2020版高考数学（理）精优大一轮复习人教A通用版讲义：第9讲对数与对数函数




第9讲　对数与对数函数


1.对数
概念
如果ax=N(a>0,且a≠1),那么x叫作以a为底N的　　　　,记作x=logaN,其中a叫作对数的底数,N叫作真数,logaN叫作对数式 
性质
底数的限制:a>0,且a≠1
对数式与指数式的互化:ax=N⇔　　　 
负数和零没有　　　 
loga1=　　　 
logaa=1
对数恒等式:=　　　 
运算法则
loga(M·N)=　　　 
a>0,且a≠1,
M>0,N>0
loga=　　　 
logaMn=　　　　(n∈R) 
换底公式
换底公式:logab=(a>0,且a≠1,c>0,且c≠1,b>0)
推论:lobn=　　　　,logab= 

2.对数函数的概念、图像与性质
概念
函数y=logax(a>0,a≠1)叫作　　　　函数 
底数
a>1
0 图像


定义域
　　　 

(续表)

值域
　　　 
性质
过定点　　　　,即x=1时,y=0 
在区间(0,+∞)上
是　　　　函数 
在区间(0,+∞)上
是　　　　函数 

3.反函数
指数函数y=ax(a>0,且a≠1)与对数函数　　　　　　互为反函数,它们的图像关于直线　　　　对称. 

常用结论
1.互为反函数的两个函数的图像关于直线y=x对称.
2.只有在定义域上单调的函数才存在反函数.


题组一　常识题
1.[教材改编] 化简logablogbclogca的结果是　　　　. 
2.[教材改编] 函数f(x)=log2(2-x)的定义域是　　　　. 
3.[教材改编] 若函数y=f(x)是函数y=2x的反函数,则f(2)=　　　　. 
4.[教材改编] 函数y=lo(x2-4x+5)的单调递增区间是　　　　. 
题组二　常错题
◆索引:对数的性质及其运算掌握不到位;忽略真数大于零致错;不能充分运用对数函数的性质;忽略对底数的讨论致误.
5.有下列结论:①lg(lg 10)=0;②lg(ln e)=0;③若lg x=1,则x=10;④若log22=x,则x=1;⑤若logmn·log3m=2,则n=9.其中正确结论的序号是　　　　　　. 
6.已知lg x+lg y=2lg(x-2y),则=　　　　. 
7.设a=,b=log9,c=log8,则a,b,c的大小关系是　　　　. 
8.若函数y=logax(a>0,a≠1)在[2,4]上的最大值与最小值的差是1,则a=　　　　. 


探究点一　对数式的化简与求值
例1 (1)[2018·宿州质检] 已知m>0,n>0,lo(3m)+log2n=lo(2m2+n),则log2m-log4n的值为 (　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.-1 B.1
C.-1或0 D.1或0
(2)设2x=5y=m,且+=2,则m=　　　　. 
 
 
 
[总结反思] (1)对数运算法则是在化为同底的情况下进行的,因此经常会用到换底公式及其推论.在对含有字母的对数式进行化简时,必须保证恒等变形.
(2)利用对数运算法则,在真数的积、商、幂与对数的和、差、倍之间进行转化.
变式题 (1)[2018·昆明一中模拟] 设x,y为正数,且3x=4y,当3x=py时,p的值为 (　　)
A.log34 B.log43
C.6log32 D.log32
(2)计算:lg 32+log416+6lg-lg 5=　　　　. 
探究点二　对数函数的图像及应用
例2 (1)函数f(x)=loga|x|+1(0
A B C D
图2-9-1
(2)[2018·濮阳二模] 设x1,x2,x3均为实数,且=log2(x1+1),=log3x2,=log2x3,则 (　　)
A.x1 B.x3 C.x3 D.x2  
 
[总结反思] (1)在研究对数函数图像时一定要注意其定义域,注意根据基本的对数函数图像作出经过平移、对称变换得到的函数的图像.(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图像问题,利用数形结合法求解.
变式题 (1)函数f(x)=ln(|x|-1)的大致图像是 (　　)

