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2021届高考数学人教版一轮创新教学案：第11章第3讲 合情推理与演绎推理
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第3讲 合情推理与演绎推理
[考纲解读] 1.了解合情推理和演绎推理的含义，能进行简单的归纳推理和类比推理．(重点)
2．掌握演绎推理的三段论，并能运用三段论进行一些简单的推理．
3．弄清推理的一般步骤：①实验、观察、比较；②概括、联想、类推、推广；③猜想新结论．
[考向预测] 从近三年高考情况来看，演绎推理贯穿于整个高考试卷的始末，而合情推理时有考查．预测2021年将会考查归纳猜想及类比推理的应用．题型为客观题，试题具有一定的综合性，属中等难度试题.
1.推理
(1)定义：根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程就是推理．
(2)分类：推理一般分为合情推理和演绎推理．
2．合情推理
(1)定义：根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理叫做合情推理．
(2)分类：数学中常用的合情推理有归纳推理和类比推理．
(3)归纳和类比推理的定义、特征
名称
归纳推理
类比推理
定义
由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，叫做归纳推理
由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理，叫做类比推理
特征
由部分到整体、由个别到一般的推理
由特殊到特殊的推理
3．演绎推理
(1)定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理，简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理．
(2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：
①大前提——已知的一般原理；
②小前提——所研究的特殊情况；
③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．
1．概念辨析
(1)归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确．( )
(2)由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理．( )
(3)把a(b＋c)与sin(x＋y)类比，则有sin(x＋y)＝sinx＋siny，此推理是正确的．( )
(4)演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确时，得到的结论一定正确．( )
答案 (1)× (2)√ (3)× (4)√
2．小题热身
(1)①已知a是三角形一边的长，h是该边上的高，则三角形的面积是ah，如果把扇形的弧长l，半径r分别看成三角形的底边长和高，可得到扇形的面积为lr；②由1＝12,1＋3＝22,1＋3＋5＝32，可得到1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2，则①②两个推理过程分别属于( )
A．类比推理、归纳推理 B.类比推理、演绎推理
C．归纳推理、类比推理 D.归纳推理、演绎推理
答案 A
解析 ①由三角形的面积公式得到扇形的面积公式有相似之处，此种推理为类比推理；②由特殊到一般，此种推理为归纳推理．
(2)正弦函数是奇函数，f(x)＝sin(x2＋1)是正弦函数，因此f(x)＝sin(x2＋1)是奇函数，以上推理( )
A．结论正确 B.大前提不正确
C．小前提不正确 D.全不正确
答案 C
解析 f(x)＝sin(x2＋1)不是正弦函数．
(3)已知数列{an}中，a1＝1，n≥2时，an＝an－1＋2n－1，依次计算a2，a3，a4后，猜想an的表达式是( )
A．an＝3n－1 B.an＝4n－3
C．an＝n2 D.an＝3n－1
答案 C
解析 a1＝1，a2＝4，a3＝9，a4＝16，猜想an＝n2.
(4)在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4，类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为________．
答案 1∶8
解析 ＝＝·＝×＝.
题型 一 类比推理
1．等差数列{an}的公差为d，前n项的和为Sn，则数列为等差数列，公差为.类似地，若各项均为正数的等比数列{bn}的公比为q，前n项的积为Tn，则等比数列{}的公比为( )
A. B.q2
C. D.
答案 C
解析 ∵在等差数列{an}中前n项的和为Sn的通项，
且可写成＝a1＋(n－1)×.所以在等比数列{bn}中应研究前n项的积为Tn的开n次方的形式．类比可得＝b1()n－1，其公比为.
2．(2019·揭阳模拟)已知结论：“在△ABC中，各边和它所对角的正弦比相等，即＝＝”，若把该结论推广到空间，则有结论：“在三棱锥A－BCD中，侧棱AB与平面ACD，平面BCD所成的角为α，β”，则有( )
A.＝ B.＝
C.＝ D.＝
答案 C
解析 分别过B，A作平面ACD、平面BCD的垂线，垂足分别为E，F，则∠BAE＝α，∠ABF＝β，VB－ACD＝S△ACD·BE＝S△ACD·AB·sinα，VA－BCD＝S△BCD·AF＝S△BCD·AB·sinβ，又S△ACD·AB·sinα＝S△BCD·AB·sinβ，即＝.
