2020高考文科数学（人教版）一轮复习讲义：第30讲平面向量的概念及线性运算

1．平面向量

(1)了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和两个向量相等的含义，理解向量的几何表示．

(2)掌握向量加法、减法的运算，理解其几何意义．

(3)掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义．

(4)了解向量线性运算的性质及其几何意义．

(5)了解平面向量的基本定理及其意义．

(6)掌握平面向量的正交分解及其坐标表示．

(7)会用坐标表示平面向量的线性运算(加、减与数乘)．

(8)理解用坐标表示的平面向量共线的条件．

(9)理解平面向量数量积的含义及其物理意义．

(10)了解平面向量的数量积与向量投影的关系．

(11)掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算．

(12)能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系．

(13)会用向量方法解决某些简单的平面几何问题，会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题．

2．复数

(1)理解复数的基本概念，理解复数相等的充要条件，了解复数的代数表示法及其几何意义．

(2)会进行复数代数形式的四则运算，了解两个具体复数相加、相减的几何意义．

1．2014～2018年全国卷Ⅰ的考查情况

续表

2.2014～2018年全国卷Ⅱ的考查情况

向量和复数是每年高考的必考内容，从近5年高考全国卷Ⅰ和卷Ⅱ来看，直接考查向量的试题每年1道，占5分，复数每年1道，占5分，本部分共10分．

平面向量在高考中，主要考查平面向量的基本定理，向量的基本运算，包括向量的线性运算和数量积运算，计算向量的模，向量的共线、垂直等．重点是向量数量积的运算，试题难度一般是易或偏易，主要分布在填空题第1、2题(全卷第13、14题)的位置，有时也在选择题第2至3题的位置．

复数主要考查复数的概念(如实部、虚部、模、共轭等)，复数的几何意义，重点是考查复数的运算(主要是乘法、除法)．试题多为容易题，主要分布在试题的第2至3题的位置．

向量具有几何形式与代数形式的“双重身份”，是中学数学的一个重要交汇点．在高考中，主要考查向量有关的基础知识，突出向量的工具作用．

在复习时应注意高考考查的层次，分层次进行复习．第一层次：要充分理解平面向量的相关概念和掌握向量的线性运算(向量的加法、减法及数乘向量的几何意义)、坐标运算、数量积运算，掌握两向量的共线、垂直的充要条件．第二层次：平面向量本身的综合，特别是平面向量的坐标表示、线性运算、基本定理以及数量积的应用．第三层次：平面向量与平面几何、三角函数、解析几何等知识相联系的综合问题．

通过对向量的学习，进一步体会数形结合思想、方程思想在解题中的运用．

对复数的复习应掌握好以下几个方面：

1．掌握好复数的基本概念和复数表示实数、虚数、纯虚数的充要条件．

2．熟练掌握复数代数形式的加、减、乘、除运算法则．在运算过程中要注意复数运算与实数运算法则的区别．

3．重视复数相等的充要条件，注意利用复数相等将复数问题化归为实数问题进行处理．

第30讲　平面向量的概念及线性运算

1．了解向量的实际背景，理解向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示．

2．掌握向量的加法、减法的运算，并理解其几何意义．

3．掌握向量的数乘运算，并理解其几何意义以及两个向量共线(平行)的意义．

知识梳理

1．向量的有关概念

(1)向量的定义：既有　大小　又有　方向　的量叫做向量．用有向线段表示向量时，有向线段的长度表示向量的　大小(叫做向量的模)　，有向线段的箭头所指的方向表示向量的　方向　.

(2)两个特殊向量

　长度为0　的向量叫做零向量，记作0.

　长度等于1个单位长度　的向量叫做单位向量．

(3)平行向量(或共线向量)

①方向　相同或相反　的　非零　向量叫做平行向量，因为任一组平行向量都可以平移到同一直线上，所以平行向量也叫做　共线　向量．

②规定0与任一向量平行．

③长度　相等　且方向　相同　的向量叫做相等向量．

2．向量的线性运算

(1)向量的加法

①定义：求两个向量和的运算叫做向量的加法．

②法则：向量的加法有　三角形　法则和　平行四边形　法则．

③几何意义：如下图所示：

④运算律：

a＋b＝　b＋a　；(a＋b)＋c＝　a＋(b＋c)　.

