人教A版 (2019)必修第一册3.3 幂函数获奖教案

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这是一份人教A版 (2019)必修第一册3.3 幂函数获奖教案，共11页。教案主要包含了学习目标，要点梳理，典型例题，总结升华等内容，欢迎下载使用。

【学习目标】

1．通过实例，了解幂函数的概念；结合幂函数的图象，了解它们的变化情况.

2．掌握幂函数的图象和性质，并能熟练运用图象和性质去解题。

3．掌握初等函数图象变换的常用方法．

【要点梳理】

要点一、幂函数概念

形如的函数，叫做幂函数，其中 SKIPIF 1 < 0 为常数.

要点诠释：

幂函数必须是形如的函数，幂函数底数为单一的自变量x，系数为1，指数为常数.例如： SKIPIF 1 < 0 等都不是幂函数.

要点二、幂函数的图象及性质

1.作出下列函数的图象：

(1) SKIPIF 1 < 0 ；(2) SKIPIF 1 < 0 ；(3) SKIPIF 1 < 0 ；(4) SKIPIF 1 < 0 ；(5) SKIPIF 1 < 0 ．

SKIPIF 1 < 0

要点诠释：

幂函数随着 SKIPIF 1 < 0 的取值不同，它们的定义域、性质和图象也不尽相同，但它们有一些共同的性质：

(1)所有的幂函数在(0，+∞)都有定义，并且图象都过点(1，1)；

(2) SKIPIF 1 < 0 时，幂函数的图象通过原点，并且在区间 SKIPIF 1 < 0 上是增函数．特别地，当 SKIPIF 1 < 0 时，幂函数的图象下凸；当 SKIPIF 1 < 0 时，幂函数的图象上凸；

(3) SKIPIF 1 < 0 时，幂函数的图象在区间 SKIPIF 1 < 0 上是减函数．在第一象限内，当 SKIPIF 1 < 0 从右边趋向原点时，图象在 SKIPIF 1 < 0 轴右方无限地逼近 SKIPIF 1 < 0 轴正半轴，当 SKIPIF 1 < 0 趋于 SKIPIF 1 < 0 时，图象在 SKIPIF 1 < 0 轴上方无限地逼近 SKIPIF 1 < 0 轴正半轴．

2.作幂函数图象的步骤如下:

(1)先作出第一象限内的图象；

(2)若幂函数的定义域为(0，+∞)或[0，+∞)，作图已完成；

若在(-∞，0)或(-∞，0]上也有意义，则应先判断函数的奇偶性

如果为偶函数，则根据y轴对称作出第二象限的图象；

如果为奇函数，则根据原点对称作出第三象限的图象.

3.幂函数解析式的确定

(1)借助幂函数的定义，设幂函数或确定函数中相应量的值．

(2)结合幂函数的性质，分析幂函数中指数的特征．

(3)如函数 SKIPIF 1 < 0 是幂函数，求 SKIPIF 1 < 0 的表达式，就应由定义知必有 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．

4.幂函数值大小的比较

(1)比较函数值的大小问题一般是利用函数的单调性，当不便于利用单调性时，可与0和1进行比较．常称为“搭桥”法．

(2)比较幂函数值的大小，一般先构造幂函数并明确其单调性，然后由单调性判断值的大小．

(3)常用的步骤是：①构造幂函数；②比较底的大小；③由单调性确定函数值的大小．

要点三、初等函数图象变换

基本初等函数包含以下九种函数：正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数．（三角函数、反三角函数待讲）

