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    北师大版八年级数学下册 专题6.2 平行四边形的判定-重难点题型(举一反三)(原卷版+解析)
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    初中数学北师大版八年级下册2 平行四边形的判定课后作业题

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    这是一份初中数学北师大版八年级下册2 平行四边形的判定课后作业题,共35页。



    【知识点1 平行四边形的判定】
    两组对边分别平行的四边形是平行四边形.
    两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
    (3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
    (4)两组对角分别相等的四边形是平行四边形.
    (5)对角线互相平分的四边形是平行四边形.
    【题型1 平行四边形的判定条件】
    【例1】(2023春•玄武区期中)如图,四边形ABCD的对角线AC,BD交于点O,则不能判断四边形ABCD是平行四边形的是( )
    A.∠ABC=∠ADC,AD∥BCB.∠ABD=∠BDC,∠BAD=∠DCB
    C.∠ABD=∠BDC,OA=OCD.∠ABC=∠ADC,AB=CD
    【变式1-1】(2023春•驿城区期末)在四边形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,在下列条件中,①AB∥CD,AD∥BC,②AB=CD,AD=BC;③AB∥CD,AD=BC,④OA=OC,OB=OD,⑤AB∥CD,∠BAD=∠BCD,能够判定四边形ABCD是平行四边形的个数有( )
    A.2个B.3个C.4个D.5个
    【变式1-2】(2023春•凤翔县期末)在四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O.给出下列四组条件:①AB∥CD,AD∥BC;②AB=CD,AD=BC;③AO=CO,BO=DO;④AB∥CD,AD=BC.其中一定能判定这个四边形是平行四边形的条件有( )
    A.①②③B.②③④C.①②④D.①③④
    【变式1-3】(2023春•宜兴市月考)四边形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,给出下列四组条件:
    ①AB∥CD,AD∥BC;②AB=CD,AD=BC;③AB∥CD,AD=BC;④AO=CO,BO=DO.
    其中一定能判定这个四边形是平行四边形的条件有( )
    A.4组B.3组C.2组D.1组
    【题型2 平行四边形的判定与坐标】
    【例2】(2023春•江油市期末)如图,△OAB的顶点O、A、B的坐标分别是(0,0)(3,0),(1,1),下列点M中,O、A、B、M为顶点的四边形不是平行四边形的是( )
    A.(1,﹣1)B.(2,﹣1)C.(﹣2,1)D.(4,1)
    【变式2-1】(2023春•石狮市期末)在平面直角坐标系中,已知点A(0,0)、B(2,2)、C(3,0),若以点A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形,则点D的坐标不可能为( )
    A.(﹣1,2)B.(5,2)C.(1,﹣2)D.(2,﹣2)
    【变式2-2】(2023春•彭州市期末)如图,Rt△OAB的两直角边OA、OB分别在x轴和y轴上,A(﹣2,0),B(0,4),将△OAB绕O点顺时针旋转90°得到△OCD,直线AC、BD交于点E.点M为直线BD上的动点,点N为x轴上的点,若以A,C,M,N四点为顶点的四边形是平行四边形,则符合条件的点M的坐标为 .
    【变式2-3】(2023春•开封期末)如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(1,0),点B的坐标为(4,0),点C在y的正半轴上,且OB=2OC,在直角坐标平面内确定点D,使得以点D、A、B、C为顶点的四边形是平行四边形,请写出点D的坐标为 .
    【题型3 平行四边形的判定与动点】
    【例3】(2023春•阳谷县期末)如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,且AD<BC,BC=6cm,动点P,Q分别从点D,B同时出发,点P以1cm/s的速度向点A运动,点Q以2cm/s的速度向点C运动,几秒后四边形CDPQ是平行四边形( )
    A.1B.2C.3D.4
    【变式3-1】(2023秋•芝罘区期末)如图,四边形ABCD中,AD∥BC,AD=8cm,BC=12cm,M是BC上一点,且BM=9cm,点E从点A出发以1cm/s的速度向点D运动,点F从点C出发,以3cm/s的速度向点B运动,当其中一点到达终点,另一点也随之停止,设运动时间为t(s),则当以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形时,t的值是( )
    A.B.3C.3或D.或
    【变式3-2】(2023春•抚州期末)在平面直角坐标系中,已知点A(4,0),点B(﹣3,2),点C(0,2),点P从点B出发,以2个单位每秒的速度沿射线BC运动,点Q从点A出发,开始以1个单位每秒的速度向原点O运动,到达原点后立刻以原来3倍的速度沿射线OA运动,若P,Q两点同时出发,设运动时间为t秒,则当t= 时,以点A,Q,C,P为顶点的四边形为平行四边形.
    【变式3-3】(2023春•惠来县期末)如图,在△ABC中,AB=AC=20cm,BD⊥AC于点D,且BD=16cm.点M从点A出发,沿AC方向匀速运动,速度为4cm/s;同时点P由B点出发,沿BA方向匀速运动,速度为1cm/s,过点P的直线PQ∥AC,交BC于点Q,连接PM,设运动时间为t(s)(0<t<5),解答下列问题:
    (1)线段AD= cm;
    (2)求证:PB=PQ;
    (3)当t为何值时,以P、Q、D、M为顶点的四边形是平行四边形?
