2020版高考数学（理）精优大一轮复习人教A通用版讲义：第11讲函数与方程


第11讲　函数与方程


1.函数的零点
(1)函数零点的定义
对于函数y=f(x)(x∈D),把使　　　　的实数x叫作函数y=f(x)(x∈D)的零点. 
(2)等价关系
方程f(x)=0有实数根⇔函数y=f(x)的图像与　　　　有交点⇔函数y=f(x)有　　　　. 
(3)函数零点的判定(零点存在性定理)
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图像是连续不断的一条曲线,并且有　　　　,那么函数y=f(x)在区间　　　　内有零点,即存在c∈(a,b),使得　　　　,这个　　　　也就是方程f(x)=0的根. 
2.二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图像与零点的关系

Δ>0
Δ=0
Δ<0
二次函数y=
ax2+bx+
c(a>0)
的图像



与x轴的交点
　　　 
　　　 
无交点
零点个数
　　　 
　　　 
　　　 


常用结论
1.在区间D上单调的函数在该区间内至多有一个零点.
2.周期函数如果存在零点,则必有无穷个零点.


题组一　常识题
1.[教材改编] 函数f(x)=ln x+2x-6的零点的个数是　　　　. 
2.[教材改编] 如果函数f(x)=ex-1+4x-4的零点在区间(n,n+1)(n为整数)内,则n=　　　　. 
3.[教材改编] 函数f(x)=x3-2x2+x的零点是　　　　. 
4.[教材改编] 若函数f(x)=x2-4x+a存在两个不同的零点,则实数a的取值范围是　　　　. 
题组二　常错题
◆索引:错用零点存在性定理;误解函数零点的定义;忽略限制条件;二次函数在R上无零点的充要条件(判别式小于零).
5.函数f(x)=x+的零点个数是　　　　. 
6.函数f(x)=x2-3x的零点是　　　　. 
7.若二次函数f(x)=x2-2x+m在区间(0,4)上存在零点,则实数m的取值范围是　　　　. 
8.若二次函数f(x)=x2+kx+k在R上无零点,则实数k的取值范围是　　　　. 

探究点一　函数零点所在区间的判断
例1 (1)函数f(x)=ex-x-2在下列哪个区间上必有零点 (　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.(-1,0) B.(0,1)
C.(1,2) D.(2,3)
(2)已知函数f(x)=lg x+x-5在区间(n,n+1)(n∈Z)上存在零点,则n=　　　　. 
 
 
 
[总结反思] 判断函数零点所在区间的方法:(1)解方程法,当对应方程易解时,可直接解方程;(2)零点存在性定理;(3)数形结合法,画出相应函数图像,观察与x轴交点来判断,或转化为两个函数的图像在所给区间上是否有交点来判断.
变式题 [2018·南昌模拟] 函数f(x)=ln(x+1)-的零点所在的区间为(　　)
A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)
探究点二　函数零点个数的讨论
例2 (1)已知f(x)是定义在R上的奇函数,且满足f-+x=f,当x∈时,f(x)=ln(x2-x+1),则函数f(x)在区间[0,6]上的零点个数是 (　　)
A.3 B.5 C.7 D.9
(2)[2018·河南中原名校模拟] 函数f(x)=sin2x+-log3πx的零点个数为　　　　. 
 
 
[总结反思] 函数零点个数的讨论,基本解法有:(1)直接法,令f(x)=0,有多少个解则有多少个零点;(2)定理法,利用定理时往往还要结合函数的单调性、奇偶性等;(3)图像法,一般是把函数分拆为两个简单函数,依据两函数图像的交点个数得出函数的零点个数.
变式题 (1)[2018·重庆巴蜀中学月考] 函数f(x)=-2e-x的零点个数为 (　　)
A.0 B.1 C.2 D.3
(2)已知函数f(x)=则函数g(x)=[f(x)]2-3f(x)+2的零点个数为　　　　. 

探究点三　函数零点的应用
例3 (1)设函数f(x)=ex+x-2,g(x)=ln x+x2-3,若实数a,b满足f(a)=g(b)=0,则 (　　)
A.f(b)<0 C.0 (2)[2019·安徽肥东高级中学调研] 已知函数f(x)=若函数g(x)=f(x)-m(x-1)有两个零点,则实数m的取值范围是 (　　)
A.(-2,0) B.(-1,0)
C.(-2,0)∪(0,+∞) D.(-1,0)∪(0,+∞)
 
 
[总结反思] 函数零点的应用主要体现在三类问题中:一是函数中不含参数,零点又不易直接求出,考查各零点的和或范围问题;二是函数中含有参数,根据零点情况求函数中参数的范围;三是函数中有参数,但不求参数,仍是考查零点的范围问题.这三类问题一般是通过数形结合或分离参数求解.
变式题 (1)[2018·山东、湖北部分重点中学二模] 若函数f(x)=cos x+2|cos x|-m,x∈[0,2π]恰有两个零点,则m的取值范围为 (　　)
A.(0,1] B.{1}
C.{0}∪(1,3] D.[0,3]
(2)若x1,x2分别是函数f(x)=x-2-x,g(x)=xlog2x-1的零点,则下列结论成立的是 (　　)
A.x1=x2 B.x1>x2
C.x1+x2=1 D.x1x2=1










第11讲　函数与方程
考试说明 结合二次函数的图像,了解函数的零点与方程根的联系,判断一元二次方程根的存在性及根的个数.

