2020版新一线高考理科数学（人教A版）一轮复习教学案：第4章第2节　平面向量的基本定理及坐标表示

第二节　平面向量的基本定理及坐标表示

[考纲传真]　1.了解平面向量的基本定理及其意义.2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件．

1．平面向量基本定理

(1)定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.

(2)基底：不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．

2．平面向量的坐标运算

(1)向量加法、减法、数乘及向量的模

设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则

a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，

λa＝(λx1，λy1)，|a|＝.

(2)向量坐标的求法

①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．

②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，

||＝.

3．平面向量共线的坐标表示

设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中a≠0，b≠0，a，b共线⇔x1y2－x2y1＝0.

[常用结论]

1．若a与b不共线，且λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0.

2．若G是△ABC的重心，则＋＋＝0，＝(＋)．

[基础自测]

1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底．(　　)

(2)在△ABC中，向量，的夹角为∠ABC.(　　)

(3)同一向量在不同基底下的表示是相同的．(　　)

(4)若a，b不共线，且λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.(　　)

[答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√

2．(教材改编)已知平面向量a＝(1,1)，b＝(1，－1)，则向量a－b＝(　　)

A．(－2，－1)　　　 B．(－2,1)

C．(－1,0)   D．(－1,2)

D　[∵a＝(1,1)，b＝(1，－1)，

∴a＝，b＝

∴a－b＝＝(－1,2)，故选D.]

3．在下列向量组中，可以把向量a＝(3,2)表示出来的是(　　)

A．e1＝(0,0)，e2＝(1,2)

B．e1＝(－1,2)，e2＝(5，－2)

C．e1＝(3,5)，e2＝(6,10)

D．e1＝(2，－3)，e2＝(－2,3)

B　[A项中e1∥e2，C项中e2＝2e1，D项中e1＝－e2，只有B项中e1，e2不共线，故a可以由e1＝(－1,2)，e2＝(5，－2)表示，故选B.]

4．设向量a＝(2,4)与向量b＝(x,6)共线，则实数x等于(　　)

A．2　　B．3  C．4　　D．6

B　[由a∥b可知2×6－4x＝0，∴x＝3.故选B.]

5．(教材改编)已知▱ABCD的顶点A(－1，－2)，B(3，－1)，C(5,6)，则顶点D的坐标为________．

(1,5)　[设D(x，y)，则由＝，得(4,1)＝(5－x,6－y)，

即

解得]

平面向量基本定理及其应用

1．如果e1，e2是平面α内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是(　　)

A．e1与e1＋e2　　 B．e1－2e2与e1＋2e2

C．e1＋e2与e1－e2   D．e1＋3e2与6e2＋2e1

D　[选项A中，设e1＋e2＝λe1，则无解；

选项B中，设e1－2e2＝λ(e1＋2e2)，则无解；

选项C中，设e1＋e2＝λ(e1－e2)，则无解；

选项D中，e1＋3e2＝(6e2＋2e1)，所以两向量是共线向量．故选D.]

2．在△ABC中，M为边BC上任意一点，N为AM的中点，＝λ＋μ，则λ＋μ的值为(　　)

A.　　B.  C.　　D．1

A　[因为M为边BC上任意一点，

所以可设＝x＋y(x＋y＝1)．

因为N为AM的中点，

所以＝＝x＋y＝λ＋μ.

所以λ＋μ＝(x＋y)＝.故选A.]

3．如图，以向量＝a，＝b为邻边作▱OADB，＝，＝，用a，b表示，，.

[解]　∵＝－＝a－b，

＝＝a－b，

∴＝＋＝a＋b.

∵＝a＋b，

∴＝＋＝＋

＝＝a＋b，

∴＝－＝a＋b－a－b＝a－b.

综上，＝a＋b，＝a＋b，＝a－b.

