2020版高考数学（理）精优大一轮复习人教A通用版讲义：第2讲命题及其关系


第2讲　命题及其关系、充分条件与必要条件


1.命题
(1)命题的概念:数学中把用语言、符号或式子表达的,能够判断　　　　的陈述句叫作命题.其中　　　　　的语句叫作真命题,　　　　　的语句叫作假命题. 
(2)四种命题及其相互关系

图1-2-1
特别提醒:若两个命题互为逆否命题,则它们有相同的真假性.
2.充分条件、必要条件与充要条件
(1)如果p⇒q,则p是q的　　　　条件. 
(2)如果q⇒p,则p是q的　　　　条件. 
(3)如果既有p⇒q,又有q⇒p,记作p⇔q,则p是q的　　　　条件. 

常用结论
1.充要条件的两个结论:
(1)若p是q的充分不必要条件,q是r的充分不必要条件,则p是r的充分不必要条件;
(2)若p是q的充分不必要条件,则?q是?p的充分不必要条件.
2.充分、必要条件与集合的关系
使p成立的对象构成的集合
为A,使q成立的对象构成的集合为B

p是q的充分条件
A⊆B
p是q的必要条件
B⊆A
p是q的充分不必要条件
A⫋B
p是q的必要不充分条件
B⫋A
p是q的充要条件
A=B



题组一　常识题
1.[教材改编] 对于下列语句:①垂直于同一直线的两条直线必平行吗?②作△ABC∽△A'B'C'.③x2+2x-3<0.④四边形的内角和是360°.其中是命题的是　　　　.(填序号) 
2.[教材改编] 有下面4个命题:①集合N中最小的数是1;②若-a不属于N,则a属于N;③若a∈N,b∈N,则a+b的最小值为2;④x2+1=2x的解集可表示为{1,1}.其中真命题的个数为　　　　. 
3.[教材改编] 命题“若整数a不能被2整除,则a是奇数”的逆否命题是　　　　　　　　　　　　　　　　. 
4.[教材改编] “点P(x,y)在第一象限”是“x+y>1”的　　　　　　　条件. 
题组二　常错题
◆索引:命题的条件与结论不明确;含有大前提的命题的否命题易出现否定大前提的情况;真、假命题的推理考虑不全面;对充分必要条件判断错误.

5.命题“若a2+b2=0,a,b∈R,则a=b=0”的逆否命题是　　　　　　　　　　　　　　　　. 
6.已知命题“对任意a,b∈R,若ab>0,则a>0”,则它的否命题是　　　　　　　　　　　　　　　　. 
7.若命题“ax2-2ax-3>0不成立”是真命题,则实数a的取值范围是　　　　. 
8.条件p:x>a,条件q:x≥2.
①若p是q的充分不必要条件,则a的取值范围是　　　　; 
②若p是q的必要不充分条件,则a的取值范围是　　　　. 
9.已知p是r的充分不必要条件,s是r的必要条件,q是s的必要条件,那么p是q的　　　　　　条件. 

探究点一　四种命题及其相互关系
例1 (1)对于命题“单调函数不是周期函数”,下列说法正确的是 (　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.逆命题为“周期函数不是单调函数”
B.否命题为“单调函数是周期函数”
C.逆否命题为“周期函数是单调函数”
D.以上都不正确
(2)给出以下四个命题:
①“若x+y=0,则x,y互为相反数”的逆命题;
②“全等三角形的面积相等”的否命题;
③“若q≤-1,则x2+x+q=0有实根”的逆否命题;
④若ab是正整数,则a,b都是正整数.
其中为真命题的是　　　　.(写出所有真命题的序号) 
 
 
 
[总结反思] (1)求一个命题的其他三种命题时,需注意:
①对于不是“若p,则q”形式的命题,需先改写为“若p,则q”的形式;
②若命题有大前提,写其他三种命题时需保留大前提.
(2)判断一个命题为真命题,要给出推理证明;判断一个命题为假命题,只需举出反例.
(3)当不易直接判断一个命题的真假时,根据互为逆否命题的两个命题同真同假,可转化为判断其等价命题的真假.
变式题 (1)已知命题p:正数a的平方不等于0,命题q:若a不是正数,则它的平方等于0,则q是p的(　　)
A.逆命题 B.否命题
C.逆否命题 D.否定
(2)以下关于命题的说法正确的是　　　　.(填写所有正确说法的序号) 
①“若log2(a+1)>1,则函数f(x)=logax(a>0,a≠1)在其定义域内是增函数”是真命题;
②命题“若a≠0,则a(b+1)≠0”的否命题是“若a=0,则a(b+1)=0”;
③命题“若x,y都是偶数,则(x+1)(y+1)是偶数”的逆命题为真命题;
④命题“若a∈M,则b∉M”与命题“若b∈M,则a∉M”等价.
探究点二　充分、必要条件的判定
例2 (1)[2018·北京卷] 设a,b均为单位向量,则“|a-3b|=|3a+b|”是“a⊥b”的 (　　)
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
(2)“函数f(x)=a+ln x(x≥e)存在零点”是“a<-1”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
 