A B C D

图2-9-2
(2)若函数f(x)=log2(x+1),且a>b>c>0,则,,的大小关系是 (　　)
A.>>
B.>>
C.>>
D.>>
探究点三　解决与对数函数性质有关的问题

微点1　比较大小
例3 (1)[2018·武汉4月调研] 若实数a,b满足a>b>1,m=loga(logab),n=(logab)2,l=logab2,则m,n,l的大小关系为 (　　)
A.m>l>n B.l>n>m
C.n>l>m D.l>m>n
(2)[2018·长沙雅礼中学期末] 已知a=ln,b=lo,则(　　)
A.a+b B.ab C.a+b<0 D.ab<0  
 
 
[总结反思] 比较对数式的大小,一是将对数式转化为同底的形式,再根据对数函数的单调性进行比较,二是采用中间值0或1等进行比较,三是将对数式转化为指数式,再将指数式转化为对数式,通过巡回转化进行比较.

微点2　解简单对数不等式
例4 (1)[2018·成都七中二诊] 若实数a满足loga>1>loa,则a的取值范围是 (　　)
A. B.
C. D.
(2)已知实数a>0,且满足不等式33a+2>34a+1,则不等式loga(3x+2)  
 
 
[总结反思] 对于形如logaf(x)>b的不等式,一般转化为logaf(x)>logaab,再根据底数的范围转化为f(x)>ab或0logbg(x)的不等式,一般要转化为同底的不等式来解.
微点3　对数函数性质的综合问题
例5 (1)[2018·丹东二模] 若函数f(x)=存在最小值,则a的取值范围为 (　　)
A.(1,+∞) B.[3,+∞)
C.(1,3] D.(1,]
(2)已知f(x)=lo(x2-ax+3a)在区间[2,+∞)上为减函数,则实数a的取值范围是　　　　. 
 
 
 
[总结反思] 利用对数函数的性质,求与对数函数有关的函数值域、最值和复合函数的单调性问题,必须弄清三方面的问题:一是定义域,所有问题都必须在定义域内讨论;二是底数与1的大小关系;三是复合函数的构成,即它是由哪些基本初等函数复合而成的.另外,解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的使用.
应用演练
1.【微点3】若函数f(x)=a+log2x在区间[1,a]上的最大值为6,则a= (　　)
A.2 B.4
C.6 D.8
2.【微点1】[2018·银川一中四模] 设a=0.50.4,b=log0.40.3,c=log80.4,则a,b,c的大小关系是 (　　)
A.a C.c 3.【微点2】已知函数f(x)在区间[-2,2]上单调递增,若f(log2m) A. B.
C.(1,4] D.[2,4]
4.【微点3】函数f(x)=log2(-x2+2x)的单调递减区间是　　　　. 
5.【微点3】已知函数f(x)=ln(-x)+2,则f(lg 3)+f=　　　　. 













第9讲　对数与对数函数
考试说明 1.理解对数的概念及其运算性质,知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数;了解对数在简化运算中的作用.
2.对数函数
(1)理解对数函数的概念,理解对数函数的单调性,掌握对数函数图像通过的特殊点;
(2)知道对数函数是一类重要的函数模型;
(3)了解指数函数y=ax(a>0,且a≠1)与对数函数y=logax(a>0,且a≠1)互为反函数.

