初中数学北师大版八年级下册2 平行四边形的判定课后作业题

这是一份初中数学北师大版八年级下册2 平行四边形的判定课后作业题，共35页。



【知识点1 平行四边形的判定】
两组对边分别平行的四边形是平行四边形．
两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形．
（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．
【题型1 平行四边形的判定条件】
【例1】（2023春•玄武区期中）如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，则不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．∠ABC＝∠ADC，AD∥BCB．∠ABD＝∠BDC，∠BAD＝∠DCB
C．∠ABD＝∠BDC，OA＝OCD．∠ABC＝∠ADC，AB＝CD
【变式1-1】（2023春•驿城区期末）在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，在下列条件中，①AB∥CD，AD∥BC，②AB＝CD，AD＝BC；③AB∥CD，AD＝BC，④OA＝OC，OB＝OD，⑤AB∥CD，∠BAD＝∠BCD，能够判定四边形ABCD是平行四边形的个数有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【变式1-2】（2023春•凤翔县期末）在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O．给出下列四组条件：①AB∥CD，AD∥BC；②AB＝CD，AD＝BC；③AO＝CO，BO＝DO；④AB∥CD，AD＝BC．其中一定能判定这个四边形是平行四边形的条件有（ ）
A．①②③B．②③④C．①②④D．①③④
【变式1-3】（2023春•宜兴市月考）四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，给出下列四组条件：
①AB∥CD，AD∥BC；②AB＝CD，AD＝BC；③AB∥CD，AD＝BC；④AO＝CO，BO＝DO．
其中一定能判定这个四边形是平行四边形的条件有（ ）
A．4组B．3组C．2组D．1组
【题型2 平行四边形的判定与坐标】
【例2】（2023春•江油市期末）如图，△OAB的顶点O、A、B的坐标分别是（0，0）（3，0），（1，1），下列点M中，O、A、B、M为顶点的四边形不是平行四边形的是（ ）
A．（1，﹣1）B．（2，﹣1）C．（﹣2，1）D．（4，1）
【变式2-1】（2023春•石狮市期末）在平面直角坐标系中，已知点A（0，0）、B（2，2）、C（3，0），若以点A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，则点D的坐标不可能为（ ）
A．（﹣1，2）B．（5，2）C．（1，﹣2）D．（2，﹣2）
【变式2-2】（2023春•彭州市期末）如图，Rt△OAB的两直角边OA、OB分别在x轴和y轴上，A（﹣2，0），B（0，4），将△OAB绕O点顺时针旋转90°得到△OCD，直线AC、BD交于点E．点M为直线BD上的动点，点N为x轴上的点，若以A，C，M，N四点为顶点的四边形是平行四边形，则符合条件的点M的坐标为 ．
【变式2-3】（2023春•开封期末）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（4，0），点C在y的正半轴上，且OB＝2OC，在直角坐标平面内确定点D，使得以点D、A、B、C为顶点的四边形是平行四边形，请写出点D的坐标为 ．
【题型3 平行四边形的判定与动点】
【例3】（2023春•阳谷县期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD＜BC，BC＝6cm，动点P，Q分别从点D，B同时出发，点P以1cm/s的速度向点A运动，点Q以2cm/s的速度向点C运动，几秒后四边形CDPQ是平行四边形（ ）
A．1B．2C．3D．4
【变式3-1】（2023秋•芝罘区期末）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝8cm，BC＝12cm，M是BC上一点，且BM＝9cm，点E从点A出发以1cm/s的速度向点D运动，点F从点C出发，以3cm/s的速度向点B运动，当其中一点到达终点，另一点也随之停止，设运动时间为t（s），则当以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，t的值是（ ）
A．B．3C．3或D．或
【变式3-2】（2023春•抚州期末）在平面直角坐标系中，已知点A（4，0），点B（﹣3，2），点C（0，2），点P从点B出发，以2个单位每秒的速度沿射线BC运动，点Q从点A出发，开始以1个单位每秒的速度向原点O运动，到达原点后立刻以原来3倍的速度沿射线OA运动，若P，Q两点同时出发，设运动时间为t秒，则当t＝ 时，以点A，Q，C，P为顶点的四边形为平行四边形．
【变式3-3】（2023春•惠来县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝20cm，BD⊥AC于点D，且BD＝16cm．点M从点A出发，沿AC方向匀速运动，速度为4cm/s；同时点P由B点出发，沿BA方向匀速运动，速度为1cm/s，过点P的直线PQ∥AC，交BC于点Q，连接PM，设运动时间为t（s）（0＜t＜5），解答下列问题：
