初中数学北师大版九年级上册3 反比例函数的应用教案设计

这是一份初中数学北师大版九年级上册3 反比例函数的应用教案设计，共27页。教案主要包含了知识导图，总结与反思等内容，欢迎下载使用。

第17讲


讲























反比例函数的应用

















通过对本节课的学习，你能够：


掌握菱形的性质与判定.


学会应用菱形的性质解决最值问题.























概 述














【知识导图】
































教学过程








一、导入








反比例函数是每年中考中的热门考点，其应用题的形式主要分为几何类、实际应用类，在本讲中我们将对这两种应用进行深入的学习.





二、知识讲解











考点1 反比例函数的应用








反比例函数的几何应用：涉及到面积类的题型；


反比例函数的实际应用：生活中成反比的实例.





三 、例题精析








类型一 反比例函数的几何应用





例题1








已如图，反比例函数 y＝eq \f(k,x) 的图象与一次函数y＝mx＋b的图象交于两点A（1,3） ,B（n,－1）．





（1）求反比例函数与一次函数的函数关系式；


（2）根据图象，直接回答：当x取何值时，一次函数的值大于反比例函数的值；


（3）连接AO、BO，求△ABO的面积；


【解析】























【总结与反思】


类型二 反比例函数的实际应用





例题1








你吃过拉面吗？实际上在做拉面的过程中就渗透着数学知识：一定体积的面团做成拉面，面条的总长度（四面条的粗细（横截面积）S（的反比例函数，其图象如图所示.





（1）写出与S的函数关系式；


（2）求当面条粗1.6时，面条的总长度是多少米？


【解析】




















【总结与反思】








四 、课堂运用








基础








1.已知反比例函数y=的图象与一次函数y=kx+m的图象相交于点A（2，1）．





（1）分别求出这两个函数的解析式；


（2）当x取什么范围时，反比例函数值大于0；


（3）若一次函数与反比例函数另一交点为B，且纵坐标为﹣4，当x取什么范围时，反比例函数值大于一次函数的值；


（4）试判断点P（﹣1，5）关于x轴的对称点P′是否在一次函数y=kx+m的图象上．


























2.已知，如图，正比例函数y=ax的图象与反比例函数y=的图象交于点A（3，2）





（1）填空：a= ；k= ．


（2）M（m，n）是反比例函数图象上的一动点，其中0＜m＜3，过点M作直线MB∥x轴，交y轴于点B；过点A作直线AC∥y轴交x轴于点C，交直线MB于点D．


①当BM=DM时，求△ODM的面积；


②当BM=2DM时，求出直线MA的解析式．





























3.如图，在平面直角坐标系中直线y=x﹣2与y轴相交于点A，与反比例函数在第一象限内的图象相交于点B（m，2）．





（1）求反比例函数的关系式；


（2）将直线y=x﹣2向上平移后与反比例函数图象在第一象限内交于点C，且△ABC的面积为18，求平移后的直线的函数关系式．




















4.蓄电池的电压为定值，使用此电源时，电流I（A）是电阻R（Ω）的反比例函数，其图象如图所示．


（1）求这个反比例函数的表达式；


（2）当R=10Ω时，电流能是4A吗？为什么？

















巩固








1.如图, 在直角坐标系中，矩形ABCD的边BC在X轴上，点B、D的坐标分别为B（1，0），D（3，3）.





（1）直接写出点C的坐标；


（2）若反比例函数 的图象经过直线AC上的点E，且点E的坐标为（2，m），求 的值及反比例函数的解析式；


（3）若（2）中的反比例函数的图象与CD相交于点F，连接 EF，在线段AB上（端点除外）找一点P，使得：S△PEF＝S△CEF，并求出点P的坐标.




















2.如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴上，顶点落在反比例函数（）的图象上．一次函数（）的图象与该反比例函数的图象交于、两点，与轴交于点．已知，，点的坐标为（，）．





（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；


（2）连接、，求△的面积．























3.南宁市某生态示范村种植基地计划用90亩～120亩的土地种植一批葡萄，原计划总产量要达到36万斤．


（1）列出原计划种植亩数y（亩）与平均每亩产量x（万斤）之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；


（2）为了满足市场需求，现决定改良葡萄品种．改良后平均每亩产量是原计划的1.5倍，总产量比原计划增加了9万斤，种植亩数减少了20亩，原计划和改良后的平均每亩产量各是多少万斤？























拔高








1.如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，点D为对角线OB的中点，反比例函数在第一象限内的图象经过点D，与AB相交于点E，且点B（4，2）．





（1）求反比例函数的关系式；


（2）求四边形OAED的面积；


（3）若反比例函数的图象与矩形的边BC交于点F，将矩形折叠，使点O与点F重合，折痕分别与x、y轴正半轴交于点H、G，若，求直线GH的函数关系式．
































2.类比二次函数的图象的平移，我们对反比例函数的图象作类似的变换：


（1）将y=的图象向右平移1个单位，所得图象的函数表达式为 _________ ，再向上平移1个单位，所得图象的函数表达式为 _________ ；


（2）函数y=的图象可由y=的图象向 _________ 平移 _________ 个单位得到；y=的图象可由哪个反比例函数的图象经过怎样的变换得到；


（3）一般地，函数y=（ab≠0，且a≠b）的图象可由哪个反比例函数的图象经过怎样的变换得到？
































3.如图所示，小华设计了一个探究杠杆平衡条件的实验：在一根匀质的木杆中点O左侧固定位置B处悬挂重物A，在中点O右侧用一个弹簧秤向下拉，改变弹簧秤与点O的距离x（cm），观察弹簧秤的示数y（N）的变化情况.实验数据记录如下：