    【题型4 平行四边形的判定与证明】
    【例4】(2023•郓城县模拟)如图,F、C是线段AD上的两点,AB∥DE,BC∥EF,AF=DC,连结AE、BD,求证:四边形ABDE是平行四边形.
    【变式4-1】(2023春•西安期末)如图,在△AFC中,∠FAC=45°,FE⊥AC于点E,在EF上取一点B,连接AB、BC,使得AB=FC,过点A作AD⊥AF,且AD=BC,连接CD,求证:四边形ABCD是平行四边形.
    【变式4-2】如图,四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,过点O画直线EF分别交AD、BC于点E、F,已知OE=OF,且AO+AE=CO+CF,求证:四边形ABCD为平行四边形.
    【变式4-3】(2023春•长宁区期末)已知:如图,△ABC和△ADE都是等边三角形,点D在BC边上,EF∥BC交AC于点F,联结BE.
    求证:四边形BEFC为平行四边形.
    【题型5 二次证明平行四边形】
    【例5】如图,在平行四边形ABCD中,AE=CF,M、N分别为ED、FB的中点,试说明四边形ENFM为平行四边形.
    【变式5-1】如图,O为四边形ABCD的对角线BD的中点,过点O作一条直线分别与AB、CD交于点M、N,点E、F在直线MN上,且OE=OF,AE∥CF,AE=CF.求证:四边形ABCD是平行四边形.
    【变式5-2】如图,E、F是△ABC的边AB、BC边的中点,在AC上取G、H两点,使AG=GH=HC,连接EG、FH并延长交于点D
    求证:四边形ABCD是平行四边形.
    【变式5-3】如图,E、F是四边形ABCD的对角线BD上两点,DF=BE,AE∥CF,AE=CF.求证:四边形ABCD是平行四边形.
    【题型6 平行四边形的判定与性质综合】
    【例6】(2023春•西湖区校级月考)如图,已知△ABC为等边三角形,动点P在△ABC内,以PB,PC为边向外作等边三角形△PBD,△PCE.
    (1)若PB=8,PC=6,BC=10,
    ①求证:四边形PEAD是平行四边形;
    ②求出四边形PEAD的面积;
    (2)随着点P在△ABC所在平面上运动时,当△PBC满足什么条件时,平行四边形PEAD一定存在?(直接写出答案)
    【变式6-1】(2023秋•南岗区校级月考)如图,在△AFC中,∠FAC=45°,FE⊥AC于点E,在EF上取一点B,连接AB、BC,使得AB=FC,过点A作AD⊥AF,且AD=BC,连接CD.
    (1)如图1,求证:四边形ABCD是平行四边形;
    (2)如图2,若AB平分∠FAC,延长FE交CD于点H,请直接写出与∠ABE相等的角.
    【变式6-2】(2023春•安国市期末)如图,平面直角坐标系中,四边形ABCD是平行四边形,A(﹣3,0),B(3,0),C(0,4),连接OD,点E是线段OD的中点.
    (1)求点E和点D的坐标;
    (2)平面内是否存在一点N,使以C、D、E、N为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请求出点N的坐标;若不存在,请说明理由.
    【变式6-3】(2023春•修水县期末)如图,在▱ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,OA=5cm,E,F为直线BD上的两个动点(点E,F始终在▱ABCD的外面),连接AE,CE,CF,AF.
    (1)若DEOD,BFOB,
    ①求证:四边形AFCE为平行四边形;
    ②若CA平分∠BCD,∠AEC=60°,求四边形AFCE的周长.
    (2)若DEOD,BFOB,四边形AFCE还是平行四边形吗?请写出结论并说明理由.若DEOD,BFOB呢?请直接写出结论.
    专题6.2 平行四边形的判定-重难点题型
    【北师大版】


    【知识点1 平行四边形的判定】
    两组对边分别平行的四边形是平行四边形.
    两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
    (3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
    (4)两组对角分别相等的四边形是平行四边形.
    (5)对角线互相平分的四边形是平行四边形.
    【题型1 平行四边形的判定条件】
    【例1】(2023春•玄武区期中)如图,四边形ABCD的对角线AC,BD交于点O,则不能判断四边形ABCD是平行四边形的是( )
    A.∠ABC=∠ADC,AD∥BCB.∠ABD=∠BDC,∠BAD=∠DCB
    C.∠ABD=∠BDC,OA=OCD.∠ABC=∠ADC,AB=CD
    【分析】利用所给条件结合平行四边形的判定方法进行分析即可.
    【解答】解:A、∵AD∥BC,
    ∴∠ABC+∠BAD=180°,
    ∵∠ABC=∠ADC,
    ∴∠ADC+∠BAD=180°,
    ∴AB∥CD,
    ∴四边形ABCD是平行四边形,故此选项不合题意;
    B、∵∠ABD=∠BDC,∠BAD=∠DCB,
    ∴∠ADB=∠CBD,
    ∴AD∥CB,
    ∵∠ABD=∠BDC,
    ∴AB∥CD,
    ∴四边形ABCD是平行四边形,故此选项不合题意;
    C、∵∠ABD=∠BDC,OA=OC,
    又∠AOB=∠COD,
    ∴△AOB≌△COD(AAS),
    ∴DO=BO,
    ∴四边形ABCD是平行四边形,故此选项不合题意;
    D、∠ABC=∠ADC,AB=CD不能判断四边形ABCD是平行四边形,故此选项符合题意;
    故选:D.