平面向量的坐标运算

【例1】　(1)向量a，b满足a＋b＝(－1,5)，a－b＝(5，－3)，则b为(　　)

A．(－3,4)   B．(3,4)

C．(3，－4)   D．(－3，－4)

(2)向量a，b，c在正方形网格中，如图所示，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则＝(　　)

A．1　　B．2  C．3　　 D．4

(1)A　(2)D　[(1)∵a＋b＝(－1,5)，a－b＝(5，－3)，

∴a＝(2,1)，b＝(－3,4)，故选A.

(2)以O为坐标原点，建立坐标系可得a＝(－1,1)，b＝(6,2)，c＝(－1，－3)．

∵c＝λa＋μb(λ，μ∈R)．

∴解得λ＝－2，μ＝－.

∴＝4.]

(1)已知A(1,4)，B(－3,2)，向量＝(2,4)，D为AC的中点，则＝(　　)

A．(1,3)　　　 B．(3,3)

C．(－3，－3)   D．(－1，－3)

(2)若向量a＝(2,1)，b＝(－1,2)，c＝，则c可用向量a，b表示为(　　)

A．c＝a＋b   B．c＝－a－b

C．c＝a＋b   D．c＝a－b

(1)B　(2)A　[(1)∵D为AC的中点，∴＝(＋)，又＝(4,2)，＝(2,4)，

∴＝(6,6)＝(3,3)，故选B.

(2)设c＝xa＋yb，易知

∴

∴c＝a＋b.故选A.]

向量共线的坐标表示

【例2】　已知a＝(1,0)，b＝(2,1)．

(1)当k为何值时，ka－b与a＋2b共线；

(2)若＝2a＋3b，＝a＋mb，且A，B，C三点共线，求m的值．

[解]　(1)∵a＝(1,0)，b＝(2,1)，

∴ka－b＝k(1,0)－(2,1)＝(k－2，－1)，

a＋2b＝(1,0)＋2(2,1)＝(5,2)，

∵ka－b与a＋2b共线，

∴2(k－2)－(－1)×5＝0，

∴k＝－.

(2)＝2(1,0)＋3(2,1)＝(8,3)，

＝(1,0)＋m(2,1)＝(2m＋1，m)．

∵A，B，C三点共线，∴∥，

∴8m－3(2m＋1)＝0，∴m＝.

(1)已知向量a＝(1,1)，b＝(2，x)，若a＋b与3a－b平行，则实数x的值是________．

(2)已知向量＝(k,12)，＝(4,5)，＝(－k,10)，且A，B，C三点共线，则实数k的值是________．

(1)2　(2)－　[(1)由题意得a＋b＝(3,1＋x)，3a－b＝(1,3－x)，则由a＋b与3a－b平行得3×(3－x)－1×(1＋x)＝0，解得x＝2.

(2)＝－＝(4－k，－7)，

＝－＝(－2k，－2)．

∵A，B，C三点共线，

∴，共线，

∴－2×(4－k)＝－7×(－2k)，

解得k＝－.]

1．(2015·全国卷Ⅰ)已知点A(0,1)，B(3,2)，向量＝(－4，－3)，则向量＝(　　)

A．(－7，－4)　　　 B．(7,4)

C．(－1,4)   D．(1,4)

A　[＝(3,2)－(0,1)＝(3,1)，

＝－＝(－4，－3)－(3,1)＝(－7，－4)．

故选A.]

2．(2018·全国卷Ⅲ)已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－2)，c＝(1，λ)．若c∥(2a＋b)，则λ＝________.

　[2a＋b＝(4,2)，因为c＝(1，λ)，且c∥(2a＋b)，所以1×2＝4λ，即λ＝.]

3．(2016·全国卷Ⅱ)已知向量a＝(m,4)，b＝(3，－2)，且a∥b，则m＝________.

－6　[∵a＝(m,4)，b＝(3，－2)，a∥b，

∴－2m－4×3＝0，∴m＝－6.]