELSE
语句体2
END　IF
从某处开始，按照一定的条件反复执行某些步骤，反复执行的步骤称为循环体，这种结构是循环结构

WHILE条件当型循环结构
循环体
WEND

DO
循环体
LOOP_UNTIL
条件直到型循环结构


1．概念辨析
(1)一个程序框图一定包含顺序结构，也包含条件结构(选择结构)和循环结构．(　　)
(2)当型循环是给定条件不成立时，执行循环体，反复进行，直到条件成立为止．(　　)
(3)在算法语句中，X＝X＋1是错误的．(　　)
(4)输入语句可以同时给多个变量赋值．(　　)
答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　

2．小题热身
(1)计算机执行下面的程序段后，输出的结果是(　　)
A．1,3 B.4,1
C．0,0 D.6,0
答案　B
解析　读程序可知a＝1＋3＝4，b＝4－3＝1.
　　　
(1)题图　　　　　　　　　(2)题图
(2)如图给出了一个算法流程图，该算法流程图的功能是(　　)
A．求a，b，c三数的最大数
B．求a，b，c三数的最小数
C．将a，b，c按从小到大排列
D．将a，b，c按从大到小排列
答案　B
解析　阅读算法流程图可知，最后输出的a保存的是输入三个数中最小的数．
(3)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出s的值等于(　　)
A．－3 B.－10
C．0 D.－2
答案　A
解析　运行相应的程序如下：
k＝0，s＝1→k＝1→k<4是→s＝2×1－1＝1→k＝2→k<4是→s＝2×1－2＝0→k＝3→k<4是→s＝2×0－3＝－3→k＝4→k<4否→输出s＝－3.
　　
(3)题图　　　　　　　　　(4)题图
(4)按照如图的程序框图执行，若输出结果为15，则M处条件为(　　)
A．k≥16 B.k＜8
C．k＜16 D.k≥8
答案　A
解析　程序运行过程中，各变量的值如下表所示：

S
k
是否继续循环
循环前
0
1
　
第一次
1
2
是
第二次
3
4
是
第三次
7
8
是
第四次
15
16
否
故退出循环的条件应为k≥16，故选A.

题型 一　顺序结构和条件结构　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　

1．阅读如图所示程序框图．若输入x为3，则输出的y值为(　　)

A．24 B.25
C．30 D.40
答案　D
解析　a＝32－1＝8，b＝8－3＝5，y＝8×5＝40.

2．(2017·江苏高考)右图是一个算法流程图．若输入x的值为，则输出y的值是________．
答案　－2
解析　输入x＝，≥1不成立，执行y＝2＋log2＝2－4＝－2.输出y的值为－2.
条件探究　将本例中“输入x”改为“输出y”，则输入的x的值是________．
答案　
解析　由题意得y＝当x≥1时，2x≥2，所以若输出y＝，则必有x<1,2＋log2x＝，解得x＝.

应用顺序结构与条件结构的注意点
(1)顺序结构：顺序结构是最简单的算法结构，语句与语句之间、框与框之间是按从上到下的顺序进行的．
(2)条件结构：利用条件结构解决算法问题时，重点是判断框，判断框内的条件不同，对应的下一程序框中的内容和操作要相应地进行变化，故要重点分析判断框内的条件是否满足．

(2019·武汉市调研)执行如图所示的程序框图，如果输入的t∈[－2,2]，则输出的S∈(　　)
A．[－4,2]
B．[－2,2]
C．[－2,4]
D．[－4,0]
答案　A
解析　当－2≤t<0时，S＝2t∈[－4,0)；当0≤t≤2时，S＝t3－3t，易知S＝t3－3t在t∈[0,1)上单调递减，在t∈(1,2]上单调递增，且当t＝0时，S＝0，当t＝1时，S＝－2，当t＝2时，S＝2，所以S∈[－2,2]．综上，S∈[－4,2]，故选A.