    【变式1-1】(2023春•驿城区期末)在四边形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,在下列条件中,①AB∥CD,AD∥BC,②AB=CD,AD=BC;③AB∥CD,AD=BC,④OA=OC,OB=OD,⑤AB∥CD,∠BAD=∠BCD,能够判定四边形ABCD是平行四边形的个数有( )
    A.2个B.3个C.4个D.5个
    【分析】根据平行四边形的判定定理分别进行分析即可.
    【解答】解:①AB∥CD,AD∥BC,两组对边分别平行的四边形是平行四边形可判定四边形ABCD为平行四边形;
    ②AB=CD,AD=BC,两组对边分别相等的四边形是平行四边形可判定四边形ABCD为平行四边形;
    ③AB∥CD,AD=BC,不能判定四边形ABCD为平行四边形;
    ④OA=OC,OB=OD,对角线互相平分的四边形是平行四边形可判定四边形ABCD为平行四边形;
    ⑤∵AB∥CD,
    ∴∠BAD+∠ADC=180°,
    ∵∠BAD=∠BCD,
    ∴∠ADC+∠BCD=180°,
    ∴AD∥BC,两组对边分别平行的四边形是平行四边形可判定四边形ABCD为平行四边形;
    故选:C.
    【变式1-2】(2023春•凤翔县期末)在四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O.给出下列四组条件:①AB∥CD,AD∥BC;②AB=CD,AD=BC;③AO=CO,BO=DO;④AB∥CD,AD=BC.其中一定能判定这个四边形是平行四边形的条件有( )
    A.①②③B.②③④C.①②④D.①③④
    【分析】根据平行四边形的5个判断定理:两组对边分别平行的四边形是平行四边形;两组对边分别相等的四边形是平行四边形;一组对边平行且相等的四边形是平行四边形;两组对角分别相等的四边形是平行四边形;对角线互相平分的四边形是平行四边形,即可作出判断.
    【解答】解:①根据平行四边形的判定定理:两组对边分别平行的四边形是平行四边形,可知①能判断这个四边形是平行四边形;
    ②根据平行四边形的判定定理:两组对边分别相等的四边形是平行四边形,可知②能判断这个四边形是平行四边形;
    ③根据平行四边形的判定定理:两条对角线互相平分的四边形是平行四边形,可知③能判断这个四边形是平行四边形;
    ④根据平行四边形的判定定理:一组对边平行且相等的四边形是平行四边形,可知④不能判断这个四边形是平行四边形(例可能是等腰梯形);
    故给出下列四组条件中,①②③能判断这个四边形是平行四边形.
    故选:A.
    【变式1-3】(2023春•宜兴市月考)四边形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,给出下列四组条件:
    ①AB∥CD,AD∥BC;②AB=CD,AD=BC;③AB∥CD,AD=BC;④AO=CO,BO=DO.
    其中一定能判定这个四边形是平行四边形的条件有( )
    A.4组B.3组C.2组D.1组
    【分析】根据平行四边形的5个判断定理:两组对边分别平行的四边形是平行四边形;两组对边分别相等的四边形是平行四边形;一组对边平行且相等的四边形是平行四边形;两组对角分别相等的四边形是平行四边形;对角线互相平分的四边形是平行四边形,即可作出判断.
    【解答】解:①AB∥CD,AD∥BC,能判定这个四边形是平行四边形,故此选项正确;
    ②AB=CD,AD=BC,能判定这个四边形是平行四边形,故此选项正确;
    ③AB∥CD,AD=BC,不能判定这个四边形是平行四边形,故此选项错误;
    ④AO=CO,BO=DO,能判定这个四边形是平行四边形,故此选项正确;
    故选:B.
    【题型2 平行四边形的判定与坐标】
    【例2】(2023春•江油市期末)如图,△OAB的顶点O、A、B的坐标分别是(0,0)(3,0),(1,1),下列点M中,O、A、B、M为顶点的四边形不是平行四边形的是( )
    A.(1,﹣1)B.(2,﹣1)C.(﹣2,1)D.(4,1)
    【分析】分三种情况,①AB为对角线时;②OB为对角线时;③OA为对角线时;分别求出点M的坐标,即可求解.
    【解答】解:分三种情况:
    ①AB为对角线时,
    ∵BM∥OA,点O、A、B的坐标分别是(0,0)(3,0),(1,1),
    ∴M的坐标为(3+1,1),
    即M(4,1);
    ②OB为对角线时,
    ∵BM'∥OA,点O、A、B的坐标分别是(0,0)(3,0),(1,1),
    ∴M'的坐标为(1﹣3,1),
    即M(﹣2,1);
    ③OA为对角线时,点M''与M'关于原点O对称,
    ∴M''的坐标为(2,﹣1),
    即M(4,1);
    综上所述,点M的坐标为(4,1)或(﹣2,1)或(2,﹣1),
    故选:A.
