2020高考文科数学（人教版）一轮复习讲义：第15讲　导数的概念及运算




1．导数的概念及其几何意义
(1)了解导数概念的实际背景．
(2)通过函数图象直观理解导数的几何意义．
2．导数的运算
(1)能根据导数的定义，求函数y＝C(C为常数)，y＝x，y＝，y＝x2，y＝x3，y＝的导数．
(2)能利用以下给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数．
常见基本初等函数的导数公式和常用的导数运算法则：
C′＝0(C为常数)；(xn)′＝nxn－1，n∈N*；
(sin x)′＝cos x；(cos x)′＝－sin x；
(ex)′＝ex；(ax)′＝axln a(a>0，且a≠1)；
(ln x)′＝；(logax)′＝logae(a>0，且a≠1)．
法则1：[u(x)±v(x)]′＝u′(x)±v′(x)；
法则2：[u(x)v(x)]′＝u′(x)v(x)＋u(x)v′(x)；
法则3：[]′＝(v(x)≠0)．
3．导数在研究函数中的应用
(1)了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数不超过三次)．
(2)了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次)．
4．生活中的优化问题
会利用导数解决实际问题．

1．2014～2018年全国卷Ⅰ的考查情况

年份
考查内容
分值
2014
第12题　用导数研究零点
第21题　(1)导数的切线，求参数
(2)由不等式求范围
5分
12分


续表
年份
考查内容
分值
2015
第14题　由切线求参数
第21题　(1)讨论零点
(2)证明不等式
5分
12分

2016
第9题　函数图象
第21题　(1)讨论单调性
(2)根据零点求范围
5分
12分

2017
第14题　求切线方程
第21题　(1)讨论单调性
(2)恒成立求范围
5分
12分

2018
第6题　求切线方程
第21题　(1)极值、单调性
(2)证明不等式
5分
12分

2.2014～2018年全国卷Ⅱ的考查情况

年份
考查内容
分值
2014
第3题　存在极值的条件
第11题　单调性逆向问题
第21题　(1)由切线求参数
(2)证明有唯一交点
5分
5分
12分

2015
第16题　公切线问题
第21题　(1)讨论单调性
(2)由取最值求范围
5分
12分

2016
第20题　(1)求切线方程
(2)由不等式求范围
12分

2017
第21题　(1)讨论单调性
(2)恒成立求范围
12分

2018
第13题　求切线方程
第21题　(1)讨论单调性
(2)证明只有一个零点
5分
12分


导数及其应用是高考考查的重点和热点内容，在2014年至2018年全国卷Ⅰ和卷Ⅱ直接考查本部分内容的试题共19道，其中客观题9道，解答题10道，一般是“一小一大”，占17分，多时达到22分．
客观题主要考查导数的运算及其几何意义，利用导数求函数的最值，研究函数的零点，研究不等式的解集，通过导数讨论有关参数的取值范围．一般属于中等难度题或偏难题．
解答题主要是考查导数的综合应用，主要包括两方面的综合：一是导数本身的综合，主要考查导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性、极值、最值等；二是和其他知识的综合，主要包括导数与不等式、导数与方程的综合，考查不等式的证明，由不等式求参数的范围及讨论函数的零点等．试题难度大，每年都将导数综合问题作为压轴题，着重考查化归与转化的思想、函数与方程的思想、数形结合的思想和分类讨论的思想，考查考生运算求解能力、综合运用知识的能力和分析问题解决问题的能力．