(2)向量的减法

①定义：减去一个向量相当于加上这个向量的　相反向量　.

②法则：向量的减法符合三角形法则．

③几何意义如下图所示．

(3)向量的数乘运算

①定义：实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa，它的长度和方向规定如下：

(ⅰ)|λa|＝　|λ||a|　；

(ⅱ)当λ>0时，λa的方向与a的方向　相同　；

当λ<0时，λa的方向与a的方向　相反　；

当λ＝0时，λa＝　0　.

②运算律

a，b为任意向量，λ，μ为实数．

λ(μa)＝　(λμ)a　；(λ＋μ)a＝　λa＋μa　；

λ(a＋b)＝　λa＋λb　.

3．向量共线定理

向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一实数λ，使　b＝λa　.

1．在平行四边形中，如图：

(1)若a，b为不共线的两个向量，则a＋b，a－b为以a，b为邻边的平行四边形的两条对角线表示的向量．

(2)＝(a＋b)．　　(3)|a＋b|2＋|a－b|2＝2(|a|2＋|b|2)．

2．在△ABC中：

(1)＝(＋＋)(向量式) ⇔G是△ABC的重心．

(2)G为△ABC的重心⇔＋＋＝0.

(3)λ(＋)(λ≠0)所在直线(即∠BAC的平分线所在直线)过△ABC的内心．

3．共线的有关结论：

①A，B，C三点共线⇔，共线．

②＝x＋y(x，y为实数)，若点A，B，C共线，则x＋y＝1.

4．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量的终点的向量，即＋＋＋…＋An－1An＝.特别地，一个封闭图形，首尾连结而成的向量和为零向量．

热身练习

1．下列命题中：

①温度有零上和零下温度，所以温度是向量；

②重力有大小和方向，所以重力是向量；

③若|a|>|b|，则a>b；

④若|a|＝|b|，则a＝b.

其中真命题的个数是(A)

A．1  B．2

C．3  D．4

　 ①温度的零上和零下只表示数量，但不表示方向，事实上温度没有方向，它只是一个数量，①假；

②重力既有大小又有方向，重力是向量，②真；

③向量既有大小又有方向，两个向量不能比较大小，③假；

④大小相等和方向相同的两个向量才相等，④假．

由以上分析知，真命题的个数是1.

2．下列命题中：

①零向量的长度为0；

②零向量的方向任意；

③单位向量都相等；

④与非零向量a共线的单位向量为±.

其中真命题的个数是(C)

A．1  B．2

C．3  D．4

　 ①②④都是真命题，对于单位向量只规定了大小，没有规定方向，所以③是假命题．

3．下列命题中：

①平行向量方向一定相同；

②共线向量一定相等；

③向量与是共线向量，则A，B，C，D四点共线；

④若a∥b且b∥c，则a∥c.

其中真命题的个数是(A)

A．0  B．1

C．2  D．3

　 ①假，平行向量方向不一定相同．

②假，共线向量即平行向量，不一定相等．

③假，与是共线向量，AB与CD所在的直线不一定共线，故A，B，C，D四点不一定共线．

④假，当b＝0时，a与c可以是任意向量．

4．如图所示，D是△ABC的边AB上的中点，则向量＝(A)

A．－＋

B．－－

C.－

D.＋　

(方法一：向量的加法)＝＋＝－＋.

(方法二：向量的减法)＝－＝－.

5．设向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋2b平行，则实数λ＝　　.

　 因为向量λa＋b与a＋2b平行，

所以λa＋b＝k(a＋2b)，则所以λ＝.

 向量的线性运算

(经典真题)设D为△ABC所在平面内一点，＝3，则

A.＝－＋  B.＝－

C.＝＋  D.＝－

因为D为△ABC所在平面内一点，且＝3，

所以B，C，D三点共线，且D在BC的延长线上，如图：

(方法一)在△ABD中利用向量的加法：

＝＋＝＋＋

＝＋＝＋(－)

＝－＋.