 
 
[总结反思] 充分条件、必要条件的判定方法有定义法、集合法和等价转化法.三种不同的方法适用于不同的类型:定义法适用于定义、定理的判断问题;集合法多适用于命题中涉及参数的取值范围的推断问题;等价转化法适用于条件和结论中带有否定性词语的命题.
变式题 (1)[2018·深圳一模] 已知数列{an}是等比数列,则“a2>a1”是“数列{an}为递增数列”的 (　　)
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
(2)“α=”是“sin 2α-cos 2α=1”的 (　　)
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
探究点三　充分、必要条件的应用
例3 方程ax2+2x+1=0至少有一个负实根的充要条件是 (　　)
A.0 C.a≤1 D.0  
 
 

[总结反思] 充分条件、必要条件的应用一般表现在参数问题的求解上,解题时通常把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系,然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解.解题过程中要注意检验区间端点值.
变式题 (1)下面四个条件中,使a>b成立的必要而不充分条件是 (　　)
A.a-1>b B.a+1>b
C.|a|>|b| D.a3>b3
(2)[2018·衡阳4月调研] 已知p:实数m满足m2+12a2<7am(a>0),q:方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆,且p是q的充分不必要条件,则a的取值范围为　　　　. 








第2讲　命题及其关系、充分条件与必要条件
考试说明 1.理解命题的概念;
2.了解“若p,则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题,会分析四种命题的相互关系;
3.理解必要条件、充分条件与充要条件的含义.

【课前双基巩固】
知识聚焦
1.真假　判断为真　判断为假
2.(1)充分　(2)必要　(3)充要
对点演练
1.④　[解析] ①是疑问句,不是命题;②是祈使句,不是命题;③不能判断真假,不是命题;④是命题.
2.0　[解析] ①为假命题,集合N中最小的数是0;②为假命题,如a=不满足;③为假命题,如a=0,b=1,则a+b=1,比2小;④为假命题,所给集合中的元素不满足互异性.
3.若整数a不是奇数,则a能被2整除　[解析] 以原命题结论的否定作条件、原命题条件的否定作结论得出逆否命题.
4.既不充分也不必要　[解析] 取x=,y=,知充分性不成立;取x=-1,y=3,知必要性不成立.故为既不充分也不必要条件.
5.若a≠0或b≠0,a,b∈R,则a2+b2≠0　[解析] “若p,则q”的逆否命题为“若?q,则?p”,又a=b=0的实质为a=0且b=0,故其否定为a≠0或b≠0.
6.对任意a,b∈R,若ab≤0,则a≤0　[解析] “对任意a,b∈R”是大前提,在否命题中不变,又因为ab>0,a>0的否定分别为ab≤0,a≤0,所以原命题的否命题为“对任意a,b∈R,若ab≤0,则a≤0”.
7.[-3,0]　[解析] 由已知可得ax2-2ax-3≤0恒成立.
当a=0时,-3≤0恒成立;
当a≠0时,得解得-3≤a<0.
故-3≤a≤0.
8.①a≥2　②a<2　[解析] ①因为p是q的充分不必要条件,所以{x|x>a}⫋{x|x≥2},则a的取值范围是a≥2.
②因为p是q的必要不充分条件,所以{x|x≥2}⫋{x|x>a},则a的取值范围是a<2.
9.充分不必要　[解析] 依题意有p⇒r,r⇒s,s⇒q,∴p⇒r⇒s⇒q.又∵r⇒/ p,∴q⇒/ p.故p是q的充分不必要条件.
【课堂考点探究】
例1　[思路点拨] (1)根据四种命题的构成判断即可.(2)对于①②,按照要求写出相应的逆命题、否命题,再判断真假;对于③,可直接利用原命题与逆否命题的等价性判断原命题的真假;对于④,直接判断.
(1)D　(2)①③　[解析] (1)根据四种命题的构成可知,选项A,B,C均不正确.故选D.
(2)①“若x+y=0,则x,y互为相反数”的逆命题为“若x,y互为相反数,则x+y=0”,显然为真命题;②否命题为“不全等的三角形的面积不相等”,而不全等的三角形的面积也可能相等,故为假命题;③原命题为真,所以它的逆否命题也为真,故③为真命题;④ab是正整数,但a,b不一定都是正整数,例如a=-1,b=-2,故④为假命题.所以答案是①③.
变式题　(1)B　(2)①②④　[解析] (1)“正数a的平方不等于0”即“若a是一个正数,则它的平方不等于0”,其否命题为“若a不是正数,则它的平方等于0”,所以选B.
(2)①正确,由log2(a+1)>1,得a+1>2,所以a>1,所以f(x)=logax在其定义域内是增函数.②正确,由命题的否命题的定义知,该说法正确.③不正确,原命题的逆命题为“若(x+1)(y+1)是偶数,则x,y都是偶数”,是假命题,如(3+1)×(4+1)=20为偶数,但x=3,y=4.④正确,两者互为逆否命题,因此两命题等价.
例2　[思路点拨] (1)将已知等式两边同时平方,可得出向量a,b的关系,从而得出结论;(2)通过研究单调性,求出函数存在零点的充要条件为a≤-1,从而得出结论.
(1)C　(2)B　[解析] (1)将|a-3b|=|3a+b|两边平方,得a2-6a·b+9b2=9a2+6a·b+b2.∵a,b均为单位向量,∴a·b=0,即a⊥b.反之,由a⊥b可得|a-3b|=|3a+b|.故为充分必要条件.
(2)因为f'(x)=>0,所以若函数f(x)=a+ln x(x≥e)存在零点,则f(e)≤0,即a≤-1,因此“函数f(x)=a+ln x(x≥e)存在零点”是“a<-1”的必要不充分条件,故选B.
变式题　(1)B　(2)A　[解析] (1)当a1=-1,a2=2,公比q=-2时,虽然有a1 (2)由sin 2α-cos 2α=1得sin=,所以2α-=2kπ+,k∈Z或2α-=2kπ+,k∈Z,即α=kπ+,k∈Z或α=kπ+,k∈Z,所以“α=”是“sin 2α-cos 2α=1”的充分而不必要条件,故选A.
例3　[思路点拨] 直接法,分情况讨论;特例法,结合选项取特殊值验证.
C　[解析] 方法一(直接法):当a=0时,x=-,符合题意.
当a≠0时,若方程的两根为一正一负,则⇒⇒a<0;
若方程的两根均为负,则⇒⇒0 方法二(排除法):当a=0时,原方程有一个负实根,可以排除A,D;当a=1时,原方程有两个相等的负实根,可以排除B.所以选C.
变式题　(1)B　(2)　[解析] (1)“a>b”不能推出“a-1>b”,故选项A不是“a>b”的必要条件,不满足题意;
“a>b”能推出“a+1>b”,但“a+1>b”不能推出“a>b”,故满足题意;
“a>b”不能推出“|a|>|b|”,故选项C不是“a>b”的必要条件,不满足题意;
“a>b”能推出“a3>b3”,且“a3>b3”能推出“a>b”,故是充要条件,不满足题意.故选B.
(2)由a>0,m2-7am+12a2<0,得3a0.
由方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆,
可得2-m>m-1>0,解得1 因为p是q的充分不必要条件,所以或解得≤a≤,
所以实数a的取值范围是.

