2020高考文科数学（人教版）一轮复习讲义：第33讲平面向量的应用

第33讲　平面向量的应用

1．会用向量方法解决简单的力、速度的分解与合成问题．

2．会用向量方法解决某些简单的平面几何问题．

3．会用向量方法解决某些简单与平面解析几何有关的问题．

知识梳理

1．用向量法处理垂直问题

(1)对非零向量a与b，a⊥b⇔a·b＝0　.

(2)若非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0　.

2．用向量法处理平行问题

(1)向量a与非零向量b共线，当且仅当存在唯一一个实数λ，使得　a＝λb　.

(2)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)是平面向量，则向量a与非零向量b共线的充要条件是　x2y1－x1y2＝0　.

3．用向量法求角

(1)设a，b是两个非零向量，夹角记为α，则cos α＝　　.

(2)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)是平面向量，则cos α＝　　.

4．用向量法处理距离(长度)问题

(1)设a＝(x，y)，则a2＝|a|2＝　x2＋y2　，即|a|＝　　.

(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，且a＝，则|AB|＝||＝　　.

5．向量在物理中的应用

(1)向量在力的分解与合成中的应用．

(2)向量在速度的分解与合成中的应用．

热身练习

1．已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(3,4)，B(5,2)，C(－1，－4)，则这个三角形是(B)

A．锐角三角形  B．直角三角形

C．钝角三角形  D．等腰三角形

　 因为＝(－4，－8)，＝(2，－2)，＝(－6，－6)，

而·＝2×(－6)＋(－2)×(－6)＝0，

所以AB⊥BC，故△ABC为直角三角形．

2．一质点受到平面上的三个力F1，F2，F3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态．已知F1，F2成120°角，且F1，F2的大小分别为1和2，则有(A)

A．F1，F3成90°角  B．F1，F3成150°角

C．F2，F3成90°角  D．F2，F3成60°角

　 如图，因为∠AOB＝120°，所以∠OAC＝60°，

在△OAC中，由余弦定理得OC＝，

所以OA2＋OC2＝AC2，

所以∠AOC＝90°，故F1与F3成90°角.3.平面上有三个点A(－2，y)，B(0，)，C(x，y)，若⊥，则动点C的轨迹方程为　y2＝8x(x≠0)　.

　 因为＝(2，－)，＝(x，)，

又⊥，所以·＝0，

所以(2，－)·(x，)＝0，即2x－＝0，

所以y2＝8x(x≠0)．

4．已知平面向量a＝(1，cos θ)，b＝(1,3sin θ)，若a与b共线，则tan 2θ的值为　　.

　 由条件得3sin θ－cos θ＝0，所以tan θ＝，

tan 2θ＝＝＝.

5．已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，CD＝BC＝1，P是腰DC上的动点，则|＋3|的最小值为　5　.

　 以D为原点，DA，DC所在直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系，

则A(2,0)，B(1,1)．设点P(0，y)，0≤y≤1，

则＋3＝(5,3－4y)，

所以|＋3|＝，

即当y＝时，所求模长取得最小值5.

 向量在物理中的应用

一质点受到平面上的三个力F1，F2，F3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态．已知F1，F2成60°角，且F1，F2的大小分别为2和4，则F3的大小为

A．6   B．2

C．2  D．2

结合向量的平行四边形法则(如图)，

易知F3的大小，即平行四边形对角线OD的长度，

根据余弦定理，可得

OD2＝22＋42－2×2×4cos 120°＝28，故OD＝2.

D

用向量法解决物理问题的步骤：

①将相关物理量用几何图形表示出来；

②将物理问题抽象成数学模型，转化为数学问题；

③最后将数学问题还原为物理问题．

1．一条河宽为400 m，一船从A出发航行垂直到达河正对岸的B处，船速为20 km/h，水速为12 km/h，则船到达B处所需时间为　1.5　min.

　　 船速度与水流速度的合速度是船的实际航行速度．如图，

|v1|＝20，|v2|＝12.根据勾股定理

|v|＝16(km/h)＝(m/min)，

故t＝400÷＝1.5(min)．

 向量在平面几何中的应用

在等腰直角三角形ABC中，AC＝BC，D是BC的中点，E是线段AB上的点，且AE＝2BE，求证：AD⊥CE.

