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    2020届高考数学一轮复习单元检测08《立体几何与空间向量》提升卷单元检测 理数(含解析)

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    单元检测八 立体几何与空间向量(提升卷)

    考生注意:

    1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共4页.

    2.答卷前,考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上.

    3.本次考试时间100分钟,满分130分.

    4.请在密封线内作答,保持试卷清洁完整.

    第Ⅰ卷(选择题 共60分)

    一、选择题(本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)

    1.(2018·广东省广州市培正中学模拟)下列命题中,错误的是(   )

    A.平行于同一平面的两个平面平行

    B.平行于同一直线的两个平面平行

    C.一条直线与两个平行平面中的一个相交,那么这条直线必和另一个平面相交

    D.一条直线与两个平行平面所成的角相等

    答案 B

    解析 选项A正确,是面面平行的传递性.选项B错误,比如正方体的两相邻侧面与一侧棱都平行,但两侧面所在平面相交.选项C正确,由反证法,若直线与另一平面不相交,则直线在平面内或直线与平面平行,与直线与第一个平面相交矛盾.选项D正确,由线面角定义可知正确.

    2.长方体的一个顶点上三条棱长分别是3,4,5,且它的8个顶点都在同一球面上,则这个球的表面积是(  )

    A.25πB.50πC.125πD.都不对

    答案 B

    解析 长方体的8个顶点都在同一球面上,则这个球是长方体的外接球,所以球的直径等于长方体的体对角线长,即R,所以球的表面积为4πR2=4π·2=50π,故选B.

    3.如图,在多面体ABCDEF中,已知平面ABCD是边长为3的正方形,EFABEF,且EF与平面ABCD的距离为2,则该多面体的体积为(  )

    A.B.5C.6D.

    答案 D

    解析 分别取ABCD的中点GH,连接EGGHEH,把该多面体分割成一个四棱锥与一个三棱柱,可求得四棱锥的体积为3,三棱柱的体积为,进而整个多面体的体积为.

    4.如图,一个空间几何体的正视图,侧视图,俯视图为全等的等腰直角三角形,如果直角三角形的直角边的长为1,那么这个几何体的体积为(   )

    A.B.C.D.1

    答案 A

    解析 由三视图还原可知原图形是底面是直角边为1的等腰直角三角形,两侧面也是直角边为1的等腰直角三角形,另一侧面是边长为的等边三角形的三棱锥.

    所以体积为V××1=,选A.

    5.(2018·西安模拟)若平面αβ的法向量分别是a=(2,4,-3),b=(-1,2,2),则平面αβ的位置关系是(  )

    A.平行 B.垂直

    C.相交但不垂直 D.无法确定

    答案 B

    解析 因为a·b=(2,4,-3)·(-1,2,2)=0,所以ab,所以两平面垂直.

    6.如图,长方体ABCDA1B1C1D1中,∠DAD1=45°,∠CDC1=30°,那么异面直线AD1DC1所成角的余弦值是(   )

    A. B.

    C. D.

    答案 C

    解析 由长方体∠DAD1=45°,∠CDC1=30°,设ADDD1=1,CD.连接BC1BD.

    AD1BC1,所以异面直线AD1DC1所成角,即∠BC1D.

    在△BDC1中,BC1BD=2,C1D=2,由余弦定理可得cos∠BC1D

    所以异面直线AD1DC1所成角的余弦值是,选C.

    7.△ABC所在的平面为α,直线lABlAC,直线mBCmAC,则直线lm的位置关系是(  )

    A.相交B.平行C.异面D.不确定

    答案 B

    解析 ∵lABlACABACAABAC平面ABC

    l⊥平面ABC.

    mBCmACBCACCBCAC平面ABC

    m⊥平面ABC

    lm,故选B.

    8.已知向量a=(2,4,5),b=(3,xy)分别是直线l1l2的方向向量,若l1l2,则(  )

    A.x=6,y=15 B.x=3,y

    C.x=3,y=15 D.x=6,y

    答案 D

    解析 ∵l1l2,∴存在实数k使得bka

    即(3,xy)=k(2,4,5),

    解得x=6,y,故选D.

    9.(2018·湖南省长沙市周南中学模拟)如图,在所有棱长均为a的直三棱柱ABCA1B1C1中,DE分别为BB1A1C1的中点,则异面直线ADCE所成角的余弦值为(  )

    A. B.

    C. D.

    答案 C

    解析 设AC的中点为O,以xyz轴建立坐标系(图略),

    ADCE(0,0,a),

    ADCE所成的角为θ

    则cosθ,故选C.