【课前双基巩固】
知识聚焦
1.(1)f(x)=0　(2)x轴　零点　(3)f(a)·f(b)<0　(a,b)　f(c)=0　c
2.(x1,0),(x2,0)　(x1,0)　2　1　0
对点演练
1.1　[解析] 函数f(x)单调递增,且f(2)<0,f(3)>0,故存在唯一零点.
2.0　[解析] 函数f(x)单调递增,且f(0)<0,f(1)>0,故其零点在区间(0,1)内,则n=0.
3.0,1　[解析] 由f(x)=x3-2x2+x=0,解得x1=0,x2=1,所以函数的零点是0,1.
4.(-∞,4)　[解析] Δ=16-4a>0,解得a<4.
5.0　[解析] 函数的定义域为{x|x≠0},当x>0时,f(x)>0,当x<0时,f(x)<0,所以函数没有零点.
6.0,3　[解析] 由f(x)=x2-3x=0,得x=0或x=3.
7.(-8,1]　[解析] 二次函数f(x)图像的对称轴方程为x=1.若在区间(0,4)上存在零点,只需f(1)≤0且f(4)>0即可,即-1+m≤0且8+m>0,解得-8 8.(0,4)　[解析] Δ=k2-4k<0,解得0 【课堂考点探究】
例1　[思路点拨] (1)利用零点存在性定理判断即可;(2)利用函数的单调性和零点存在性定理即可求出n.
(1)C　(2)3　[解析] (1)f(-1)=-1<0,f(0)=-1<0,f(1)=e-3<0,f(2)=e2-4>0,故选C.
(2)f(x)=lg x+x-5是定义在(0,+∞)上的增函数,
根据零点存在性定理,
可得因为f(1)=-5<0,f(2)=lg 2+-5<0,f(3)=lg 3+-5<0,f(4)=lg 4+5-5=lg 4>0,
所以函数f(x)在(3,4)上存在零点,故n=3.
变式题　B　[解析] f(x)=ln(x+1)-在(0,+∞)上单调递增,且f(1)=ln 2-2<0,f(2)=ln 3->0,则f(1)·f(2)<0,所以函数f(x)=ln(x+1)-的零点所在的区间为(1,2).
例2　[思路点拨] (1)由已知可得函数是奇函数,周期为3,且f=f(-1)=f(0)=f(1)=f=0,即可得函数f(x)在区间[0,6]上的零点个数;(2)函数f(x)=sin-log3πx的零点个数即为y=log3πx与y=cos 2x(x>0)图像的交点个数,利用数形结合可得结果.
(1)D　(2)6　[解析] (1)∵f(x)是定义在R上的奇函数,且满足f=f,∴f-+x+=f+x+,可得f(x+3)=f(x),
则函数f(x)的周期为3.
当x∈时,f(x)=ln(x2-x+1),
令f(x)=0,则x2-x+1=1,解得x=0(舍去)或1,
又∵函数f(x)是定义域为R的奇函数,
∴在区间上,有f(-1)=-f(1)=0,f(0)=0.
由f=f,取x=0,得f=f,又f=-f,∴f=f=0,
∴f=f(-1)=f(0)=f(1)=f=0.
又∵函数f(x)是周期为3的周期函数,
∴函数f(x)在区间[0,6]上的零点有0,1,,2,3,4,,5,6,共9个.
(2)函数f(x)=sin-log3πx=cos 2x-log3πx的零点个数就是y=log3πx与y=cos 2x(x>0)图像的交点个数.
在同一坐标系内作出y=log3πx与y=cos 2x(x>0)的图像,如图,

