初中数学北师大版八年级下册2 平行四边形的判定教学设计及反思

这是一份初中数学北师大版八年级下册2 平行四边形的判定教学设计及反思，共32页。教案主要包含了教学建议，知识导图等内容，欢迎下载使用。










第16讲


讲














平行四边形的判定


























概述





【教学建议】


本节的教学重点是使学生能熟练掌握平行四边形的判定，应用平行四边形的性质与应用进行解题，难点内容是动点问题。





学生学习本节时可能会在以下几个方面感到困难：


1. 平行四边形的判定。


2. 几何动点。





【知识导图】














教学过程








一、导入





【教学建议】


有关平行四边形的判定，难度不大，重点是性质与判定的综合，尤其是结合动点问题，难度较大，教师在授课过程中需要有重点讲解。








二、知识讲解








知识点1 平行四边形的判定











一、平行四边的判定方法：


两组对边分别相等的四边形是平行四边形。


一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.


对角线互相平分的四边形是平行四边形


二、第一环节 复习引入：


问题1（多媒体展示问题）


平行四边形的定义是什么？它有什么作用？


平行四边形有那些性质?


3．判定四边形是平行四边形的方法有哪些？





目的：


教师提出问题,由学生独立思考，并口答得出定义正反两方面的作用.总结出平行四边形的性质和判定四边形是平行四边形的几个条件．





问题2 （多媒体展示问题）


在笔直的铁轨上,夹在铁轨之间的平行枕木是否一样长?


你能说明理由吗?与同伴交流.


目的:


从实际的生活出发,让学生感受数学来源于生活又服务于生活.





将生活中的问题抽象成数学问题:


已知，直线a//b，过直线a上任两点A，B分别向直线b作垂线，交直线b于点C，点D，如图，


（1）线段AC，BD所在直线有什么样的位置关系？


（2）比较线段AC，BD的长。


A．（学生思考、交流）


B．（师生归纳）


解（1）由AC⊥b，BD⊥b，得AC//BD。


（2）a//b，AC//BD，→四边形ACDB是平行四边形


→AC=BD


归纳：


若两条直线平行，则其中一条直线上任意两点到另一条直线的距离相等，这个距离称为平行线间的距离。


即平行线间的距离相等。





[议一议]：


夹在平行线之间的平行线段一定相等吗？


结论:夹在平行线间的平行线段一定相等.


活动目的：


通过对平行四边形性质的简单应用，引入了平行线之间的距离的概念;再通过生活中的生活实例的应用，深化对知识的理解。


活动效果及注意：


1．在引入平行线之间的距离概念中，先引入点到直线的距离，再通过点到直线的距离来刻画平行线间的距离。


2．在应用平行四边形性质的同时深入知识、效果很好，学生易于接受。、








第二环节 探索活动


做一做:


如图6-15,以方格纸的格点为顶点画出几个平行四边形,并说明的画得方法和其中的道理.


























目的：


通过网格中学生画平行四边形并说理,进一步让学生掌握平行四边形的判定定理.





