2020版高考数学（理）精优大一轮复习人教A通用版讲义：第14讲导数与函数的单调性



第14讲　导数与函数的单调性


函数的单调性与导数

导数到
单调性
单调递增
在区间(a,b)上,若f'(x)>0,则f(x)在这个区间上单调　　　 
单调递减
在区间(a,b)上,若f'(x)<0,则f(x)在这个区间上单调　　　 
单调性
到导数
单调递增
若函数y=f(x)在区间(a,b)上单调递增,则f'(x)　　　 
单调递减
若函数y=f(x)在区间(a,b)上单调递减,则f'(x)　　　 
“函数y=f(x)在区间(a,b)上的导数大(小)于0”是“其单调递增(减)”的　　　　条件 

题组一　常识题
1.[教材改编] 函数f(x)=ex-x的单调递增区间是　　　　. 
2.[教材改编] 比较大小:x　　　　ln x(x∈(1,+∞)). 

3.[教材改编] 函数y=ax3-1在(-∞,+∞)上是减函数,则实数a的取值范围为　　　　. 
4.[教材改编] 已知f(x)是定义在R上的可导函数,函数y=ef'(x)的图像如图2-14-1所示,则f(x)的单调递减区间是　　　　. 

图2-14-1
题组二　常错题
◆索引:可导函数在某区间上单调时导数满足的条件;利用单调性求解不等式时不能忽视原函数的定义域;求单调区间时忽略定义域;讨论函数单调性时分类标准有误.
5.若函数f(x)=kx-ln x在区间(1,+∞)上为增函数,则k的取值范围是　　　　. 
6.若函数f(x)=ln x-,则不等式f(1-x)>f(2x-1)的解集为　　　　. 
7.函数f(x)=x+ln(2-x)的单调递增区间为　　　　. 
8.讨论函数y=ax3-x在R上的单调性时,a应分　　　　、　　　　、　　　　三种情况讨论. 


探究点一　函数单调性的判断或证明
例1 [2018·商丘二模] 已知函数f(x)=(x-1)ex+1+mx2,其中m为常数,且m>-.讨论函数f(x)的单调性.
 
 
 
[总结反思] 用导数法判断和证明函数f(x)在区间(a,b)内的单调性的一般步骤:
(1)求f'(x).
(2)确认f'(x)在区间(a,b)内的符号(如果含有参数,则依据参数的取值讨论符号).
(3)得出结论:f'(x)>0时,函数f(x)为增函数;f'(x)<0时,函数f(x)为减函数.
变式题 已知函数f(x)=ex,a∈R.
(1)求f(x)的零点;
(2)当a≥-5时,求证:f(x)在区间(1,+∞)上为增函数.
 
 
 
 

探究点二　求函数的单调区间
例2 [2018·北京朝阳区一模] 已知函数f(x)=-ax(a∈R).
(1)若a=0,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;
(2)若a<-1,求函数f(x)的单调区间.
 


[总结反思] (1)利用导数求函数单调区间的关键是确定导数的符号.不含参数的问题直接解导数大于(或小于)零的不等式,其解集即为函数的单调区间;含参数的问题,应就参数范围讨论导数大于(或小于)零的不等式的解,其解集即为函数的单调区间.
(2)所有求解和讨论都必须在函数的定义域内,不要超出定义域的范围.
变式题 (1)函数f(x)=3ln x-4x+x2的单调递增区间为(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.(0,1),(3,+∞)
B.(1,3)
C.(-∞,1),(3,+∞)
D.(3,+∞)
(2)函数f(x)=x++2ln x的单调递减区间是　　　　. 
探究点三　已知函数单调性确定参数的取值范围
例3 已知函数f(x)=x2+ln x-ax.
(1)当a=3时,求f(x)的单调递增区间;
(2)若f(x)在(0,1)上是增函数,求a的取值范围.
 