题型 二　循环结构　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　

角度1　由程序框图求输出(输入)结果
1．(2019·全国卷Ⅲ)执行如图所示的程序框图，如果输入的ε为0.01，则输出s的值等于(　　)
A．2－
B．2－
C．2－
D．2－
答案　C
解析　ε＝0.01，
x＝1，s＝0，s＝0＋1＝1，x＝，x<ε不成立；
s＝1＋，x＝，x<ε不成立；
s＝1＋＋，x＝，x<ε不成立；
s＝1＋＋＋，x＝，x<ε不成立；
s＝1＋＋＋＋，x＝，x<ε不成立；
s＝1＋＋＋＋＋，x＝，x<ε不成立；
s＝1＋＋＋＋＋＋，x＝，x<ε成立，
此时输出s＝2－.故选C.
角度2　完善程序框图

2．(2019·全国卷Ⅰ)如图是求的程序框图，图中空白框中应填入(　　)
A．A＝
B．A＝2＋
C．A＝
D．A＝1＋
答案　A
解析　对于选项A，A＝.当k＝1时，A＝，当k＝2时，A＝，故A正确；经验证选项B，C，D均不符合题意．故选A.
角度3　逆向求解问题
3．(2017·全国卷Ⅲ)执行如图所示的程序框图，为使输出S的值小于91，则输入的正整数N的最小值为(　　)

A．5 B.4
C．3 D.2
答案　D
解析　假设N＝2，程序执行过程如下：
t＝1，M＝100，S＝0，
1≤2，S＝0＋100＝100，M＝－＝－10，t＝2，
2≤2，S＝100－10＝90，M＝－＝1，t＝3，
3＞2，输出S＝90＜91.符合题意．
∴N＝2成立．显然2是最小值．故选D.

1．循环结构程序框图求输出结果的方法
解决此类问题最常用的方法是列举法，即依次执行循环体中的每一步，直到循环终止，但在执行循环体的过程中：
第一，要明确是当型循环结构还是直到型循环结构，根据各自特点执行循环体；
第二，要明确框图中的累加变量，明确每一次执行循环体前和执行循环体后，变量的值发生的变化；
第三，要明确循环终止的条件是什么，什么时候要终止执行循环体．
2．程序框图补全问题的求解方法
(1)先假设参数的判断条件满足或不满足；
(2)运行循环结构，一直到运行结果与题目要求的输出结果相同为止；
(3)根据此时各个变量的值，补全程序框图.


1．(2018·全国卷Ⅱ)为计算S＝1－＋－＋…＋－，设计了下面的程序框图，则在空白框中应填入(　　)

A．i＝i＋1
B．i＝i＋2
C．i＝i＋3
D．i＝i＋4
答案　B
解析　由S＝1－＋－＋…＋－，知程序框图先对奇数项累加，偶数项累加，最后再相减．因此在空白框中应填入i＝i＋2，故选B.
2．(2019·汉中模拟)1927年德国汉堡大学的学生考拉兹提出一个猜想：对于任意一个正整数，如果它是奇数，对它乘3加1，如果它是偶数，对它除以2，这样循环，最终结果都能得到1.有的数学家认为“该猜想任何程序的解决都是现代数学的一大进步，将开辟全新的领域”．如图是根据考拉兹猜想设计的一个程序框图，则输出i的值为(　　)

A．8 B.7
C．6 D.5
答案　A
解析　a＝3，a＝1不满足，a是奇数满足，a＝10，i＝2；a＝10，a＝1不满足，a是奇数不满足，a＝5，i＝3；a＝5，a＝1不满足，a是奇数满足，a＝16，i＝4；a＝16，a＝1不满足，a是奇数不满足，a＝8，i＝5；a＝8，a＝1不满足，a是奇数不满足，a＝4，i＝6；a＝4，a＝1不满足，a是奇数不满足，a＝2，i＝7；a＝2，a＝1不满足，a是奇数不满足，a＝1，i＝8；a＝1，a＝1满足，输出i＝8.
3．庄子说：“一尺之锤，日取其半，万世不竭”，这句话描述的是一个数列问题．现用程序框图描述．如图所示，若输入某个正整数n后，输出的S∈，则输入的n的值为(　　)

