2020版新一线高考理科数学（人教A版）一轮复习教学案：第3章第5节　三角恒等变换

第五节　三角恒等变换

[考纲传真]　1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.2.会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式.3.会用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系.4.能运用上述公式进行简单的三角恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但不要求记忆).

1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式

(1)sin(α±β)＝sin_αcos_β±cos_αsin_β；

(2)cos(α±β)＝cos_αcos_β∓sin_αsin_β；

(3)tan(α±β)＝.

2．二倍角的正弦、余弦、正切公式

(1)sin 2α＝2sin αcos α；

(2)cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；

(3)tan 2α＝.

3．辅助角公式

asin α＋bcos α＝sin(α＋φ)其中sin φ＝，cos φ＝.

[常用结论]

1．公式的常用变式

tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)；

sin 2α＝＝；

cos 2α＝＝.

2．降幂公式：sin2α＝；

cos2α＝；

sin αcos α＝sin 2α.

3．升幂公式：1＋cos α＝2cos2；

1－cos α＝2sin2；

1＋sin α＝2；

1－sin α＝2.

[基础自测]

1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立．(　　)

(2)公式asin x＋bcos x＝sin(x＋φ)中φ的取值与a，b的值无关．(　　)

(3)cos θ＝2cos2－1＝1－2sin2.(　　)

(4)当α是第一象限角时，sin ＝.(　　)

[答案]　(1)√　(2)×　(3)√　(4)×

2．(教材改编)已知cos α＝－，α是第三象限角，则cos为(　　)

A.　　 B．－

C.   D．－

A　[∵cos α＝－，α是第三象限角，

∴sin α＝－＝－.

∴cos＝(cos α－sin α)＝＝ .故选A.]

3．已知sin α－cos α＝，则sin 2α＝(　　)

A．－   B．－

C.   D.

A　[∵sin α－cos α＝，

∴1－2sin αcos α＝，

∴sin 2α＝1－＝－，故选A.]

4．函数 f(x)＝sin x＋cos x的最小值为________．

－2　[函数f(x)＝2sin的最小值是－2.]

5．若锐角α，β满足tan α＋tan β＝－tan αtan β，则α＋β＝________.

　[由已知可得＝，即tan(α＋β)＝.又α＋β∈(0，π)，所以α＋β＝.]

三角函数的给值求值问题

【例1】　(1)若α∈，且3cos 2α＝sin，则sin 2α的值为(　　)

A．－　　　 B.

C．－   D.

(2)(2018·江苏高考)已知α，β为锐角，tan α＝，cos(α＋β)＝－.

①求cos 2α的值；

②求tan(α－β)的值．

(1)C　[由3cos 2α＝sin可得3(cos2α－sin2α)＝(cos α－sin α)，又由α∈可知cos α－sin α≠0，于是3(cos α＋sin α)＝，所以1＋2sin αcos α＝，故sin 2α＝－.故选C.]

(2)[解]　①因为tan α＝，tan α＝，

所以sin α＝cos α.

因为sin2α＋cos2α＝1，所以cos2α＝，

因此cos 2α＝2cos2α－1＝－.

②因为α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π).

又因为cos(α＋β)＝－，所以sin(α＋β)＝＝，

因此tan(α＋β)＝－2.

因为tan α＝，所以tan 2α＝＝－，

因此，tan(α－β)＝tan[2α－(α＋β)]＝＝－.

(1)已知角α为锐角，若cos＝，则sin的值为(　　)

A.   B.

C．－   D．－

(2)已知cos＋sin α＝，则sin的值是(　　)

A．－   B.

C．－   D.

(1)B　(2)C　[(1)∵α是锐角，cos＝，

∴sin＝，

∴sin＝2sincos＝2××＝，故选B.

(2)∵cos＋sin α＝，∴cos α＋sin α＝，

∴cos α＋sin α＝，即sin＝，

∴sin＝sin＝－sin＝－，故选C.]

三角函数的给值求角问题

【例2】　(1)(2019·成都模拟)若sin 2α＝，sin(β－α)＝，且α∈，β∈，则α＋β的值是(　　)

A.   B.

C.或   D.或

(2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝，tan β＝－，则2α－β的值为________．

(1)A　(2)－　[(1)因为α∈，所以2α∈，

又sin 2α＝，

所以2α∈，α∈，

故cos 2α＝－.

又β∈，

所以β－α∈，

又sin(β－α)＝，

故cos(β－α)＝－.

所以cos(α＋β)＝cos[2α＋(β－α)]＝cos 2α cos(β－α)－sin 2αsin(β－α)＝－×－×＝，

且α＋β∈，故α＋β＝.故选A.