（1）线段AD＝ cm；
（2）求证：PB＝PQ；
（3）当t为何值时，以P、Q、D、M为顶点的四边形是平行四边形？
【题型4 平行四边形的判定与证明】
【例4】（2023•郓城县模拟）如图，F、C是线段AD上的两点，AB∥DE，BC∥EF，AF＝DC，连结AE、BD，求证：四边形ABDE是平行四边形．
【变式4-1】（2023春•西安期末）如图，在△AFC中，∠FAC＝45°，FE⊥AC于点E，在EF上取一点B，连接AB、BC，使得AB＝FC，过点A作AD⊥AF，且AD＝BC，连接CD，求证：四边形ABCD是平行四边形．
【变式4-2】如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点O画直线EF分别交AD、BC于点E、F，已知OE＝OF，且AO+AE＝CO+CF，求证：四边形ABCD为平行四边形．
【变式4-3】（2023春•长宁区期末）已知：如图，△ABC和△ADE都是等边三角形，点D在BC边上，EF∥BC交AC于点F，联结BE．
求证：四边形BEFC为平行四边形．
【题型5 二次证明平行四边形】
【例5】如图，在平行四边形ABCD中，AE＝CF，M、N分别为ED、FB的中点，试说明四边形ENFM为平行四边形．
【变式5-1】如图，O为四边形ABCD的对角线BD的中点，过点O作一条直线分别与AB、CD交于点M、N，点E、F在直线MN上，且OE＝OF，AE∥CF，AE＝CF．求证：四边形ABCD是平行四边形．
【变式5-2】如图，E、F是△ABC的边AB、BC边的中点，在AC上取G、H两点，使AG＝GH＝HC，连接EG、FH并延长交于点D
求证：四边形ABCD是平行四边形．
【变式5-3】如图，E、F是四边形ABCD的对角线BD上两点，DF＝BE，AE∥CF，AE＝CF．求证：四边形ABCD是平行四边形．
【题型6 平行四边形的判定与性质综合】
【例6】（2023春•西湖区校级月考）如图，已知△ABC为等边三角形，动点P在△ABC内，以PB，PC为边向外作等边三角形△PBD，△PCE．
（1）若PB＝8，PC＝6，BC＝10，
①求证：四边形PEAD是平行四边形；
②求出四边形PEAD的面积；
（2）随着点P在△ABC所在平面上运动时，当△PBC满足什么条件时，平行四边形PEAD一定存在？（直接写出答案）
【变式6-1】（2023秋•南岗区校级月考）如图，在△AFC中，∠FAC＝45°，FE⊥AC于点E，在EF上取一点B，连接AB、BC，使得AB＝FC，过点A作AD⊥AF，且AD＝BC，连接CD．
（1）如图1，求证：四边形ABCD是平行四边形；
（2）如图2，若AB平分∠FAC，延长FE交CD于点H，请直接写出与∠ABE相等的角．
【变式6-2】（2023春•安国市期末）如图，平面直角坐标系中，四边形ABCD是平行四边形，A（﹣3，0），B（3，0），C（0，4），连接OD，点E是线段OD的中点．
（1）求点E和点D的坐标；
（2）平面内是否存在一点N，使以C、D、E、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式6-3】（2023春•修水县期末）如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，OA＝5cm，E，F为直线BD上的两个动点（点E，F始终在▱ABCD的外面），连接AE，CE，CF，AF．
（1）若DEOD，BFOB，
①求证：四边形AFCE为平行四边形；
②若CA平分∠BCD，∠AEC＝60°，求四边形AFCE的周长．
（2）若DEOD，BFOB，四边形AFCE还是平行四边形吗？请写出结论并说明理由．若DEOD，BFOB呢？请直接写出结论．
专题6.2 平行四边形的判定-重难点题型
【北师大版】


【知识点1 平行四边形的判定】
两组对边分别平行的四边形是平行四边形．
两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形．
（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．
【题型1 平行四边形的判定条件】
【例1】（2023春•玄武区期中）如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，则不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．∠ABC＝∠ADC，AD∥BCB．∠ABD＝∠BDC，∠BAD＝∠DCB
C．∠ABD＝∠BDC，OA＝OCD．∠ABC＝∠ADC，AB＝CD
【分析】利用所给条件结合平行四边形的判定方法进行分析即可．
【解答】解：A、∵AD∥BC，
∴∠ABC+∠BAD＝180°，
∵∠ABC＝∠ADC，
∴∠ADC+∠BAD＝180°，
∴AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，故此选项不合题意；
B、∵∠ABD＝∠BDC，∠BAD＝∠DCB，
∴∠ADB＝∠CBD，
∴AD∥CB，
∵∠ABD＝∠BDC，
∴AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，故此选项不合题意；