由基本初等函数经过四则运算以及简单复合所得的函数叫初等函数．

如： SKIPIF 1 < 0 的图象变换， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0

（1）平移变换

y=f(x)→y=f(x＋a) 图象左（ SKIPIF 1 < 0 ）、右（ SKIPIF 1 < 0 ）平移

y=f(x)→y=f(x)＋b 图象上（ SKIPIF 1 < 0 ）、下（ SKIPIF 1 < 0 ）平移

（2）对称变换

y=f(x) →y=f(－x), 图象关于y轴对称

y=f(x) →y=－f(x) , 图象关于x轴对称

y=f(x) →y=－f(－x) 图象关于原点对称

y=f(x)→ SKIPIF 1 < 0 图象关于直线y=x对称

（3）翻折变换：

y=f(x) →y=f(|x|),把y轴右边的图象保留，然后将y轴左边部分

关于y轴对称．（注意：它是一个偶函数）

y=f(x) →y=|f(x)| 把x轴上方的图象保留，x轴下方的图象

关于x轴对称

要点诠释：

（1）函数图象是由基本初等函数的图象经过以上变换变化而来。

（2）若f(a－x)＝f(a＋x)，则函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称。

【典型例题】

类型一、求函数解析式

例1.已知 SKIPIF 1 < 0 是幂函数，求 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的值．

举一反三：

【变式一】判断下列函数有哪些是幂函数？

（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0 ；（3） SKIPIF 1 < 0 ；（4） SKIPIF 1 < 0 ；（5） SKIPIF 1 < 0 ；（6） SKIPIF 1 < 0 ．

类型二、幂函数的图象

例2．幂函数 SKIPIF 1 < 0 在第一象限内的图象如图所示，已知 SKIPIF 1 < 0 分别取-1， SKIPIF 1 < 0 四个值，则相应图象依次为：．

举一反三：

【变式1】函数 SKIPIF 1 < 0 的图象是（）

类型三、幂函数的性质

例3.比较下列各组数的大小.

(1) SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 ； (2) SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 .

举一反三：

【变式1】比较 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的大小.

类型四、求参数的范围

例4. 讨论函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 时，随着 SKIPIF 1 < 0 的增大其函数值的变化情况。

举一反三：

【变式1】若 SKIPIF 1 < 0 ，求实数a的取值范围.

类型五、幂函数的应用

例5. 求出函数 SKIPIF 1 < 0 的单调区间，并比较 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的大小。

举一反三：

【变式1】讨论函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域、奇偶性和单调性．

类型六、基本初等函数图象变换

例6．作出下列函数的图象：

(1) y=lgx， y=lg(-x)， y=-lgx； (2) y=lg|x|； (3) y=-1+lgx.

举一反三：

【变式1】作出 SKIPIF 1 < 0 的图象。

【变式2】作函数 SKIPIF 1 < 0 的图象。

参考答案

【典型例题】

类型一、求函数解析式

例1.已知 SKIPIF 1 < 0 是幂函数，求 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的值．

【答案】 SKIPIF 1 < 0

【解析】由幂函数的概念易得关于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的方程组．

由题意得 SKIPIF 1 < 0 解得 SKIPIF 1 < 0

SKIPIF 1 < 0 即为所求．

【点评】幂函数的定义同指数函数、对数函数一样，是一种形式定义，对表现形式要求非常严格．判定一个函数是否为幂函数，关键看它是否具有幂函数的三个特征：①指数为常数 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 为任意常数；②底数为自变量；③系数为1．

举一反三：

【变式一】判断下列函数有哪些是幂函数？

（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0 ；（3） SKIPIF 1 < 0 ；（4） SKIPIF 1 < 0 ；（5） SKIPIF 1 < 0 ；（6） SKIPIF 1 < 0 ．

答案：（4）、（5）是幂函数．

类型二、幂函数的图象

例2．幂函数 SKIPIF 1 < 0 在第一象限内的图象如图所示，已知 SKIPIF 1 < 0 分别取-1， SKIPIF 1 < 0 四个值，则相应图象依次为：．

【答案】 SKIPIF 1 < 0

【解析】

幂函数 SKIPIF 1 < 0 的图象在第一象限是“下降”的，而其他三个都是“上升”的，并且当 SKIPIF 1 < 0 时，幂指数越大，函数值夜就越大。故 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的图象， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的图象， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的图象， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的图象。相应图象依次为 SKIPIF 1 < 0 。