(2)∵tan(α－β)＝，tan β＝－，

∴tan α＝tan[(α－β)＋β]＝

＝＝.

∴tan(2α－β)＝tan(α－β＋α)

＝＝1.

又∵tan α＝＜，

tan β＝－＞－，α，β∈(0，π)，

∴0＜α＜，＜β＜π，

∴－π＜2α－β＜－，

∴2α－β＝－.]

(1)已知A，B均为钝角，sin2＋cos＝，且sin B＝，则A＋B＝(　　)

A.   B.

C.   D.

(2)定义运算＝ad－bc.若cos α＝，

＝，0＜β＜α＜，则β＝________.

(1)C　(2)　[(1)因为sin2＋cos＝，

所以＋cos A－sin A＝，

即－sin A＝，解得sin A＝.

因为A为钝角，所以cos A＝－＝－＝－.

由sin B＝，且B为钝角，可得cos B＝－＝－＝－.

所以cos(A＋B)＝cos Acos B－sin Asin B

＝×－×＝.

又A，B都为钝角，即A，B∈，所以A＋B∈(π，2π)，

故A＋B＝，故选C.

(2)根据题意得，sin αcos β－cos αsin β＝，

即sin(α－β)＝，

又∵0＜β＜α＜，0＜α－β＜，

∴sin α＝，

cos(α－β)＝，

∴sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)

＝×－×＝，又β为锐角，

∴β＝.]

三角函数的化简求值

【例3】　(1)已知α∈(0，π)，化简：

＝________.

(2)已知cos＝，若π＜x＜π，求的值．

(1)cos α　[原式＝

.

因为α∈(0，π)，所以∈，

所以cos ＞0，

所以原式

＝＝·＝cos2－sin2＝cos α.]

(2)[解]　由π＜x＜π，得π＜x＋＜2π.

又cos＝，所以sin＝－，

所以cos x＝cos＝coscos ＋sinsin ＝×－×＝－，

从而sin x＝－，tan x＝7.

则＝＝＝－.

(1)化简：＝_______.

(2)[2sin 50°＋sin 10°(1＋tan 10°)]·＝________.

(1)cos 2α　(2)　[(1)原式＝

＝

＝

＝＝cos 2α.

(2)原式＝×sin 80°

＝·sin 80°

＝·sin 80°

＝·sin 80°

＝·cos 10°＝.]

1.(2018·全国卷Ⅲ)若sin α＝，则cos 2α＝(　　)

A.　　 B.

C．－   D．－

B　[cos 2α＝1－2sin2α＝1－2×2＝.]

2．(2016·全国卷Ⅱ)若cos＝，则sin 2α＝(　　)

A.   B.

C．－   D．－

D　[因为cos＝，

所以sin 2α＝cos＝cos 2

＝2cos2－1＝2×－1＝－.]

3．(2015·全国卷Ⅰ)sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝(　　)

A．－   B.

C．－   D.

D　[sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin(20°＋10°)＝sin 30°＝，故选D.]

4．(2014·全国卷Ⅰ)设α∈，β∈，且tan α＝，则(　　)

A．3α－β＝   B．2α－β＝

C．3α＋β＝   D．2α＋β＝

B　[由tan α＝得＝，

即sin αcos β＝cos α＋cos αsin β，

∴sin(α－β)＝cos α＝sin.

∵α∈，β∈，

∴α－β∈，－α∈，

∴由sin(α－β)＝sin，得α－β＝－α，

∴2α－β＝.]

5．(2014·全国卷Ⅱ)函数f(x)＝sin(x＋2φ)－2sin φcos(x＋φ)的最大值为______．

1　[∵f(x)＝sin(x＋2φ)－2sin φcos(x＋φ)

＝sin[(x＋φ)＋φ]－2sin φcos(x＋φ)

＝sin(x＋φ)cos φ＋cos(x＋φ)sin φ－2sin φcos(x＋φ)

＝sin(x＋φ)cos φ－cos(x＋φ)sin φ

＝sin[(x＋φ)－φ]＝sin x，

∴f(x)的最大值为1.]

6.(2018·全国卷Ⅱ)已知sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，则sin(α＋β)＝________.

－　[∵sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，∴sin2α＋cos2β＋2sin αcos β＝1①，cos2α＋sin2β＋2cos αsin β＝0②，①②两式相加可得sin2α＋cos2α＋sin2β＋cos2β＋2(sin αcos β＋cos αsin β)＝1，∴sin(α＋β)＝－.]