C、∵∠ABD＝∠BDC，OA＝OC，
又∠AOB＝∠COD，
∴△AOB≌△COD（AAS），
∴DO＝BO，
∴四边形ABCD是平行四边形，故此选项不合题意；
D、∠ABC＝∠ADC，AB＝CD不能判断四边形ABCD是平行四边形，故此选项符合题意；
故选：D．
【变式1-1】（2023春•驿城区期末）在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，在下列条件中，①AB∥CD，AD∥BC，②AB＝CD，AD＝BC；③AB∥CD，AD＝BC，④OA＝OC，OB＝OD，⑤AB∥CD，∠BAD＝∠BCD，能够判定四边形ABCD是平行四边形的个数有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【分析】根据平行四边形的判定定理分别进行分析即可．
【解答】解：①AB∥CD，AD∥BC，两组对边分别平行的四边形是平行四边形可判定四边形ABCD为平行四边形；
②AB＝CD，AD＝BC，两组对边分别相等的四边形是平行四边形可判定四边形ABCD为平行四边形；
③AB∥CD，AD＝BC，不能判定四边形ABCD为平行四边形；
④OA＝OC，OB＝OD，对角线互相平分的四边形是平行四边形可判定四边形ABCD为平行四边形；
⑤∵AB∥CD，
∴∠BAD+∠ADC＝180°，
∵∠BAD＝∠BCD，
∴∠ADC+∠BCD＝180°，
∴AD∥BC，两组对边分别平行的四边形是平行四边形可判定四边形ABCD为平行四边形；
故选：C．
【变式1-2】（2023春•凤翔县期末）在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O．给出下列四组条件：①AB∥CD，AD∥BC；②AB＝CD，AD＝BC；③AO＝CO，BO＝DO；④AB∥CD，AD＝BC．其中一定能判定这个四边形是平行四边形的条件有（ ）
A．①②③B．②③④C．①②④D．①③④
【分析】根据平行四边形的5个判断定理：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；两组对角分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形，即可作出判断．
【解答】解：①根据平行四边形的判定定理：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可知①能判断这个四边形是平行四边形；
②根据平行四边形的判定定理：两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可知②能判断这个四边形是平行四边形；
③根据平行四边形的判定定理：两条对角线互相平分的四边形是平行四边形，可知③能判断这个四边形是平行四边形；
④根据平行四边形的判定定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可知④不能判断这个四边形是平行四边形（例可能是等腰梯形）；
故给出下列四组条件中，①②③能判断这个四边形是平行四边形．
故选：A．
【变式1-3】（2023春•宜兴市月考）四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，给出下列四组条件：
①AB∥CD，AD∥BC；②AB＝CD，AD＝BC；③AB∥CD，AD＝BC；④AO＝CO，BO＝DO．
其中一定能判定这个四边形是平行四边形的条件有（ ）
A．4组B．3组C．2组D．1组
【分析】根据平行四边形的5个判断定理：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；两组对角分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形，即可作出判断．
【解答】解：①AB∥CD，AD∥BC，能判定这个四边形是平行四边形，故此选项正确；
②AB＝CD，AD＝BC，能判定这个四边形是平行四边形，故此选项正确；
③AB∥CD，AD＝BC，不能判定这个四边形是平行四边形，故此选项错误；
④AO＝CO，BO＝DO，能判定这个四边形是平行四边形，故此选项正确；
故选：B．
【题型2 平行四边形的判定与坐标】
【例2】（2023春•江油市期末）如图，△OAB的顶点O、A、B的坐标分别是（0，0）（3，0），（1，1），下列点M中，O、A、B、M为顶点的四边形不是平行四边形的是（ ）
A．（1，﹣1）B．（2，﹣1）C．（﹣2，1）D．（4，1）
【分析】分三种情况，①AB为对角线时；②OB为对角线时；③OA为对角线时；分别求出点M的坐标，即可求解．
【解答】解：分三种情况：
①AB为对角线时，
∵BM∥OA，点O、A、B的坐标分别是（0，0）（3，0），（1，1），
∴M的坐标为（3+1，1），
即M（4，1）；
②OB为对角线时，
∵BM'∥OA，点O、A、B的坐标分别是（0，0）（3，0），（1，1），
∴M'的坐标为（1﹣3，1），
即M（﹣2，1）；
③OA为对角线时，点M''与M'关于原点O对称，
∴M''的坐标为（2，﹣1），
即M（4，1）；
综上所述，点M的坐标为（4，1）或（﹣2，1）或（2，﹣1），
故选：A．
【变式2-1】（2023春•石狮市期末）在平面直角坐标系中，已知点A（0，0）、B（2，2）、C（3，0），若以点A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，则点D的坐标不可能为（ ）