导数是高中数学中的重要内容，是解决实际问题必不可少的数学工具，导数为解决函数问题、曲线问题提供了一般性的方法．由于求导可以解决函数的单调性、极值和最值等问题，这样既丰富了函数的内容，也增大了函数综合题的难度，因此成为高考命题的热点．
通过对近几年高考试题的分析研究，可以看出高考对导数的考查主要有三个层次：
第一个层次是考查导数的概念、几何意义，求导的公式和求导的法则；
第二个层次是导数的简单应用，包括求函数的极值，求函数的单调区间，证明函数的增减性等；
第三个层次是综合考查，主要是将导数内容与传统内容中不等式、方程等有机地结合在一起考查，以函数为载体，以导数为工具，以考查考生综合运用知识为目标，是高考导数与函数交汇试题的显著特点和命题趋向．
在复习过程中，要注意：
1．研究函数的单调性、极值、最值、切线等问题离不开求导，因此要熟练掌握导数的运算法则和常用函数的导数，这是综合运用的基础．
2．熟练掌握可导函数单调区间的极值、最值的研究方法，尤其重视单调性在研究函数中的作用，从而从“数”和“形”两方面把握函数的特征，为研究不等式、方程等提供方法，为综合应用打下基础．
由于高考重视导数的应用，特别注意利用导数研究不等式及方程的零点等有关问题，在本单元综合应用中，增加了“导数与不等式”“导数与方程”等内容，要求通过复习掌握利用导数处理不等式的基本方法和技巧，掌握利用导数研究函数零点的基本方法．第二轮复习还将进一步深化.

第15讲　导数的概念及运算
　　　　　　　　　　　


1．了解导数概念的实际背景．
2．通过函数图象直观理解导数的几何意义，会求曲线的切线方程．
3．能根据导数的定义，求一些简单函数的导数．
4．能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数．

知识梳理
1．导数的概念
(1)平均变化率： 函数y＝f(x)从x0到x0＋Δx的平均变化率＝　　.
(2)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数
函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率　li 　通常称为f(x)在x＝x0处的导数，并记作f′(x0)，即　f′(x0)＝li 　.
(3)函数f(x)的导函数
如果函数y＝f(x)在开区间(a，b)内每一点都是可导的，就说f(x)在开区间(a，b)内可导，其导数也是开区间(a，b)内的函数，称作f(x)的导函数，记作　y′或f′(x)　.
2. 导数的几何意义
函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的 　切线的斜率　.
曲线在点P(x0，f(x0))处的切线方程是 　y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)　.
3．导数的运算
(1)基本初等函数的导数公式
①C′＝　0　(C为常数)；
②(xn)′＝　nxn－1　(n∈Q)；
③(sin x)′＝　cos x　；
④(cos x)′＝　－sin x　；
⑤(ax)′＝　axln a　(a>0且a≠1)；
⑥(ex)′＝　ex　；
⑦(logax)′＝　　 (a>0且a≠1)；
⑧(ln x)′＝　　.
(2)导数的运算法则
①和差的导数
[f(x)±g(x)]′＝　f′(x)±g′(x)　.
②积的导数
[f(x)·g(x)]′＝　f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)　.
③商的导数
[]′＝　　(g(x)≠0)．
热身练习
1．若f(x)＝2x2图象上一点(1,2)及附近一点(1＋Δx,2＋Δy)，则等于(C)
A．3＋2Δx B．4＋Δx
C．4＋2Δx D．3＋Δx
　 Δy＝f(x＋Δx)－f(x)＝2(1＋Δx)2－2
＝2[2Δx＋(Δx)2]，所以＝4＋2Δx.
2．设函数f(x)可导，则 等于(C)
A．f′(1) B．2f′(1)
C.f′(1) D．f′(2)
　 因为f(x)可导，
所以 ＝ ＝f′(1)．
3．下列求导运算中正确的是(B)
A．(x＋)′＝1＋ B．(lg x)′＝
C．(ln x)′＝x D．(x2cos x)′＝－2xsin x
　 (x＋)′＝1－，故A错；(ln x)′＝，故C错；
(x2cos x)′＝2xcos x－x2sin x，D错．
4．(2018·全国卷Ⅱ)曲线y＝2ln x在点(1,0)处的切线方程为　2x－y－2＝0　.
　 因为y′＝，y′＝2，
所以切线方程为y－0＝2(x－1)，即y＝2x－2.
5．(1)(2016·天津卷)已知函数f(x)＝(2x＋1)ex，f′(x)为f(x)的导函数，则f′(0)的值为　3　.
(2)y＝，则y′x＝2＝　　.
　 (1)因为f′(x)＝2ex＋(2x＋1)ex＝(2x＋3)ex，
所以f′(0)＝3e0＝3.
(2)因为y′＝()′＝＝，
所以y′x＝2＝＝.
　　　　　　　　　　　


