2020版新一线高考理科数学（人教A版）一轮复习教学案：第3章第5节　三角恒等变换

第五节　三角恒等变换[考纲传真]　1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.2.会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式.3.会用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系.4.能运用上述公式进行简单的三角恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但不要求记忆).1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)sin(α±β)＝sin_αcos_β±cos_αsin_β；(2)cos(α±β)＝cos_αcos_β∓sin_αsin_β；(3)tan(α±β)＝.2．二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin 2α＝2sin αcos α；(2)cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；(3)tan 2α＝.3．辅助角公式asin α＋bcos α＝sin(α＋φ)其中sin φ＝，cos φ＝.[常用结论]1．公式的常用变式tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)；sin 2α＝＝；cos 2α＝＝.2．降幂公式：sin2α＝；cos2α＝；sin αcos α＝sin 2α.3．升幂公式：1＋cos α＝2cos2；1－cos α＝2sin2；1＋sin α＝2；1－sin α＝2.[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立．(　　)(2)公式asin x＋bcos x＝sin(x＋φ)中φ的取值与a，b的值无关．(　　)(3)cos θ＝2cos2－1＝1－2sin2.(　　)(4)当α是第一象限角时，sin ＝.(　　)[答案]　(1)√　(2)×　(3)√　(4)×2．(教材改编)已知cos α＝－，α是第三象限角，则cos为(　　)A.　　 B．－C.   D．－A　[∵cos α＝－，α是第三象限角，∴sin α＝－＝－.∴cos＝(cos α－sin α)＝＝ .故选A.]3．已知sin α－cos α＝，则sin 2α＝(　　)A．－   B．－C.   D.A　[∵sin α－cos α＝，∴1－2sin αcos α＝，∴sin 2α＝1－＝－，故选A.]4．函数 f(x)＝sin x＋cos x的最小值为________．－2　[函数f(x)＝2sin的最小值是－2.]5．若锐角α，β满足tan α＋tan β＝－tan αtan β，则α＋β＝________.　[由已知可得＝，即tan(α＋β)＝.又α＋β∈(0，π)，所以α＋β＝.] 三角函数的给值求值问题【例1】　(1)若α∈，且3cos 2α＝sin，则sin 2α的值为(　　)A．－　　　 B.C．－   D.(2)(2018·江苏高考)已知α，β为锐角，tan α＝，cos(α＋β)＝－.①求cos 2α的值；②求tan(α－β)的值．(1)C　[由3cos 2α＝sin可得3(cos2α－sin2α)＝(cos α－sin α)，又由α∈可知cos α－sin α≠0，于是3(cos α＋sin α)＝，所以1＋2sin αcos α＝，故sin 2α＝－.故选C.](2)[解]　①因为tan α＝，tan α＝，所以sin α＝cos α.因为sin2α＋cos2α＝1，所以cos2α＝，因此cos 2α＝2cos2α－1＝－.②因为α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π). 又因为cos(α＋β)＝－，所以sin(α＋β)＝＝，因此tan(α＋β)＝－2.因为tan α＝，所以tan 2α＝＝－，因此，tan(α－β)＝tan[2α－(α＋β)]＝＝－.[规律方法]　已知三角函数值，求三角函数式值的一般思路1先化简所求式子.2观察已知条件与所求式子之间的联系从三角函数名及角入手.3将已知条件或已知条件的变形式代入所求式子，化简求值. (1)已知角α为锐角，若cos＝，则sin的值为(　　)A.   B.C．－   D．－(2)已知cos＋sin α＝，则sin的值是(　　)A．－   B.C．－   D.(1)B　(2)C　[(1)∵α是锐角，cos＝，∴sin＝，∴sin＝2sincos＝2××＝，故选B.(2)∵cos＋sin α＝，∴cos α＋sin α＝，∴cos α＋sin α＝，即sin＝，∴sin＝sin＝－sin＝－，故选C.]  三角函数的给值求角问题【例2】　(1)(2019·成都模拟)若sin 2α＝，sin(β－α)＝，且α∈，β∈，则α＋β的值是(　　)A.   B.C.或   D.或(2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝，tan β＝－，则2α－β的值为________．