1．类比推理的四个角度和四个原则
(1)四个角度
类比推理是由特殊到特殊的推理，可以从以下几个方面考虑类比：
①类比的定义：如等差、等比数列的定义，见举例说明1；
②类比的性质：如椭圆、双曲线的性质；
③类比的方法：如基本不等式与柯西不等式；
④类比的结构：如三角形的内切圆与三棱锥的内切球．
(2)四个原则
①长度类比面积；
②面积类比体积；
③平面类比空间见举例说明2；
④和类比积，差类比商．
2．类比推理的一般步骤
(1)找出两类事物之间的相似性或一致性．
(2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)．
3．常见的类比推理题型的求解策略
在进行类比推理时，不仅要注意形式的类比，还要注意方法的类比，且要注意以下两点：(1)找两类对象的对应元素，如三角形对应三棱锥，圆对应球，面积对应体积等等；(2)找对应元素的对应关系，如两条边(直线)垂直对应线面垂直或面面垂直，边相等对应面积相等．
(2019·榆林一模)我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量．在平面直角坐标系中，利用求动点轨迹方程的方法，可以求出过点A(－2,3)且法向量为n＝(4，－1)的直线(点法式)方程为4×(x＋2)＋(－1)×(y－3)＝0，化简得4x－y＋11＝0.类比以上方法，在空间直角坐标系中，经过点B(2,3,4)且法向量为m＝(－1，－2,1)的平面(点法式)方程为________．
答案 x＋2y－z－4＝0
解析 将平面中的运算类比到空间中的运算有：经过点B(2,3,4)且法向量为m＝(－1，－2,1)的平面(点法式)方程为(－1)×(x－2)＋(－2)×(y－3)＋1×(z－4)＝0，化简得x＋2y－z－4＝0.
题型 二 归纳推理
角度1 与数字有关的归纳推理
1．(2019·新乡模拟)观察下列各式110×248＝248,11×248＝2728,112×248＝30008,113×248＝330088,114×248＝3630968，…，则1199×248的十位数是( )
A．2 B.4
C．6 D.8
答案 C
解析 记11n×248的十位数为an，经观察易得：a0＝4，a1＝2，a2＝0，a3＝8，a4＝6，a5＝4，a6＝2，…，则可归纳出{an}的周期为5，则a99＝a4＝6.
角度2 与式子有关的归纳推理
2．(2019·洛阳模拟)有下列一组不等式：＋>，＋＋>，＋＋＋>，＋＋＋＋>，…，根据这一规律，若第19个不等式为＋＋＋…＋>，则m＋n＝________.
答案 61
解析 因为由＋>，＋＋>，＋＋＋>，＋＋＋＋>，…，根据这一规律，则第k个不等式为＋＋…＋>，若第19个不等式为＋＋＋…＋>，即m＝k＋2＝21，n＝2k＋2＝40，所以m＝21，n＝40，即m＋n＝61.
角度3 与图形有关的归纳推理
3．(2019·马鞍山模拟)毕达哥拉斯学派在世界数学史上首次建立了数和形之间的联系，讨论了各种平面数(包括三角形数、正方形数、长方形数、五边形数等)，甚至将平面数推广到了立体数，如图所示：
其中三棱锥数依次为1,4,10，…，则第20个三棱锥数为________．
答案 1540
解析 由棱锥数依次为1,1＋3,1＋3＋6,1＋3＋6＋10,1＋3＋6＋10＋15，
则S1＝1，S2＝3，S3＝6，S4＝10，S5＝15，
Sn＝1＋2＋3＋…＋n＝＝(n2＋n)，
则Tn＝S1＋S2＋S3＋…＋Sn
＝×(12＋1＋22＋2＋32＋3＋…＋n2＋n)，
＝×[(12＋22＋32＋…＋n2)＋(1＋2＋3＋…＋n)]
＝n(n＋1)(2n＋1)＋n(n＋1)
＝n(n＋1)(n＋2)，
∴T20＝×20×21×22＝1540.
归纳推理问题的常见类型及解题策略
(1)与数字有关的等式的推理．观察数字特点，找出等式左右两侧的规律及符号可解．见举例说明1.
(2)与式子有关的归纳推理
①与不等式有关的推理．观察每个不等式的特点，注意是纵向看，找到规律后可解．见举例说明2.
②与数列有关的推理．通常是先求出几个特殊项，采用不完全归纳法，找出数列的项与项数的关系，列出即可．
(3)与图形变化有关的推理．合理利用特殊图形归纳推理得出结论，并用赋值检验法验证其真伪性．见举例说明3.
1．(2019·萍乡一模)对于大于或等于2的自然数m的n次幂进行如图方式的“分裂”．仿此，52的“分裂”中最大的数是________，若m3的“分裂”中最小的数是211，则m的值为________．
答案 9 15
解析 根据所给的数据，不难发现：在n2中所分解的最大的数是2n－1；在n3中，所分解的最小数是n2－n＋1. 根据发现的规律可求52分裂中，最大数是5×2－1＝9；若m3的“分裂”中最小数是211，则n2－n＋1＝211，解得n＝15或－14(舍去)．
2．(2019·山东省实验中学模拟)观察下列式子，ln 2>，ln 3>＋，ln 4>＋＋，….根据上述规律，第n个不等式应为________．
答案 ln (n＋1)>＋＋＋…＋(n∈N*)
解析 由ln 2>，ln 3>＋，ln 4>＋＋，…，归纳得到ln (n＋1)>＋＋＋…＋(n∈N*)．
3．分形几何学是数学家伯努瓦·曼德尔布罗在20世纪70年代创立的一门新的数学学科，它的创立为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路．按照如图(1)所示的分形规律可得如图(2)所示的一个树形图．若记图(2)中第n行黑圈的个数为an，则a2020＝________.