【总结升华】幂函数 SKIPIF 1 < 0 的图象分布与幂指数 SKIPIF 1 < 0 的关系具有如下规律：在直线 SKIPIF 1 < 0 的右侧，按“逆时针”方向，图象所对应的幂指数依次增大（如下图）。

举一反三：

【变式1】函数 SKIPIF 1 < 0 的图象是（）

【答案】B

【解析】已知函数解析式和图象，可以用取点验证的方法判断．

取 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，选项B，D符合；取 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，选项B符合题意．

类型三、幂函数的性质

例3.比较下列各组数的大小.

(1) SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 ； (2) SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 .

【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0 。

【解析】(1)由于幂函数 SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 )单调递减且 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 .

(2)由于 SKIPIF 1 < 0 这个幂函数是奇函数. ∴f(-x)=-f(x)

因此， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 (x>0)单调递减，且 SKIPIF 1 < 0 ，

∴ SKIPIF 1 < 0 .即 SKIPIF 1 < 0 .

【点评】(1)各题中的两个数都是“同指数”的幂，因此可看作是同一个幂函数的两个不同的函数值，从而可根据幂函数的单调性做出判断.

(2)题(2)中，我们是利用幂函数的奇偶性，先把底数化为正数的幂解决的问题.当然，若直接利用x<0上幂函数的单调性解决问题也是可以的.

举一反三：

【变式1】比较 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的大小.

【答案】 SKIPIF 1 < 0

【解析】先利用幂函数 SKIPIF 1 < 0 的增减性比较 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的大小，再根据幂函数的图象比较 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的大小.

SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，且 SKIPIF 1 < 0 ，

SKIPIF 1 < 0 .

作出函数 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 在第一象限内的图象，

易知 SKIPIF 1 < 0 .

故 SKIPIF 1 < 0 .

类型四、求参数的范围

例4. 讨论函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 时，随着 SKIPIF 1 < 0 的增大其函数值的变化情况。

【解析】（1）当 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 为常数函数；

（2）当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 时，此时函数为常数函数；

（3）当 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 时，函数为减函数，函数值随 SKIPIF 1 < 0 的增大而减小；

（4）当 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 时，函数为增函数，函数值随 SKIPIF 1 < 0 的增大而增大；

（5）当 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 时，函数为增函数，函数值随 SKIPIF 1 < 0 的增大而增大；

（6）当 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 时，函数为减函数，函数值随 SKIPIF 1 < 0 的增大而减小。

【点评】当所研究的函数中含有参数时，要对参数进行讨论，此题中系数和指数上都含有参数，要分别进行讨论，除特殊情况外，要对参数和指数分为同号和异号讨论。

举一反三：

【变式1】若 SKIPIF 1 < 0 ，求实数a的取值范围.

解法1：∵ SKIPIF 1 < 0 ，考察 SKIPIF 1 < 0 的图象，得以下四种可能情况:

(1) SKIPIF 1 < 0 (2) SKIPIF 1 < 0 (3) SKIPIF 1 < 0 (4) SKIPIF 1 < 0

分别解得:(1) SKIPIF 1 < 0 . (2)无解. (3). (4) SKIPIF 1 < 0 .

∴a的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 .

解法2：画出 SKIPIF 1 < 0 的图象，认真观察图象，可得:越接近y轴，y值越大，即|x|越小，y值越大，

∴ 要使 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得: SKIPIF 1 < 0 .

【点评】以上两种方法都是运用函数的单调性，但显然第二种方法更好.而这种方法的应用，必须对图象的特征有深刻的认识.可见，能很好地运用数形结合是解决函数问题的重要途径.