A．（﹣1，2）B．（5，2）C．（1，﹣2）D．（2，﹣2）
【分析】分三种情况：①BC为对角线时，②AB为对角线时，③AC为对角线时；由平行四边形的性质容易得出点D的坐标．
【解答】解：分三种情况：①BC为对角线时，点D的坐标为（5，2）
②AB为对角线时，点D的坐标为（﹣1，2），
③AC为对角线时，点D的坐标为（1，﹣2），
综上所述，点D的坐标可能是（5，2）或（﹣1，2）或（1，﹣2）．
故选：D．
【变式2-2】（2023春•彭州市期末）如图，Rt△OAB的两直角边OA、OB分别在x轴和y轴上，A（﹣2，0），B（0，4），将△OAB绕O点顺时针旋转90°得到△OCD，直线AC、BD交于点E．点M为直线BD上的动点，点N为x轴上的点，若以A，C，M，N四点为顶点的四边形是平行四边形，则符合条件的点M的坐标为 ．
【分析】由A、B的坐标可求得AO和OB的长，由旋转的性质可求得OC、OD的长，从而可求得∠AEB＝90°，再由勾股定理可求得CD和AB的长，可求得AB＝CD，可证得△ABE≌△DCE，得到OD＝OB，由B、D坐标可求得直线BD解析式，当M点在x轴上方时，则有CM∥AN，则可求得M点纵坐标，代入直线BD解析式可求得M点坐标，当M点在x轴下方时，同理可求得M点纵坐标，则可求得M点坐标．
【解答】解：∵A（﹣2，0），B（0，4），
∴OA＝2，OB＝4，
∵将△OAB绕O点顺时针旋转90°得△OCD，
∴OC＝OA＝2，OD＝OB＝4，AB＝CD，
∴∠ACO＝∠ECB＝∠CBE＝45°，
∴∠CEB＝90°，
∴∠AEB＝∠CED，且CE＝BE，
在Rt△ABE和Rt△DCE中，
∴Rt△ABE≌Rt△DCE（HL），
∴OD＝OB＝4，
∴D（4，0），且B（0，4），
∴直线BD解析式为y＝﹣x+4，
当M点在x轴上方时，则有CM∥AN，即CM∥x轴，
∴M点到x轴的距离等于C点到x轴的距离，
∴M点的纵坐标为2，
在y＝﹣x+4中，令y＝2可得x＝2，
∴M（2，2）；
当M点在x轴下方时，同理可得M点的纵坐标为﹣2，
在y＝﹣x+4中，令y＝﹣2可求得x＝6，
∴M点的坐标为（6，﹣2）；
综上可知M点的坐标为（2，2）或（6，﹣2），
故答案为：（2，2）或（6，﹣2）．
【变式2-3】（2023春•开封期末）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（4，0），点C在y的正半轴上，且OB＝2OC，在直角坐标平面内确定点D，使得以点D、A、B、C为顶点的四边形是平行四边形，请写出点D的坐标为 （3，2）（﹣3，2）（5，﹣2） ．
【分析】需要分类讨论：以AB为边的平行四边形和以AB为对角线的平行四边形．
【解答】解：如图，①当BC为对角线时，易求M1（3，2）；
②当AC为对角线时，CM∥AB，且CM＝AB．所以M2（﹣3，2）；
③当AB为对角线时，AC∥BM，且AC＝BM．则|My|＝OC＝2，|Mx|＝OB+OA＝5，所以M3（5，﹣2）．
综上所述，符合条件的点D的坐标是M1（3，2），M2（﹣3，2），M3（5，﹣2）．
故答案为：（3，2）（﹣3，2）（5，﹣2）．
【题型3 平行四边形的判定与动点】
【例3】（2023春•阳谷县期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD＜BC，BC＝6cm，动点P，Q分别从点D，B同时出发，点P以1cm/s的速度向点A运动，点Q以2cm/s的速度向点C运动，几秒后四边形CDPQ是平行四边形（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】由运动时间为t秒，则AP＝t，QC＝2t，而四边形CDPQ是平行四边形，所以DP＝CQ，则得方程t＝6﹣2t求解．
【解答】解：设t秒后，四边形CDPQ为平行四边形，
则DP＝tcm，QC＝（6﹣2t）cm，
∵AD∥BC所以DP∥CQ，
根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，
知：DP＝CQ即可，
即：t＝6﹣2t，
∴t＝2，
当t＝2时，DP＝CQ＝2（cm），
综上所述，2秒后四边形CDPQ是平行四边形，
故选：B．
【变式3-1】（2023秋•芝罘区期末）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝8cm，BC＝12cm，M是BC上一点，且BM＝9cm，点E从点A出发以1cm/s的速度向点D运动，点F从点C出发，以3cm/s的速度向点B运动，当其中一点到达终点，另一点也随之停止，设运动时间为t（s），则当以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，t的值是（ ）
A．B．3C．3或D．或
【分析】分两种情形由平行四边形的判定列出方程即可解决问题．
【解答】解：①当点F在线段BM上，AE＝FM时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形，
则有t＝9+3t﹣12，解得t，
②当F在线段CM上，AE＝FM时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形，
则有t＝12﹣9﹣3t，解得t，