    10.已知αβ是两个平面,直线lαlβ,若以①lα;②lβ;③αβ中两个为条件,另一个为结论构成三个命题,则其中正确的命题有(  )

    A.①③②;①②

    B.①③②;②③

    C.①②③;②③

    D.①③②;①②③;②③

    答案 A

    解析 因为αβ,所以在β内找到一条直线m,使mα,又因为lα,所以lm.又因为lβ,所以lβ,即①③②;因为lβ,所以过l可作一平面γβn,所以ln,又因为lα,所以nα,又因为nβ,所以αβ,即①②③.故选A.

    11.如图,空间四边形OABC中,MN分别是OABC的中点,点G在线段MN上,且MG=2GN,若xyz,则(  )

    A.xyz

    B.xyz

    C.xyz

    D.xyz

    答案 D

    解析 由向量的运算法则有

    ,①

    ,②

    ,③

    =-=-2

    ∴①+②+③得3

    据此可知xyz.

    12.点P在正方体侧面BCC1B1及其边界上运动,并且保持APBD1,则点P的轨迹为(  )

    A.线段B1C

    B.BB1的中点与CC1的中点连成的线段

    C.线段BC1

    D.BC的中点与B1C1的中点连成的线段

    答案 A

    解析 ∵APBD1恒成立,

    ∴要保证AP所在的平面始终垂直于BD1.

    ACBD1AB1BD1ACAB1AAB1AC平面AB1C

    BD1⊥平面AB1C,∴P点在线段B1C上运动.故选A.

    第Ⅱ卷(非选择题 共70分)

    二、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中横线上)

    13.正四面体ABCD的棱长为2,半径为的球O过点D, MN为球O的一条直径,则·的最小值是______.

    答案 4-4

    解析 很明显当ODMN四点共面时数量积能取得最值,

    由题意可知ODOMON,则△MDN是以点D为顶点的直角三角形,且

    ·=()·()

    2·()+·

    =4+2·+0,

    当向量反向时,·取得最小值4-2×2×=4-4.

    14.如图所示,在正方体ABCDA1B1C1D1中,MN分别是棱AA1AB上的点,若∠B1MN是直角,则∠C1MN=________.

    答案 90°

    解析 因为C1B1⊥平面ABB1A1MN平面ABB1A1,所以C1B1MN.

    又因为MNMB1MB1C1B1平面C1MB1MB1C1B1B1,所以MN⊥平面C1MB1

    所以MNC1M,所以∠C1MN=90°.

    15.如图,∠BAC=90°,PC⊥平面ABC,则在△ABC和△PAC的边所在的直线中,与PC垂直的直线有________;与AP垂直的直线有________.

    答案 ABBCAC AB

    解析 ∵PC⊥平面ABC,∴PC垂直于直线ABBCAC;∵ABACABPCACPCC

    AB⊥平面PAC,∴与AP垂直的直线是AB.

    16.如图,在平行六面体ABCDA1B1C1D1中,AB=1,AD=2,AA1=3,∠BAD=90°,∠BAA1=∠DAA1=60°,则AC1=________.

    答案 

    解析 ∵∠BAA1=∠DAA1=60°,

    A1在平面ABCD上的射影必落在直线AC上,

    ∴平面ACC1A1⊥平面ABCD

    AB=1,AD=2,AA1=3,

    ∴||2=()2

    =||2+||2+||2+2·+2·+2·

    =1+4+9+0+2×1×3×+2×2×3×=23,

    ∴||=

    AC1.

    三、解答题(本题共4小题,共50分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

    17.(12分)如图,在直三棱柱(侧棱垂直于底面)ABCA1B1C1中,AC=9,BC=12,AB=15,AA1=12,点DAB的中点.

    (1)求证:ACB1C

    (2)求证:AC1∥平面CDB1.

    证明 (1)∵三棱柱ABCA1B1C1为直三棱柱,

    CC1⊥平面ABC

    AC平面ABC,∴CC1AC.

    又∵AC=9,BC=12,AB=15,

    AC2BC2AB2,∴ACBC.

    CC1BC平面BB1C1CCC1BCC

    AC⊥平面BB1C1C

    B1C平面BB1C1C

    ACB1C.

    (2)取A1B1的中点D1,连接C1D1D1DAD1.

    ADD1B1,且ADD1B1

    ∴四边形ADB1D1为平行四边形,∴AD1DB1

    又∵AD1平面CDB1DB1平面CDB1

    AD1∥平面CDB1.

    CC1DD1,且CC1DD1

    ∴四边形CC1D1D为平行四边形,∴C1D1CD

    又∵CD平面CDB1C1D1平面CDB1

    C1D1∥平面CDB1.