 
 
 

[总结反思] (1)f(x)在D上单调递增(减),只要满足f'(x)≥0(≤0)在D上恒成立即可.如果能够分离参数,则可分离参数后转化为参数值与函数最值之间的关系.
(2)二次函数在区间D上大于零恒成立,讨论的标准是二次函数的图像的对称轴与区间D的相对位置,一般分对称轴在区间左侧、内部、右侧进行讨论.
变式题 (1)[2018·哈尔滨师大附中三模] 若函数f(x)=2x+sin x·cos x+acos x在(-∞,+∞)上单调递增,则a的取值范围是 (　　)
A.[-1,1]
B.[-1,3]
C.[-3,3]
D.[-3,-1]

(2)若函数f(x)=x+aln x不是单调函数,则实数a的取值范围是 (　　)
A.[0,+∞)
B.(-∞,0]
C.(-∞,0)
D.(0,+∞)
探究点四　函数单调性的简单应用
例4 (1)定义域为R的可导函数f(x)的导函数为f'(x),且满足f(x) A.(-∞,0)
B.(-∞,2)
C.(0,+∞)
D.(2,+∞)
(2)已知函数g(x)是偶函数,f(x)=g(x-2),且当x≠2时,导函数f'(x)满足(x-2)f'(x)>0,若1 A.f(4a) B.f(3) C.f(log3a) D.f(log3a)  
 
 
 
[总结反思] 用导数比较大小或解不等式,常常要构造新函数,把比较大小或求解不等式的问题转化为利用导数研究函数单调性的问题,再由单调性比较大小或解不等式.常见构造的辅助函数有:g(x)=xf(x),g(x)=,g(x)=exf(x),g(x)=,g(x)=f(x)ln x,g(x)=等.
变式题 (1)已知a=2.12.2,b=2.22.1,c=log2.22.1,则 (　　)
A.c B.c C.a D.a (2)已知定义在实数集R上的函数f(x)满足f(2)=7,且f(x)的导函数f'(x)<3,则不等式f(ln x)>3ln x+1的解集为　　　　. 












第14讲　导数与函数的单调性
考试说明 1.了解函数单调性和导数的关系;
2.能利用导数研究函数的单调性;
3.会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次).

