2021届高考数学人教版一轮创新教学案：第11章第2讲　数系的扩充与复数的引入


第2讲　数系的扩充与复数的引入
[考纲解读]　1.理解复数的基本概念及复数相等的充要条件．(重点)
2．了解复数的代数表示法及几何意义，能将代数形式的复数在复平面上用点或向量表示，并能将复平面上的点或向量所对应的复数用代数形式表示．
3．能进行复数形式的四则运算，并了解复数代数形式的加、减运算的几何意义．(重点、难点)
[考向预测]　 从近三年高考情况来看，本讲在高考中属于必考内容．预测2021年将会考查：①复数的基本概念与四则运算；②复数模的计算；③复数的几何意义．题型为客观题，难度一般不大，属于基础题型.

1.复数的有关概念
内容
意义
备注
复数的
概念
形如a＋bi(a∈R，b∈R)的数叫复数，其中实部为a，虚部为b
若b＝0，则a＋bi为实数；若a＝0且b≠0，则a＋bi为纯虚数
复数
相等
a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d
实部与实部、虚部与虚部对应相等
共轭
复数
a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c且b＝－d(a，b，c，d∈R)
实数的共轭复数是它本身
复平面
建立平面直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫实轴，y轴叫虚轴
实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，各象限内的点都表示虚数
复数
的模
设对应的复数为z＝a＋bi，则向量的长度叫做复数z＝a＋bi的模
|z|＝|a＋bi|＝

2．复数的几何意义
复数集C和复平面内所有的点组成的集合是一一对应的，复数集C与复平面内所有以原点O为起点的向量组成的集合也是一一对应的，即
(1)复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R)．
(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R) 平面向量.
3．复数代数形式的四则运算
(1)运算法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则
运算名称
符号表示
语言叙述
加减法
z1±z2＝(a＋bi)±(c＋di)＝(a±c)＋(b±d)i
把实部、虚部分别相加减
乘法
z1· z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i
按照多项式乘法进行，并把i2换成－1
除法
＝＝＝＋i(c＋di≠0)
把分子、分母分别乘以分母的共轭复数，然后分子、分母分别进行乘法运算

(2)复数加法的运算定律
复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．
(3)复数乘法的运算定律
复数的乘法满足交换律、结合律、分配律，即对于任意z1，z2，z3∈C，有z1·z2＝z2·z1，(z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)，z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3.
(4)复数加、减法的几何意义
①复数加法的几何意义：若复数z1，z2对应的向量，不共线，则复数z1＋z2是＋所对应的复数．
②复数减法的几何意义：复数z1－z2是－即所对应的复数．
4．模的运算性质：①|z|2＝||2＝z·；②|z1·z2|＝|z1||z2|；③＝.

1．概念辨析
(1)关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a，b，c∈R且a≠0)一定有两个根．(　　)
(2)若复数a＋bi中a＝0，则此复数必是纯虚数．(　　)
(3)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小．(　　)
(4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模．(　　)
答案　(1)√　(2)×　(3)×　(4)√
　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　

2．小题热身
(1)已知i为虚数单位，z＝，则复数z的虚部为(　　)
A．－2i B.2i
C．2 D.－2
答案　D
解析　z＝＝＝＝2－2i，故虚部为－2.故选D.
(2)(2019·全国卷Ⅱ)设z＝－3＋2i，则在复平面内对应的点位于(　　)
A．第一象限 B.第二象限
C．第三象限 D.第四象限
答案　C
解析　＝－3－2i，故对应的点(－3，－2)位于第三象限．故选C.
(3)在复平面内，复数z＝cos3＋isin3(i为虚数单位)，则|z|为(　　)
A．4 B.3
C．2 D.1
答案　D
解析　|z|＝＝1.
(4)设复数z1＝2－i，z2＝a＋2i(i为虚数单位，a∈R)，若z1z2∈R，则a＝________.
答案　4
解析　因为z1z2＝(2－i)(a＋2i)＝2a＋2＋(4－a)i，且z1z2是实数，所以4－a＝0即a＝4.

题型 一　复数代数形式的四则运算　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　

1．(2019·全国卷Ⅲ)若z(1＋i)＝2i，则z＝(　　)
A．－1－i B.－1＋i
C．1－i D.1＋i
答案　D
解析　由z(1＋i)＝2i，得z＝＝＝＝i(1－i)＝1＋i.故选D.
2．已知i是虚数单位，8＋2020＝________.
答案　0
解析　原式＝8＋1010＝i8＋1010＝i8＋i1010＝1＋i4×252＋2＝0.