    【变式2-1】(2023春•石狮市期末)在平面直角坐标系中,已知点A(0,0)、B(2,2)、C(3,0),若以点A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形,则点D的坐标不可能为( )
    A.(﹣1,2)B.(5,2)C.(1,﹣2)D.(2,﹣2)
    【分析】分三种情况:①BC为对角线时,②AB为对角线时,③AC为对角线时;由平行四边形的性质容易得出点D的坐标.
    【解答】解:分三种情况:①BC为对角线时,点D的坐标为(5,2)
    ②AB为对角线时,点D的坐标为(﹣1,2),
    ③AC为对角线时,点D的坐标为(1,﹣2),
    综上所述,点D的坐标可能是(5,2)或(﹣1,2)或(1,﹣2).
    故选:D.
    【变式2-2】(2023春•彭州市期末)如图,Rt△OAB的两直角边OA、OB分别在x轴和y轴上,A(﹣2,0),B(0,4),将△OAB绕O点顺时针旋转90°得到△OCD,直线AC、BD交于点E.点M为直线BD上的动点,点N为x轴上的点,若以A,C,M,N四点为顶点的四边形是平行四边形,则符合条件的点M的坐标为 .
    【分析】由A、B的坐标可求得AO和OB的长,由旋转的性质可求得OC、OD的长,从而可求得∠AEB=90°,再由勾股定理可求得CD和AB的长,可求得AB=CD,可证得△ABE≌△DCE,得到OD=OB,由B、D坐标可求得直线BD解析式,当M点在x轴上方时,则有CM∥AN,则可求得M点纵坐标,代入直线BD解析式可求得M点坐标,当M点在x轴下方时,同理可求得M点纵坐标,则可求得M点坐标.
    【解答】解:∵A(﹣2,0),B(0,4),
    ∴OA=2,OB=4,
    ∵将△OAB绕O点顺时针旋转90°得△OCD,
    ∴OC=OA=2,OD=OB=4,AB=CD,
    ∴∠ACO=∠ECB=∠CBE=45°,
    ∴∠CEB=90°,
    ∴∠AEB=∠CED,且CE=BE,
    在Rt△ABE和Rt△DCE中,
    ∴Rt△ABE≌Rt△DCE(HL),
    ∴OD=OB=4,
    ∴D(4,0),且B(0,4),
    ∴直线BD解析式为y=﹣x+4,
    当M点在x轴上方时,则有CM∥AN,即CM∥x轴,
    ∴M点到x轴的距离等于C点到x轴的距离,
    ∴M点的纵坐标为2,
    在y=﹣x+4中,令y=2可得x=2,
    ∴M(2,2);
    当M点在x轴下方时,同理可得M点的纵坐标为﹣2,
    在y=﹣x+4中,令y=﹣2可求得x=6,
    ∴M点的坐标为(6,﹣2);
    综上可知M点的坐标为(2,2)或(6,﹣2),
    故答案为:(2,2)或(6,﹣2).
    【变式2-3】(2023春•开封期末)如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(1,0),点B的坐标为(4,0),点C在y的正半轴上,且OB=2OC,在直角坐标平面内确定点D,使得以点D、A、B、C为顶点的四边形是平行四边形,请写出点D的坐标为 (3,2)(﹣3,2)(5,﹣2) .
    【分析】需要分类讨论:以AB为边的平行四边形和以AB为对角线的平行四边形.
    【解答】解:如图,①当BC为对角线时,易求M1(3,2);
    ②当AC为对角线时,CM∥AB,且CM=AB.所以M2(﹣3,2);
    ③当AB为对角线时,AC∥BM,且AC=BM.则|My|=OC=2,|Mx|=OB+OA=5,所以M3(5,﹣2).
    综上所述,符合条件的点D的坐标是M1(3,2),M2(﹣3,2),M3(5,﹣2).
    故答案为:(3,2)(﹣3,2)(5,﹣2).
    【题型3 平行四边形的判定与动点】
    【例3】(2023春•阳谷县期末)如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,且AD<BC,BC=6cm,动点P,Q分别从点D,B同时出发,点P以1cm/s的速度向点A运动,点Q以2cm/s的速度向点C运动,几秒后四边形CDPQ是平行四边形( )
    A.1B.2C.3D.4
    【分析】由运动时间为t秒,则AP=t,QC=2t,而四边形CDPQ是平行四边形,所以DP=CQ,则得方程t=6﹣2t求解.
    【解答】解:设t秒后,四边形CDPQ为平行四边形,
    则DP=tcm,QC=(6﹣2t)cm,
    ∵AD∥BC所以DP∥CQ,
    根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形,
    知:DP=CQ即可,
    即:t=6﹣2t,
    ∴t=2,
    当t=2时,DP=CQ=2(cm),
    综上所述,2秒后四边形CDPQ是平行四边形,
    故选:B.
    【变式3-1】(2023秋•芝罘区期末)如图,四边形ABCD中,AD∥BC,AD=8cm,BC=12cm,M是BC上一点,且BM=9cm,点E从点A出发以1cm/s的速度向点D运动,点F从点C出发,以3cm/s的速度向点B运动,当其中一点到达终点,另一点也随之停止,设运动时间为t(s),则当以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形时,t的值是( )
    A.B.3C.3或D.或
    【分析】分两种情形由平行四边形的判定列出方程即可解决问题.