【课前双基巩固】
知识聚焦
1.对数　x=logaN　对数　0　N　logaM+logaN　logaM-logaN　nlogaM　logab
2.对数　(0,+∞)　R　(1,0)　增　减
3.y=logax(a>0,且a≠1)　y=x
对点演练
1.1　[解析] 利用对数的换底公式可得结果为1.
2.(-∞,2)　[解析] 由2-x>0,解得x<2,即函数f(x)的定义域为(-∞,2).
3.1　[解析] 函数f(x)=log2x,所以f(2)=1.
4.(-∞,2)　[解析] 因为0<<1,所以y=lox单调递减,而函数y=x2-4x+5>0恒成立,且单调递减区间为(-∞,2),所以函数y=lo(x2-4x+5)的单调递增区间是(-∞,2).
5.①②③④⑤　[解析] ①lg 10=1,则lg(lg 10)=lg 1=0;②lg(ln e)=lg 1=0;③底的对数等于1,则x=10;④底的对数等于1;⑤logmn=,log3m=,则=2,即log3n=2,故n=9.
6.4　[解析] 因为lg x+lg y=2lg(x-2y),所以xy=(x-2y)2,即x2-5xy+4y2=0,解得x=y或x=4y.由已知得x>0,y>0,x-2y>0,所以x=y不符合题意,当x=4y时,得=4.
7.c>a>b　[解析] a==log9=log9log9=b,所以c>a>b.
8.2或　[解析] 分两种情况讨论:(1)当a>1时,有loga4-loga2=1,解得a=2;(2)当0 【课堂考点探究】
例1　[思路点拨] (1)先化为同底的对数,根据对数的运算法则得出m,n之间的关系,再代入求值.(2)先反解x,y,再代入+=2,即可得m的值.
(1)C　(2)　[解析] (1)因为lo(3m)+log2n=log2(9m2)+log2n=log2(9m2n),
lo(2m2+n)=log2(2m2+n)2,
所以9m2n=(2m2+n)2,
即4m4-5m2n+n2=0,解得4m2=n或m2=n,
所以log2m-log4n=log2m-log2=log2=-1或0.
(2)由2x=5y=m,得x=log2m,y=log5m,
再由+=2,得+=2,即logm2+logm5=2,
所以logm10=2,所以m=.
变式题　(1)C　(2)1　[解析] (1)令3x=4y=t,则x=log3t,y=log4t,由3x=py,得p===3log34=6log32,故选C.
(2)lg 32+log416+6lg-lg 5=lg 25+log442-6lg 2-lg 5=2-lg 2-lg 5=2-lg 10=1.
例2　[思路点拨] (1)由f(x)的性质及其图像过点(1,1),(-1,1)得到答案;(2)在同一坐标系内作出函数y=与y=log2(x+1),y=log3x,y=log2x的图像,根据图像得到交点,分析交点的横坐标进行大小比较.(2)在同一坐标系内画出函数y=与y=log2(x+1),y=log3x,y=log2x的图像,根据图像得到交点,比较交点的横坐标的大小即可.
(1)A　(2)A　[解析] (1)由于函数f(x)=loga|x|+1(00时,f(x)=loga|x|+1(0

(2)x1,x2,x3分别是函数y=与y=log2(x+1),y=log3x,y=log2x图像的交点的横坐标,作出函数y=,y=log2(x+1),y=log3x,y=log2x的大致图像如图所示,由图可得x1 变式题　(1)B　(2)B　[解析] (1)函数f(x)=ln(|x|-1)的定义域为{x|x>1或x<-1},且f(x)是偶函数,故排除C,D;当x>1时,函数f(x)=ln(x-1)是增函数,故排除A.故选B.
(2)由题意可得,,,可分别看作函数f(x)=log2(x+1)图像上的点(a,f(a)),(b,f(b)),(c,f(c))与原点连线的斜率,结合图像(图略)可知,当a>b>c>0时,>>.故选B.
例3　[思路点拨] (1)推导出0=loga1 (1)B　(2)B　[解析] (1)∵实数a,b满足a>b>1,m=loga(logab),n=(logab)2,l=logab2,
∴0=loga1 ∴m=loga(logab) 0 l=logab2=2logab>n=(logab)2,
∴l>n>m.故选B.
(2)由题得a=lnlo1=0,所以ab<0.
又a+b=ln+lo=-ln 2+=ln 2=ln 2·<0,
则ab-(a+b)=ab-a-b=ln·lo-ln-lo=-ln 2·+ln 2-=ln 2=ln 2·=ln 2·<0,所以ab 例4　[思路点拨] (1)分别求解不等式loga>1与loa<1,其交集即为不等式的解集;(2)先根据指数不等式确定a的范围,然后根据同底的对数不等式求解,并注意真数的取值.
(1)C　(2)　[解析] (1)根据对数函数的性质,由loga>1,可得.综上可得 (2)由题意得3a+2>4a+1,∴0 例5　[思路点拨] (1)由分段函数在两段上的单调性,结合f(x)存在最小值,列不等式求解即可;(2)令t=x2-ax+3a,则由题意可得函数t=x2-ax+3a在区间[2,+∞)上为增函数,且当x=2时,t>0,从而得解.
(1)C　(2)-41,否则函数无最小值,
所以当x>3时,f(x)>loga3,
当0 所以loga3≥lo3+2,即loga3≥1,得1 (2)令t=x2-ax+3a,则由函数g(t)=lot在区间[2,+∞)上为减函数,
可得函数t=x2-ax+3a在区间[2,+∞)上为增函数,且当x=2时,t>0,
故有解得-4 应用演练
1.B　[解析] 由题得函数f(x)=a+log2x在区间[1,a]上是增函数,所以当x=a时,函数取得最大值6,即a+log2a=6,解得a=4.故选B.
2.C　[解析] ∵0 b=log0.40.3>log0.40.4=1,
c=log80.4 ∴c 3.A　[解析] 不等式即为f(log4m2) ∵函数f(x)在区间[-2,2]上单调递增,
∴即解得≤m<2,
∴实数m的取值范围是.故选A.
4.(1,2)　[解析] 由-x2+2x>0,可得x2-2x<0,解得0 ∴函数f(x)=log2(-x2+2x)的定义域为(0,2).
又y=log2x在(0,+∞)上单调递增,
y=-x2+2x(0 ∴函数f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,2)上单调递减,
∴函数f(x)的单调递减区间是(1,2).
5.4　[解析] 设g(x)=ln(-x),显然有g(-x)=-g(x),即g(x)为奇函数,则g(-x)+g(x)=0,所以f(lg 3)+f=f(lg 3)+f(-lg 3)=g(lg 3)+2+g(-lg 3)+2=4.