1．复数代数形式运算问题的解题策略
(1)复数的加减法
在进行复数的加减法运算时，可类比合并同类项，运用法则(实部与实部相加减，虚部与虚部相加减)计算即可．
(2)复数的乘法
复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可．
(3)复数的除法
除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i的幂写成最简形式．
2．记住以下结论，可提高运算速度
(1)(1±i)2＝±2i；(2)＝i；
(3)＝－i；(4)＝b－ai；
(5)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N).
1.＝(　　)
A．2 B.－2
C. D.－
答案　A
解析　＝
＝＝＝2.
2．(2019·武汉模拟)设复数z满足＝i，则z＝(　　)
A.＋i B.－i
C．－＋i D.－－i
答案　C
解析　解法一：由＝i得1＋2z＝i－iz，所以z＝＝＝－＋i.故选C.
解法二：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝i可化为1＋2a＋2bi＝i－ai＋b，则1＋2a＋2bi＝b＋(1－a)i，所以解得所以z＝－＋i.故选C.
题型 二　复数的有关概念　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　

1．(2019·全国卷Ⅱ)设z＝i(2＋i)，则＝(　　)
A．1＋2i B.－1＋2i
C．1－2i D.－1－2i
答案　D
解析　∵z＝i(2＋i)＝－1＋2i，∴＝－1－2i.故选D.
2．(2019·青岛二模)“a＝2”是“复数z＝(a∈R)为纯虚数”的(　　)
A．充分不必要条件 B.必要不充分条件
C．充要条件 D.既不充分也不必要条件
答案　C
解析　当a＝2时，＝＝＝4i，为纯虚数；若＝＝a－2＋(a＋2)i是纯虚数，则a－2＝0，a＋2≠0，所以a＝2.所以“a＝2”是“复数z＝(a∈R)为纯虚数”的充要条件．故选C.
3．(2019·全国卷Ⅰ)设z＝，则|z|＝(　　)
A．2 B.
C. D.1
答案　C
解析　∵z＝＝＝，∴|z|＝＝.故选C.
4．(2020·东北育才学校模拟)若复数z＝，且zi3>0，则实数a的值等于(　　)
A．1 B.－1
C. D.－
答案　A
解析　∵z＝＝＝，
∴zi3＝＝.∵zi3>0，∴zi3为实数，∴－＝0，∴a＝1.当a＝1时，zi3＝1>0，符合题意．故选A.

处理复数基本概念问题的关键
因为复数的分类、相等、模、共轭复数等问题都与实部和虚部有关，所以处理复数有关基本概念问题的关键是找准复数的实部和虚部，即转化为a＋bi(a，b∈R)的形式，再从定义出发，把复数问题转化成实数问题来处理.
1．(2020·山西大学附中模拟)复数的实部与虚部之差为(　　)
A．－1 B.1
C．－ D.
答案　B
解析　因为＝－－i，所以实部为－，虚部为－，所以实部与虚部之差为－－＝1.故选B.
2．(2017·浙江高考)已知a，b∈R，(a＋bi)2＝3＋4i(i是虚数单位)，则a2＋b2＝________，ab＝________.
答案　5　2
解析　因为(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi.由(a＋bi)2＝3＋4i，得解得a2＝4，b2＝1.所以a2＋b2＝5，ab＝2.
题型 三　复数的几何意义　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　

1．(2020·福州质检)设复数z1，z2在复平面内对应的点关于实轴对称，z1＝2＋i，则＝(　　)
A．1＋i B.＋i
C．1＋i D.1＋i
答案　B
解析　因为复数z1，z2在复平面内对应的点关于实轴对称，z1＝2＋i，所以z2＝2－i，所以＝＝＝＋i，故选B.
2．(2019·长沙一模)在复平面内表示复数的点位于第一象限，则实数m的取值范围是(　　)
A．(－∞，－1) B.(－∞，0)
C．(0，＋∞) D.(1，＋∞)
答案　D
解析　由题意，得＝＝＝＋i，所以复数对应的点的坐标为.又此点位于第一象限，所以
解得m>1，即实数m的取值范围是(1，＋∞)．故选D.
3．(2019·全国卷Ⅰ)设复数z满足|z－i|＝1，z在复平面内对应的点为(x，y)，则(　　)
A．(x＋1)2＋y2＝1 B.(x－1)2＋y2＝1
C．x2＋(y－1)2＝1 D.x2＋(y＋1)2＝1
答案　C
解析　由已知条件，可得z＝x＋yi.∵|z－i|＝1，
∴|x＋yi－i|＝1，∴x2＋(y－1)2＝1.故选C.