    【解答】解:①当点F在线段BM上,AE=FM时,以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形,
    则有t=9+3t﹣12,解得t,
    ②当F在线段CM上,AE=FM时,以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形,
    则有t=12﹣9﹣3t,解得t,
    综上所述,t或时,以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形.
    故选:D.
    【变式3-2】(2023春•抚州期末)在平面直角坐标系中,已知点A(4,0),点B(﹣3,2),点C(0,2),点P从点B出发,以2个单位每秒的速度沿射线BC运动,点Q从点A出发,开始以1个单位每秒的速度向原点O运动,到达原点后立刻以原来3倍的速度沿射线OA运动,若P,Q两点同时出发,设运动时间为t秒,则当t= 1或3或13 时,以点A,Q,C,P为顶点的四边形为平行四边形.
    【分析】利用A、B、C的坐标可得到OA=4,BC=3,BC∥x轴,根据平行四边形的判定,当PC=AQ时,以点A,Q,C,P为顶点的四边形为平行四边形,讨论:若0<t时,3﹣2t=t;若t<4时,2t﹣3=t;若4<t时,2t﹣3=4﹣3(t﹣4);若t时,2t﹣3=3(t﹣4)﹣4,然后分别解方程可确定满足条件的t的值.
    【解答】解:∵A(4,0),B(﹣3,2),C(0,2),
    ∴OA=4,BC=3,BC∥x轴,
    ∵PC∥AQ,
    ∴当PC=AQ时,以点A,Q,C,P为顶点的四边形为平行四边形,
    若0<t时,BP=2t,PC=3﹣2t,AQ=t,此时3﹣2t=t,解得t=1;
    若t<4时,BP=2t,PC=2t﹣3,AQ=t,此时2t﹣3=t,解得t=3;
    若4<t时,BP=2t,PC=2t﹣3,OQ=3(t﹣4),AQ=4﹣3(t﹣4),此时2t﹣3=4﹣3(t﹣4),解得t(舍去);
    若t时,BP=2t,PC=2t﹣3,OQ=3(t﹣4),AQ=3(t﹣4)﹣4,此时2t﹣3=3(t﹣4)﹣4,解得t=13;
    综上所述,当t为1或3或13秒时,以点A,Q,C,P为顶点的四边形为平行四边形.
    故答案为1或3或13.
    【变式3-3】(2023春•惠来县期末)如图,在△ABC中,AB=AC=20cm,BD⊥AC于点D,且BD=16cm.点M从点A出发,沿AC方向匀速运动,速度为4cm/s;同时点P由B点出发,沿BA方向匀速运动,速度为1cm/s,过点P的直线PQ∥AC,交BC于点Q,连接PM,设运动时间为t(s)(0<t<5),解答下列问题:
    (1)线段AD= 12 cm;
    (2)求证:PB=PQ;
    (3)当t为何值时,以P、Q、D、M为顶点的四边形是平行四边形?
    【分析】(1)由勾股定理求出AD即可;
    (2)由等腰三角形的性质和平行线的性质得出∠PBQ=∠PQB,再由等腰三角形的判定定理即可得出结论;
    (3)分两种情况:①当点M在点D的上方时,PQ=BP=tcm,AM=4tcm,AD=12cm,得出MD=AD﹣AM=(12﹣4t)cm,由PQ∥MD,当PQ=MD时,四边形PQDM是平行四边形,得出方程,解方程即可;
    ②当点M在点D的下方时,PQ=BP=tcm,AM=4tcm,AD=12cm,得出MD=AM﹣AD=(4t﹣12)cm,由PQ∥MD,当PQ=MD时,四边形PQDM是平行四边形,得出方程,解方程即可.
    【解答】(1)解:在Rt△ABD中,由勾股定理得:AD12(cm),
    故答案为:12;
    (2)证明:如图1所示:
    ∵AB=AC,
    ∴∠ABC=∠C,即∠PBQ=∠C,
    ∵PQ∥AC,
    ∴∠PQB=∠C,
    ∴∠PBQ=∠PQB,
    ∴PB=PQ;
    (3)解:分两种情况:
    ①当点M在点D的上方时,如图2所示:
    由题意得:PQ=BP=tcm,AM=4tcm,AD=12cm,
    ∴MD=AD﹣AM=(12﹣4t)cm,
    ∵PQ∥AC,
    ∴PQ∥MD,
    ∴当PQ=MD时,四边形PQDM是平行四边形,
    即当t=(12﹣4t)cm时,四边形PQDM是平行四边形,
    解得:(s);
    ②当点M在点D的下方时,如图3所示:
    根据题意得:PQ=BP=tcm,AM=4tcm,AD=12cm,
    ∴MD=AM﹣AD=(4t﹣12)cm,
    ∵PQ∥AC,
    ∴PQ∥MD,
    ∴当PQ=MD时,四边形PQDM是平行四边形,
    即当t=(4t﹣12)cm时,四边形PQDM是平行四边形,
    解得:t=4(s);
    综上所述,当ts或t=4s时,以P、Q、D、M为顶点的四边形是平行四边形.
    【题型4 平行四边形的判定与证明】
    【例4】(2023•郓城县模拟)如图,F、C是线段AD上的两点,AB∥DE,BC∥EF,AF=DC,连结AE、BD,求证:四边形ABDE是平行四边形.