【课前双基巩固】
知识聚焦
递增　递减　≥0　≤0　充分
对点演练
1.(0,+∞)　[解析] 由f'(x)=ex-1>0,解得x>0,故其单调递增区间是(0,+∞).
2.>　[解析] 设f(x)=x-ln x,x∈(1,+∞),则f'(x)=1->0,所以函数f(x)在(1,+∞)上是增函数,所以f(x)=x-ln x>1>0,所以x>ln x.
3.(-∞,0)　[解析] ∵y'=3ax2,函数在区间(-∞,+∞)上是减函数,
∴y'≤0在(-∞,+∞)上恒成立,即3ax2≤0恒成立,
∴a≤0.∵当a=0时,y=-1,不是减函数,
∴a<0,即a∈(-∞,0).
4.(-∞,2]　[解析] 因为当x≤2时,ef'(x)≤1,所以当x≤2时,f'(x)≤0,所以f(x)的单调递减区间是(-∞,2].
5.[1,+∞)　[解析] 因为函数f(x)=kx-ln x在区间(1,+∞)上为增函数,所以f'(x)=k-≥0在(1,+∞)上恒成立,即k≥在(1,+∞)上恒成立,可得k≥1.
6.　[解析] 因为x∈(0,+∞),f'(x)=+>0,所以函数f(x)=ln x-在(0,+∞)上为增函数,所以只需满足1-x>2x-1>0,解得 7.(-∞,1)　[解析] 由2-x>0,得x<2,即函数f(x)的定义域为(-∞,2).
易知f'(x)=1-,令f'(x)>0,可得<1,
结合2-x>0,得2-x>1,解得x<1,
即函数f(x)=x+ln(2-x)的单调递增区间为(-∞,1).
8.a>0　a=0　a<0　[解析] y'=3ax2-1,所以对a分a>0,a=0,a<0三种情况讨论比较合理.
【课堂考点探究】
例1　[思路点拨] 先对m进行分类讨论,再结合f'(x)的符号讨论函数f(x)的单调性.
解:易知x∈(-∞,+∞),f'(x)=ex+1+(x-1)ex+1+2mx=x(ex+1+2m).
①当m≥0时,∵ex+1>0,∴ex+1+2m>0.
∴当x>0时,f'(x)>0;当x<0时,f'(x)<0.
故f(x)在区间(-∞,0)上单调递减,在区间(0,+∞)上单调递增.
②当-x2.
则当x>0时,f'(x)>0;
当ln(-2m)-1 当x0.
故f(x)在区间(-∞,ln(-2m)-1),(0,+∞)上单调递增,在区间(ln(-2m)-1,0)上单调递减.
综上所述,当m≥0时,f(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增;
当- 变式题　解:(1)f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞).
令f(x)=0,得x2+a=0,即x2=-a.
当a≥0时,方程无解,f(x)没有零点;
当a<0时,得x=±.
综上,当a≥0时,f(x)无零点;当a<0时,f(x)的零点为±.
(2)证明:f'(x)=ex+ex=.
令g(x)=x3+x2+ax-a(x>1),
则g'(x)=3x2+2x+a,其图像的对称轴为直线x=-,
所以g'(x)在(1,+∞)上单调递增,
所以g'(x)>3×12+2×1+a=5+a.
因为a≥-5,所以g'(x)>0在(1,+∞)上恒成立,
所以g(x)在(1,+∞)上为增函数,
可得g(x)>g(1)=2>0,即f'(x)>0,
所以f(x)在区间(1,+∞)上为增函数.
例2　[思路点拨] (1)求出f(1)及f'(1)的值,利用点斜式可得曲线的切线方程.(2)在定义域内,令f'(x)>0,求得x的取值范围,可得函数f(x)的单调递增区间;令f'(x)<0,求得x的取值范围,可得函数f(x)的单调递减区间.
解:(1)若a=0,则f(1)=-1,f'(x)=,所以f'(1)=2,
所以曲线y=f(x)在点(1,-1)处的切线方程为2x-y-3=0.
(2)易知x∈(0,+∞),f'(x)=.
令g(x)=2-ax2-ln x,则g'(x)=.
令g'(x)=0,得x=或x=-(舍去).
由g'(x)>0,得x>;由g'(x)<0,得0 所以g(x)在区间上单调递减,在区间上单调递增,所以g(x)min=g=-ln.