复数的几何意义及应用
(1)复数z、复平面上的点Z及向量相互联系，即z＝a＋bi(a，b∈R)⇔Z(a，b)⇔.
(2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观．
提醒：|z|的几何意义：令z＝x＋yi(x，y∈R)，则|z|＝，由此可知表示复数z的点到原点的距离就是|z|的几何意义；|z1－z2|的几何意义是复平面内表示复数z1，z2的两点之间的距离.
1．(2019·长春二模)已知复数z＝i＋i2，则在复平面内z对应的点位于(　　)
A．第一象限 B.第二象限
C．第三象限 D.第四象限
答案　B
解析　∵i＋i2＝－1＋i，∴i＋i2在复平面内对应的点为(－1,1)，在第二象限．故选B.
2．在复平面内，若O(0,0)，A(2，－1)，B(0,3)，则在▱OACB中，点C所对应的复数为(　　)
A．2＋2i B.2－2i
C．1＋i D.1－i
答案　A
解析　在▱OACB中，＝＋＝(2，－1)＋(0,3)＝(2,2)，所以点C所对应的复数为2＋2i.
3．如图所示的网格纸中小正方形的边长是1，复平面内点Z对应的复数z满足(z1－i)·z＝1，则复数z1＝(　　)

A．－＋i B.＋i
C.－i D．－－i
答案　B
解析　由图可知z＝2＋i，因为(z1－i)·z＝1，
所以z1＝＋i＝＋i＝＋i＝＋i.

