2020版高考数学（理）精优大一轮复习人教A通用版讲义：第8讲指数与指数函数



第8讲　指数与指数函数


1.根式

n次
方根
概念
如果xn=a,那么x叫作a的　　　　,其中n>1,n∈N* 
性质
当n是　　　　时,a的n次方根为x= 
当n是　　　　时,正数a的n次方根为x=±,负数的偶次方根　　　　 
0的任何次方根都是0,记作=0
根式
概念
式子叫作　　　　,其中n叫作　　　　,a叫作　　　　 
性质
当n为奇数时,=　　　 
当n为偶数时,=|a|=　　　 

2.有理数指数幂
(1)幂的有关概念
①正数的正分数指数幂:=(a>0,m,n∈N*,且n>1).
②正数的负分数指数幂:==(a>0,m,n∈N*,且n>1).
③0的正分数指数幂等于　　　　,0的负分数指数幂　　　　. 
(2)有理数指数幂的性质
①aras=　　　　(a>0,r,s∈Q); 
②(ar)s=　　　　(a>0,r,s∈Q); 
③(ab)r=　　　　(a>0,b>0,r∈Q). 

3.指数函数的图像与性质
y=ax(a>0
且a≠1)
a>1
0 图像


定义域
R
值域
　　　 
性质
过定点　　　 
当x>0时,　　　　; 
当x<0时,　　　 
当x>0时,　　　　; 
当x<0时,　　　 
在R上是　　　 
在R上是　　　 

常用结论
1.函数y=ax+b(a>0且a≠1)的图像恒过定点(0,1+b).
2.指数函数y=ax(a>0且a≠1)的图像以x轴为渐近线.


题组一　常识题
1.[教材改编] 若x+x-1=3,则x2-x-2=　　　　. 
2.[教材改编] 已知2x-1<23-x,则x的取值范围是　　　　. 
3.[教材改编] 函数y=ax-1+2(a>0且a≠1)的图像恒过定点　　　　. 
4.[教材改编] 下列所给函数中值域为(0,+∞)的是　　　　. 
①y=-5x;②y=;③y=;④y=.
题组二　常错题
◆索引:忽略n的范围导致式子(a∈R)化简出错;不能正确理解指数函数的概念致错;指数函数问题时刻注意底数的两种情况;复合函数问题容易忽略指数函数的值域致错.
5.计算+=　　　　. 
6.若函数f(x)=(a2-3)·ax为指数函数,则a=　　　　. 
7.若函数f(x)=ax在[-1,1]上的最大值为2,则a=　　　　. 
8.函数y=的值域为　　　　　　　. 

探究点一　指数幂的化简与求值
例1 (1)计算:-++[(-2)6=　　　　. 
(2)已知+=,则的值为　　　　. 
 
 
 
[总结反思] 指数幂运算的一般原则:
(1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂,以便利用法则计算.
(2)先乘除后加减,负指数幂化成正指数幂的倒数.
(3)底数是负数,先确定符号;底数是小数,先化成分数;底数是带分数的,先化成假分数.
(4)运算结果不能同时含有根号和分数指数,也不能既有分母又含有负指数.
变式题 (1)计算:2= (　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.3 B.2
C.2+x D.1+2x
(2)已知a,b是方程x2-6x+4=0的两根,且a>b>0,则=　　　　. 
探究点二　指数函数的图像及应用
例2 (1)函数y=(a>1)的图像大致是 (　　)

A　　　　　 B　　　　　C　　　　　 D
图2-8-1
(2)[2018·辽阳一模] 设函数f(x)=若互不相等的实数a,b,c满足f(a)=f(b)=f(c),则2a+2b+2c的取值范围是 (　　)
A.(16,32) B.(18,34)
C.(17,35) D.(6,7)
 
 
 
[总结反思] (1)研究指数函数y=ax(a>0,a≠1)的图像要抓住三个特殊点:(1,a),(0,1),.
(2)与指数函数有关的函数图像问题的研究,往往利用相应指数函数的图像,通过平移、对称变换得到其图像.
(3)一些指数方程、不等式问题的求解,往往结合相应的指数型函数图像,利用数形结合求解.
变式题 (1)已知函数f(x)=(x-a)(x-b)(a>b)的图像如图2-8-2所示,则函数g(x)=ax+b的图像大致是(　　)

图2-8-2

A　　　　　B　　　　　　C　　　　　D
图2-8-3
(2)函数f(x)=|ax+b|(a>0,a≠1,b∈R)的图像如图2-8-4所示,则a+b的取值范围是　　　　. 