答案
解析 根据题图(1)所示的分形规律，可知1个白圈分形为2个白圈1个黑圈，1个黑圈分形为1个白圈2个黑圈，把题图(2)中的树形图的第1行记为(1,0)，第2行记为(2,1)，第3行记为(5,4)，第4行的白圈数为2×5＋4＝14，黑圈数为5＋2×4＝13，所以第4行的“坐标”为(14,13)，同理可得第5行的“坐标”为(41,40)，第6行的“坐标”为(122,121)，….各行黑圈数乘2，分别是0,2,8,26,80，…，即1－1，3－1，9－1,27－1,81－1，…，所以可以归纳出第n行的黑圈数an＝(n∈N*)，所以a2020＝.
题型 三 演绎推理
1．(2019·全国卷Ⅱ)在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测．
甲：我的成绩比乙高．
乙：丙的成绩比我和甲的都高．
丙：我的成绩比乙高．
成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为( )
A．甲、乙、丙 B.乙、甲、丙
C．丙、乙、甲 D.甲、丙、乙
答案 A
解析 由于三人成绩互不相同且只有一个人预测正确．若甲预测正确，则乙、丙预测错误，于是三人按成绩由高到低的次序为甲、乙、丙；若甲预测错误，则甲、乙按成绩由高到低的次序为乙、甲，又假设丙预测正确，则乙、丙按成绩由高到低的次序为丙、乙，于是甲、乙、丙按成绩由高到低排序为丙、乙、甲，从而乙的预测也正确，与事实矛盾；若甲、丙预测错误，则可推出乙的预测也错误．综上所述，三人按成绩由高到低的次序为甲、乙、丙．故选A.
2．数列{an}的前n项和记为Sn，已知a1＝1，an＋1＝Sn(n∈N*)．证明：
(1)数列是等比数列；
(2)Sn＋1＝4an.
证明 (1)∵an＋1＝Sn＋1－Sn，an＋1＝Sn，
∴(n＋2)Sn＝n(Sn＋1－Sn)，即nSn＋1＝2(n＋1)Sn.
∴＝2·，又＝1≠0，(小前提)
故是以1为首项，2为公比的等比数列．(结论)
(大前提是等比数列的定义，这里省略了)
(2)由(1)可知＝4·(n≥2)，
∴Sn＋1＝4(n＋1)·＝4··Sn－1
＝4an(n≥2)，(小前提)
又a2＝3S1＝3，S2＝a1＋a2＝1＋3＝4＝4a1，(小前提)
∴对于任意正整数n，都有Sn＋1＝4an.(结论)
(第(2)问的大前提是第(1)问的结论以及题中的已知条件)
1．推理案例问题
比类问题条件较多，做题时往往感到不知从哪里找到突破点，解答这类问题，一定要仔细阅读题文，逐条分析所给条件，并将其引伸，找到各条件的融汇之处和矛盾之处，多次应用假设、排除、验证，清理出有用“线索”，找准突破点，从而使问题得到解决．见举例说明1.
2．三段论的应用
(1)三段论推理的依据是：如果集合M的所有元素都具有性质P，S是M的子集，那么S中所有元素都具有性质P.
(2)应用三段论的注意点：解决问题时，首先应该明确什么是大前提，小前提，然后再找结论．见举例说明2.
提醒：合情推理的结论是猜想，不一定正确；演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确时，得到的结论一定正确.
1．(2019·宁夏平罗中学模拟)2018年4月4日，中国诗词大会第三季总决赛如期举行，依据规则：本场比赛共有甲、乙、丙、丁、戊五位选手有机会问鼎冠军，某家庭中三名诗词爱好者依据选手在之前比赛中的表现，结合自己的判断，对本场比赛的冠军进行了如下猜测：
爸爸：冠军是乙或丁；
妈妈：冠军一定不是丙和丁；
孩子：冠军是甲或戊．
比赛结束后发现：三人中只有一个人的猜测是对的，那么冠军是________．
答案 丁
解析 若冠军是甲或戊，孩子与妈妈判断都正确，不符合题意；若冠军是乙，爸爸与妈妈判断都正确，不符合题意；若冠军是丙，三个人判断都不正确，不符合题意；若冠军是丁，只有爸爸判断正确，符合题意，故答案为丁．
2．设函数f(x)是定义在R上的奇函数，对任意实数x有f＝－f成立．
证明y＝f(x)是周期函数，并指出其周期．
证明 由f＝－f，且f(－x)＝
－f(x)，知f(3＋x)＝f＝－f＝－f(－x)＝f(x)，所以y＝f(x)是周期函数，且T＝3是其一个周期．
组 基础关
1．下面四个推导过程符合演绎推理三段论形式且推理正确的是( )
A．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无理数；结论：π是无限不循环小数
B．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无限不循环小数；结论：π是无理数
C．大前提：π是无限不循环小数；小前提：无限不循环小数是无理数；结论：π是无理数
D．大前提：π是无限不循环小数；小前提：π是无理数；结论：无限不循环小数是无理数
答案 B
解析 对于A，小前提与大前提间逻辑错误，不符合演绎推理三段论形式；对于B，符合演绎推理三段论形式且推理正确；对于C，大小前提颠倒，不符合演绎推理三段论形式；对于D，大小前提及结论颠倒，不符合演绎推理三段论形式．
2．已知13＋23＝2,13＋23＋33＝2,13＋23＋33＋43＝2，…，若13＋23＋33＋43＋…＋n3＝3025，则n＝( )
A．8 B.9
C．10 D.11
答案 C
解析 观察所提供的式子可知，等号左边最后一个数是n3时，等号右边的数为2，因此，令2＝3025，则＝55，n＝10或n＝－11(舍去)．
3．我们知道：在平面内，点(x0，y0)到直线Ax＋By＋C＝0的距离公式d＝，通过类比的方法，可求得：在空间中，点(2,4,1)到直线x＋2y＋2z＋3＝0的距离为( )
A．3 B.5
C. D.3
答案 B
解析 利用类比的方法，在空间中，点(x0，y0，z0)到直线Ax＋By＋Cz＋D＝0的距离d′＝，所以点(2,4,1)到平面x＋2y＋2z＋3＝0的距离d＝＝＝5.