　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　组　基础关
1．(2019·潍坊模拟)设z＝i3＋，则z的虚部是(　　)
A．－1 B.－i
C．－2i D.－2
答案　D
解析　z＝i3＋＝－i＋＝－i＋＝－i－i＝－2i，∴z的虚部为－2.故选D.
2．(2020·大连摸底)在复平面内，复数z＝(i是虚数单位)，则z的共轭复数在复平面内对应的点位于(　　)
A．第一象限 B.第二象限
C．第三象限 D.第四象限
答案　B
解析　z＝＝＝＝－1－2i，其共轭复数＝－1＋2i对应的点(－1,2)在第二象限．
3．(2019·南宁二模)若复数z满足(1＋z)(1＋i)＝1＋2i(i是虚数单位)，则|z|＝(　　)
A. B.
C. D.
答案　A
解析　解法一：由(1＋z)(1＋i)＝1＋2i，得z＝－1＝＋i，所以|z|＝ ＝.故选A.
解法二：设z＝a＋bi(a，b∈R)．由(1＋z)(1＋i)＝1＋2i，得(1＋a＋bi)(1＋i)＝1＋2i，所以(1＋a－b)＋(1＋a＋b)i＝1＋2i，所以解得所以z＝＋i，则|z|＝ ＝.故选A.
4．(2019·广东湛江测试)若z＝(a－)＋ai为纯虚数，其中a∈R，则＝(　　)
A．i B.1
C．－i D.－1
答案　C
解析　∵z为纯虚数，∴∴a＝，∴＝＝＝＝－i.故选C.
5．已知m为实数，i为虚数单位，若m＋(m2－4)i>0，则＝(　　)
A．i B.1
C．－i D.－1
答案　A
解析　因为m＋(m2－4)i>0，所以m＋(m2－4)i是实数，所以故m＝2.所以＝＝＝i.
6．(2019·江西省重点中学协作体第一次联考)已知i为虚数单位，(1＋i)x＝2＋yi，其中x，y∈R，则|x＋yi|＝(　　)
A．2 B.
C．2 D.4
答案　A
解析　∵(1＋i)x＝2＋yi，x＋ix＝2＋yi.∴x＝2，y＝2，∴|x＋yi|＝2.故选A.
7．(2017·全国卷Ⅰ)设有下面四个命题：
p1：若复数z满足∈R，则z∈R；
p2：若复数z满足z2∈R，则z∈R；
p3：若复数z1，z2满足z1z2∈R，则z1＝2；
p4：若复数z∈R，则∈R.
其中的真命题为(　　)
A．p1，p3 B.p1，p4
C．p2，p3 D.p2，p4
答案　B
解析　设z＝a＋bi(a，b∈R)，z1＝a1＋b1i(a1，b1∈R)，z2＝a2＋b2i(a2，b2∈R)．对于p1，若∈R，即＝∈R，则b＝0且a≠0⇒z＝a＋bi＝a∈R，所以p1为真命题．对于p2，若z2∈R，即(a＋bi)2＝a2＋2abi－b2∈R，则ab＝0.当a＝0，b≠0时，z＝a＋bi＝bi∈/ R，所以p2为假命题．对于p3，若z1z2∈R，即(a1＋b1i)(a2＋b2i)＝(a1a2－b1b2)＋(a1b2＋a2b1)i∈R，则a1b2＋a2b1＝0.而z1＝2，即a1＋b1i＝a2－b2i⇔a1＝a2，b1＝－b2.因为a1b2＋a2b1＝0⇒/ a1＝a2，b1＝－b2，所以p3为假命题．对于p4，若z∈R，即a＋bi∈R，则b＝0⇒＝a－bi＝a∈R，所以p4为真命题．故选B.
8．(2017·天津高考)已知a∈R，i为虚数单位，若为实数，则a的值为________．
答案　－2
解析　∵a∈R，＝＝＝－i为实数，∴－＝0，∴a＝－2.
9.设i是虚数单位，若z＝，则复数z的虚部是________．
答案　－
解析　因为z＝＝＝＝－－i，所以复数z的虚部是－.
10．已知复数z满足z＋|z|＝3＋i，则z＝________.
答案　＋i
解析　设z＝a＋bi(a，b∈R)．因为z＋|z|＝3＋i，所以a＋＋bi＝3＋i，即解得所以z＝＋i.
　组　能力关
1．(2019·哈尔滨模拟)复数z＝a＋bi(a，b∈R)，i为虚数单位，为z的共轭复数，则以下结论正确的是(　　)
A．z2＝|z|2
B．若a＝0则z为纯虚数
C．(z－)(z＋)＝0
D．若a＝b，则z对应复平面上的点在复平面一、三象限角平分线上
答案　D
解析　z2＝(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi，|z|2＝()2＝a2＋b2，故A错误；当a＝0，b≠0时，z为纯虚数，故B错误；因为z＝a＋bi(a，b∈R)，所以＝a－bi，(z－)(z＋)＝2bi·2a＝4abi≠0，故C错误；z＝a＋bi，对应复平面上的点坐标为(a，b)，若a＝b，则此点在复平面一、三象限角平分线上，故D正确．
2．(2019·湖北四地七校联考)欧拉公式eiθ＝cosθ＋isinθ(e是自然对数的底数，i是虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的．它将三角函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，当θ＝π时，就有eiπ＋1＝0.根据上述背景知识，试判断e－i表示的复数在复平面内对应的点位于(　　)
A．第一象限 B.第二象限
C．第三象限 D.第四象限
答案　B
解析　由题意，e－i＝cos＋isin＝－cos＋isin＝－＋i，则e－i表示的复数在复平面内对应的点为，位于第二象限．故选B.
3．(2019·西安模拟)已知方程x2＋(4＋i)x＋4＋ai＝0(a∈R)有实根b，且z＝a＋bi，则复数z等于(　　)
A．2－2i B.2＋2i
C．－2＋2i D.－2－2i
答案　A
解析　由题意得b2＋(4＋i)b＋4＋ai＝0，整理得(b2＋4b＋4)＋(a＋b)i＝0，所以所以所以z＝2－2i.
4．已知复数z在复平面内对应的点在第三象限，则z1＝＋|z|在复平面内对应的点在(　　)
A．第一象限 B.第二象限
C．第三象限 D.第四象限
答案　A
解析　令z＝a＋bi(a<0，b<0)，则|z|＝>|a|，z1＝＋|z|＝(＋a)－bi，又＋a>0，－b>0，所以z1在复平面内对应的点在第一象限．
5．已知复数z＝(a－2)＋(a＋1)i(a∈R)的对应点在复平面的第二象限，则|1＋ai|的取值范围是________．
答案　[1，)
解析　复数z＝(a－2)＋(a＋1)i对应的点的坐标为(a－2，a＋1)，因为该点位于第二象限，所以
解得－1 6．复数z1，z2满足z1＝m＋(4－m2)i，z2＝2cosθ＋(λ＋3sinθ)i(m，λ，θ∈R)，并且z1＝z2，则λ的取值范围是________．
答案　
解析　由复数相等的充要条件，可得
化简得4－4cos2θ＝λ＋3sinθ，由此可得λ＝－4cos2θ－3sinθ＋4＝－4(1－sin2θ)－3sinθ＋4＝4sin2θ－3sinθ＝42－，因为sinθ∈[－1,1]，所以λ∈.