(方法二)在△ACD中利用向量的加法：

＝＋＝＋＝＋(－)

＝－＋.

(方法三)在△ABD中利用向量的减法：

＝－＝－＝(－)＋

＝－＋.

A

(1)本题综合考查了向量的共线、向量的加法、减法、数乘等基础知识，难度不是很大．

(2)未知向量由已知向量来表示，要注意寻找未知向量与已知向量的联系，一般要用到平行四边形法则、三角形法则、平行(共线)向量的性质．

1．(2018·全国卷Ⅰ)在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则＝(A)

A.－  B.－

C.＋  D.＋

作出示意图如图所示，

(方法一：在△EBD中运用向量的加法)

＝＋＝＋

＝×(＋)＋(－)＝－.

(方法二：在△ABE中运用向量的减法)

＝－＝－

＝－×(＋)＝－.

 共线定理的应用

设两个非零向量a与b不共线．

(1)若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，求证：A，B，D三点共线；

(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线．

(1)证明：因为＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，

所以＝＋＝2a＋8b＋3(a－b)＝2a＋8b＋3a－3b

＝5(a＋b)＝5，

所以，共线，又它们有公共点，

所以A，B，D三点共线．

(2)因为ka＋b和a＋kb共线，

所以存在实数λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)，

即ka＋b＝λa＋λkb，所以(k－λ)a＝(λk－1)b，

又a，b是不共线的两个非零向量，

所以k－λ＝λk－1＝0，所以k＝±1.

(1)证明三点共线问题，可转化为证明两向量平行，再说明两个向量有公共点．

A，B，C三点共线⇔，共线．

(2)证两向量共线，其基本方法是利用两向量共线定理进行证明，即找到实数λ，使得b＝λa(a为非零向量)，则a与b共线．

(3)三点共线等价关系：

A，B，P三点共线⇔＝λ(λ≠0) ⇔＝(1－t)·＋t(O为平面内异于A，B，P的任一点，t∈R) ⇔＝x·＋y·(O为平面内异于A，B，P的任一点，x∈R，y∈R，x＋y＝1)．

2．(2018·吉林期中)在△ABC中，N是AC上一点，且＝，P是BN上一点，若＝m＋，则实数m的值为　　.

因为B，P，N三点在同一直线上，

所以＝λ＋μ，λ＋μ＝1.

又＝m＋＝m＋×3

＝m＋，

所以m＋＝1, 所以m＝.

 向量的线性运算的综合问题

平行四边形ABCD中，M，N分别为DC，BC的中点，已知＝c，＝d，试用c，d表示和.

设＝a，＝b，因为M，N分别为DC，BC的中点，

则有＝a，＝b，

在△ABN和△ADM中可得：

解得

所以＝(2d－c)，＝(2c－d)．

本题求解体现了思维的灵活性，考查了方程的思想方法．

3．已知△ABC和点M满足＋＋＝0.若存在实数m使得＋＝m成立，则m＝(B)

A．2  B．3

C．4  D．5

　　 因为＋＋＝0，所以M是△ABC的重心．连接AM并延长交BC于D，则D为BC的中点．

所以＝，

又＝(＋)，

所以＝(＋)，

即＋＝3，比较得m＝3.

1．在解决有关向量的概念及性质的判断问题时，要全面地考虑问题，要注意：①零向量、单位向量的特殊性；②向量平行与直线平行的区别和联系．

零向量0是长度为0的向量，其方向不确定，它与任一向量平行，要注意零向量0与数0不同，0只是一个实数．

2．向量共线的充要条件是由实数与向量的积推导出来的．向量共线也称为向量平行，它与直线平行有区别：直线平行不包括共线(重合)的情况，而向量平行则包括共线(重合)的情况，故用向量法证明AB与CD平行，可先证明∥，再证明AB与CD不共线．

3．向量的线性运算满足三角形法则和平行四边形法则，向量的三角形法则的要素是“首尾相接，指向终点”；向量减法的三角形法则的要素是“起点重合，指向被减向量”；平行四边形法则的要素是“起点重合”．