A．7 B.6
C．5 D.4
答案　C
解析　第一次循环得S＝，k＝2；第二次循环得S＝，k＝3；第三次循环得S＝，k＝4；第四次循环得S＝，k＝5；第五次循环得S＝∈，k＝6，此时满足题意，退出循环，所以输入的n值为5，故选C.
题型 三　基本算法语句　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　

1．根据如图算法语句，当输入x为60时，输出y的值为(　　)

A．25 B.30
C．31 D.61
答案　C
解析　该语句表示分段函数
y＝
当x＝60时，y＝25＋0.6×(60－50)＝31.
故输出y的值为31.
2．如图程序执行后输出的结果是________．

答案　990
解析　程序反映出的算法过程为
i＝11⇒S＝11×1，i＝10；
i＝10⇒S＝11×10，i＝9；
i＝9⇒S＝11×10×9，i＝8；
i＝8<9，退出循环，执行“PRINT　S”．
故S＝990.

1．解决算法语句的三步骤
(1)通读全部语句，把它翻译成数学问题；
(2)领悟该语句的功能；
(3)根据语句的功能运行程序，解决问题．
2．算法语句应用的四关注
输入、
输出语句
在输入、输出语句中加提示信息时，要加引号，变量之间用逗号隔开
赋值语句
左、右两边不能对换，赋值号左边只能是变量
条件语句
条件语句中包含多个条件语句时，要分清内外条件结构，保证结构的完整性
循环语句
分清“当型”和“直到型”的格式，不能混用

(2019·保定模拟)根据如图所示的语句，可知输出的结果S＝________.

答案　7
解析　S＝1，I＝1；
1<8，S＝3，I＝4；
4<8，S＝5，I＝7；
7<8，S＝7，I＝10；
10>8，终止循环，输出S＝7.

　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　组　基础关
1．对任意非零实数a，b，若a⊗b的运算原理如图所示，则log24⊗－1的值为(　　)

A. B.1
C. D.2
答案　B
解析　log24＝2<3＝－1，由题意知所求值为＝1.
2．(2019·潍坊二模)执行如图所示程序框图，则输出结果为(　　)

A．－6 B.－4
C．4 D.6
答案　C
解析　第一次循环：S＝0＋(－1)×2＝－2，n＝2；
第二次循环：S＝－2＋2×2＝2，n＝3；
第三次循环：S＝2－2×3＝－4，n＝4；
第四次循环：S＝－4＋2×4＝4，n＝5>4，
此时不满足循环条件，退出循环，输出S＝4.
3．(2019·辽宁省实验中学模拟)执行如图所示的程序，若所得结果为21，则判断框中应填入(　　)

A．k≤2? B.k≤3?
C．k≤4? D.k≤5?
答案　B
解析　模拟执行程序．第一次循环，S＝1，k＝2，不满足题意；第二次循环，S＝6，k＝3，不满足题意；第三次循环，S＝21，k＝4，输出S＝21，此时满足题意．所以，判断框内应填k≤3？.故选B.
4．如图所示的程序框图是为了求出满足2n－n2>28的最小偶数n，那么在内填入及最后输出的n值分别是(　　)

A．n＝n＋1和6 B.n＝n＋2和6
C．n＝n＋1和8 D.n＝n＋2和8
答案　D
解析　由于要求出满足2n－n2>28的最小偶数，所以空白框内应填n＝n＋2，执行程序如下：
n＝0，A＝20－02＝1≤28；
n＝2，A＝22－22＝0≤28；
n＝4，A＝24－42＝0≤28；
n＝6，A＝26－62＝28≤28；
n＝8，A＝28－82＝192>28，
输出n＝8，所以选D.
5．执行如图的程序框图，依次输入x1＝17，x2＝19，x3＝20，x4＝21，x5＝23，则输出的S值及其统计意义分别是(　　)