    【分析】由“ASA”可证△ABC≌△DEF,可得AB=DE,由平行四边形的判定可得结论.
    【解答】证明:∵AF=DC,
    ∴AF+FC=DC+FC,
    ∴AC=DF,
    ∵AB∥DE,
    ∴∠BAC=∠EDF,
    ∵BC∥EF,
    ∴∠ACB=∠EFD,
    在△ABC和△DEF中,

    ∴△ABC≌△DEF(ASA),
    ∴AB=DE,
    又∵AB∥DE,
    ∴四边形ABDE是平行四边形.
    【变式4-1】(2023春•西安期末)如图,在△AFC中,∠FAC=45°,FE⊥AC于点E,在EF上取一点B,连接AB、BC,使得AB=FC,过点A作AD⊥AF,且AD=BC,连接CD,求证:四边形ABCD是平行四边形.
    【分析】证Rt△AEB≌Rt△FEC(HL),得BE=CE,则∠CBE=∠BCE=45°,再证出∠BCE=∠CAD,得BC∥AD,即可证出四边形ABCD是平行四边形;
    【解答】证明:∵FE⊥AC,
    ∴∠FEA=∠FEC=90°,
    ∵∠FAC=45°,
    ∴△AEF是等腰直角三角形,
    ∴AE=EF,∠AFE=∠FAE=45°,
    在Rt△AEB和Rt△FEC中,

    ∴Rt△AEB≌Rt△FEC(HL),
    ∴BE=CE,
    ∴∠CBE=∠BCE=45°,
    ∵AD⊥AF,
    ∴∠FAD=90°,
    ∴∠CAD=90°﹣45°=45°,
    ∴∠BCE=∠CAD,
    ∴BC∥AD,
    又∵BC=AD,
    ∴四边形ABCD是平行四边形.
    【变式4-2】如图,四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,过点O画直线EF分别交AD、BC于点E、F,已知OE=OF,且AO+AE=CO+CF,求证:四边形ABCD为平行四边形.
    【分析】如图,延长OA到M,使得AM=AE,延长OC到N,使得CN=CF.首先证明△EOM≌△FON(SAS),再证明△AEM≌△CFN(ASA),想办法提出AD=BC,AD∥BC即可.
    【解答】解:如图,延长OA到M,使得AM=AE,延长OC到N,使得CN=CF.
    ∵AO+AE=CO+CF,
    ∴OA+OM=OC+CN,
    ∴OM=ON,
    ∵OE=OF,∠EOM=∠FON,
    ∴△EOM≌△FON(SAS),
    ∴∠M=∠N,EM=FN,
    ∵AE=AM,CN=CF,
    ∴∠M=∠AEM=∠N=∠CFN,
    ∴△AEM≌△CFN(ASA),
    ∴AE=CF,
    ∵AO+AE=CO+CF,
    ∴OA=OC,∵OE=OF,
    ∴△EOA≌△FOC(SSS),
    ∴∠EAO=∠FCO,
    ∴AD∥CB,
    ∵∠AOD=COB,OA=OC,
    ∴△AOD≌△COB(ASA),
    ∴AD=CB,
    ∴四边形ABCD是平行四边形.
    【变式4-3】(2023春•长宁区期末)已知:如图,△ABC和△ADE都是等边三角形,点D在BC边上,EF∥BC交AC于点F,联结BE.
    求证:四边形BEFC为平行四边形.
    【分析】证△ABE≌△ACD(SAS),得∠EBA=∠DCA=60°,再证∠EBC+∠BCA=180°,则BE∥CF,然后由EF∥BC,即可得出结论.
    【解答】证明:∵△ABC和△ADE都是等边三角形,
    ∴AE=AD,AB=AC,∠BCA=∠EAD=∠BAC=∠ABC=60°,
    ∴∠EAD﹣∠BAD=∠BAC﹣∠BAD,
    即∠EAB=∠DAC,
    在△ABE和△ACD中,

    ∴△ABE≌△ACD(SAS),
    ∴∠EBA=∠DCA=60°,
    ∴∠EBC=∠EBA+∠ABC=120°,
    ∴∠EBC+∠BCA=180°,
    ∴BE∥CF,
    又∵EF∥BC,
    ∴四边形BEFC为平行四边形.
    【题型5 二次证明平行四边形】
    【例5】如图,在平行四边形ABCD中,AE=CF,M、N分别为ED、FB的中点,试说明四边形ENFM为平行四边形.
    【分析】ME=FN,理由为:由四边形ABCD为平行四边形得到对边平行且相等,再由AE=CF,得到BE=DF,一组对边平行且相等的四边形为平行四边形得到四边形AECF与四边形BEDF都为平行四边形,利用平行四边形的对边平行得到四边形MEFN为平行四边形.
    【解答】证明:∵四边形ABCD为平行四边形,
    ∴AB=CD,AD=BC,且AB∥CD,AD∥BC,
    ∵AE=CF,
    ∴EB=DF,
    ∴四边形AECF和四边形BEDF都为平行四边形,
    ∴FM∥NE,FN∥ME,
    ∴四边形ENFM为平行四边形.