(方法一：基向量法)

设＝a，＝b，则|a|＝|b|，且a·b＝0，

则＝＋＝＋＝＋(－)

＝a＋b.

＝－＝－＝b－a.

·＝(b－a)·(a＋b)＝－a2＋b2＝0，

所以⊥，即AD⊥CE.

(方法二：坐标法)

以C为坐标原点，CA，CB所在直线分别为x轴，y轴建立直角坐标系，

设CA＝2，则A(2,0)，B(0,2)，D(0,1)，E(，)，

所以＝(－2,1)，＝(，)，

所以·＝－＋＝0.所以⊥，即AD⊥CE.

用向量法解决几何问题的步骤：

①建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；

②通过向量运算，研究几何元素之间的关系；

③把运算结果“翻译”成几何关系．

2．如图所示，四边形ABCD是正方形，P是对角线DB上的一点，四边形PECF是矩形．证明：

(1)PA＝EF；　　　(2)PA⊥EF.

以D为坐标原点，以DC，DA所在的直线分别为x轴，y轴建立如图所示的坐标系．设正方形的边长为1，

设P(t，t)(0≤t≤1)，则F(t,0)，E(1，t)，A(0,1)，

所以＝(－t,1－t)，＝(t－1，－t)，

(1)||＝＝，

||＝＝，

所以||＝||，即PA＝EF.

(2)·＝－t(t－1)＋(1－t)(－t)

＝－t2＋t－t＋t2＝0.

所以⊥，即PA⊥EF.

 向量的综合应用

已知点P(－3,0)，点A在y轴上，点Q在x轴的正半轴上，点M在直线AQ上，满足·＝0，＝－，当点A在y轴上移动时，动点M的轨迹方程为____________．

设M(x，y)为轨迹上的任一点，设A(0，b)，Q(a,0)(a>0)，

则＝(x，y－b)，＝(a－x，－y)，

因为＝－，所以(x，y－b)＝－(a－x，－y)，

所以a＝x，b＝－，即A(0，－)，Q(，0)，

＝(3，－)，＝(x，y)，

因为·＝0，所以3x－y2＝0，

即所求轨迹的方程为y2＝4x(x>0)．

y2＝4x(x>0)

在处理解析几何问题时，需要将向量用点的坐标表示，利用向量的有关法则、性质列出方程．

3．(2017·北京卷)已知点P在圆x2＋y2＝1上，点A的坐标为(－2,0)，O为原点，则·的最大值为　6　.

(方法一)根据题意作出图象，如图所示，

A(－2,0)，P(x，y)．由点P向x轴作垂线交x轴于点Q，则点Q的坐标为(x,0).·＝||||cos θ，

||＝2，||＝，

cos θ＝＝，

所以·＝2(x＋2)＝2x＋4.

又点P在圆x2＋y2＝1上，所以x∈[－1,1]．

所以·的最大值为2＋4＝6.

(方法二)因为点P在圆x2＋y2＝1上，

所以可设P(cos α，sin α)(0≤α＜2π)，

所以＝(2,0)，＝(cos α＋2，sin α)，

·＝2cos α＋4≤2＋4＝6，

当且仅当cos α＝1，即α＝0，P(1,0)时，上式取到“＝”．

1．向量的平行、垂直关系是向量最基本、最重要的位置关系，而向量的夹角、长度是向量的数量特征，是数形结合的重要工具，这些知识是高考重点考查内容之一，因此，对这些基本知识必须在理解的基础上熟练掌握．

2．向量法解决几何问题的“三步曲”，即：

(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题化为向量问题．

(2)通过向量运算研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题．

(3)把运算结果“翻译”成几何关系．

3．证明直线平行、垂直、线段相等等问题的常用方法：

(1)要证AB＝CD，可转化为证明2＝2或||＝||.

(2)要证两线段AB∥CD，只要证存在一实数λ≠0，使等式＝λ成立即可．

(3)要证明两线段AB⊥CD，只需证·＝0.

4．用数学知识解决物理问题，首先要把物理问题转化为数学问题，即将物理量之间的关系抽象成数学模型，然后通过对这个数学模型进行研究，解释相关物理现象．