2020高考文科数学（人教版）一轮复习讲义：第28讲正弦定理与余弦定理

第28讲　正弦定理与余弦定理

1．掌握正弦定理、余弦定理．

2．能利用这两个定理解斜三角形及解决与正弦定理、余弦定理有关的综合问题．

知识梳理

1．正弦定理

正弦定理：在一个三角形中，各边和　它所对角的正弦的比　相等，并且都等于　外接圆的直径　，即　＝＝＝2R　.

2．余弦定理

余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的　余弦　的积的2倍，即：

a2＝　b2＋c2－2bccos A　；

b2＝　a2＋c2－2accos B　；

c2＝　a2＋b2－2abcos C　.

已知三角形的三边求各角时，余弦定理变形为

cos A＝　　；

cos B＝　　；

cos C＝　　.

1．三角形边角关系

(1)三角形三边的关系：①三角形任何两边之和大于第三边；②三角形任何两边之差小于第三边．

(2)三角形边角关系：①三角形中，大边对大角；②三角形中，大角对大边．

(3)三角形三角关系：A＋B＋C＝π.

2．三角形中的三角函数关系

(1)sin(A＋B)＝sin C；(2)cos(A＋B)＝－cos C；

(2)sin＝cos；(4)cos＝sin.

3．三角形中的射影定理

在△ABC中，a＝bcos C＋ccos B；

b＝acos C＋ccos A，c＝bcos A＋acos B.

4．解三角形的四种基本类型

(1)已知两角及任一边，求另一角和两边；

(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边及另两角；

(3)已知两边和它们的夹角，求另一边及另两角；

(4)已知三边，求三角．

热身练习

1．在锐角△ABC中，角A，B所对的边分别为a，b，若2asin B＝b，则角A等于(D)

A.  B.

C.  D.

　 因为2asin B＝b，

由正弦定理得2sin Asin B＝sin B，所以sin A＝，

因为0<A<，所以A＝.

2．若△ABC的内角A，B，C所对的边a，b，c满足(a＋b)2－c2＝4，且C＝60°，则ab的值为(A)

A.             B．8－4

C．1    D.

　  由(a＋b)2－c2＝4得a2＋b2＋2ab－c2＝4，

由C＝60°得cos C＝＝＝，

解得ab＝.

3．(2016·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝，c＝2，cos A＝，则b＝(D)

A.  B.

C．2  D．3

　 由余弦定理得5＝b2＋4－2×b×2×，

解得b＝3或b＝－(舍去)，故选D.

4．(2016·全国卷Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos A＝，cos C＝，a＝1，则b＝　　.

　 在△ABC中，因为cos A＝，cos C＝，

所以sin A＝，sin C＝，

所以sin B＝sin(A＋C)

＝sin Acos C＋cos Asin C

＝×＋×＝.

又因为＝，所以b＝＝＝.

5．(2017·全国卷Ⅲ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知C＝60°，b＝，c＝3，则A＝　75°　.

　 如图，在△ABC中，已知C＝60°，b＝，c＝3.

由正弦定理，得＝，所以sin B＝.

又c＞b，所以B＝45°，所以A＝180°－60°－45°＝75°.

 求一个三角形中的有关元素

(2017·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知sin B＋sin A(sin C－cos C)＝0，a＝2，c＝，则C＝(　　)

A.  B.

C.  D.

因为a＝2，c＝，所以由正弦定理可知，＝，

故sin A＝sin C.

又B＝π－(A＋C)，

故sin B＋sin A(sin C－cos C)

＝sin(A＋C)＋sin Asin C－sin Acos C

＝sin Acos C＋cos Asin C＋sin Asin C－sin Acos C

＝(sin A＋cos A)sin C

＝0.

又C为△ABC的内角，故sin C≠0，

则sin A＋cos A＝0，即tan A＝－1.

又A∈(0，π)，所以A＝.

从而sin C＝sin A＝×＝.

由A＝知C为锐角，故C＝.

B

(1)三角形可解类型有四类，求解时，可画出示意图，并将有关数据在示意图中标示，弄清所求解三角形是可解三解三角形中的哪一类，再根据相应类型运用正弦定理或余弦定理进行求解．

(2)已知两边和其中一边的对角(如a，b，A)应用正弦定理时，有一解、两解和无解等情况，可根据三角函数的有界性、三角形内角和定理或“三角形中大边对大角”来判断解的情况，做出正确的取舍．若求另一条边，可选择余弦定理进行求解．

1．(2018·浙江卷)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝，b＝2，A＝60°，则sin B＝　　，c＝　3　.

如图，由正弦定理＝，

得sin B＝·sin A＝×＝.