4．设△ABC的三边长分别为a，b，c，△ABC的面积为S，内切圆半径为r，则r＝，类比这个结论可知，四面体S－ABC的四个面的面积分别为S1，S2，S3，S4，内切球半径为R，四面体S－ABC的体积为V，则R等于( )
A. B.
C. D.
答案 C
解析 设四面体的内切球的球心为O，则球心O到四个面的距离都是R，由平面图形中r的求解过程类比空间图形中R的求解过程可得四面体的体积等于以O为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和，则四面体的体积为V＝V四面体S－ABC＝(S1＋S2＋S3＋S4)R，所以R＝.故选C.
5．已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，Sn＝n2an(n∈N*)，试归纳猜想出Sn的表达式为( )
A．Sn＝ B.Sn＝
C．Sn＝ D.Sn＝
答案 A
解析 ∵Sn＝n2an＝n2(Sn－Sn－1)，∴Sn＝·Sn－1，又S1＝a1＝1，则S2＝，S3＝＝，S4＝.∴猜想得Sn＝，故选A.
6．若数列{an}是等差数列，对于bn＝(a1＋a2＋…＋an)，则数列{bn}也是等差数列．类比上述性质，若数列{cn}是各项都为正数的等比数列，对于dn>0，则dn＝________时，数列{dn}也是等比数列．
答案
解析 在类比等差数列的性质推理等比数列的性质时，我们一般的思路有：由加法类比推理为乘法，由减法类比推理为除法，由算术平均数类比推理为几何平均数等，故我们可以由数列{an}是等差数列，则当bn＝(a1＋a2＋…＋an)时，数列{bn}也是等差数列．类比推断：若数列{cn}是各项均为正数的等比数列，则当dn＝时，数列{dn}也是等比数列．
7．甲、乙、丙三人各从图书馆借来一本书，他们约定读完后互相交换．三人都读完了这三本书之后，甲说：“我最后读的书与丙读的第二本书相同．”乙说：“我读的第二本书与甲读的第一本书相同．”根据以上说法，推断乙读的最后一本书是________读的第一本书．
答案 丙
解析 因为共有三本书，而乙读的第一本书与第二本书已经明确，只有丙读的第一本书乙还没有读，所以乙读的最后一本书是丙读的第一本书．
8．已知点A(x1，ax1)，B(x2，ax2)是函数y＝ax的图象上任意不同的两点，依据图象可知，线段AB总是位于A，B两点之间函数图象的上方，因此有>a成立．运用类比思想方法可知，若点A(x1，sinx1)，B(x2，sinx2)是函数y＝sinx(x∈(0，π))图象上任意不同的两点，则类似地有______________成立．
答案
1．已知f(x)＝，设f1(x)＝f(x)，fn(x)＝
fn－1[fn－1(x)](n>1，n∈N*)，若fm(x)＝(m∈N*)，则m＝( )
A．9 B.10
C．11 D.126
答案 B
解析 由题意可得f2(x)＝f1[f1(x)]＝f1＝＝，同理可得，f3(x)＝，f4(x)＝，f5(x)＝，…，fn(x)＝，由fm(x)＝(m∈N*)恒成立，可得2m－2＝256＝28，即有m－2＝8，即m＝10.
2．如图，平面上，点A，C为射线PM上的两点，点B，D为射线PN上的两点，则有＝(其中S△PAB，S△PCD分别为△PAB，△PCD的面积)；空间中，点A，C为射线PM上的两点，点B，D为射线PN上的两点，点E，F为射线PL上的两点，则有＝________(其中VP－ABE，VP－CDF分别为四面体P－ABE，P－CDF的体积)．
答案
解析 设PM与平面PDF所成的角为α，
则A到平面PDF的距离h1＝PAsinα，C到平面PDF的距离h2＝PCsinα，∴VP－ABE＝VA－PBE＝S△PBE·h1，VP－CDF＝VC－PDF＝S△PDF·h2，
∴＝＝＝.
3．(2019·青岛三模)在《九章算术》方田章“圆田术”(刘徽注)中指出：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，注述中所用的剖圆术所体现的是一种无限与有限转化的思想比如在中“…”即代表无限次重复，但原数却是个定数x，这可以通过＝x确定出来x＝2，类似地可得到1＋＋＋…＋＋…＝________.
答案
解析 类比已知算式，1＋＋＋…＋＋…
＝1＋×.