图2-8-4
探究点三　利用指数函数的性质解决有关问题

微点1　比较指数式的大小
例3 (1)[2018·凯里一中二模] 已知a=0.5-2.1,b=20.5,c=0.22.1,则a,b,c的大小关系是 (　　)
A.c C.b (2)[2018·杭州一中模拟] 已知0 A.(1-a>(1-a)b
B.(1-a)b>(1-a
C.(1+a)a>(1+b)b
D.(1-a)a>(1-b)b
 

[总结反思] 指数式的大小比较,依据的就是指数函数的单调性,原则上化为同底的指数式,并要注意底数范围是(0,1)还是(1,+∞),若不能化为同底,则可化为同指数,或利用中间变量比较.
微点2　解简单的指数方程或不等式
例4 (1)已知函数f(x)=a+的图像过点1,-,若-≤f(x)≤0,则实数x的取值范围是　　　　. 
(2)方程4x+|1-2x|=11的解为　　　　. 
 
 
[总结反思] (1)af(x)=ag(x)⇔f(x)=g(x).(2)af(x)>ag(x),当a>1时,等价于f(x)>g(x);当0 微点3　指数函数性质的综合问题
例5 (1)[2018·遵义联考] 函数f(x)=a+(a,b∈R)是奇函数,且图像经过点,则函数f(x)的值域为 (　　)
A.(-1,1) B.(-2,2)
C.(-3,3) D.(-4,4)

(2)已知f(x)=(a∈R)的图像关于坐标原点对称,若存在x∈[0,1],使不等式f(x)+2x-<0成立,则实数b的取值范围为　　　　. 
 
 
 
[总结反思] 指数函数的综合问题,主要涉及单调性、奇偶性、最值问题,应在有关性质的基础上,结合指数函数的性质进行解决,而指数函数性质的重点是单调性,注意利用单调性实现问题的转化.
应用演练
1.【微点1】已知a=20.2,b=0.40.2,c=0.40.6,则 (　　)
A.a>b>c
B.a>c>b
C.c>a>b
D.b>c>a
2.【微点1】[2018·河南八市联考] 设函数f(x)=x2-a与g(x)=ax(a>1且a≠2)在区间(0,+∞)上具有不同的单调性,则M=(a-1)0.2与N=的大小关系是(　　)
A.M=N B.M≤N
C.MN
3.【微点2】当x∈(-∞,-1]时,不等式(m2-m)·4x-2x<0恒成立,则实数m的取值范围是 (　　)
A.(-1,2)
B.(-4,3)
C.(-3,4)
D.(-2,1)
4.【微点2】若关于x的方程|ax-1|=2a(a>0且a≠1)有两个不等实根,则a的取值范围是 (　　)
A.(0,1)∪(1,+∞)
B.(0,1)
C.(1,+∞)
D.
5.【微点3】已知函数f(x)=b·ax(其中a,b为常数,且a>0,a≠1)的图像经过点A(1,6),B(3,24).若不等式+-m≥0,x∈(-∞,1]恒成立,则实数m的取值范围为　　　　. 









第8讲　指数与指数函数
考试说明 1.理解有理数指数幂的含义,了解实数指数幂的意义,掌握幂的运算.
2.指数函数
(1)了解指数函数模型的实际背景.
(2)理解指数函数的概念,理解指数函数的单调性,掌握指数函数图像通过的特殊点,会画底数为2,3,10,,的指数函数的图像.
(3)知道指数函数是一类重要的函数模型.