    AD1C1D1D1AD1C1D1平面AC1D1

    ∴平面AC1D1∥平面CDB1

    AC1平面AC1D1,∴AC1∥平面CDB1.

    18.(12分)如图,在四棱锥PABCD中,AD⊥平面PDCADBCPDPBAD=1,BC=3,CD=4,PD=2.

    (1)求异面直线APBC所成角的余弦值;

    (2)求证:PD⊥平面PBC

    (3)求直线AB与平面PBC所成角的正弦值.

    (1)解 由已知ADBC,得∠DAP或其补角即为异面直线APBC所成的角.因为AD⊥平面PDC,所以ADPD.在Rt△PDA中,由已知,得AP,故cos∠DAP.

    所以异面直线APBC所成角的余弦值为.

    (2)证明 因为AD⊥平面PDC,直线PD平面PDC,所以ADPD.

    又因为BCAD,所以PDBC

    PDPBBCPB平面PBCBCPBB

    所以PD⊥平面PBC.

    (3)解 过点DAB的平行线交BC于点F,连接PF,则DF与平面PBC所成的角等于AB与平面PBC所成的角.

    因为PD⊥平面PBC,故PFDF在平面PBC上的射影,所以∠DFP为直线DF和平面PBC所成的角.

    由于ADBCDFAB,故BFAD=1,由已知,得CFBCBF=2.又ADDC,故BCDC,在Rt△DCF中,可得DF=2,在Rt△DPF中,可得sin∠DFP.

    所以,直线AB与平面PBC所成角的正弦值为.

    19.(13分)如图,在四棱锥PABCD中,底面ABCD是边长为4的菱形,∠ABC=60°,PA⊥平面ABCDPA=4,F是棱PA上一点,且AF=1,EPD的一个靠近D点的三等分点.

    (1)求证:CE∥平面BDF

    (2)求平面BDF与平面PAD所成的锐二面角的余弦值.

    (1)证明 以点A为坐标原点,以ADAP所在的直线分别为y轴,z轴,建立空间直角坐标系如图.

    A(0,0,0),D(0,4,0),P(0,0,4),F(0,0,1),B(2,-2,0),C(2,2,0)

    设平面BDF的法向量为n=(xyz),

    =(-2,6,0),=(0,-4,1),

    所以y=1,得n=(,1,4),

    所以·n=-6+=0,即n.

    CE平面BDF,所以CE∥平面BDF.

    (2)解 由(1)知平面BDF的一个法向量为n=(,1,4),

    又平面PAD的一个法向量可取n1=(1,0,0),

    所以平面BDF与平面PAD所成锐二面角的余弦值为|cos〈nn1〉|=.

    20.(13分)(2018·北京市城六区模拟)如图1,在边长为2的正方形ABCD中,PCD中点,分别将△PAD, PBC沿PAPB所在直线折叠,使点C与点D重合于点O,如图2,在三棱锥POAB中,EPB中点.

    (1)求证:POAB

    (2)求直线BP与平面POA所成角的正弦值;

    (3)求二面角PAOE的大小.

    (1)证明 在正方形ABCD中,PCD中点,PDADPCBC

    所以在三棱锥POAB中,POOAPOOB.因为OAOBOOAOB平面OAB,所以PO⊥平面OAB.

    因为AB平面OAB,所以POAB.

    (2)解 取AB中点F,连接OF,取AO中点M,连接BM.

    过点OAB的平行线OG.

    因为PO⊥平面OAB,所以POOFPOOG.

    因为OAOBFAB的中点,

    所以OFAB.所以OFOG.

    如图所示,建立空间直角坐标系Oxyz.

    A(1,,0),B(-1,,0),P(0,0,1),M.

    因为BOBAMOA的中点,所以BMOA.

    因为PO⊥平面OABPO平面POA

    所以平面POA⊥平面OAB.

    因为平面POA∩平面OABOABM平面OAB

    所以BM⊥平面POA.

    因为.所以平面POA的一个法向量m=(,-1,0).=(1,-,1).

    设直线BP与平面POA所成角为α

    则sinα=|cos〈m〉|=.

    所以直线BP与平面POA所成角的正弦值为.

    (3)由(2)知E

    =(1,,0).

    设平面OAE的法向量为n=(xyz),

    则有

    y=-1,则xz=2,即n=(,-1,2).

    由(2)知平面OAP的一个法向量为m=(,-1,0),

    所以cos〈mn〉=.

    由题意知二面角PAOE为锐角,所以它的大小为.

     

     

     

     

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