综上所述，t或时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形．
故选：D．
【变式3-2】（2023春•抚州期末）在平面直角坐标系中，已知点A（4，0），点B（﹣3，2），点C（0，2），点P从点B出发，以2个单位每秒的速度沿射线BC运动，点Q从点A出发，开始以1个单位每秒的速度向原点O运动，到达原点后立刻以原来3倍的速度沿射线OA运动，若P，Q两点同时出发，设运动时间为t秒，则当t＝ 1或3或13 时，以点A，Q，C，P为顶点的四边形为平行四边形．
【分析】利用A、B、C的坐标可得到OA＝4，BC＝3，BC∥x轴，根据平行四边形的判定，当PC＝AQ时，以点A，Q，C，P为顶点的四边形为平行四边形，讨论：若0＜t时，3﹣2t＝t；若t＜4时，2t﹣3＝t；若4＜t时，2t﹣3＝4﹣3（t﹣4）；若t时，2t﹣3＝3（t﹣4）﹣4，然后分别解方程可确定满足条件的t的值．
【解答】解：∵A（4，0），B（﹣3，2），C（0，2），
∴OA＝4，BC＝3，BC∥x轴，
∵PC∥AQ，
∴当PC＝AQ时，以点A，Q，C，P为顶点的四边形为平行四边形，
若0＜t时，BP＝2t，PC＝3﹣2t，AQ＝t，此时3﹣2t＝t，解得t＝1；
若t＜4时，BP＝2t，PC＝2t﹣3，AQ＝t，此时2t﹣3＝t，解得t＝3；
若4＜t时，BP＝2t，PC＝2t﹣3，OQ＝3（t﹣4），AQ＝4﹣3（t﹣4），此时2t﹣3＝4﹣3（t﹣4），解得t（舍去）；
若t时，BP＝2t，PC＝2t﹣3，OQ＝3（t﹣4），AQ＝3（t﹣4）﹣4，此时2t﹣3＝3（t﹣4）﹣4，解得t＝13；
综上所述，当t为1或3或13秒时，以点A，Q，C，P为顶点的四边形为平行四边形．
故答案为1或3或13．
【变式3-3】（2023春•惠来县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝20cm，BD⊥AC于点D，且BD＝16cm．点M从点A出发，沿AC方向匀速运动，速度为4cm/s；同时点P由B点出发，沿BA方向匀速运动，速度为1cm/s，过点P的直线PQ∥AC，交BC于点Q，连接PM，设运动时间为t（s）（0＜t＜5），解答下列问题：
（1）线段AD＝ 12 cm；
（2）求证：PB＝PQ；
（3）当t为何值时，以P、Q、D、M为顶点的四边形是平行四边形？
【分析】（1）由勾股定理求出AD即可；
（2）由等腰三角形的性质和平行线的性质得出∠PBQ＝∠PQB，再由等腰三角形的判定定理即可得出结论；
（3）分两种情况：①当点M在点D的上方时，PQ＝BP＝tcm，AM＝4tcm，AD＝12cm，得出MD＝AD﹣AM＝（12﹣4t）cm，由PQ∥MD，当PQ＝MD时，四边形PQDM是平行四边形，得出方程，解方程即可；
②当点M在点D的下方时，PQ＝BP＝tcm，AM＝4tcm，AD＝12cm，得出MD＝AM﹣AD＝（4t﹣12）cm，由PQ∥MD，当PQ＝MD时，四边形PQDM是平行四边形，得出方程，解方程即可．
【解答】（1）解：在Rt△ABD中，由勾股定理得：AD12（cm），
故答案为：12；
（2）证明：如图1所示：
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C，即∠PBQ＝∠C，
∵PQ∥AC，
∴∠PQB＝∠C，
∴∠PBQ＝∠PQB，
∴PB＝PQ；
（3）解：分两种情况：
①当点M在点D的上方时，如图2所示：
由题意得：PQ＝BP＝tcm，AM＝4tcm，AD＝12cm，
∴MD＝AD﹣AM＝（12﹣4t）cm，
∵PQ∥AC，
∴PQ∥MD，
∴当PQ＝MD时，四边形PQDM是平行四边形，
即当t＝（12﹣4t）cm时，四边形PQDM是平行四边形，
解得：（s）；
②当点M在点D的下方时，如图3所示：
根据题意得：PQ＝BP＝tcm，AM＝4tcm，AD＝12cm，
∴MD＝AM﹣AD＝（4t﹣12）cm，
∵PQ∥AC，
∴PQ∥MD，
∴当PQ＝MD时，四边形PQDM是平行四边形，
即当t＝（4t﹣12）cm时，四边形PQDM是平行四边形，
解得：t＝4（s）；
综上所述，当ts或t＝4s时，以P、Q、D、M为顶点的四边形是平行四边形．
【题型4 平行四边形的判定与证明】
【例4】（2023•郓城县模拟）如图，F、C是线段AD上的两点，AB∥DE，BC∥EF，AF＝DC，连结AE、BD，求证：四边形ABDE是平行四边形．
【分析】由“ASA”可证△ABC≌△DEF，可得AB＝DE，由平行四边形的判定可得结论．
【解答】证明：∵AF＝DC，
∴AF+FC＝DC+FC，
∴AC＝DF，
∵AB∥DE，
∴∠BAC＝∠EDF，
∵BC∥EF，
∴∠ACB＝∠EFD，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（ASA），
∴AB＝DE，
又∵AB∥DE，
∴四边形ABDE是平行四边形．
【变式4-1】（2023春•西安期末）如图，在△AFC中，∠FAC＝45°，FE⊥AC于点E，在EF上取一点B，连接AB、BC，使得AB＝FC，过点A作AD⊥AF，且AD＝BC，连接CD，求证：四边形ABCD是平行四边形．
【分析】证Rt△AEB≌Rt△FEC（HL），得BE＝CE，则∠CBE＝∠BCE＝45°，再证出∠BCE＝∠CAD，得BC∥AD，即可证出四边形ABCD是平行四边形；
【解答】证明：∵FE⊥AC，