注意事项


在此活动中，教师应重点关注：


（1）学生实验操作的准确性；


（2）学生能否运用不同的判定方法对所画得图形进行说明；


（3）学生使用几何语言的规范性和严谨性．








知识点2 平行四边形判定和性质的综合运用





平行四边形的综合应用重点在于性质与判定的应用，难点在于动点问题。





三、例题精析








例题1





【题干】如图所示，在▱ABCD中，E，F分别为AD，BC边上的一点，若添加一个条件 ，则四边形EBFD为平行四边形．








【答案】AE=FC或∠ABE=∠CDF


【解析】根据平行四边形的判定可得








例题2





【题干】已知△ABC是等边三角形，D是BC边上的一个动点（点D不与B，C重合）△ADF是以AD为边的等边三角形，过点F作BC的平行线交射线AC于点E，连接BF．





（1）如图1，求证：△AFB≌△ADC；


（2）请判断图1中四边形BCEF的形状，并说明理由；


（3）若D点在BC 边的延长线上，如图2，其它条件不变，请问（2）中结论还成立吗？如果成立，请说明理由．





【答案】见解析


【解析】证明：（1）∵△ABC和△ADF都是等边三角形，


∴AF=AD，AB=AC，∠FAD=∠BAC=60°，


又∵∠FAB=∠FAD﹣∠BAD，∠DAC=∠BAC﹣∠BAD，


∴∠FAB=∠DAC，


在△AFB和△ADC中，


，


∴△AFB≌△ADC（SAS）；


（2）由①得△AFB≌△ADC，


∴∠ABF=∠C=60°．


又∵∠BAC=∠C=60°，


∴∠ABF=∠BAC，


∴FB∥AC，


又∵BC∥EF，


∴四边形BCEF是平行四边形；


（3）成立，理由如下：


∵△ABC和△ADE都是等边三角形，


∴AF=AD，AB=AC，∠FAD=∠BAC=60°，


又∵∠FAB=∠FAD﹣∠BAD，∠DAC=∠BAC﹣∠BAD，


∴∠FAB=∠DAC，


在△AFB和△ADC中，


，


∴△AFB≌△ADC（SAS）；


∴∠AFB=∠ADC．


又∵∠ADC+∠DAC=60°，∠EAF+∠DAC=60°，


∴∠ADC=∠EAF，


∴∠AFB=∠EAF，


∴BF∥AE，


又∵BC∥EF，


∴四边形BCEF是平行四边形．








例题3





【题干】如图1，在中，AB=AC，∠ABC =，D是BC边上一点，以AD为边作，使AE=AD，+=180°．





（1）直接写出∠ADE的度数（用含的式子表示）；


（2）以AB，AE为边作平行四边形ABFE，


①如图2，若点F恰好落在DE上，求证：BD=CD；


②如图3，若点F恰好落在BC上，求证：BD=CF．








【答案】见解析


【解析】（1）∠ADE =．


（2）①证明：∵四边形ABFE是平行四边形，


∴AB∥EF．


∴∠EDC=∠ABC=α．


由（1）知，∠ADE =，


∴．


∴AD⊥BC．


∵AB=AC，


∴BD=CD．





②证明：


∵AB=AC，∠ABC =，


∴．


∵四边形ABFE是平行四边形，


∴AE∥BF,AE=BF．


∴．


由（1）知，，


∴．


∴．


∴AD=CD．


∵AD=AE=BF，


∴BF=CD．


∴BD=CF．











例题4





【题干】.如图，在等边三角形ABC中，AB=6cm，射线AG∥BC，点E从点A出发沿射线AG以1cm/s的速度运动，点F从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动．如果点E、F同时出发，当四边形AEFC是平行四边形时，运动时间t的值为 （ ）





A．2s B．6s C．8s D．2s或6s








【答案】B


【解析】当AE=FC时，四边形AEFC是四边形，本题不是分类讨论，要和“以A、E、F、C”为顶点的四边形是平行四边形区分开





例题5





【题干】如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，，AD=8cm，BC=10cm，


AB=6cm，，点Q从点A出发以1cm/s的速度向点D运动，点P从点B出发以2cm/s的速度向点C运动，P、Q两点同时出发，当点P到达点C时，两点同时停止运动．若设运动时间为t（）．





（1）直接写出：QD= ，= ；（用含t的式子表示）


（2）当t为何值时，四边形PQDC为平行四边形?


（3）若点P与点C不重合，且DQ≠DP，当为何值时，是等腰三角形？





【答案】见解析


【解析】解：（1）=，=；


（2）若四边形是平行四边形，则需


∴


解得


（3）①若，如图1， 过作于


则，





∵


∴解得


②若，如图2，过作于


则，








即解得


综上所述，当或时是等腰三角形








四 、课堂运用








基础





1. 如图，请在下列四个关系中，选出两个恰当的关系作为条件，推出四边形ABCD是平行四边形，并予以证明．（写出一种即可）


关系：①AD∥BC，②AB=CD，③∠A=∠C，④∠B+∠C=180°．


已知：在四边形ABCD中， ， ；


求证：四边形ABCD是平行四边形．


A


B


C


D





【答案】①④；（此题答案不唯一）


【解析】证明：因为∠B+∠C=180°，所以AB∥DC，又因为AD∥BC，所以四边形ABCD是平行四边形．


2.已知：在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，M、N、P、Q分别是OA、OB、OC、OD的中点。


求证：四边形MNPQ是平行四边形。








【答案】见解析


【解析】证明：∵M、N、P、Q分别是OA、OB、OC、OD的中点，


∴MN∥AB,MN=12AB;PQ∥CD,PQ=12CD.


又∵ABCD是平行四边形，


∴AB∥CD，AB=CD.


∴MN∥PQ，MN=PQ.


∴四边形PQMN是平行四边形。





3.已知：如图，在平行四边形ABCD中，点E. F在AC上，且AE=CF.