（1）把上表中x，y的各组对应值作为点的坐标，在坐标系中描出相应的点，用平滑曲线连接这些点并观察所得的图象，猜测y（N）与x（cm）之间的函数关系，并求出函数关系式；（2）当弹簧秤的示数为24N时，弹簧秤与O点的距离是多少cm？随着弹簧秤与O点的距离不断减小，弹簧秤上的示数将发生怎样的变化？

















五 、课堂小结








本节的重要内容：反比例函数的应用


（1）反比例函数的几何应用：涉及到面积和一次函数；


（2）反比例函数的实际应用：生活中成反比的实例.








六 、课后作业











基础








1.如图，一次函数的图象与反比例函数（x＜0）的图象相交于A点，与y轴、x轴分别相交于B、C两点，且C（2，0），当时，一次函数值大于反比例函数值，当时，一次函数值小于反比例函数值．





A


B


P








C


Q


y


x


O





（1）求一次函数的解析式；


（2）设函数（x＞0）的图象与（x＜0）的图象关于y轴对称，在（x＞0）的图象上取一点P（P点的横坐标大于2），过P点作PQ⊥x轴，垂足是Q，若四边形BCQP的面积等于2，求P点的坐标．









































2.如图，直线l：y=x+1与x轴、y轴分别交于A、B两点，点C与原点O关于直线l对称．反比例函数的图象经过点C，点P在反比例函数图象上且位于C点左侧，过点P作x轴、y轴的垂线分别交直线l于M、N两点．





（1）求反比例函数的解析式；


（2）求AN•BM的值．





























3.工匠制作某种金属工具要进行材料煅烧和锻造两个工序，即需要将材料烧到800℃，然后停止煅烧进行锻造操作，经过8min时，材料温度降为600℃．煅烧时温度y（℃）与时间x（min）成一次函数关系；锻造时，温度y（℃）与时间x（min）成反比例函数关系（如图）．已知该材料初始温度是32℃．





（1）分别求出材料煅烧和锻造时y与x的函数关系式，并且写出自变量x的取值范围；


（2）根据工艺要求，当材料温度低于480℃时，须停止操作．那么锻造的操作时间有多长？

















4.如图所示，制作一种产品，需将原材料加热，设该材料温度为y℃，从加热开始计算的时间为x分钟．据了解，该材料在加热过程中温度y与时间x成一次函数关系．已知该材料在加热前的温度为l5℃，加热5分钟使材料温度达到60℃时停止加热，停止加热后，材料温度逐渐下降，这时温度y与时问x成反比例函数关系．


（1）分别求出该材料加热和停止加热过程中y与x的函数关系(要写出x的取值范)；


（2）根据工艺要求，在材料温度不低于30℃的这段时间内，需要对该材料进行特殊处理，那么对该材料进行特殊处理所用的时间为多少分钟?








巩固








1.九年级数学兴趣小组组织了以“等积变形”为主题的课题研究．


第一学习小组发现：如图（1），点A、点B在直线l1上，点C、点D在直线l2上，若l1∥l2，则S△ABC=S△ABD；反之亦成立．


第二学习小组发现：如图（2），点P是反比例函数上任意一点，过点P作x轴、y轴的垂线，垂足为M、N，则矩形OMPN的面积为定值|k|．





请利用上述结论解决下列问题：


（1）如图（3），四边形ABCD、与四边形CEFG都是正方形点E在CD上，正方形ABCD边长为2，则S△BDF= ．


（2）如图（4），点P、Q在反比例函数图象上，PQ过点O，过P作y轴的平行线交x轴于点H，过Q作x轴的平行线交PH于点G，若S△PQG=8，则S△POH= ，k= ．


（3）如图（5）点P、Q是第一象限的点，且在反比例函数图象上，过点P作x轴垂线，过点Q作y轴垂线，垂足分别是M、N，试判断直线PQ与直线MN的位置关系，并说明理由．























2.如图1，点A是反比例函数（x＞0）图象上的任意一点，过点A作AB∥x轴，交另一个反比例函数（k＜0，x＜0）的图象于点B．


（1）若S△AOB=3，则k=______；


（2）当k=-8时：


①若点A的横坐标是1，求∠AOB的度数；


②将①中的∠AOB绕着点O旋转一定的角度，使∠AOB的两边分别交反比例函数y1、y2的图象于点M、N，如图2所示．在旋转的过程中，∠OMN的度数是否变化？并说明理由；


（3）如图1，若不论点A在何处，反比例函数（k＜0，x＜0）图象上总存在一点D，使得四边形AOBD为平行四边形，求k的值．


















































3.如图，面积为8的矩形的边分别在轴，轴的正半轴上，点在反比例函数的图象上，且.