可令1＋＋＋…＋＋…＝x，
则1＋x＝x，解得x＝.
第3讲 合情推理与演绎推理
[考纲解读] 1.了解合情推理和演绎推理的含义，能进行简单的归纳推理和类比推理．(重点)
2．掌握演绎推理的三段论，并能运用三段论进行一些简单的推理．
3．弄清推理的一般步骤：①实验、观察、比较；②概括、联想、类推、推广；③猜想新结论．
[考向预测] 从近三年高考情况来看，演绎推理贯穿于整个高考试卷的始末，而合情推理时有考查．预测2021年将会考查归纳猜想及类比推理的应用．题型为客观题，试题具有一定的综合性，属中等难度试题.
1.推理
(1)定义：根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程就是推理．
(2)分类：推理一般分为合情推理和演绎推理．
2．合情推理
(1)定义：根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理叫做合情推理．
(2)分类：数学中常用的合情推理有归纳推理和类比推理．
(3)归纳和类比推理的定义、特征
名称
归纳推理
类比推理
定义
由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，叫做归纳推理
由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理，叫做类比推理
特征
由部分到整体、由个别到一般的推理
由特殊到特殊的推理
3．演绎推理
(1)定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理，简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理．
(2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：
①大前提——已知的一般原理；
②小前提——所研究的特殊情况；
③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．
1．概念辨析
(1)归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确．( )
(2)由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理．( )
(3)把a(b＋c)与sin(x＋y)类比，则有sin(x＋y)＝sinx＋siny，此推理是正确的．( )
(4)演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确时，得到的结论一定正确．( )
答案 (1)× (2)√ (3)× (4)√
2．小题热身
(1)①已知a是三角形一边的长，h是该边上的高，则三角形的面积是ah，如果把扇形的弧长l，半径r分别看成三角形的底边长和高，可得到扇形的面积为lr；②由1＝12,1＋3＝22,1＋3＋5＝32，可得到1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2，则①②两个推理过程分别属于( )
A．类比推理、归纳推理 B.类比推理、演绎推理
C．归纳推理、类比推理 D.归纳推理、演绎推理
答案 A
解析 ①由三角形的面积公式得到扇形的面积公式有相似之处，此种推理为类比推理；②由特殊到一般，此种推理为归纳推理．
(2)正弦函数是奇函数，f(x)＝sin(x2＋1)是正弦函数，因此f(x)＝sin(x2＋1)是奇函数，以上推理( )
A．结论正确 B.大前提不正确
C．小前提不正确 D.全不正确
答案 C
解析 f(x)＝sin(x2＋1)不是正弦函数．
(3)已知数列{an}中，a1＝1，n≥2时，an＝an－1＋2n－1，依次计算a2，a3，a4后，猜想an的表达式是( )
A．an＝3n－1 B.an＝4n－3
C．an＝n2 D.an＝3n－1
答案 C
解析 a1＝1，a2＝4，a3＝9，a4＝16，猜想an＝n2.
(4)在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4，类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为________．
答案 1∶8
解析 ＝＝·＝×＝.
题型 一 类比推理
1．等差数列{an}的公差为d，前n项的和为Sn，则数列为等差数列，公差为.类似地，若各项均为正数的等比数列{bn}的公比为q，前n项的积为Tn，则等比数列{}的公比为( )
A. B.q2
C. D.
答案 C
解析 ∵在等差数列{an}中前n项的和为Sn的通项，
且可写成＝a1＋(n－1)×.所以在等比数列{bn}中应研究前n项的积为Tn的开n次方的形式．类比可得＝b1()n－1，其公比为.
2．(2019·揭阳模拟)已知结论：“在△ABC中，各边和它所对角的正弦比相等，即＝＝”，若把该结论推广到空间，则有结论：“在三棱锥A－BCD中，侧棱AB与平面ACD，平面BCD所成的角为α，β”，则有( )
A.＝ B.＝
C.＝ D.＝
答案 C
解析 分别过B，A作平面ACD、平面BCD的垂线，垂足分别为E，F，则∠BAE＝α，∠ABF＝β，VB－ACD＝S△ACD·BE＝S△ACD·AB·sinα，VA－BCD＝S△BCD·AF＝S△BCD·AB·sinβ，又S△ACD·AB·sinα＝S△BCD·AB·sinβ，即＝.
1．类比推理的四个角度和四个原则
(1)四个角度
类比推理是由特殊到特殊的推理，可以从以下几个方面考虑类比：
①类比的定义：如等差、等比数列的定义，见举例说明1；
②类比的性质：如椭圆、双曲线的性质；
③类比的方法：如基本不等式与柯西不等式；
④类比的结构：如三角形的内切圆与三棱锥的内切球．
(2)四个原则
①长度类比面积；
②面积类比体积；
③平面类比空间见举例说明2；
④和类比积，差类比商．
2．类比推理的一般步骤
(1)找出两类事物之间的相似性或一致性．
(2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)．
3．常见的类比推理题型的求解策略
在进行类比推理时，不仅要注意形式的类比，还要注意方法的类比，且要注意以下两点：(1)找两类对象的对应元素，如三角形对应三棱锥，圆对应球，面积对应体积等等；(2)找对应元素的对应关系，如两条边(直线)垂直对应线面垂直或面面垂直，边相等对应面积相等．
(2019·榆林一模)我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量．在平面直角坐标系中，利用求动点轨迹方程的方法，可以求出过点A(－2,3)且法向量为n＝(4，－1)的直线(点法式)方程为4×(x＋2)＋(－1)×(y－3)＝0，化简得4x－y＋11＝0.类比以上方法，在空间直角坐标系中，经过点B(2,3,4)且法向量为m＝(－1，－2,1)的平面(点法式)方程为________．
答案 x＋2y－z－4＝0
解析 将平面中的运算类比到空间中的运算有：经过点B(2,3,4)且法向量为m＝(－1，－2,1)的平面(点法式)方程为(－1)×(x－2)＋(－2)×(y－3)＋1×(z－4)＝0，化简得x＋2y－z－4＝0.