求证：四边形BEDF是平行四边形。














【答案】见解析


【解析】证明：如图，连接BD设对角线交于点O.


∵四边形ABCD是平行四边形，


∴OA=OC，OB=OD.


∵AE=CF，OA−AE=OC−CF，


∴OE=OF.


∴四边形BEDF是平行四边形。











巩固





1.如图是一种儿童的游乐设施—儿童荡板．小明想验证这个荡板上方的四边形是否是平行四边形，现在手头只有一根足够长的绳子，请你帮助他设计一个验证方案，并说明理由．











【答案】见解析


【解析】方案：先用绳子测量出四边形ABCD的边AB的长，并在绳子上做上标记；然后再用这根绳子测量出CD的长做上标记，比较AB与CD的长短．用同样的方法比较BC、AD的长短．如果AB=CD，BC=AD，则四边形ABCD是平行四边形．（也可以通过测量对角线得出，合理即可得分）


理由：两组对边对应相等的四边形是平行四边形．








2..如图，在□ABCD中，F是AD的中点，延长BC到点E，使CE=BC，连结DE，CF。





（1）求证：四边形CEDF是平行四边形；


（2）若AB=4，AD=6，∠B=60°，求DE的长。





【答案】见解析


【解析】（1）证明：在▱ABCD中，AD∥BC，且AD=BC．


∵F是AD的中点，


∴DF=AD．


又∵CE=BC，


∴DF=CE，且DF∥CE，


∴四边形CEDF是平行四边形；


如图，过点D作DH⊥BE于点H．





在▱ABCD中，∵∠B=60°，


∴∠DCE=60°．


∵AB=4，


∴CD=AB=4，


∴CH=CD=2，DH=2．


在▱CEDF中，CE=DF=AD=3，则EH=1．


∴在Rt△DHE中，根据勾股定理知DE=．





3.如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为(-3，0)，(0，6).动点P从点O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位的速度运动，同时动点C从点B出发，沿射线BO方向以每秒2个单位的速度运动，以CP，CO为邻边构造▱PCOD，在线段OP延长线上取点E，使PE=AO，设点P运动的时间为t秒.





(1)当点C运动到线段OB的中点时，求t的值及点E的坐标.


(2)当点C在线段OB上时，求证：四边形ADEC为平行四边形





【答案】见解析


【解析】 (1)∵OB=6，C是OB的中点，


∴，


∴2t=3即，


∴，E(，0)；


(2)如图，连接CD交OP于点G，





在▱PCOD中，CG=DG，OG=PG，


∵AO=PE，


∴AG=EG，


∴四边形ADEC是平行四边形.

















拔高





1.如图，直线l1的解析表达式为y=3x﹣3，且l1与x轴交于点D，直线l2经过点A，B，直线l1，l2交于点C．





（1）求点D的坐标；


（2）求△ADC的面积；


（3）在直线l2上存在异于点C的另一点P，使得△ADP与△ADC的面积相等，请直接写出点P的坐标；


（4）在坐标平面内是否存在这样的点H，使以A，D，C，H为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出满足条件的点H的个数．





【答案】见解析


【解析】（1）∵令y=0，则x=1，


∴D（1，0）；


（2）设直线l2的解析式为y=kx+b（k≠0），


∵A（4，0），B（3，），


∴，解得，


∴直线l2的解析式为y=﹣x+6，


∴，解得，


∴C（2，3）．


∵AD=4﹣1=3，


∴S△ADC=×3×3=；


（3）∵△ADP与△ADC的底相同，


∴其高相等，


∴当y=﹣3即﹣x+6=﹣3时，x=6，


∴P（6，﹣3）；


（4）存在．


设H（a，b），


当AD为平行四边形的边时，


∵AD∥CH，AD=CH=3，A（4，0），D（1，0），C（2，3），


∴H1（5，3），H2（﹣1，3）；


当AD为平行四边形的对角线时，


，，解得a=3，b=﹣3，


∴H3（3，﹣3）．


∴满足条件的点H的个数是4个．








2.如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，且AD=12cm，AB=8cm，DC=10cm，若动点P从A点出发，以每秒2cm的速度沿线段AD向点D运动；动点Q从C点出发以每秒3cm的速度沿CB向B点运动，当P点到达D点时，动点P、Q同时停止运动，设点P、Q同时出发，并运动了t秒，回答下列问题：