∴∠FEA＝∠FEC＝90°，
∵∠FAC＝45°，
∴△AEF是等腰直角三角形，
∴AE＝EF，∠AFE＝∠FAE＝45°，
在Rt△AEB和Rt△FEC中，
，
∴Rt△AEB≌Rt△FEC（HL），
∴BE＝CE，
∴∠CBE＝∠BCE＝45°，
∵AD⊥AF，
∴∠FAD＝90°，
∴∠CAD＝90°﹣45°＝45°，
∴∠BCE＝∠CAD，
∴BC∥AD，
又∵BC＝AD，
∴四边形ABCD是平行四边形．
【变式4-2】如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点O画直线EF分别交AD、BC于点E、F，已知OE＝OF，且AO+AE＝CO+CF，求证：四边形ABCD为平行四边形．
【分析】如图，延长OA到M，使得AM＝AE，延长OC到N，使得CN＝CF．首先证明△EOM≌△FON（SAS），再证明△AEM≌△CFN（ASA），想办法提出AD＝BC，AD∥BC即可．
【解答】解：如图，延长OA到M，使得AM＝AE，延长OC到N，使得CN＝CF．
∵AO+AE＝CO+CF，
∴OA+OM＝OC+CN，
∴OM＝ON，
∵OE＝OF，∠EOM＝∠FON，
∴△EOM≌△FON（SAS），
∴∠M＝∠N，EM＝FN，
∵AE＝AM，CN＝CF，
∴∠M＝∠AEM＝∠N＝∠CFN，
∴△AEM≌△CFN（ASA），
∴AE＝CF，
∵AO+AE＝CO+CF，
∴OA＝OC，∵OE＝OF，
∴△EOA≌△FOC（SSS），
∴∠EAO＝∠FCO，
∴AD∥CB，
∵∠AOD＝COB，OA＝OC，
∴△AOD≌△COB（ASA），
∴AD＝CB，
∴四边形ABCD是平行四边形．
【变式4-3】（2023春•长宁区期末）已知：如图，△ABC和△ADE都是等边三角形，点D在BC边上，EF∥BC交AC于点F，联结BE．
求证：四边形BEFC为平行四边形．
【分析】证△ABE≌△ACD（SAS），得∠EBA＝∠DCA＝60°，再证∠EBC+∠BCA＝180°，则BE∥CF，然后由EF∥BC，即可得出结论．
【解答】证明：∵△ABC和△ADE都是等边三角形，
∴AE＝AD，AB＝AC，∠BCA＝∠EAD＝∠BAC＝∠ABC＝60°，
∴∠EAD﹣∠BAD＝∠BAC﹣∠BAD，
即∠EAB＝∠DAC，
在△ABE和△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD（SAS），
∴∠EBA＝∠DCA＝60°，
∴∠EBC＝∠EBA+∠ABC＝120°，
∴∠EBC+∠BCA＝180°，
∴BE∥CF，
又∵EF∥BC，
∴四边形BEFC为平行四边形．
【题型5 二次证明平行四边形】
【例5】如图，在平行四边形ABCD中，AE＝CF，M、N分别为ED、FB的中点，试说明四边形ENFM为平行四边形．
【分析】ME＝FN，理由为：由四边形ABCD为平行四边形得到对边平行且相等，再由AE＝CF，得到BE＝DF，一组对边平行且相等的四边形为平行四边形得到四边形AECF与四边形BEDF都为平行四边形，利用平行四边形的对边平行得到四边形MEFN为平行四边形．
【解答】证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC，且AB∥CD，AD∥BC，
∵AE＝CF，
∴EB＝DF，
∴四边形AECF和四边形BEDF都为平行四边形，
∴FM∥NE，FN∥ME，
∴四边形ENFM为平行四边形．
【变式5-1】如图，O为四边形ABCD的对角线BD的中点，过点O作一条直线分别与AB、CD交于点M、N，点E、F在直线MN上，且OE＝OF，AE∥CF，AE＝CF．求证：四边形ABCD是平行四边形．
【分析】首先连接BE、DF、ED、BF，根据BO＝DO，EO＝FO可得四边形EBFD是平行四边形，进而得到EB∥DF，EB＝DF，DE＝EF，DE∥BF，再证明△AEB≌△CFD可得AB＝CD，再证明△AED≌△CFB可得AD＝BC，然后根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形得到结论．
【解答】证明：连接BE、DF、ED、BF，
∵BO＝DO，EO＝FO，
∴四边形EBFD是平行四边形，
∴EB∥DF，EB＝DF，DE＝EF，DE∥BF，
∴∠2＝∠1，
∵AE∥CF，
∴∠AEF＝∠CFE，
∴∠AEF+∠1＝∠CFE+∠2，
即∠AEB＝∠CFD，
在△AEB和△CFD中，
，
∴△AEB≌△CFD（SAS），
∴AB＝CD，
∵ED∥BF，
∴∠DEF＝∠BFE，
∴∠AEF﹣∠DEF＝∠CFE﹣∠BFE，
即∠3＝∠4，
在△AED和△CFB中，
，
∴△AED≌△CFB（SAS），
∴AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
【变式5-2】如图，E、F是△ABC的边AB、BC边的中点，在AC上取G、H两点，使AG＝GH＝HC，连接EG、FH并延长交于点D
求证：四边形ABCD是平行四边形．
【分析】连接BD交AC于O，连接BG，BH，首先证得四边形BHDG是平行四边形得到AO＝OC，然后利用对角线互相平分的四边形是平行四边形判定即可．
【解答】证明：连接BD交AC于O，连接BG，BH，
∵E是AB中点，AG＝GH，
∴EG是△ABH的一条中位线，
∴EG∥BH，即GD∥BH，
同理可证BG∥DH，
∴四边形BHDG是平行四边形．
∴BO＝OD，GO＝OH，