由图可知,y=log3πx与y=cos 2x(x>0)的图像有6个交点,
所以函数f(x)=sin-log3πx的零点个数为6.
变式题　(1)B　(2)3　[解析] (1)∵y=单调递增,y=-2e-x单调递增,
∴f(x)=-2e-x单调递增.
∵f(0)=-2<0,f(8)=2->0,
∴由零点存在性定理可得,f(x)=-2e-x的零点个数为1,故选B.
(2)函数g(x)=[f(x)]2-3f(x)+2的零点个数即为方程[f(x)]2-3f(x)+2=0的解的个数,解方程得f(x)=1或f(x)=2.由f(x)=1得ln x=1(x>0)或ex=1(x≤0),解得x=e或x=0;同理,由f(x)=2得ln x=2(x>0)或ex=2(x≤0),解得x=e2.所以函数g(x)共有3个零点.
例3　[思路点拨] (1)首先确定函数f(x)和g(x)的单调性,然后结合函数的性质计算即可;(2)先转化为函数y=f(x)的图像与y=m(x-1)的图像有且仅有两个交点,数形结合即可得答案.
(1)B　(2)D　[解析] (1)易知f(x)是增函数,g(x)在(0,+∞)上也是增函数.
由于f(0)=-1<0,f(1)=e-1>0,所以0 又g(1)=-2<0,g(2)=ln 2+1>0,所以1 所以f(b)>f(1)>0,g(a) (2)若函数g(x)=f(x)-m(x-1)有两个零点,
则函数y=f(x)的图像与y=m(x-1)的图像有且仅有两个交点.
在同一坐标系内画出函数y=f(x)的图像与y=m(x-1)的图像,如图所示.

由图像可得,当m>0时,满足条件;
当m=-1时,直线y=m(x-1)与y=2-ex(x≤1)的图像相切,可得当-1 故m∈(-1,0)∪(0,+∞).
变式题　(1)C　(2)D

　[解析] (1)f(x)=cos x+2|cos x|-m,x∈[0,2π]的零点个数就是y=cos x+2|cos x|=的图像与y=m的图像的交点个数.作出y=cos x+2|cos x|,x∈[0,2π]的图像,如图,由图像可知,当m=0或1 (2)因为f(0)≠0,所以x1≠0.
当x≠0时,由x-2-x=0,得2x=,
则x1就是曲线y=与曲线y=2x交点的横坐标.
由xlog2x-1=0,得log2x=,
则x2就是曲线y=(x>0)与曲线y=log2x交点的横坐标.
因为曲线y=关于直线y=x对称,
且曲线y=2x与曲线y=log2x关于直线y=x对称,
所以点与点关于直线y=x对称,
所以=-1,
可得x1x2=1,故选D.

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【备选理由】 例1考查将函数的零点问题转化为两函数图像的交点问题,通过分析交点横坐标得零点所在区间;例2结合函数的奇偶性、周期性,考查函数的零点个数,需要数形结合处理,综合性强;例3为有关方程的解的问题,考查换元法、数形结合思想等.
例1　[配合例1使用] [2018·运城二模] 已知x0是函数f(x)=2sin x-πln x(x∈(0,π))的零点,则 (　　)
A.x0∈(0,1) B.x0∈(1,e)
C.x0∈(e,3) D.x0∈(e,π)
[解析] B　设h(x)=2sin x(x∈(0,π)),g(x)=πln x(x∈(0,π)),则g(1)=0,g(e)=π>2,作出函数h(x)与g(x)的图像(图略)可知,交点在区间(1,e)内,即x0∈(1,e).
例2　[配合例2使用] [2018·茂名模拟] 已知定义在R上的函数y=f(x+2)的图像关于直线x=-2对称,且函数f(x+1)是偶函数.若当x∈[0,1]时,f(x)=sinx,则函数g(x)=f(x)-e-|x|在区间[-2018,2018]上的零点个数为 (　　)
A.2017 B.2018
C.4034 D.4036
[解析] D　函数g(x)=f(x)-e-|x|在区间[-2018,2018]上的零点个数,就是y=f(x)的图像与y=e-|x|的图像在区间[-2018,2018]上的交点个数.
∵函数y=f(x+2)的图像关于直线x=-2对称,
∴函数y=f(x)的图像的对称轴为直线x=0,故y=f(x)是偶函数,即f(-x)=f(x).
又函数f(x+1)是偶函数,
∴f(x+1)=f(-x+1),
故f(x+2)=f(-x)=f(x),

∴函数f(x)是周期为2的偶函数.

又当x∈[0,1]时,f(x)=sinx,画出y=f(x)与y=的部分图像如图所示,
由图像可知,在每个周期内两函数的图像有2个交点,
∴函数g(x)=f(x)-e-|x|在区间[-2018,2018]上的零点个数为2018×2=4036.故选D.

例3　[配合例3使用] 函数y=g(x)(x∈R)的图像如图所示,若关于x的方程[g(x)]2+m·g(x)+2m+3=0有三个不同的实数解,则m的取值范围是　　　　　. 
[答案]
[解析] 设g(x)=t,
∵关于x的方程[g(x)]2+m·g(x)+2m+3=0有三个不同的实数解,
∴关于t的方程t2+mt+2m+3=0有两个实数根,且一个在(0,1)上,一个在[1,+∞)上.
设h(t)=t2+mt+2m+3,
①当有一个根为1时,h(1)=1+m+2m+3=0,解得m=-,此时另一个根为,符合题意;
②当没有根为1时,则解得- 综上可得,m的取值范围是.