因为a<-1,所以0<-<,所以ln<0,
所以g(x)>0,即f'(x)>0,
所以函数f(x)的单调递增区间为(0,+∞).
变式题　(1)A　(2)(0,1)　[解析] (1)f'(x)=-4+x=,由f'(x)>0,得03,∴f(x)的单调递增区间为(0,1),(3,+∞).
(2)函数f(x)的定义域是(0,+∞),
f'(x)=1-+=.
令f'(x)<0,可得0 故函数f(x)的单调递减区间为(0,1).
例3　[思路点拨] (1)当a=3时,求出函数f(x)的导函数,然后由f'(x)>0可得单调递增区间;(2)将原问题转化为导函数在区间(0,1)上大于等于零恒成立问题求解即可.
解:(1)f(x)的定义域为(0,+∞),当a=3时,f(x)=x2+ln x-3x,
∴f'(x)=2x+-3=,
由f'(x)>0,得01,
∴函数f(x)的单调递增区间为,(1,+∞).
(2)由题意得f'(x)=2x+-a.
∵f(x)在(0,1)上是增函数,
∴f'(x)=2x+-a≥0在(0,1)上恒成立,
即a≤2x+在(0,1)上恒成立.
∵2x+≥2,当且仅当2x=,即x=时,等号成立,
∴a≤2,
故实数a的取值范围为(-∞,2].
变式题　(1)A　(2)C　[解析] (1)∵f(x)=2x+sin x·cos x+acos x,
∴f'(x)=2+cos 2x-asin x=-2sin2x-asin x+3.
设t=sin x,-1≤t≤1,
则g(t)=-2t2-at+3,
∵f(x)在(-∞,+∞)上单调递增,
∴g(t)≥0在[-1,1]上恒成立.
∵二次函数g(t)的图像开口向下,
∴可得-1≤a≤1,即a的取值范围是[-1,1],故选A.
(2)函数f(x)=x+aln x的定义域为(0,+∞),f'(x)=1+.当a≥0时,f'(x)>0,函数f(x)=x+aln x是增函数.当a<0时,由f'(x)<0,得00,得x>-a,所以函数f(x)=x+aln x在(0,-a)上单调递减,在(-a,+∞)上单调递增.因为f(x)=x+aln x不是单调函数,所以实数a的取值范围是(-∞,0),故选C.
例4　[思路点拨] (1)构造函数g(x)=,通过g'(x)的符号判断函数g(x)的单调性,利用单调性得出x的取值范围;(2)先根据函数图像的平移得到函数f(x)的图像关于直线x=2对称,再通过讨论导数的符号得到函数f(x)的单调性,最后将4a,log3a,3转化到同一个单调区间上比较其对应函数值的大小.
(1)A　(2)B　[解析] (1)设g(x)=,则g'(x)=,∵f(x)0,
即函数g(x)在R上单调递增.∵f(0)=2,∴g(0)=f(0)=2,
则不等式f(x)<2ex等价于g(x) ∵函数g(x)在R上单调递增,∴x<0,
即不等式的解集为(-∞,0).
(2)∵g(x)是偶函数,∴其图像关于y轴对称,
∴f(x)=g(x-2)的图像关于直线x=2对称.
∵(x-2)f'(x)>0,
∴当x>2时,f'(x)>0,
即函数f(x)在(2,+∞)上为增函数.
∵1 又f(log3a)=f(4-log3a),3<4-log3a<4,
∴3<4-log3a<4a,∴f(3) 即f(3) 变式题　(1)B　(2)(0,e2)　[解析] (1)设f(x)=(x>0),则f'(x)=,
可得函数f(x)在(0,e)上单调递增,所以f(2.1) 可化为2.12.2<2.22.1,即1 所以c (2)设t=ln x,则不等式f(ln x)>3ln x+1等价于f(t)>3t+1.
设g(x)=f(x)-3x-1,则g'(x)=f'(x)-3,
∵f(x)的导函数f'(x)<3,
∴g'(x)=f'(x)-3<0,
∴函数g(x)=f(x)-3x-1在R上单调递减.
∵f(2)=7,∴g(2)=f(2)-3×2-1=0,
则由g(t)=f(t)-3t-1>0=g(2),解得t<2,
∴ln x<2,解得0 即不等式f(ln x)>3ln x+1的解集为(0,e2).