又∵AG＝HC，
∴AG+GO＝HC+OH，
即AO＝OC，
又∵BO＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形
【变式5-3】如图，E、F是四边形ABCD的对角线BD上两点，DF＝BE，AE∥CF，AE＝CF．求证：四边形ABCD是平行四边形．
【分析】根据已知条件可以判定四边形AECF是平行四边形，则其对角线互相平分：OA＝OB，OE＝OF；结合已知条件DF＝BE，则OB＝OD．所以由“对角线互相平分是四边形是平行四边形”证得结论．
【解答】证明：如图，连接AF、EC，连接AC交BD于点O．
∵AE∥CF，AE＝CF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴OA＝OB，OE＝OF．
又∵DF＝BE，
∴DF+OF＝BE+OE，即OD＝OB，
∴四边形ABCD是平行四边形．
【题型6 平行四边形的判定与性质综合】
【例6】（2023春•西湖区校级月考）如图，已知△ABC为等边三角形，动点P在△ABC内，以PB，PC为边向外作等边三角形△PBD，△PCE．
（1）若PB＝8，PC＝6，BC＝10，
①求证：四边形PEAD是平行四边形；
②求出四边形PEAD的面积；
（2）随着点P在△ABC所在平面上运动时，当△PBC满足什么条件时，平行四边形PEAD一定存在？（直接写出答案）
【分析】（1）①证明△DBA≌△PBC（SAS），得出AD＝CP，则AD＝EP，同理△BCP≌△ACE（SAS），得出BP＝AE，则DP＝AE，即可得出结论；
②证明△BPC是直角三角形，得出∠BPC＝90°，过点P作PH⊥AD于点H，由直角三角形的性质得出PHDPPB＝4，即可得出四边形PEAD的面积；
（2）当点P在△△ABC内部时，由（1）①得四边形PEAD是平行四边形；
当点P在△△ABC外部，且∠BPC≠60°时，同（1）①得：△DBA≌△PBC（SAS），△BCP≌△ACE（SAS），得出AD＝CP，BP＝AE，得出AD＝EP，DP＝AE，得出四边形PEAD是平行四边形；
当点P在△△ABC外部，且∠BPC＝60°时，证出点P、D、E三点共线，P、E、A、D不能构成四边形；
当点P在直线BC下方时，四边形PEAD不是平行四边形；即可得出答案．
【解答】（1）①证明：∵△ABC、△PBD、△PCE都是等边三角形，
∴AB＝AC＝BC，BD＝BP＝DP，CP＝CE＝EP，∠ABC＝∠DBP＝60°，∠ACB＝∠ECP＝60°，
∴∠BCP＝∠ACE，∠DBA＝∠PBC，
在△DBA和△PBC中，，
∴△DBA≌△PBC（SAS），
∴AD＝CP，
∴AD＝EP，
同理：△BCP≌△ACE（SAS）
∴BP＝AE，
∴DP＝AE，
∴四边形PEAD是平行四边形；
②解：∵PB＝8，PC＝6，BC＝10，
∴BC2＝PB2+PC2，
∴△BPC是直角三角形，
∴∠BPC＝90°，
∵△PBD、△PCE都是等边三角形，
∴∠BPD＝∠CPE＝60°，
∴∠DPE＝360°﹣∠BPD﹣∠CPE﹣∠BPC＝360°﹣60°﹣60°﹣90°＝150°，
过点P作PH⊥AD于点H，如图1所示：
∵四边形PEAD是平行四边形，
∴AD∥PE，
∴∠HPE＝∠PHD＝90°，
∴∠DPH＝60°，
∴PHDPPB＝4，
∴四边形PEAD的面积＝PH•AD＝PH•PC＝4×6＝24；
（2）解：当△PBC满足点P在直线BC的上方，且∠BPC≠60°时，平行四边形PEAD一定存在；理由如下：
当点P在△ABC内部时，
由（1）①得：四边形PEAD是平行四边形；
当点P在△ABC外部，且∠BPC≠60°时，如图2所示：
同（1）①得：△DBA≌△PBC（SAS），△BCP≌△ACE（SAS），
∴AD＝CP，BP＝AE，
∴AD＝EP，DP＝AE，
∴四边形PEAD是平行四边形；
当点P在△ABC外部，且∠BPC＝60°时，如图3所示：
∵△PBD、△PCE都是等边三角形，
∴∠BPD＝∠CPE＝60°，
∵∠BPC＝60°，
∴∠BPD+∠BPC+∠CPE＝180°，
∴点P、D、E三点共线，
∴P、E、A、D不能构成四边形；
当点P在直线BC下方时，如图4所示：
很明显，四边形PEAD不是平行四边形；
综上所述，当△PBC满足点P在直线BC的上方，且∠BPC≠60°时，即点P不在三角形ABC的外接圆上时，平行四边形PEAD一定存在．
【变式6-1】（2023秋•南岗区校级月考）如图，在△AFC中，∠FAC＝45°，FE⊥AC于点E，在EF上取一点B，连接AB、BC，使得AB＝FC，过点A作AD⊥AF，且AD＝BC，连接CD．
（1）如图1，求证：四边形ABCD是平行四边形；
（2）如图2，若AB平分∠FAC，延长FE交CD于点H，请直接写出与∠ABE相等的角．
【分析】（1）证Rt△AEB≌Rt△FEC（HL），得BE＝CE，则∠CBE＝∠BCE＝45°，证出∠BCE＝∠CAD，得BC∥AD，即可证出四边形ABCD是平行四边形；
（2）由平行四边形的性质证出∠CHB＝∠ABE，∠BAE＝∠DCA，证△ABC≌△ABF（AAS），得BC＝BF，AC＝AF，由等腰三角形的性质得∠BCF＝∠BFC，∠FCA＝∠CFA＝45°+∠CFE，进而得出∠BCH＝∠BAD＝∠FCA＝∠CFA＝∠ABE．
【解答】（1）证明：∵FE⊥AC，
∴∠FEA＝∠FEC＝90°，
∵∠FAC＝45°，
∴△AEF是等腰直角三角形，
∴AE＝EF，∠AFE＝∠FAE＝45°，
