2021届高考数学人教版一轮创新教学案：第10章解答题专项突破（六）概率与统计的综合问题

解答题专项突破(六)　概率与统计的综合问题

通过对近几年高考试题分析，在高考解答题中，概率与回归分析、独立性检验、随机变量及其分布列相结合的综合问题既是考查的热点又是重点，设计成包含概率、随机变量的数学期望与方差、统计图表的识别与应用等知识的综合题，以实际应用问题为载体，考查考生应用数学知识和基本方法分析问题和解决问题的能力．试题难度一般不大，为中、低档类题目．

热点题型1　概率与统计图表的综合应用

　　(2019·河南模拟)“学习强国”平台于2019年1月1日上线，它是由中宣部主管以深入学习宣传习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神为主要内容的“PC端＋手机客户端”两大终端二合一模式的学习平台，上线后便成了党员干部学习的“新助手”．为了调研某地党员对“学习强国”App的了解程度，研究人员随机抽取了200名该地的党员进行调查，将他们三天内在“学习强国”App上所得的分数统计如表所示：

(1)请完善上表中的数据；

(2)若该地区的党员在“学习强国”App上的得分服从正态分布Z～N(μ，σ2)，其中μ近似为这200名党员三天内得分的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)，σ2近似为这200名党员三天内得分的方差，求P(57.4<Z≤83.8)；

(3)以表格中的频率估计概率，若从该地区所有党员中随机抽取4人，记这4人在“学习强国”App三天内的得分不低于80分的人数为X，求X的分布列与数学期望．

参考数据：≈2.2，≈2.4，≈2.6.

若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.6826，

P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0.9544，

P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝0.9974.

解题思路　(1)根据频率＝计算、填表；

(2)先根据平均数和分差的计算公式及提示，求出μ和σ，再利用正态曲线的对称性求概率；

(3)先根据题意判断随机变量X是否服从二项分布，并确定独立重复试验次数和事件发生的概率；再写出X的分布列，最后由二项分布的期望公式求值．

规范解答　(1)根据题意填写统计表如下．

(2)在Z～N(μ，σ2)中，

μ＝65×0.3＋75×0.5＋85×0.1＋95×0.1＝75；

σ2＝(65－75)2×0.3＋(75－75)2×0.5＋

(85－75)2×0.1＋(95－75)2×0.1＝80；

∴σ＝4≈4×2.2＝8.8，

∴P(57.4<Z≤83.8)＝P(μ－2σ<Z≤μ＋σ)

＝1－P(Z≤μ－2σ)－P(Z>μ＋σ)

＝1－×(1－0.9544)－×(1－0.6826)＝0.8185.

(3)由题意知，得分不低于80分的频率为0.2，则

X～B(4,0.2)，计算P(X＝0)＝C·0.84＝0.4096，

P(X＝1)＝C·0.2·0.83＝0.4096，

P(X＝2)＝C·0.22·0.82＝0.1536，

P(X＝3)＝C·0.23·0.8＝0.0256，

P(X＝4)＝C·0.24＝0.0016，则X的分布列如下，

数学期望为E(X)＝4×0.2＝0.8.

热点题型2　概率与回归分析的综合应用　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　(2020·安徽省江南十校联考)某公司生产的某种产品，如果年返修率不超过千分之一，则其生产部门当年考核优秀，现获得该公司2012～2019年的相关数据如表：

(1)从该公司2012～2019年的相关数据中任意选取3年的数据，用ξ表示3年中生产部门获得考核优秀的次数，求ξ的分布列和数学期望；

(2)根据散点图发现2016年数据偏差较大，如果去掉该年的数据，试用剩下的数据求出年利润y(百万元)关于年生产台数x(万台)的线性回归方程(精确到0.01)．

附：线性回归方程＝x＋中，＝＝，＝－.

解题思路　(1)先根据题意确定哪些年份的考核优秀，明确ξ所有可能的取值，然后计算有关概率，写出分布列，最后求数学期望．

(2)先根据公式和部分计算结果求原来8组数据中

iyi和，再计算去掉2016年数据之后的和.

规范解答　(1)由数据可知该部门2013,2014,2017,2018,2019五个年份的考核优秀，故ξ的所有可能取值为0,1,2,3.

P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，

P(ξ＝2)＝＝＝，P(ξ＝3)＝＝＝，

故ξ的分布列如下，

所以E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.

(2)由(xi－)2＝72，得＝(xi－)2＋8×2＝360.

由(xi－)(yi－)＝34.5，得iyi＝(xi－)(yi－)＋8＝226.5.

故去掉2016年的数据之后′＝＝6，′＝＝，(xi－′)2＝－7′2＝360－62－7×62＝72，(xi－′)(yi－′)＝iyi－7′′＝226.5－6×3－7×6×＝34.5，

所以＝≈0.48，＝′－′＝－×6≈1.27，

所以线性回归方程为＝0.48x＋1.27.

热点题型3　概率与独立性检验的综合应用

　　(2020·淄博实验中学模拟)随着科技的发展，网络已逐渐融入了人们的生活．网购是非常方便的购物方式，为了了解网购在我市的普及情况，某调查机构进行了有关网购的调查问卷，并从参与调查的市民中随机抽取了男、女各100人进行分析，从而得到下表(单位：人)：

(1)完成上表，并根据以上数据判断能否在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为我市市民网购与性别有关；

(2)①现从所抽取的女市民中利用分层抽样的方法抽取10人，再从这10人中随机抽取3人赠送优惠券，求抽取的3人中至少有2人经常网购的概率；

②将频率视为概率，从我市所有参与调查的市民中随机抽取10人赠送礼品，记其中经常网购的人数为X，求随机变量X的数学期望和方差．

附：K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.

解题思路　(1)先根据2×2列联表的特点完成表格，再计算K2并作出推断．

(2)①根据第(1)问的2×2列联表可知，分层抽样的抽样比为，进而可确定抽取的10人中经常网购的人数和偶尔或不用网购的人数，然后用古典概型的概率公式和组合数公式求概率．

②确定随机变量X服从二项分布，求试验次数和事件发生的概率，用二项分布的期望、方差公式求值．

规范解答　(1)补全的2×2列联表如下，

由列联表可得

K2＝＝≈8.333>7.879，

所以能在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为我市市民网购与性别有关．

(2)①由题意得所抽取的10名女市民中经常网购的有70×＝7(人)，偶尔或不用网购的有30×＝3(人)，所以抽取的3人中至少有2人经常网购的概率为P＝＝.

②由2×2列联表可知，抽取到经常网购的市民的频率为＝0.6.

将频率视为概率，所以从我市市民中任意抽取1人，恰好抽取到经常网购市民的概率为0.6.

由题意知X～B(10,0.6)，

所以E(X)＝10×0.6＝6，D(X)＝10×0.6×0.4＝2.4.