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【备选理由】 例1考查对命题真假的判断,是一个开放式命题,答案不唯一,有利于学生发散思维;例2强化了充分、必要条件的判断方法和余弦定理、基本不等式的应用;例3主要考查了充要条件的判断;例4是以简单不等式的方式考查充分、必要条件的应用.
例1　[配合例1使用] [2018·北京通州区三模] 能够说明“设a,b,c是任意实数,若a>b>c,则a2>ab>c2”是假命题的一组整数a,b,c的值依次为　　　　. 
[答案] 1,0,-1(此题答案不唯一)
[解析] 当a=1,b=0,c=-1时,满足a>b>c,不满足a2>ab>c2,∴命题是假命题.
故答案可以为1,0,-1.
例2　[配合例2使用] [2018·武汉4月调研] 在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知条件p:a≤,条件q:A≤,那么p是q成立的 (　　)
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
[解析] A　由条件p:a≤,知cos A=≥=≥=,当且仅当b=c=a时取等号,
又A∈(0,π),∴0 ∴A≤,即q成立.
取A=,C=,B=,满足条件q,但是a>.
∴p是q成立的充分而不必要条件.
故选A.
例3　[配合例2使用] [2018·莆田六中三模] 在等比数列{an}中,a2=-2,则“a4,a12是方程x2+3x+1=0的两根”是“a8=-1”的 (　　)
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
[解析] C　因为a4,a12是方程x2+3x+1=0的两根,所以a4a12=1,
因此=1,又因为a2=-2<0,所以a8<0,即a8=-1.
从而“a4,a12是方程x2+3x+1=0的两根”是“a8=-1”的充要条件,故选C.
例4　[配合例3使用] [2018·南昌模拟] 在实数范围内,使得不等式>1成立的一个充分而不必要条件是 (　　)
A.x>0 B.x<1
C.0 [解析] D　∵>1,∴<0,∴01成立的一个充分而不必要条件,故选D.