（1）BC= cm；


（2）当t为多少时，四边形PQCD成为平行四边形？


（3）是否存在t，使得△DQC是等腰三角形？若存在，请求出t的值；若不存在，说明理由．


【答案】见解析


【解析】根据题意得：PA=2t，CQ=3t，则PD=AD-PA=12-2t．


（1）如图，过D点作DE⊥BC于E，则四边形ABED为矩形，





DE=AB=8cm，AD=BE=12cm，


在直角△CDE中，∵∠CED=90°，DC=10cm，DE=8cm，


∴EC==6cm，


∴BC=BE+EC=18cm．


（2）∵AD∥BC，即PD∥CQ，


∴当PD=CQ时，四边形PQCD为平行四边形，


即12-2t=3t，


解得t=秒，


故当t=秒时四边形PQCD为平行四边形；


（3）△DQC是等腰三角形时，分三种情况讨论：


①当QC=DC时，即3t=10，


∴t=；


②当DQ=DC时，


∴t=4；


③当QD=QC时，3t×


∴t=．


故存在t，使得△DQC是等腰三角形，此时t的值为秒或4秒或秒．

















课堂小结





平行四边的判定方法：


两组对边分别相等的四边形是平行四边形。


一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.


对角线互相平分的四边形是平行四边形











扩展延伸








基础





1.如图,在平行四边形ABCD中,∠ABD=30°，AB=4，BD=，将△BCD沿方向平移，得到△EFG．








连结AE、DF，求证：四边形AEFD为平行四边形．





【答案】见解析


【解析】∵△ABC是等边三角形，


∴AB=BC, ∠ABC=∠ACB=600.


∵△FCD由△BEC旋转得到的，∴CD=CE,DF=BC.


∴AB=DF


∴△CDE是等边三角形.


∴∠EDC=600.∴∠EDC=∠ABC.


∴DF∥AB.


∴四边形ABDF是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）.








2. 如图，由25个点构成的5×5的正方形点阵中，横纵方向相邻的两点之间的距离都是1个单位．定义：由点阵中四个点为顶点的平行四边形叫阵点平行四边形．图中以A，B为顶点，面积为2的阵点平行四边形的个数为（ ）．