导数的概念
利用导数的定义求函数f(x)＝的导数．
因为Δy＝－＝，
所以＝，
所以f′(x)＝li ＝li[]
＝－＝－.
利用定义求导数的基本步骤：
①求函数的增量：Δy＝f(x＋Δx)－f(x)；
②求平均变化率：＝；
③取极限得导数：f′(x)＝li .

1．设函数f(x)在x0处可导，则li 等于(B)
A．f′(x0) B．－f′(x0)
C．f(x0) D．－f(x0)
li
＝－li ＝－f′(x0)．
导数的运算
求下列函数的导数：
(1)y＝x2sin x; (2)y＝.
(1)y′＝(x2)′sin x＋x2(sin x)′
＝2xsin x＋x2cos x.
(2)y′＝
＝
＝.
利用导数公式和运算法则求导数，是求导数的基本方法(称为公式法)．用公式法求导数的关键是：认清函数式的结构特点，准确运用常用的导数公式．

2．(1)(2018·天津卷)已知函数f(x)＝exln x，f′(x)为f(x)的导函数，则f′(1)的值为　e　.
(2)设y＝，则y′＝　－1　.
(1)因为f(x)＝exln x，
所以f′(x)＝exln x＋，所以f′(1)＝e.
(2)因为y′＝
＝＝，
所以y′＝－1.
求切线方程
(1)(2017·全国卷Ⅰ)曲线y＝x2＋在点(1,2)处的切线方程为____________________．
(2)若曲线y＝xln x存在斜率为2的切线，则该切线方程为________________．
因为y′＝2x－，所以y′|x＝1＝1，
即曲线在点(1,2)处的切线的斜率k＝1，
所以切线方程为y－2＝x－1，
即x－y＋1＝0.
(2)因为y′＝ln x＋1，设切点为P(x0，y0)，
则y′x＝x0＝ln x0＋1＝2，所以x0＝e，
此时y0＝x0ln x0＝eln e＝e，所以切点为(e，e)．
故所求切线方程为y－e＝2(x－e)，即2x－y－e＝0.
　　 (1)x－y＋1＝0　(2)2x－y－e＝0
(1)求切线方程有如下三种类型：
①已知切点(x0，y0)，求切线方程；
②已知切线的斜率k，求切线方程；
③求过(x1，y1)的切线方程．
其中①是基本类型，类型②和类型③都可转化为类型①进行处理．
(2)三种类型的求解方法：
类型①，利用y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)直接求出切线方程．
类型②，设出切点(x0，y0)，再由k＝f′(x0)，再由(x0，y0)既在切线上，又在曲线上求解；
类型③，先设出切点(x0，y0)，利用k＝f′(x0)及已知点(x1，y1)在切线上求解．

3．(2018·广州市模拟)已知直线y＝kx－2与曲线y＝xln x相切，则实数k的值为(D)
A．ln 2 B．1
C．1－ln 2 D．1＋ln 2
本题实质上是求曲线过点(0，－2)的切线问题，因为(0，－2)不是切点，可先设出切点，写出切线方程，再利用切线过(0，－2)得到所求切线方程．
设切点为(x0，x0ln x0)，
因为y′＝ln x＋1，所以k＝ln x0＋1，
所以切线方程为y－x0ln x0＝(ln x0＋1)(x－x0)，
因为切线过点(0，－2)，
所以－2－x0ln x0＝－x0ln x0－x0，
所以x0＝2，所以k＝ln 2＋1.

1．函数y＝f(x)的导数实质上是“增量(改变量)之比的极限”，即f′(x)＝li ＝li .
2．关于函数的导数，要熟练掌握基本导数公式和求导的运算法则，一般要遵循先化简再求导的基本原则．
3．导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点M(x0，f(x0))处切线的斜率，其切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．
若设点(x0，y0)是切线l与曲线C的切点，则有如下结论：
①f′(x0)是切线l的斜率；
②点(x0，y0)在切线l上；
③点(x0，y0)在曲线C上．