2020高考文科数学（人教版）一轮复习讲义：第29讲正弦定理、余弦定理的综合应用

第29讲　正弦定理、余弦定理的综合应用

1．进一步掌握正弦定理、余弦定理的应用．

2．能利用正弦定理、余弦定理解决有关实际应用问题．

3．能利用正弦定理、余弦定理解决与三角形的形状，面积等有关综合问题．

知识梳理

1．解三角形在实际问题中的应用

三角形的实际应用题实质还是求解三角形，应掌握实际问题的常用角：方向角、方位角、仰角、俯角等概念，并掌握求解实际问题的一般步骤和方法．

(1)有关角的概念

①方向角：指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角(一般指锐角)，通常表达成：正北或正南，北偏东30°，北偏西30°，南偏东30°，南偏西30°等．

②方位角：指从正北方向　按顺时针　旋转到目标方向线的夹角．

③俯角、仰角：指视线与水平线所成的角，视线在水平线上方的角叫做仰角，视线在水平线下方的角叫做俯角．如图中OD，OE是视线，∠DOC是　仰　角，∠EOC是　俯　角．

(2)用正、余弦定理解决实际问题的一般步骤

①审题：理解题意，分清已知和未知，画出示意图．

②建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与未知量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型．

③求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解．

④检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解．

2．三角形的常用面积公式

(1)S△ABC＝a·ha(其中ha表示边a上的高)；

(2)S△ABC＝absin C＝　bcsin A　＝　acsin B　；

(3)S△ABC＝(a＋b＋c)·r(r为三角形内切圆的半径)．

三角形的面积是与解三角形息息相关的内容，经常出现在解答题中，难度不大．出现的题型有：

(1)利用正弦定理、余弦定理解三角形，求出三角形的各个边角后，直接求三角形的面积．

(2)把面积作为已知条件之一，与正弦定理、余弦定理结合求出三角形的其他各量．

热身练习

1．若点A在点B的北偏西30°，则B在点A的(C)

A．西偏北30°  B．西偏北60°

C．南偏东30°  D．东偏南30°

　 如图，可知B在A的南偏东30°.

2．如图，某河段的两岸视为平行，在河段的一岸边选取两点A，B，观察对岸的点C，测得∠CAB＝75°，∠CBA＝45°，且AB＝200米，则A，C两点的距离为(B)

A.米  B.米

C.米  D.米

　 如图，∠C＝60°，由正弦定理知＝，

所以AC＝×＝.

3．在200 m高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°，60°，则塔高为(A)

A. m  B. m

C. m  D. m

　 画出示意图，如下图，

在△ABC中，＝sin 60°，所以BC＝，

在△BCD中，＝，

即＝，所以CD＝(m)．

4．在△ABC中，已知2sin Acos B＝sin C，那么△ABC一定是(B)

A．直角三角形  B．等腰三角形

C．等腰直角三角形  D．正三角形

　 (方法一：转化为边的关系进行判断)

由正弦定理及余弦定理得2a·＝c，

所以a2＋c2－b2＝c2，所以a＝b，

故△ABC是等腰三角形．

(方法二：利用角的关系进行判断)

2sin Acos B＝sin C＝sin(A＋B)，

所以sin Acos B－cos Asin B＝0，所以sin(A－B)＝0，

因为－π<A－B<π，所以A－B＝0，即A＝B，

所以△ABC为等腰三角形．

5．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若c2＝(a－b)2＋6，C＝，则△ABC的面积为(C)

A．3  B.

C.  D．3

　 c2＝a2＋b2－2abcos C＝(a－b)2＋6＝a2＋b2－2ab＋6，

所以－2abcos＝－2ab＋6，所以ab＝6.

所以S＝absin C＝×6×＝.

 解三角形在实际问题中的应用

(经典真题)如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点．从A点测得M点的仰角∠MAN＝60°，C点的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°；从C点测得∠MCA＝60°.已知山高BC＝100 m，则山高MN＝________m.

在Rt△ABC中，∠CAB＝45°，BC＝100 m，所以AC＝100 m．在△AMC中，∠MAC＝75°，∠MCA＝60°，从而∠AMC＝45°.

由正弦定理得＝，

所以AM＝100 m.

在Rt△MNA中，AM＝100 m，∠MAN＝60°，

由＝sin 60°得MN＝100×＝150 m.

150

(1)解决实际应用问题的过程都要充分理解题意，正确作出图形，把实际问题里的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边、角，通过建立数学模型来求解．

(2)转化为解三角形模型后，通常会遇到如下两种情况：①已知量与未知量全部集中在某一个三角形中，此时直接利用正弦定理或余弦定理；②已知量与未知量涉及两个或几个三角形，这时需要选择满足条件足够的三角形优先研究，再逐步在其余三角形中求出问题的解．

1．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600 m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD＝　100　m.

由题意，在△ABC中，∠BAC＝30°，∠ABC＝180°－75°＝105°，故∠ACB＝45°.

又AB＝600 m，故由正弦定理得＝，

解得BC＝300 m.