A．S＝4，即5个数据的方差为4
B．S＝4，即5个数据的标准差为4
C．S＝20，即5个数据的方差为20
D．S＝20，即5个数据的标准差为20
答案　A
解析　由题意知，S＝
，其统计意义为5个数据的方差．将x1＝17，x2＝19，x3＝20，x4＝21，x5＝23代入，得S＝4.
6．(2020·宜春摸底)如图是根据所输入的x值计算y值的一个算法程序，若x依次取数列(n∈N*)的项，则所得y值的最小值为(　　)

A．4 B.9
C．16 D.20
答案　C
解析　由条件语句知，y＝又＝n＋≥4(当且仅当n＝2时等号成立)，所以当x＝4时，y有最小值42＝16.故选C.
7．(2019·华中师范大学第一附中模拟)我国古代数学名著《九章算术》里有一道关于玉石的问题：“今有玉方一寸，重七两；石方一寸，重六两．今有石方三寸，中有玉，并重十一斤(176两)．问玉、石重各几何？”其意思为：“宝玉1立方寸重7两，石料1立方寸重6两，现有宝玉和石料混合在一起的一个正方体，棱长是3寸，重11斤(即176两)，问这个正方体中的宝玉和石料各多少两？”如图所示的程序框图反映了对此题的一个求解算法，运行该程序框图，则输出的x，y分别为(　　)

A．90,86 B.94,82
C．98,78 D.102,74
答案　C
解析　初始值x＝86.第一次循环：y＝176－86＝90，S＝×86＋×90≠27；第二次循环：x＝90，y＝176－90＝86，S＝×90＋×86≠27；第三次循环：x＝94，y＝176－94＝82，S＝×94＋×82≠27；第四次循环：x＝98，y＝176－98＝78，S＝×98＋×78＝27，满足输出条件，输出的x，y分别为98,78.故选C.
8．按照如图程序运行，则输出的K的值是________．

答案　3
解析　第一次循环，X＝7，K＝1；
第二次循环，X＝15，K＝2；
第三次循环，X＝31，K＝3，X>16，
终止循环，则输出K的值是3.
9.执行如图的程序框图，则输出的n值是________．

答案　9
解析　执行程序框图：
当n＝1时，S＝＝；
当n＝3时，S＝＋＝；
当n＝5时，S＝＋＋＝；
当n＝7时，S＝＋＋＋＝；
当n＝9时，满足循环终止的条件．退出循环，输出n的值是9.
10．执行如图所示的程序框图，如果输入的x，y∈R，那么输出的S的最大值为________．

答案　2
解析　
当条件x≥0，y≥0，x＋y≤1不成立时，输出S的值为1，当条件x≥0，y≥0，x＋y≤1成立时，输出S＝2x＋y，下面用线性规划的方法求此时S的最大值．作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，由图可知当直线S＝2x＋y经过点M(1,0)时S最大，其最大值为2×1＋0＝2，故输出S的最大值为2.
　组　能力关
1．(2019·江西省重点中学协作体第一次联考)《九章算术》是中国古代数学专著，其中的“更相减损术”可以用来求两个数的最大公约数，即“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之”．翻译成现代语言如下：第一步，任意给定两个正整数，判断它们是否都是偶数，若是，用2约简；若不是，执行第二步．第二步，以较大的数减去较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数，继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数(等数)或这个数与约简的数的乘积就是所求的最大公约数．现给出更相减损术的程序框图如图所示，如果输入的a＝114，b＝30，则输出的n为(　　)
A．3 B.6
C．7 D.8
答案　C
解析　开始执行程序框图k＝1，n＝0，a＝114，b＝30，满足a，b都是偶数，则a＝＝57，b＝＝15，k＝2；不满足a，b都是偶数，且不满足a＝b，满足a>b，则a＝57－15＝42，n＝1；不满足a＝b，满足a>b，则a＝42－15＝27，n＝2；不满足a＝b，满足a>b，则a＝27－15＝12，n＝3；不满足a＝b，不满足a>b，则c＝12，a＝15，b＝12，则a＝15－12＝3，n＝4；不满足a＝b，不满足a>b，则c＝3，a＝12，b＝3，则a＝12－3＝9，n＝5；不满足a＝b，满足a>b，则a＝9－3＝6，n＝6；不满足a＝b，满足a>b，则a＝6－3＝3，n＝7，满足a＝b，结束循环，输出n＝7.故选C.
2．(2019·湖北四地七校联考)运行如图所示的程序框图，设输出的数据构成集合A，从集合A中任取一个元素a，则函数y＝xa在(0，＋∞)上是增函数的概率为(　　)