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【备选理由】 例1主要考查对数的运算、对数函数图像的变换;例2考查比较对数式的大小;例3主要考查复合函数的单调性以及对数函数与指数函数的性质;例4为对数函数性质的综合问题.
例1　[配合例2使用] 为了得到函数y=lg x的图像,只需将函数y=lg(10x)图像上 (　　)
A.所有点的纵坐标伸长到原来的10倍,横坐标不变
B.所有点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变
C.所有点沿y轴向上平移一个单位长度
D.所有点沿y轴向下平移一个单位长度
[解析] D　y=lg(10x)=1+lg x,将y=1+lg x图像上所有点沿y轴向下平移一个单位长度,就得到函数y=lg x的图像,故选D.
例2　[配合例3使用] [2018·柳州三模] 已知a=1,b=log2017,c=log2018,则a,b,c的大小关系为 (　　)
A.c>b>a B.b>a>c
C.a>c>b D.a>b>c
[解析] D　a=1>180=1,b=log2017=log20172018,∵log20172018∈(1,2),∴b∈.c=log2018=log20182017,∵log20182017∈(0,1),∴c∈,∴a>b>c.
例3　[配合例5使用] 已知函数f(x)=lg的值域是R,则m的取值范围是 (　　)
A.(-4,+∞) B.[-4,+∞)
C.(-∞,4) D.(-∞,-4]
[解析] D　令t=5x++m,因为f(x)的值域为R,所以t可取(0,+∞)内的每一个正数,所以4+m≤0,故m≤-4,故选D.
例4　[配合例5使用] 已知函数f(x)=loga(x+1),g(x)=loga(1-x)(其中a>0,且a≠1).
(1)求函数f(x)+g(x)的定义域;
(2)判断函数f(x)-g(x)的奇偶性,并予以证明;
(3)求使f(x)+g(x)<0成立的x的取值集合.
解:(1)由题意得
∴-1 ∴所求定义域为{x|-1 (2)函数f(x)-g(x)为奇函数.证明如下:
令h(x)=f(x)-g(x),
则h(x)=loga(x+1)-loga(1-x)=loga,
则h(-x)=loga=-loga=-h(x),
∴函数h(x)=f(x)-g(x)为奇函数.
(3)∵f(x)+g(x)=loga(x+1)+loga(1-x)=loga(1-x2)<0=loga1,
∴当a>1时,0<1-x2<1,
即0 当01,不等式无解.
综上,当a>1时,使f(x)+g(x)<0成立的x的取值集合为{x|0