（1）求反比例函数的解析式


（2）将矩形以点为旋转中心，顺时针旋转90°后得到矩形，反比例函数图象交于点，交于点.求的坐标.


（3）△MBN的面积





















































4.如图，已知反比例函数和一次函数的图象相交于第一象限内的点A，且点A的横坐标为1.过点A作AB⊥x轴于点B，△AOB的面积为1.





（1）求反比例函数和一次函数的解析式；


（2）若一次函数的图象与x轴相交于点C，求线段AC的长度；


（3）直接写出：当＞＞0时，x的取值范围；


（4）在y轴上是否存在一点p，使△PAO为等腰三角形，若存在，请直接写出p点坐标，若不存在，请说明理由.（要求至少写两个）





















































5.在某一电路中，保持电压不变，电流I（安培）与电阻R（欧姆）成反比例．当电阻R=6欧姆时，电流 I=2安培．


（l）求I与R之间的函数关系式；


（2）当电流I=1.5 安培时，求电阻R的值；


（3）如果电路中用电器限制电流不得超过10安培，那么用电器的可变电阻应控制在什么范围内？























6.为了预防“非典”,某学校对教室采用药熏清毒法进行消毒, 已知药物燃烧时,室内每立方米空气中的含药量y(mg)与时间x(min)成正比例.药物燃烧后,y与x成反比例(如图所示),现测得药物8min燃毕,此时室内空气中每立方米的含药量为6mg,请根据题中所提供的信息,解答下列问题:





(1)药物燃烧时,y关于x 的函数关系式为: ________, 自变量x 的取值范围是:_______,药物燃烧后y关于x的函数关系式为_______.


(2)研究表明,当空气中每立方米的含药量低于1.6mg时学生方可进教室,那么从消毒开始,至少需要经过______分钟后,学生才能回到教室;


(3)研究表明,当空气中每立方米的含药量不低于3mg且持续时间不低于10min时,才能有效杀灭空气中的病菌,那么此次消毒是否有效?为什么?




















拔高








1.如图，在平面直角坐标系中有Rt△ABC，∠A＝90°，AB＝AC，A（－2，0）、


B（0，1）、C（d，2）.





（1）求d的值；


（2）将△ABC沿x轴的正方向平移，在第一象限内B、C两点的对应点B′、C′正好落在某反比例函数图


像上.请求出这个反比例函数和此时的直线B′C′的解析式；


（3）在（2）的条件下，直线B′C′交y轴于点G.问是否存在x轴上的点M和反比例函数图像上的点P，


使得四边形PGMC′是平行四边形.如果存在，请求出点M和点P的坐标；如果不存在，请说明理由.















































2.如图，已知点A（4，0），B（0，），把一个直角三角尺DEF放在△OAB内，使其斜边FD在线段AB上，三角尺可沿着线段AB上下滑动．其中∠EFD=30°，ED=2，点G为边FD的中点．


（1）求直线AB的解析式；


（2）如图1，当点D与点A重合时，求经过点G的反比例函数（）的解析式；


（3）在三角尺滑动的过程中，经过点G的反比例函数的图象能否同时经过点F？如果能，求出此时反比例函数的解析式；如果不能，说明理由．


















































3.如图，奥运圣火抵达某市奥林匹克广场后，沿图中直角坐标系中的一段反比例函数图象传递．动点T（m，n）表示火炬位置，火炬从离北京路10米处的M点开始传递，到离北京路1000米的N点时传递活动结束．迎圣火临时指挥部设在坐标原点O（北京路与奥运路的十字路口），OATB为少先队员鲜花方阵，方阵始终保持矩形形状且面积恒为10000平方米（路线宽度均不计）．





（1）求图中反比例函数的关系式（不需写出自变量的取值范围）；


（2）当鲜花方阵的周长为500米时，确定此时火炬的位置（用坐标表示）；


（3）设t=m﹣n，用含t的代数式表示火炬到指挥部的距离；当火炬离指挥部最近时，确定此时火炬的位置（用坐标表示）．

















4.某商场出售一批进价为2元的贺卡，在市场营销中发现商品的日销售单价元与日销售量个之间有如下关系：


（1）根据表中数据，在直角坐标系描出实数对（）的对应点


（2）猜测并确定与之间的函数关系式，并画出图象；


（3）设经营此贺卡的销售利润为W元，试求出W与之间的函数关系式，若物价居规定此贺卡的售价最高不能超过10元/个，请你求出当日销售单价定为多少元时，才能获得最大日销售利润？











适用学科
初中数学
适用年级
初三
适用区域
北师版区域
课时时长（分钟）
120
知识点
反比例函数的几何应用


反比例函数的实际应用
教学目标
1、掌握反比例函数的几何应用.


2、利用反比例函数解决实际问题.
教学重点
能熟练掌握反比例函数的应用.
教学难点
能熟练掌握反比例函数的应用.
x（cm）
…
10
15
20
25
30
…
y（N）
…
30
20
15
12
10
…
（元）
3
4
5
6
（个）
20
15
12
10