由余弦定理a2＝b2＋c2－2bc·cos A，

得7＝4＋c2－4c×cos 60°，

即c2－2c－3＝0，解得c＝3或c＝－1(舍去)．

 求多个三角形中的有关元素

(2018·抚州南城二中月考)在△ABC中，已知B＝45°，D是BC边上的一点，AD＝10，AC＝14，DC＝6，求AB的长．

①图中涉及哪些三角形？(△ABD，△ADC，△ABC)

②哪些三角形是可解的？(△ADC)

③哪些三角形含有需要求的量(△ABD，△ABC)

④你能得到的求解方案是怎样的？

方案一：先解△ADC，求出cos ∠ADC，再转化为sin ∠ADC，在△ABD中利用正弦定理求出AB；

方案二：先解△ADC，求出cos C，再转化为sin C，在△ABC中利用正弦定理求出AB.

(方法一)在△ADC中，AD＝10，AC＝14，DC＝6，

由余弦定理得

cos ∠ADC＝＝＝－，

所以∠ADC＝120°，∠ADB＝60°.

在△ADB中，AD＝10，∠B＝45°，∠ADB＝60°.

由正弦定理得＝，

所以AB＝＝＝＝5.

(方法二)在△ADC中，因为cos C＝＝，

所以sin C＝＝，

在△ABC中，由正弦定理得＝，

所以AB＝＝5.

(1)涉及多个三角形时，首先要分析所求元素位于哪个三角形中，有哪些元素是已知的，还需要怎样的元素，做到目标清楚．

(2)具体求解时，根据所求目标尽量选择满足三角形求解条件的三角形进行求解，使含所求元素的三角形成为可解三角形，解三角形得到所求元素．

2．(2018·佛山二模)如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥AD，AB＝1，AC＝，∠ABC＝，∠ACD＝.

(1)求sin∠BAC；

(2)求DC的长．

(1)在△ABC中，由余弦定理得：

AC2＝BC2＋BA2－2BC·BAcos B，

即BC2＋BC－6＝0，解得BC＝2，或BC＝－3(舍去)，

由正弦定理得：＝，

所以sin ∠BAC＝＝.

(2)由(1)有cos ∠CAD＝sin ∠BAC＝，

所以sin ∠CAD＝＝，

所以sin D＝sin(∠CAD＋)

＝×＋×＝，      

由正弦定理得：＝，

所以DC＝＝＝ .

 正、余弦定理的综合应用

(2018· 全国卷Ⅰ·理)在平面四边形ABCD中，∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝2，BD＝5.

(1)求cos∠ADB；

(2)若DC＝2，求BC.

(1)在△ABD中，由正弦定理得＝，

即＝，所以sin∠ADB＝.

由题设知，∠ADB<90°，所以cos∠ADB＝＝.

(2)由题设及(1)知，cos∠BDC＝sin∠ADB＝.

在△BCD中，由余弦定理得

BC2＝BD2＋DC2－2BD·DC·cos∠BDC

＝25＋8－2×5×2×＝25，

所以BC＝5.

(1)本题主要考查正弦定理、余弦定理的综合应用．

(2)解三角形综合问题时，要注意：

①根据已知的边角画出图形，并在图形中标示已知条件；

②根据问题特点，合理运用正弦定理、余弦定理等；

③注意三角恒等变换相关知识的运用．

3．(2016·江苏卷)在△ABC中，AC＝6，cos B＝，C＝.

(1)求AB的长；

(2)求cos(A－)的值．

(1)因为cos B＝，0＜B＜π，

所以sin B＝＝＝.

由正弦定理知＝，

所以AB＝＝＝5.

(2)在△ABC中，A＋B＋C＝π，所以A＝π－(B＋C)，

于是cos A＝－cos(B＋C)＝－cos(B＋)

＝－cos Bcos＋sin Bsin.

又cos B＝，sin B＝，

故cos A＝－×＋×＝－.

因为0＜A＜π，所以sin A＝＝.

因此，cos(A－)＝cos Acos＋sin Asin

＝－×＋×

＝.

1．解斜三角形有四种类型：

(1)已知两角A，B与一边a，由A＋B＋C＝180°及＝＝，可求出角C，再求出b，c.

(2)已知两边b，c与其夹角A，由a2＝b2＋c2－2bccos A，求出a，再由余弦定理求出角B，C.

(3)已知三边a，b，c，由余弦定理可求出角A，B，C.

(4)已知两边a，b及其中一边的对角A，由正弦定理＝，求出另一边b的对角B，由C＝180°－(A＋B)，求出C，再由＝求出c.而通过＝求B时，可能有一解、两解或无解的情况，其可能出现的情况如下表：

2.解三角形时，要灵活运用已知条件，根据正、余弦定理列出方程，进而求解，最后还要检验是否符合题意(如三角形内角和为180°、三角形中大边对大角等)．

3．对于涉及多个三角形的应用问题，需要灵活选择正弦定理、余弦定理、三角恒等变形公式．解此类题时，一般有如下思路：

(1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦定理、余弦定理求解．

(2)寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果．