A. B.
C. D.
答案　C
解析　执行题中的程序框图，可知：第一次循环：满足i＜1，y＝(－2)2－2×(－2)＝8，输出y＝8，i＝－1；第二次循环：满足i＜1，y＝(－1)2－2×(－1)＝3，输出y＝3，i＝0；第三次循环：满足i＜1，y＝02－2×0＝0，输出y＝0，i＝1，此时终止循环，所以输出的数据构成的集合A＝{8,3,0}，所以从集合A中任取一个元素a，则函数y＝xa在(0，＋∞)是增函数的概率为P＝，故选C.
3．习总书记在十九大报告中指出：坚定文化自信，推动社会主义文化繁荣兴盛．如图1，“大衍数列”：0,2,4,8，12……来源于《乾坤谱》中对《易传》“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和．图2是求大衍数列前n项和的程序框图，执行该程序框图，输入m＝6，则输出的S＝(　　)

A．26 B.44
C．68 D.100
答案　B
解析　第一次运行，n＝1，a＝＝0，S＝0＋0＝0，不符合n≥m，继续运行；第二次运行，n＝2，a＝＝2，S＝0＋2＝2，不符合n≥m，继续运行；第三次运行，n＝3，a＝＝4，S＝2＋4＝6，不符合n≥m，继续运行；第四次运行，n＝4，a＝＝8，S＝6＋8＝14，不符合n≥m，继续运行；第五次运行，n＝5，a＝＝12，S＝14＋12＝26，不符合n≥m，继续运行；第六次运行，n＝6，a＝＝18，S＝26＋18＝44，符合n≥m，输出S＝44，故选B.
4．运行如图所示的程序框图，可输出B＝________，C＝________.

答案　　2
解析　若直线x＋By＋C＝0与直线x＋y－2＝0平行，则B＝，且C≠－2，若直线x＋y＋C＝0与圆x2＋y2＝1相切，则＝1，解得C＝±2，又C≠－2，所以C＝2.
5．执行如图所示的程序框图，当①是i<6时，输出的S值为________；当①是i<2020时，输出的S值为________．

答案　5　2020
解析　当①是i<6时，当i＝1时，a1＝cos＋1＝1，S＝1；
当i＝2时，a2＝cos＋1＝0，S＝1；
当i＝3时，a3＝cos＋1＝1，S＝1＋1＝2；
当i＝4时，a4＝cos＋1＝2，S＝2＋2＝4；
当i＝5时，a5＝cos＋1＝1，S＝4＋1＝5；
当i＝6时，a6＝cos＋1＝0，S＝5＋0＝5.
此时不满足条件，输出S＝5.
当①是i<2020时，因为ai＝cos＋1的周期为4，所以a1＋a2＋a3＋a4＝4，所以S＝a1＋a2＋…＋a2020＝505(a1＋a2＋a3＋a4)＝505×4＝2020.