题型 二 归纳推理
角度1 与数字有关的归纳推理
1．(2019·新乡模拟)观察下列各式110×248＝248,11×248＝2728,112×248＝30008,113×248＝330088,114×248＝3630968，…，则1199×248的十位数是( )
A．2 B.4
C．6 D.8
答案 C
解析 记11n×248的十位数为an，经观察易得：a0＝4，a1＝2，a2＝0，a3＝8，a4＝6，a5＝4，a6＝2，…，则可归纳出{an}的周期为5，则a99＝a4＝6.
角度2 与式子有关的归纳推理
2．(2019·洛阳模拟)有下列一组不等式：＋>，＋＋>，＋＋＋>，＋＋＋＋>，…，根据这一规律，若第19个不等式为＋＋＋…＋>，则m＋n＝________.
答案 61
解析 因为由＋>，＋＋>，＋＋＋>，＋＋＋＋>，…，根据这一规律，则第k个不等式为＋＋…＋>，若第19个不等式为＋＋＋…＋>，即m＝k＋2＝21，n＝2k＋2＝40，所以m＝21，n＝40，即m＋n＝61.
角度3 与图形有关的归纳推理
3．(2019·马鞍山模拟)毕达哥拉斯学派在世界数学史上首次建立了数和形之间的联系，讨论了各种平面数(包括三角形数、正方形数、长方形数、五边形数等)，甚至将平面数推广到了立体数，如图所示：
其中三棱锥数依次为1,4,10，…，则第20个三棱锥数为________．
答案 1540
解析 由棱锥数依次为1,1＋3,1＋3＋6,1＋3＋6＋10,1＋3＋6＋10＋15，
则S1＝1，S2＝3，S3＝6，S4＝10，S5＝15，
Sn＝1＋2＋3＋…＋n＝＝(n2＋n)，
则Tn＝S1＋S2＋S3＋…＋Sn
＝×(12＋1＋22＋2＋32＋3＋…＋n2＋n)，
＝×[(12＋22＋32＋…＋n2)＋(1＋2＋3＋…＋n)]
＝n(n＋1)(2n＋1)＋n(n＋1)
＝n(n＋1)(n＋2)，
∴T20＝×20×21×22＝1540.
归纳推理问题的常见类型及解题策略
(1)与数字有关的等式的推理．观察数字特点，找出等式左右两侧的规律及符号可解．见举例说明1.
(2)与式子有关的归纳推理
①与不等式有关的推理．观察每个不等式的特点，注意是纵向看，找到规律后可解．见举例说明2.
②与数列有关的推理．通常是先求出几个特殊项，采用不完全归纳法，找出数列的项与项数的关系，列出即可．
(3)与图形变化有关的推理．合理利用特殊图形归纳推理得出结论，并用赋值检验法验证其真伪性．见举例说明3.
1．(2019·萍乡一模)对于大于或等于2的自然数m的n次幂进行如图方式的“分裂”．仿此，52的“分裂”中最大的数是________，若m3的“分裂”中最小的数是211，则m的值为________．
答案 9 15
解析 根据所给的数据，不难发现：在n2中所分解的最大的数是2n－1；在n3中，所分解的最小数是n2－n＋1. 根据发现的规律可求52分裂中，最大数是5×2－1＝9；若m3的“分裂”中最小数是211，则n2－n＋1＝211，解得n＝15或－14(舍去)．
2．(2019·山东省实验中学模拟)观察下列式子，ln 2>，ln 3>＋，ln 4>＋＋，….根据上述规律，第n个不等式应为________．
答案 ln (n＋1)>＋＋＋…＋(n∈N*)
解析 由ln 2>，ln 3>＋，ln 4>＋＋，…，归纳得到ln (n＋1)>＋＋＋…＋(n∈N*)．
3．分形几何学是数学家伯努瓦·曼德尔布罗在20世纪70年代创立的一门新的数学学科，它的创立为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路．按照如图(1)所示的分形规律可得如图(2)所示的一个树形图．若记图(2)中第n行黑圈的个数为an，则a2020＝________.