【课前双基巩固】
知识聚焦
1.n次方根　奇数　偶数　没有意义　根式　根指数　被开方数　a　
2.(1)0　没有意义　(2)ar+s　ars　arbr
3.(0,+∞)　(0,1)　y>1　01　增函数　减函数
对点演练
1.±3　[解析] 把x+x-1=3两边平方,可得x2+x-2=7,则(x-x-1)2=x2-2+x-2=5,所以x-x-1=±,所以x2-x-2=(x+x-1)(x-x-1)=±3.
2.(-∞,2)　[解析] 根据指数函数性质,得x-1<3-x,解得x<2,所以x的取值范围是(-∞,2).
3.(1,3)　[解析] 令x-1=0,得x=1,此时y=a0+2=3,所以函数图像恒过定点(1,3).
4.②　[解析] 对于②,∵1-x∈R,∴y=的值域是(0,+∞);①的值域为(-∞,0);③的值域为[0,+∞);④的值域为[0,1).
5.2　[解析] +=1++|1-|=2.
6.2　[解析] 由指数函数的定义可得解得a=2.
7.2或　[解析] 若a>1,则f(x)max=f(1)=a=2;若0 8.{y|y>0且y≠1}　[解析] 函数的定义域为{x|x≠1},因为≠0,所以y≠1,又指数函数y=2x的值域为(0,+∞),故所求函数的值域为{y|y>0且y≠1}.
【课堂考点探究】
例1　[思路点拨] (1)直接利用指数幂的运算法则求解即可,解答过程中注意避免符号错误;(2)由已知平方得x+x-1的值,再平方可得x2+x-2的值,最后代入求值.
(1)π+8　(2)-　[解析] (1)-++[(-2)6=-1+(π-3)+=22-1+π-3+23=4+π-4+8=π+8.
(2)由已知可得x+x-1=(+)2-2=3,
则x2+x-2=(x+x-1)2-2=7,
故原式==-.
变式题　(1)D　(2)　[解析] (1)原式=2·+2·=1+2x.
(2)由已知得,a+b=6,ab=4,所以===.
因为a>b>0,所以>,所以=.
例2　[思路点拨] (1)化简所给的解析式,然后结合选项进行判断;(2)作出函数图像,结合图像可知2a+2b=2,再分析2c的范围求解.
(1)B　(2)B　[解析] (1)由题意得y==
∵a>1,∴当x>0时,函数为增函数;当x<0时,函数为减函数.
结合各选项可得B满足题意.故选B.
(2)画出函数f(x)的图像如图所示.

不妨令a 结合图像可得4 ∴18<2a+2b+2c<34.故选B.
变式题　(1)A　(2)(0,+∞)　[解析] (1)由函数f(x)=(x-a)(x-b)的图像可得0 (2)根据图像得a>1,f=0,b<0,
所以+b=0,所以a+b=a->1-=0.
例3　[思路点拨] (1)将a,b化为同底的指数式,利用指数函数y=2x的单调性比较a,b的大小,再估算c,从而得a,b,c的大小关系;(2)根据指数函数的单调性,即当底数大于1时单调递增,当底数大于0小于1时单调递减,对选项逐一验证即可得到正确答案.
(1)A　(2)D　[解析] (1)因为a=0.5-2.1=22.1>20.5>1,所以a>b>1,又因为c=0.22.1<0.20=1,所以a>b>c,故选A.
(2)因为0 又因为0b,b>,
所以(1-a<(1-a)b,(1-a)b<(1-a,所以A,B均错误;
又1<1+a<1+b,所以(1+a)a<(1+b)a<(1+b)b,所以C错误;
对于D,(1-a)a>(1-a)b>(1-b)b,所以(1-a)a>(1-b)b,所以D正确.故选D.
例4　[思路点拨] (1)先确定a的值,再结合指数函数的单调性求解;(2)分情况讨论去掉绝对值,解相应的指数方程.
(1)0≤x≤　(2)x=log23　[解析] (1)由题意知f(1)=a+=a+=-,则a=-.因为-≤f(x)≤0,所以-≤-≤0,所以≤≤,所以2≤4x+1≤3,所以1≤4x≤2,解得0≤x≤.
(2)当x≤0时,1-2x≥0,
原方程即为4x-2x-10=0,可得2x=+,此时x>0,故舍去.
当x>0时,1-2x<0,
原方程即为4x+2x-12=0,可得2x=3,则x=log23,即为原方程的解.
例5　[思路点拨] (1)根据条件先确定a,b的值,再依据指数函数的单调性及值域确定函数f(x)的值域;(2)由函数f(x)为奇函数,确定a的值,将不等式分离变量,转化成b>g(x)的形式,从而转化为考查函数g(x)的最小值问题.
(1)A　(2)b>2　[解析] (1)函数f(x)为奇函数,则f(0)=a+=0,①
函数图像过点,则f(ln 3)=a+=.②
结合①②可得a=1,b=-2,
则f(x)=1-.因为ex>0,所以ex+1>1,所以0<<2,所以-1<1-<1,
即函数f(x)的值域为(-1,1).
(2)由题意知f(x)是R上的奇函数,所以f(0)=0,得a=1,所以f(x)=.设h(x)=+2x-=,由题设知h(x)<0在[0,1]内有解,即不等式(2x)2+2x+1-1-b<0在[0,1]内有解,即b>(2x)2+2x+1-1在[0,1]内有解.设g(x)=(2x)2+2x+1-1,x∈[0,1],而函数y=2x,y=2x+1在定义域内均单调递增,所以g(x)=(2x)2+2x+1-1在[0,1]上单调递增,所以g(x)min=g(0)=2,所以b>2.
应用演练
1.A　[解析] 因为函数f(x)=0.4x在R上为减函数,所以0.40.6<0.40.2<0.40=1,
又因为20.2>20=1,所以20.2>0.40.2>0.40.6,即a>b>c.
故选A.
2.D　[解析] 因为f(x)=x2-a与g(x)=ax(a>1且a≠2)在区间(0,+∞)上具有不同的单调性,所以a>2,所以M=(a-1)0.2>1,N=<1,所以M>N,故选D.
3.A　[解析] 由题意知当x∈(-∞,-1]时,m2-m<=恒成立,
当x∈(-∞,-1]时,∈[2,+∞),
则m2-m<2,解得-1 4.D　[解析] 方程|ax-1|=2a(a>0且a≠1)有两个不等实根可转化为函数y=|ax-1|与y=2a的图像有两个不同交点.
当0 当a>1时,两函数图像如图②,而y=2a>1,不符合题意.