在Rt△AEB和Rt△FEC中，，
∴Rt△AEB≌Rt△FEC（HL），
∴BE＝CE，
∴∠CBE＝∠BCE＝45°，
∵AD⊥AF，
∴∠FAD＝90°，
∴∠CAD＝90°﹣45°＝45°，
∴∠BCE＝∠CAD，
∴BC∥AD，
又∵BC＝AD，
∴四边形ABCD是平行四边形；
（2）解：与∠ABE相等的角有：∠CHB、∠BCH、∠BAD、∠FCA、∠CFA；理由如下：
由（1）得：Rt△AEB≌Rt△FEC，四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BAE＝∠CFE，∠BCH＝∠BAD，AB∥CD，
∴∠CHB＝∠ABE，∠BAE＝∠DCA，
∵AB平分∠FAC，
∴∠BAC＝∠BAF，
在△ABC和△ABF中，，
∴△ABC≌△ABF（AAS），
∴BC＝BF，AC＝AF，
∴∠BCF＝∠BFC，∠FCA＝∠CFA＝45°+∠CFE，
∵∠ABE＝∠AFE+∠BAF，
∴∠CHB＝∠BCH＝∠BAD＝∠FCA＝∠CFA＝∠ABE．
【变式6-2】（2023春•安国市期末）如图，平面直角坐标系中，四边形ABCD是平行四边形，A（﹣3，0），B（3，0），C（0，4），连接OD，点E是线段OD的中点．
（1）求点E和点D的坐标；
（2）平面内是否存在一点N，使以C、D、E、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由A，B两点坐标，可以得到AB＝6，因为四边形ABCD为平行四边形，所以CD∥AB，且CD＝AB＝6，由此直接得到D点坐标，利用中点坐标公式，得到E点坐标；
（2）N为动点，故需要分三类讨论，即CE，DE，CD均可以为对角线构造平行四边形，画出草图，根据坐标与平移的关系，直接写出N点坐标．
【解答】解：（1）∵A（﹣3，0），B（3，0），
∴AB＝6，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD＝6，
又C（0，4），
∴D的坐标为（﹣6，4），
∵E是OD的中点，
∴E的坐标为（﹣3，2），
即D（﹣6，4），E（﹣3，2）；
（2）存在一点N，使以C、D、E、N为顶点的四边形是平行四边形，
①当CE为平行四边形CDEN的对角线时，如图1，
∴EN∥CD，EN＝CD＝6，
∵CD∥AB，
∴EN∥AB，
又E的坐标为（﹣3，2），EN＝6，
∴N的坐标为（3，2），
②当DE为平行四边形CDNE的对角线时，如图2，
∴EN∥CD∥AB，EN＝CD＝6，
∴N的坐标为（﹣9，2），
③当DC为平行四边形CNDE的对角线时，如图3，
则DE∥CN，DE＝CN，
由坐标与平移关系可得，N（﹣3，6），
∴N点坐标为（3，2），（﹣9，2），（﹣3，6）．
【变式6-3】（2023春•修水县期末）如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，OA＝5cm，E，F为直线BD上的两个动点（点E，F始终在▱ABCD的外面），连接AE，CE，CF，AF．
（1）若DEOD，BFOB，
①求证：四边形AFCE为平行四边形；
②若CA平分∠BCD，∠AEC＝60°，求四边形AFCE的周长．
（2）若DEOD，BFOB，四边形AFCE还是平行四边形吗？请写出结论并说明理由．若DEOD，BFOB呢？请直接写出结论．
【分析】（1）①由平行四边形的性质可知OA＝OC、OB＝OD，结合DEOD，BFOB可得出OE＝OF，根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”即可证出四边形AFCE为平行四边形；
②根据平行四边形的性质结合CA平分∠BCD，即可得出AD＝CD，进而可得出OE是AC的垂直平分线，再根据∠AEC＝60°可得出△ACE是等边三角形，根据OA的长度即可得出AE、CE的长度，套用平行四边形周长公式即可求出四边形AECF的周长；
（2）由DEOD，BFOB可得出OE＝OF，根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”即可证出四边形AFCE为平行四边形，由此可得出原结论成立，同理可得DEOD，BFOB，四边形AFCE还是平行四边形．
【解答】（1）①证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD．
∵DEOD，BFOB，
∴DE＝BF，
∴OE＝OF，
∴四边形AFCE为平行四边形；
②解：在▱ABCD中，AD∥BC，
∴∠DAC＝∠BCA．
∵CA平分∠BCD，
∴∠BCA＝∠DCA，
∴∠DCA＝∠DAC，
∴AD＝CD．
∵OA＝OC，
∴OE⊥AC，
∴OE是AC的垂直平分线，
∴AE＝CE．
∵∠AEC＝60°，
∴△ACE是等边三角形，
∴AE＝CE＝AC＝2OA＝10（cm），
∴C四边形AECF＝2（AE+CE）＝2×（10+10）＝40（cm）；
（2）解：若DEOD，BFOB，四边形AFCE是平行四边形，
理由：∵DEOD，BFOB，OD＝OB，
∴DE＝BF，
∴OB+BF＝OD+DE，
即OF＝OE，
∵OA＝OC，
∴四边形AFCE为平行四边形．
若DEOD，BFOB，则四边形AFCE为平行四边形，
理由：∵DEOD，BFOB，OD＝OB．
∴DE＝BF，
∴OB+BF＝OD+DE，
即OF＝OE，
∵OA＝OC，
∴四边形AFCE为平行四边形．