答案
解析 根据题图(1)所示的分形规律，可知1个白圈分形为2个白圈1个黑圈，1个黑圈分形为1个白圈2个黑圈，把题图(2)中的树形图的第1行记为(1,0)，第2行记为(2,1)，第3行记为(5,4)，第4行的白圈数为2×5＋4＝14，黑圈数为5＋2×4＝13，所以第4行的“坐标”为(14,13)，同理可得第5行的“坐标”为(41,40)，第6行的“坐标”为(122,121)，….各行黑圈数乘2，分别是0,2,8,26,80，…，即1－1，3－1，9－1,27－1,81－1，…，所以可以归纳出第n行的黑圈数an＝(n∈N*)，所以a2020＝.
题型 三 演绎推理
1．(2019·全国卷Ⅱ)在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测．
甲：我的成绩比乙高．
乙：丙的成绩比我和甲的都高．
丙：我的成绩比乙高．
成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为( )
A．甲、乙、丙 B.乙、甲、丙
C．丙、乙、甲 D.甲、丙、乙
答案 A
解析 由于三人成绩互不相同且只有一个人预测正确．若甲预测正确，则乙、丙预测错误，于是三人按成绩由高到低的次序为甲、乙、丙；若甲预测错误，则甲、乙按成绩由高到低的次序为乙、甲，又假设丙预测正确，则乙、丙按成绩由高到低的次序为丙、乙，于是甲、乙、丙按成绩由高到低排序为丙、乙、甲，从而乙的预测也正确，与事实矛盾；若甲、丙预测错误，则可推出乙的预测也错误．综上所述，三人按成绩由高到低的次序为甲、乙、丙．故选A.
2．数列{an}的前n项和记为Sn，已知a1＝1，an＋1＝Sn(n∈N*)．证明：
(1)数列是等比数列；
(2)Sn＋1＝4an.
证明 (1)∵an＋1＝Sn＋1－Sn，an＋1＝Sn，
∴(n＋2)Sn＝n(Sn＋1－Sn)，即nSn＋1＝2(n＋1)Sn.
∴＝2·，又＝1≠0，(小前提)
故是以1为首项，2为公比的等比数列．(结论)
(大前提是等比数列的定义，这里省略了)
(2)由(1)可知＝4·(n≥2)，
∴Sn＋1＝4(n＋1)·＝4··Sn－1
＝4an(n≥2)，(小前提)
又a2＝3S1＝3，S2＝a1＋a2＝1＋3＝4＝4a1，(小前提)
∴对于任意正整数n，都有Sn＋1＝4an.(结论)
(第(2)问的大前提是第(1)问的结论以及题中的已知条件)
1．推理案例问题
比类问题条件较多，做题时往往感到不知从哪里找到突破点，解答这类问题，一定要仔细阅读题文，逐条分析所给条件，并将其引伸，找到各条件的融汇之处和矛盾之处，多次应用假设、排除、验证，清理出有用“线索”，找准突破点，从而使问题得到解决．见举例说明1.
2．三段论的应用
(1)三段论推理的依据是：如果集合M的所有元素都具有性质P，S是M的子集，那么S中所有元素都具有性质P.
(2)应用三段论的注意点：解决问题时，首先应该明确什么是大前提，小前提，然后再找结论．见举例说明2.
提醒：合情推理的结论是猜想，不一定正确；演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确时，得到的结论一定正确.
1．(2019·宁夏平罗中学模拟)2018年4月4日，中国诗词大会第三季总决赛如期举行，依据规则：本场比赛共有甲、乙、丙、丁、戊五位选手有机会问鼎冠军，某家庭中三名诗词爱好者依据选手在之前比赛中的表现，结合自己的判断，对本场比赛的冠军进行了如下猜测：
爸爸：冠军是乙或丁；
妈妈：冠军一定不是丙和丁；
孩子：冠军是甲或戊．
比赛结束后发现：三人中只有一个人的猜测是对的，那么冠军是________．
答案 丁
解析 若冠军是甲或戊，孩子与妈妈判断都正确，不符合题意；若冠军是乙，爸爸与妈妈判断都正确，不符合题意；若冠军是丙，三个人判断都不正确，不符合题意；若冠军是丁，只有爸爸判断正确，符合题意，故答案为丁．
2．设函数f(x)是定义在R上的奇函数，对任意实数x有f＝－f成立．
证明y＝f(x)是周期函数，并指出其周期．
证明 由f＝－f，且f(－x)＝
－f(x)，知f(3＋x)＝f＝－f＝－f(－x)＝f(x)，所以y＝f(x)是周期函数，且T＝3是其一个周期．
组 基础关
1．下面四个推导过程符合演绎推理三段论形式且推理正确的是( )
A．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无理数；结论：π是无限不循环小数
B．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无限不循环小数；结论：π是无理数
C．大前提：π是无限不循环小数；小前提：无限不循环小数是无理数；结论：π是无理数
D．大前提：π是无限不循环小数；小前提：π是无理数；结论：无限不循环小数是无理数
答案 B
解析 对于A，小前提与大前提间逻辑错误，不符合演绎推理三段论形式；对于B，符合演绎推理三段论形式且推理正确；对于C，大小前提颠倒，不符合演绎推理三段论形式；对于D，大小前提及结论颠倒，不符合演绎推理三段论形式．
2．已知13＋23＝2,13＋23＋33＝2,13＋23＋33＋43＝2，…，若13＋23＋33＋43＋…＋n3＝3025，则n＝( )
A．8 B.9
C．10 D.11
答案 C
解析 观察所提供的式子可知，等号左边最后一个数是n3时，等号右边的数为2，因此，令2＝3025，则＝55，n＝10或n＝－11(舍去)．
3．我们知道：在平面内，点(x0，y0)到直线Ax＋By＋C＝0的距离公式d＝，通过类比的方法，可求得：在空间中，点(2,4,1)到直线x＋2y＋2z＋3＝0的距离为( )
A．3 B.5
C. D.3
答案 B
解析 利用类比的方法，在空间中，点(x0，y0，z0)到直线Ax＋By＋Cz＋D＝0的距离d′＝，所以点(2,4,1)到平面x＋2y＋2z＋3＝0的距离d＝＝＝5.