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【备选理由】 例1讨论函数的单调性;例2可以进一步明确不等式f'(x)>0的解集对应的区间是函数f(x)的单调递增区间,不等式f'(x)<0的解集对应的区间是f(x)的单调递减区间;例3为含参函数单调性的讨论及利用单调性求参的综合问题,旨在使学生加深对导数与单调性关系的理解,并强化处理参数问题的原则和方法.
例1　[配合例1使用] 已知函数f(x)=(x-a)ex-ax2+a(a-1)x(x∈R).
(1)若曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线为l,l与x轴的交点坐标为(2,0),求a的值;
(2)讨论f(x)的单调性.
解:(1)∵f'(x)=(x-a)ex+ex-ax+a(a-1),
∴f'(0)=(a-1)2,
又∵f(0)=-a,
∴切线方程为y+a=(a-1)2(x-0).
令y=0,得x==2,
∴2a2-5a+2=0,∴a=2或a=.
(2)f'(x)=(x-a)ex+ex-ax+a(a-1)=[x-(a-1)](ex-a).
当a≤0时,ex-a>0,若x∈(-∞,a-1),则f'(x)<0,f(x)为减函数;若x∈(a-1,+∞),则f'(x)>0,f(x)为增函数.
当a>0时,令f'(x)=0,得x1=a-1,x2=ln a.
令g(a)=a-1-ln a,则g'(a)=1-=,
当a∈(0,1)时,g'(a)<0,g(a)为减函数,当a∈(1,+∞)时,g'(a)>0,g(a)为增函数,
∴g(a)min=g(1)=0,
∴a-1≥ln a(当且仅当a=1时取“=”).
∴当01时,若x∈(-∞,ln a),则f'(x)>0,f(x)为增函数;若x∈(ln a,a-1),则f'(x)<0,f(x)为减函数;若x∈(a-1,+∞),则f'(x)>0,f(x)为增函数.
当a=1时,f'(x)=x(ex-1)≥0,f(x)在(-∞,+∞)上为增函数.
综上所述:当a≤0时,f(x)在(-∞,a-1)上为减函数,在(a-1,+∞)上为增函数;当01时,f(x)在(ln a,a-1)上为减函数,在(-∞,ln a)和(a-1,+∞)上为增函数;当a=1时,f(x)在(-∞,+∞)上为增函数.
例2　[配合例2使用] [2018·东莞模拟] 已知函数f(x)=ax2e-x(a≠0),求函数f(x)的单调区间.
解:对f(x)求导,得f'(x)=a·=a·.
①若a>0,则当x∈(0,2)时,f'(x)>0,当x∈(-∞,0)或x∈(2,+∞)时,f'(x)<0,
所以f(x)在(0,2)上单调递增,在(-∞,0),(2,+∞)上单调递减.
②若a<0,则当x∈(0,2)时,f'(x)<0,当x∈(-∞,0)或x∈(2,+∞)时,f'(x)>0,
所以f(x)在(0,2)上单调递减,在(-∞,0),(2,+∞)上单调递增.
例3　[配合例3使用] [2018·重庆七校期末] 已知函数f(x)=x2+(m+2)x+n(m,n为常数).
(1)当n=1时,讨论函数g(x)=exf(x)的单调性;
(2)当n=2时,若函数h(x)=x+在[0,+∞)上单调递增,求m的取值范围.
解:(1)当n=1时,g(x)=ex[x2+(m+2)x+1],
g'(x)=ex[x2+(m+4)x+(m+3)]=ex(x+1)[x+(m+3)].
令g'(x)=0,解得x=-1或x=-(m+3).
∴当-1<-(m+3),即m<-2时,函数g(x)的单调递增区间为(-∞,-1),(-m-3,+∞),单调递减区间为(-1,-m-3);
当-1=-(m+3),即m=-2时,函数g(x)的单调递增区间为(-∞,+∞),无单调递减区间;
当-1>-(m+3),即m>-2时,函数g(x)的单调递增区间为(-∞,-m-3),(-1,+∞),单调递减区间为(-m-3,-1).
(2)当n=2时,h(x)=x+,
h'(x)=1+.
由题意知,h'(x)≥0在[0,+∞)上恒成立,
即ex-x2≥m(x-1)在[0,+∞)上恒成立.
当x=1时,不等式成立.
当x≠1时,令k(x)=,则k'(x)=.
当x>1时,只需k(x)≥m恒成立.
∵ex-x>0恒成立(可求导证明),
∴当1 当x>2时,k'(x)>0,k(x)单调递增.
∴k(x)≥k(2)=e2-4,∴m≤e2-4.
当0≤x<1时,只需k(x)≤m恒成立.
∵0≤x<1,∴k'(x)<0,∴k(x)单调递减,
∴k(x)≤k(0)=-1,∴m≥-1.
综上所述,-1≤m≤e2-4.