在Rt△BCD中，CD＝BC·tan 30°＝300×＝100 m.

 与三角形面积有关的应用

(2018·全国卷Ⅲ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为，则C＝(　　)

A.  B.

C.  D.

要善于根据题目特点，联想相关公式和定理．如题中面积公式中出现了a2＋b2－c2，由此可联想余弦定理；又由余弦定理的角的特点，联想应运用面积公式中的哪一个．

由余弦定理得cosC＝，

所以a2＋b2－c2＝2abcosC，

所以S＝＝abcosC，

又因为S＝absinC，

所以abcos C＝absinC，

所以sin C＝cos C，即tan C＝1.

因为C∈(0，π)，所以C＝.

C

解决与面积有关的综合时，要注意根据题目特点，合理地选择相关公式．

2．(2018·北京卷)若△ABC的面积为(a2＋c2－b2)，且∠C为钝角，则∠B＝　60°　；的取值范围是　(2，＋∞)　.

由余弦定理得cos B＝，

所以a2＋c2－b2＝2accos B.

又因为S＝(a2＋c2－b2)，

所以acsin B＝×2accos B，

所以tan B＝，所以∠B＝.

又因为∠C为钝角，所以∠C＝－∠A＞，

所以0＜∠A＜.

由正弦定理得＝

＝＝＋·.

因为0＜tan A＜，所以＞，

所以＞＋×＝2，即＞2.

 解三角形的综合应用

(2018·广州模拟)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足a＝2，acos B＝(2c－b)cos A.

(1)求角A的大小；

(2)求△ABC周长的最大值．

(1)(方法一)由已知，得acos B＋bcos A＝2ccos A.

由正弦定理，得sin Acos B＋sin Bcos A＝2sin Ccos A，

即sin(A＋B)＝2sinCcosA.

因为sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sin C，

所以sin C＝2sin Ccos A.

因为sin C≠0，所以cos A＝.

因为0<A<π，所以A＝.

(方法二)由已知根据余弦定理，得

a×＝(2c－b)×.

即b2＋c2－a2＝bc.

所以cos A＝＝.

因为0<A<π， 所以A＝.

(2)(方法一)由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A,

得bc＋4＝b2＋c2，

即(b＋c)2＝3bc＋4.

因为bc≤()2，

所以(b＋c)2≤(b＋c)2＋4.

即b＋c≤4(当且仅当b＝c＝2 时等号成立)．

所以a＋b＋c≤6.

故△ABC周长a＋b＋c的最大值为6.

(方法二)因为＝＝＝2R，且a＝2，A＝，

所以b＝sin B，c＝sin C.

所以a＋b＋c＝2＋(sin B＋sin C)

＝2＋[sin B＋sin(－B)]

＝2＋4sin(B＋)．

因为0<B<，所以当B＝时，a＋b＋c取得最大值6.

故△ABC周长a＋b＋c的最大值为6.

(1)当确定三角形的条件不足时，三角形的面积、周长等是发生变化的，由此可研究有关最值问题，探求三角形中的有关元素，在什么条件下可取到最值．

(2)求三角形条件下的有关最值问题，思考的方法通常有如下两种：

①利用基本不等式求最值(如方法一)．

②转化为函数的最值(如方法二)．

3．(经典真题)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝bcos C＋csin B.

(1)求B；

(2)若b＝2，求△ABC面积的最大值．

(1)由已知及正弦定理得

sin A＝sin Bcos C＋sin Csin B．①

又A＝π－(B＋C)，

故sin A＝sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C．②

由①②和C∈(0，π)得sin B＝cos B，所以tan B＝1.

又B∈(0，π)，所以B＝.

(2)△ABC的面积S＝acsin B＝ac.

由已知及余弦定理得4＝a2＋c2－2accos.

又a2＋c2≥2ac，

故ac≤，当且仅当a＝c时，等号成立．

因此△ABC的面积的最大值为＋1.

1．解三角形应用题的基本思路是：

(1)准确理解题意，分清已知与所求，并准确理解题中的有关名称、术语(如坡度、仰角、俯角、视角、象限角、方位角、方向角等)，必要时，画出示意图，化实际问题为数学问题；

(2)根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在一个或几个三角形中，建立一个解三角形的数学模型；

(3)利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求解数学模型的解；

(4)检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得到实际问题的解，并进行作答．　　2.判断三角形的形状特征，必须深入研究边、角间的关系，解这类题的思想方法是：从条件出发，利用正弦定理(或余弦定理)进行代换、转化，逐步化为纯粹的边与边或角与角的关系，即边、角要统一，通过运算求出边或角的大小，从而作出正确判断．

其一般思路如下：

3．求解有关三角形问题时，除了要掌握正、余弦定理并能熟练运用它们解题外，还应掌握：

(1)三角形内角和定理A＋B＋C＝π，大边对大角等；

(2)sin(A＋B)＝sin C，sin＝cos等；

(3)三角形面积公式

S＝absin C＝bcsin A＝casin B.