4．设△ABC的三边长分别为a，b，c，△ABC的面积为S，内切圆半径为r，则r＝，类比这个结论可知，四面体S－ABC的四个面的面积分别为S1，S2，S3，S4，内切球半径为R，四面体S－ABC的体积为V，则R等于( )
A. B.
C. D.
答案 C
解析 设四面体的内切球的球心为O，则球心O到四个面的距离都是R，由平面图形中r的求解过程类比空间图形中R的求解过程可得四面体的体积等于以O为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和，则四面体的体积为V＝V四面体S－ABC＝(S1＋S2＋S3＋S4)R，所以R＝.故选C.
5．已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，Sn＝n2an(n∈N*)，试归纳猜想出Sn的表达式为( )
A．Sn＝ B.Sn＝
C．Sn＝ D.Sn＝
答案 A
解析 ∵Sn＝n2an＝n2(Sn－Sn－1)，∴Sn＝·Sn－1，又S1＝a1＝1，则S2＝，S3＝＝，S4＝.∴猜想得Sn＝，故选A.
6．若数列{an}是等差数列，对于bn＝(a1＋a2＋…＋an)，则数列{bn}也是等差数列．类比上述性质，若数列{cn}是各项都为正数的等比数列，对于dn>0，则dn＝________时，数列{dn}也是等比数列．
答案
解析 在类比等差数列的性质推理等比数列的性质时，我们一般的思路有：由加法类比推理为乘法，由减法类比推理为除法，由算术平均数类比推理为几何平均数等，故我们可以由数列{an}是等差数列，则当bn＝(a1＋a2＋…＋an)时，数列{bn}也是等差数列．类比推断：若数列{cn}是各项均为正数的等比数列，则当dn＝时，数列{dn}也是等比数列．
7．甲、乙、丙三人各从图书馆借来一本书，他们约定读完后互相交换．三人都读完了这三本书之后，甲说：“我最后读的书与丙读的第二本书相同．”乙说：“我读的第二本书与甲读的第一本书相同．”根据以上说法，推断乙读的最后一本书是________读的第一本书．
答案 丙
解析 因为共有三本书，而乙读的第一本书与第二本书已经明确，只有丙读的第一本书乙还没有读，所以乙读的最后一本书是丙读的第一本书．
8．已知点A(x1，ax1)，B(x2，ax2)是函数y＝ax的图象上任意不同的两点，依据图象可知，线段AB总是位于A，B两点之间函数图象的上方，因此有>a成立．运用类比思想方法可知，若点A(x1，sinx1)，B(x2，sinx2)是函数y＝sinx(x∈(0，π))图象上任意不同的两点，则类似地有______________成立．
答案
1．已知f(x)＝，设f1(x)＝f(x)，fn(x)＝
fn－1[fn－1(x)](n>1，n∈N*)，若fm(x)＝(m∈N*)，则m＝( )
A．9 B.10
C．11 D.126
答案 B
解析 由题意可得f2(x)＝f1[f1(x)]＝f1＝＝，同理可得，f3(x)＝，f4(x)＝，f5(x)＝，…，fn(x)＝，由fm(x)＝(m∈N*)恒成立，可得2m－2＝256＝28，即有m－2＝8，即m＝10.
2．如图，平面上，点A，C为射线PM上的两点，点B，D为射线PN上的两点，则有＝(其中S△PAB，S△PCD分别为△PAB，△PCD的面积)；空间中，点A，C为射线PM上的两点，点B，D为射线PN上的两点，点E，F为射线PL上的两点，则有＝________(其中VP－ABE，VP－CDF分别为四面体P－ABE，P－CDF的体积)．
答案
解析 设PM与平面PDF所成的角为α，
则A到平面PDF的距离h1＝PAsinα，C到平面PDF的距离h2＝PCsinα，∴VP－ABE＝VA－PBE＝S△PBE·h1，VP－CDF＝VC－PDF＝S△PDF·h2，
∴＝＝＝.
3．(2019·青岛三模)在《九章算术》方田章“圆田术”(刘徽注)中指出：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，注述中所用的剖圆术所体现的是一种无限与有限转化的思想比如在中“…”即代表无限次重复，但原数却是个定数x，这可以通过＝x确定出来x＝2，类似地可得到1＋＋＋…＋＋…＝________.
答案
解析 类比已知算式，1＋＋＋…＋＋…
＝1＋×.
可令1＋＋＋…＋＋…＝x，
则1＋x＝x，解得x＝.
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