    【变式5-1】如图,O为四边形ABCD的对角线BD的中点,过点O作一条直线分别与AB、CD交于点M、N,点E、F在直线MN上,且OE=OF,AE∥CF,AE=CF.求证:四边形ABCD是平行四边形.
    【分析】首先连接BE、DF、ED、BF,根据BO=DO,EO=FO可得四边形EBFD是平行四边形,进而得到EB∥DF,EB=DF,DE=EF,DE∥BF,再证明△AEB≌△CFD可得AB=CD,再证明△AED≌△CFB可得AD=BC,然后根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形得到结论.
    【解答】证明:连接BE、DF、ED、BF,
    ∵BO=DO,EO=FO,
    ∴四边形EBFD是平行四边形,
    ∴EB∥DF,EB=DF,DE=EF,DE∥BF,
    ∴∠2=∠1,
    ∵AE∥CF,
    ∴∠AEF=∠CFE,
    ∴∠AEF+∠1=∠CFE+∠2,
    即∠AEB=∠CFD,
    在△AEB和△CFD中,

    ∴△AEB≌△CFD(SAS),
    ∴AB=CD,
    ∵ED∥BF,
    ∴∠DEF=∠BFE,
    ∴∠AEF﹣∠DEF=∠CFE﹣∠BFE,
    即∠3=∠4,
    在△AED和△CFB中,

    ∴△AED≌△CFB(SAS),
    ∴AD=BC,
    ∴四边形ABCD是平行四边形.
    【变式5-2】如图,E、F是△ABC的边AB、BC边的中点,在AC上取G、H两点,使AG=GH=HC,连接EG、FH并延长交于点D
    求证:四边形ABCD是平行四边形.
    【分析】连接BD交AC于O,连接BG,BH,首先证得四边形BHDG是平行四边形得到AO=OC,然后利用对角线互相平分的四边形是平行四边形判定即可.
    【解答】证明:连接BD交AC于O,连接BG,BH,
    ∵E是AB中点,AG=GH,
    ∴EG是△ABH的一条中位线,
    ∴EG∥BH,即GD∥BH,
    同理可证BG∥DH,
    ∴四边形BHDG是平行四边形.
    ∴BO=OD,GO=OH,
    又∵AG=HC,
    ∴AG+GO=HC+OH,
    即AO=OC,
    又∵BO=OD,
    ∴四边形ABCD是平行四边形
    【变式5-3】如图,E、F是四边形ABCD的对角线BD上两点,DF=BE,AE∥CF,AE=CF.求证:四边形ABCD是平行四边形.
    【分析】根据已知条件可以判定四边形AECF是平行四边形,则其对角线互相平分:OA=OB,OE=OF;结合已知条件DF=BE,则OB=OD.所以由“对角线互相平分是四边形是平行四边形”证得结论.
    【解答】证明:如图,连接AF、EC,连接AC交BD于点O.
    ∵AE∥CF,AE=CF,
    ∴四边形AECF是平行四边形,
    ∴OA=OB,OE=OF.
    又∵DF=BE,
    ∴DF+OF=BE+OE,即OD=OB,
    ∴四边形ABCD是平行四边形.
    【题型6 平行四边形的判定与性质综合】
    【例6】(2023春•西湖区校级月考)如图,已知△ABC为等边三角形,动点P在△ABC内,以PB,PC为边向外作等边三角形△PBD,△PCE.
    (1)若PB=8,PC=6,BC=10,
    ①求证:四边形PEAD是平行四边形;
    ②求出四边形PEAD的面积;
    (2)随着点P在△ABC所在平面上运动时,当△PBC满足什么条件时,平行四边形PEAD一定存在?(直接写出答案)
    【分析】(1)①证明△DBA≌△PBC(SAS),得出AD=CP,则AD=EP,同理△BCP≌△ACE(SAS),得出BP=AE,则DP=AE,即可得出结论;
    ②证明△BPC是直角三角形,得出∠BPC=90°,过点P作PH⊥AD于点H,由直角三角形的性质得出PHDPPB=4,即可得出四边形PEAD的面积;
    (2)当点P在△△ABC内部时,由(1)①得四边形PEAD是平行四边形;
    当点P在△△ABC外部,且∠BPC≠60°时,同(1)①得:△DBA≌△PBC(SAS),△BCP≌△ACE(SAS),得出AD=CP,BP=AE,得出AD=EP,DP=AE,得出四边形PEAD是平行四边形;
    当点P在△△ABC外部,且∠BPC=60°时,证出点P、D、E三点共线,P、E、A、D不能构成四边形;
    当点P在直线BC下方时,四边形PEAD不是平行四边形;即可得出答案.