① ②
故0 5.　[解析] 把A(1,6),B(3,24)代入f(x)=b·ax,得
结合a>0且a≠1,解得
所以f(x)=3·2x.
要使+≥m,x∈(-∞,1]恒成立,只需函数y=+在(-∞,1]上的最小值不小于m即可.
因为函数y=+在(-∞,1]上为减函数,
所以当x=1时,y=+取得最小值,
所以只需m≤即可,
即m的取值范围为.

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【备选理由】 例1为指数幂的运算,涉及换元运算和指数运算,技巧性较强;例2为分段函数与函数不等式结合问题,需要分区间处理,考查函数的单调性;例3为含参不等式,进一步熟悉分离变量以及转化与化归思想;例4考查了求解指数方程、指数函数的单调性、不等式恒成立问题,要善于使用分离变量法求解.
例1　[配合例1使用] 已知=2+,则的值为　　　　. 
[答案] 3
[解析] 设=t,则t2=2+,则==t2+-1=2++-1=3.
例2　[配合例4使用] [2018·河南林州一中调研] 已知函数f(x)=则不等式f(x) [答案] (0,)
[解析] 当x≥2时,≤1,不等式无解;当1 例3　[配合例5使用] 若不等式1+2x+4x·a>0在x∈(-∞,1]时恒成立,则实数a的取值范围是　　　　. 
[答案]
[解析] 从已知不等式中分离出实数a,得a>-.
∵函数y=和y=在R上都是减函数,∴当x∈(-∞,1]时,≥,≥,
∴+≥+=,从而得-≤-.
故实数a的取值范围为a>-.
例4　[配合例5使用] 已知定义在R上的函数f(x)=2x-.
(1)若f(x)=,求x的值;
(2)若2tf(2t)+mf(t)≥0对任意t∈[1,2]恒成立,求实数m的取值范围.
解:(1)由f(x)=⇒2x-=⇒2·(2x)2-3·2x-2=0⇒(2x-2)(2·2x+1)=0.∵2x>0,∴2x=2,∴x=1.
(2)由2tf(2t)+mf(t)≥0⇒2t+m≥0⇒m(2t-2-t)≥-2t(22t-2-2t).
又t∈[1,2],∴2t-2-t>0,∴m≥-2t(2t+2-t),即m≥-22t-1,
故只需m≥(-22t-1)max.
令y=-22t-1,t∈[1,2],可得ymax=-22-1=-5,
故m≥-5.