类型五、幂函数的应用

例5. 求出函数 SKIPIF 1 < 0 的单调区间，并比较 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的大小。

【答案】在 SKIPIF 1 < 0 上是增函数，在 SKIPIF 1 < 0 上是减函数 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0

【解析】 SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 ，因此将幂函数 SKIPIF 1 < 0 的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位，得带函数 SKIPIF 1 < 0 的图象，由此可知， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上是增函数，在 SKIPIF 1 < 0 上是减函数。

SKIPIF 1 < 0

在 SKIPIF 1 < 0 上找出点 SKIPIF 1 < 0 关于直线 SKIPIF 1 < 0 的对称点 SKIPIF 1 < 0 。

由 SKIPIF 1 < 0 ，

SKIPIF 1 < 0 。

SKIPIF 1 < 0

SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0

【点评】以内函数或外函数为幂函数构成的复合函数，来考查幂函数的图象和性质以及数形结合的思想方法，是考试命题的热点题型。解答这类问题的关键在于寻求相应的基本幂函数，再利用其图象与性质解决问题。当一个函数的图象有对称轴时，对于定义域内的任意两个值 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，要比较 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的大小，需要把 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两个数值转化到同一个单调区间内。

举一反三：

【变式1】讨论函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域、奇偶性和单调性．

【答案】 SKIPIF 1 < 0 ，奇函数，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增

【解析】（1） SKIPIF 1 < 0 是正偶数，

SKIPIF 1 < 0 是正奇数．

SKIPIF 1 < 0 函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ．

（2） SKIPIF 1 < 0 是正奇数，

SKIPIF 1 < 0 ，且定义域关于原点对称．

SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 上的奇函数．

（3） SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 是正奇数，

SKIPIF 1 < 0 函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增．

类型六、基本初等函数图象变换

例6．作出下列函数的图象：

(1) y=lgx， y=lg(-x)， y=-lgx； (2) y=lg|x|； (3) y=-1+lgx.

【解析】(1)如图(1)； (2)如图(2)； (3)如图(3).

【点评】要作出由对数函数组成的复合函数的图象，仍应注意变换作图法的灵活性，即先作出基本函数（对数函数）图象，再用平移、对称、旋转、伸缩等变换作图法来作出函数图象即可。

一般地，函数 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 为实数）的图象是由函数 SKIPIF 1 < 0 的图象沿 SKIPIF 1 < 0 轴向右（或向左）平移 SKIPIF 1 < 0 个单位（此时为 SKIPIF 1 < 0 的图象），再沿 SKIPIF 1 < 0 轴向上（或向下）平移 SKIPIF 1 < 0 个单位而得。

含有绝对值的函数的图象是一种对称变换，一般地， SKIPIF 1 < 0 的图象是关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称的轴对称图形；函数 SKIPIF 1 < 0 的图象与 SKIPIF 1 < 0 的图象，在 SKIPIF 1 < 0 时相同，而在 SKIPIF 1 < 0 时，关于 SKIPIF 1 < 0 轴对称。

举一反三：

【高清课堂：幂函数及图象变换369074 例4（1）】

【变式1】作出 SKIPIF 1 < 0 的图象。

向上平移2个单位

向左平移1个单位

【解析】 SKIPIF 1 < 0

先画出 SKIPIF 1 < 0 的图象，然后 SKIPIF 1 < 0

如下图：

【变式2】作函数 SKIPIF 1 < 0 的图象。

【解析】作复合函数的图象时，可先作它的基本函数的图象，然后适当地变换，分步骤完成。

第一步：作 SKIPIF 1 < 0 的图象甲。

第二步：将 SKIPIF 1 < 0 的图象沿 SKIPIF 1 < 0 轴向左平移1个单位，得 SKIPIF 1 < 0 的图象乙。

第三步：将 SKIPIF 1 < 0 的图象在 SKIPIF 1 < 0 轴下方的部分作关于 SKIPIF 1 < 0 轴的对称变换，得 SKIPIF 1 < 0 的图象丙。

第四步：将 SKIPIF 1 < 0 的图象沿 SKIPIF 1 < 0 轴向上平移2个单位，便得到所求函数的图象丁。