(1)A　(2)－　[(1)因为α∈，所以2α∈，又sin 2α＝，所以2α∈，α∈，故cos 2α＝－.又β∈，所以β－α∈，又sin(β－α)＝，故cos(β－α)＝－.所以cos(α＋β)＝cos[2α＋(β－α)]＝cos 2α cos(β－α)－sin 2αsin(β－α)＝－×－×＝，且α＋β∈，故α＋β＝.故选A.(2)∵tan(α－β)＝，tan β＝－，∴tan α＝tan[(α－β)＋β]＝＝＝.∴tan(2α－β)＝tan(α－β＋α)＝＝1.又∵tan α＝＜，tan β＝－＞－，α，β∈(0，π)，∴0＜α＜，＜β＜π，∴－π＜2α－β＜－，∴2α－β＝－.][规律方法]　1.解决给值求角问题的一般步骤1求角的某一个三角函数值；2确定角的范围；3根据角的范围求出要求的角.2.在求角的某个三角函数值时，应注意根据条件选择恰当的函数，尽量做到所选函数在确定角的范围内为单调函数. (1)已知A，B均为钝角，sin2＋cos＝，且sin B＝，则A＋B＝(　　)A.   B.C.   D.(2)定义运算＝ad－bc.若cos α＝，＝，0＜β＜α＜，则β＝________.(1)C　(2)　[(1)因为sin2＋cos＝，所以＋cos A－sin A＝，即－sin A＝，解得sin A＝.因为A为钝角，所以cos A＝－＝－＝－.由sin B＝，且B为钝角，可得cos B＝－＝－＝－.所以cos(A＋B)＝cos Acos B－sin Asin B＝×－×＝.又A，B都为钝角，即A，B∈，所以A＋B∈(π，2π)，故A＋B＝，故选C.(2)根据题意得，sin αcos β－cos αsin β＝，即sin(α－β)＝，又∵0＜β＜α＜，0＜α－β＜，∴sin α＝，cos(α－β)＝，∴sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)＝×－×＝，又β为锐角，∴β＝.]  三角函数的化简求值【例3】　(1)已知α∈(0，π)，化简：＝________.(2)已知cos＝，若π＜x＜π，求的值．(1)cos α　[原式＝.因为α∈(0，π)，所以∈，所以cos ＞0，所以原式＝＝·＝cos2－sin2＝cos α.](2)[解]　由π＜x＜π，得π＜x＋＜2π.又cos＝，所以sin＝－，所以cos x＝cos＝coscos ＋sinsin ＝×－×＝－，从而sin x＝－，tan x＝7.则＝＝＝－.[规律方法]　1三角函数式的化简要遵循“三看”原则：一看角，二看名，三看式子结构与特征.2三角函数式的化简要注意观察条件中角之间的联系和、差、倍、互余、互补等，寻找式子和三角函数公式之间的共同点.3主要手段有：化弦、通分、倍角公式、辅助角公式等. (1)化简：＝_______.(2)[2sin 50°＋sin 10°(1＋tan 10°)]·＝________.(1)cos 2α　(2)　[(1)原式＝＝＝＝＝cos 2α.(2)原式＝×sin 80°＝·sin 80°＝·sin 80°＝·sin 80°＝·cos 10°＝.]1.(2018·全国卷Ⅲ)若sin α＝，则cos 2α＝(　　)A.　　 B.C．－   D．－B　[cos 2α＝1－2sin2α＝1－2×2＝.]2．(2016·全国卷Ⅱ)若cos＝，则sin 2α＝(　　)A.   B.C．－   D．－D　[因为cos＝，所以sin 2α＝cos＝cos 2＝2cos2－1＝2×－1＝－.]3．(2015·全国卷Ⅰ)sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝(　　)A．－   B.C．－   D.D　[sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin(20°＋10°)＝sin 30°＝，故选D.]4．(2014·全国卷Ⅰ)设α∈，β∈，且tan α＝，则(　　)A．3α－β＝   B．2α－β＝C．3α＋β＝   D．2α＋β＝B　[由tan α＝得＝，即sin αcos β＝cos α＋cos αsin β，∴sin(α－β)＝cos α＝sin.∵α∈，β∈，∴α－β∈，－α∈，∴由sin(α－β)＝sin，得α－β＝－α，∴2α－β＝.]5．(2014·全国卷Ⅱ)函数f(x)＝sin(x＋2φ)－2sin φcos(x＋φ)的最大值为______．1　[∵f(x)＝sin(x＋2φ)－2sin φcos(x＋φ)＝sin[(x＋φ)＋φ]－2sin φcos(x＋φ)＝sin(x＋φ)cos φ＋cos(x＋φ)sin φ－2sin φcos(x＋φ)＝sin(x＋φ)cos φ－cos(x＋φ)sin φ＝sin[(x＋φ)－φ]＝sin x，∴f(x)的最大值为1.]6.(2018·全国卷Ⅱ)已知sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，则sin(α＋β)＝________.－　[∵sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，∴sin2α＋cos2β＋2sin αcos β＝1①，cos2α＋sin2β＋2cos αsin β＝0②，①②两式相加可得sin2α＋cos2α＋sin2β＋cos2β＋2(sin αcos β＋cos αsin β)＝1，∴sin(α＋β)＝－.]