A．3 B．6 C．7 D．9








【答案】D


【解析】画出图形即可，注意分类谈论，以AB为边，以AB为对角线





3.如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别在AD、BC边上，且AE=CF．





求证：（1）△ABE≌△CDF；


（2）四边形BFDE是平行四边形





【答案】见解析


【解析】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A=∠C，AB=CD，


在△ABE和△CDF中，∵AB=CD，∠A=∠C，AE=CF，


∴△ABE≌△CDF（SAS）．


（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC．


∵AE=CF，∴AD﹣AE=BC﹣CF，即DE=BF．


∴四边形BFDE是平行四边形．











巩固





1..已知：如图，平行四边形ABCD中，AB⊥AC，对角线AC、BD交于O点，将直线AC绕点O顺时针旋转，分别交BC、AD于点E、F．





(1) 当旋转角为90°时，求证：四边形ABEF是平行四边形；


(2) 求证：在旋转过程中，AF=EC．


【答案】见解析


【解析】解析：


（1）∵∠AOF=90°， AB⊥AC，


∴AB∥EF


∵ABCD是平行四边形，


∴AF∥BE


∴ABEF是平行四边形


(2)∵ABCD是平行四边形，


∴AF∥BE，AO=CO


∴∠FAO=∠ECO，


又∵∠AOF=∠COE，


∴△AOF≌△COE


∴AF=CE








2.如图，将□ABCD沿过点A的直线折叠，使点D落到AB边上的点处，折痕交CD边于点E，连接BE





（1）求证：四边形是平行四边形


（2）若BE平分∠ABC，求证：








【答案】见解析


【解析】（1）∵将▱ABCD沿过点A的直线l折叠，使点D落到AB边上的点D′处，


∴∠DAE=∠D′AE，∠DEA=∠D′EA，∠D=∠AD′E，


∵DE∥AD′，∴∠DEA=∠EAD′，∴∠DAE=∠EAD′=∠DEA=∠D′EA，∴∠DAD′=∠DED′，


∴四边形DAD′E是平行四边形，∴DE=AD′，


∵四边形ABCD是平行四边形，∴ABDC，∴CED′B，∴四边形BCED′是平行四边形；


（2）∵BE平分∠ABC，∴∠CBE=∠EBA，


∵AD∥BC，∴∠DAB+∠CBA=180°，


∵∠DAE=∠BAE，∴∠EAB+∠EBA=90°，∴∠AEB=90°，∴AB2=AE2+BE2．





3.如图，已知D是△ABC的边AB上一点，CE∥AB，DE交AC于点O，且OA=OC，猜想线段CD与线段AE的大小关系和位置关系，并加以证明．








【答案】见解析


【解析】 解：猜想线段CD与线段AE的大小关系和位置关系是：相等且平行．


理由：∵CE∥AB，


∴∠DAO=∠ECO，


∵在△ADO和△ECO中





∴△ADO≌△ECO（ASA），


∴AD=CE，


∴四边形ADCE是平行四边形，


∴CD∥AE且CD=AE











拔高





1.如图，在直角坐标系中，四边形OABC的OA，OC两边分别在x，y轴上，OA∥BC，BC=15cm，A点坐标为（16，0），C点坐标为（0，4）．点P，Q分别从C，A同时出发，点P以2cm/s的速度由C向B运动，点Q以4cm/s的速度由A向O运动，当点Q到达点O时，点P也停止运动，设运动时间为t秒（0≤t≤4）．





（1）求当t为多少时，四边形PQAB为平行四边形？


（2）求当t为多少时？PQ所在直线将四边形OABC分成左右两部分的面积比为1：2；


（3）直接写出在（2）的情况下，直线PQ的函数关系式．


【答案】见解析


【解析】解：（1）ts后，BP=（15﹣2t）cm，AQ=4t cm．


由BP=AQ，得15﹣2t=4t，t=2.5（s）．


又∵OA∥BC，


∴当t=2.5s时，四边形PQAB为平行四边形．





（2）∵点C坐标为（0，4），点A坐标为（16，0），


∴OC=4cm，OA=16cm．


∴S梯形OABC=（OA+BC）•OC=×（16+15）×4=62（cm2）．


∵t秒后，PC=2tcm，OQ=（16﹣4t）cm，


∴S四边形PQOC=，


又∵PQ所在直线将四边形OABC分成左右两部分的面积比为1：2，


∴，解得（s）．


当（s）时，直线PQ将四边形OABC分成左右两部分的面积比为1：2．


（3）当s时，P（，4），Q（，0）．


设直线PQ的解析式为：y=kx+b（k≠0），则


，


解得


所以，此时直线PQ的函数关系式为．





2.已知，矩形中，，，的垂直平分线分别交、 于点、，垂足为.AE=AF=FC=EC





（1）如图26－2，动点、分别从、两点同时出发,沿和各边匀速运动一周.即点自→→→停止，点自→→→停止.在运动过程中.


= 1 \* GB3 ①已知点的速度为每秒10，点的速度为每秒6，运动时间为秒，当、、、 四点为顶点的四边形是平行四边形时，求的值.


= 2 \* GB3 ②若点、的运动路程分别为、 （单位:，），已知、、、四点为顶点的四边形是平行四边形，求与满足的函数关系式.








【答案】见解析


【解析】（1） = 1 \* GB3 ①显然当点在上时,点在上，此时、、、四点不可能构成平行四边形；同理点在上时，点在或上，也不能构成平行四边形.因此只有当点在上、点在上时，才能构成平行四边形


∴以、、、四点为顶点的四边形是平行四边形时,


∵点的速度为每秒10cm，点的速度为每秒6cm，运动时间为秒


∴,


∴，解得


∴以、、、四点为顶点的四边形是平行四边形时, 秒.





= 2 \* GB3 ②由题意得，以、、、四点为顶点的四边形是平行四边形时，点、在互相平行的对应边上.


分三种情况:


= 1 \* rman i）如图1，当点在上、点在上时，, ，即


= 2 \* rman ii）如图2，当点在上、点在上时，, ，即


= 3 \* rman iii）如图3，当点在上、点在上时，, ，即


综上所述，与满足的函数关系式是


图1


图2


图3




















教学反思





适用学科
初中数学
适用年级
初中二年级
适用区域
北师版区域
课时时长（分钟）
120
知识点
平行四边形的判定


2.平行四边形判定和性质的综合运用
教学目标
1.理解平行四边形的这两种判定方法，并学会简单运用．


2.运用类比的方法，通过学生的合作探究，得出平行四边形的判定方法．
教学重点
平行四边形判定方法的综合运用．
教学难点
平行四边形的性质和判定的综合运用．