    【解答】(1)①证明:∵△ABC、△PBD、△PCE都是等边三角形,
    ∴AB=AC=BC,BD=BP=DP,CP=CE=EP,∠ABC=∠DBP=60°,∠ACB=∠ECP=60°,
    ∴∠BCP=∠ACE,∠DBA=∠PBC,
    在△DBA和△PBC中,,
    ∴△DBA≌△PBC(SAS),
    ∴AD=CP,
    ∴AD=EP,
    同理:△BCP≌△ACE(SAS)
    ∴BP=AE,
    ∴DP=AE,
    ∴四边形PEAD是平行四边形;
    ②解:∵PB=8,PC=6,BC=10,
    ∴BC2=PB2+PC2,
    ∴△BPC是直角三角形,
    ∴∠BPC=90°,
    ∵△PBD、△PCE都是等边三角形,
    ∴∠BPD=∠CPE=60°,
    ∴∠DPE=360°﹣∠BPD﹣∠CPE﹣∠BPC=360°﹣60°﹣60°﹣90°=150°,
    过点P作PH⊥AD于点H,如图1所示:
    ∵四边形PEAD是平行四边形,
    ∴AD∥PE,
    ∴∠HPE=∠PHD=90°,
    ∴∠DPH=60°,
    ∴PHDPPB=4,
    ∴四边形PEAD的面积=PH•AD=PH•PC=4×6=24;
    (2)解:当△PBC满足点P在直线BC的上方,且∠BPC≠60°时,平行四边形PEAD一定存在;理由如下:
    当点P在△ABC内部时,
    由(1)①得:四边形PEAD是平行四边形;
    当点P在△ABC外部,且∠BPC≠60°时,如图2所示:
    同(1)①得:△DBA≌△PBC(SAS),△BCP≌△ACE(SAS),
    ∴AD=CP,BP=AE,
    ∴AD=EP,DP=AE,
    ∴四边形PEAD是平行四边形;
    当点P在△ABC外部,且∠BPC=60°时,如图3所示:
    ∵△PBD、△PCE都是等边三角形,
    ∴∠BPD=∠CPE=60°,
    ∵∠BPC=60°,
    ∴∠BPD+∠BPC+∠CPE=180°,
    ∴点P、D、E三点共线,
    ∴P、E、A、D不能构成四边形;
    当点P在直线BC下方时,如图4所示:
    很明显,四边形PEAD不是平行四边形;
    综上所述,当△PBC满足点P在直线BC的上方,且∠BPC≠60°时,即点P不在三角形ABC的外接圆上时,平行四边形PEAD一定存在.
    【变式6-1】(2023秋•南岗区校级月考)如图,在△AFC中,∠FAC=45°,FE⊥AC于点E,在EF上取一点B,连接AB、BC,使得AB=FC,过点A作AD⊥AF,且AD=BC,连接CD.
    (1)如图1,求证:四边形ABCD是平行四边形;
    (2)如图2,若AB平分∠FAC,延长FE交CD于点H,请直接写出与∠ABE相等的角.
    【分析】(1)证Rt△AEB≌Rt△FEC(HL),得BE=CE,则∠CBE=∠BCE=45°,证出∠BCE=∠CAD,得BC∥AD,即可证出四边形ABCD是平行四边形;
    (2)由平行四边形的性质证出∠CHB=∠ABE,∠BAE=∠DCA,证△ABC≌△ABF(AAS),得BC=BF,AC=AF,由等腰三角形的性质得∠BCF=∠BFC,∠FCA=∠CFA=45°+∠CFE,进而得出∠BCH=∠BAD=∠FCA=∠CFA=∠ABE.
    【解答】(1)证明:∵FE⊥AC,
    ∴∠FEA=∠FEC=90°,
    ∵∠FAC=45°,
    ∴△AEF是等腰直角三角形,
    ∴AE=EF,∠AFE=∠FAE=45°,
    在Rt△AEB和Rt△FEC中,,
    ∴Rt△AEB≌Rt△FEC(HL),
    ∴BE=CE,
    ∴∠CBE=∠BCE=45°,
    ∵AD⊥AF,
    ∴∠FAD=90°,
    ∴∠CAD=90°﹣45°=45°,
    ∴∠BCE=∠CAD,
    ∴BC∥AD,
    又∵BC=AD,
    ∴四边形ABCD是平行四边形;
    (2)解:与∠ABE相等的角有:∠CHB、∠BCH、∠BAD、∠FCA、∠CFA;理由如下:
    由(1)得:Rt△AEB≌Rt△FEC,四边形ABCD是平行四边形,
    ∴∠BAE=∠CFE,∠BCH=∠BAD,AB∥CD,
    ∴∠CHB=∠ABE,∠BAE=∠DCA,
    ∵AB平分∠FAC,
    ∴∠BAC=∠BAF,
    在△ABC和△ABF中,,
    ∴△ABC≌△ABF(AAS),
    ∴BC=BF,AC=AF,
    ∴∠BCF=∠BFC,∠FCA=∠CFA=45°+∠CFE,
    ∵∠ABE=∠AFE+∠BAF,
    ∴∠CHB=∠BCH=∠BAD=∠FCA=∠CFA=∠ABE.
    【变式6-2】(2023春•安国市期末)如图,平面直角坐标系中,四边形ABCD是平行四边形,A(﹣3,0),B(3,0),C(0,4),连接OD,点E是线段OD的中点.
    (1)求点E和点D的坐标;
    (2)平面内是否存在一点N,使以C、D、E、N为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请求出点N的坐标;若不存在,请说明理由.
    【分析】(1)由A,B两点坐标,可以得到AB=6,因为四边形ABCD为平行四边形,所以CD∥AB,且CD=AB=6,由此直接得到D点坐标,利用中点坐标公式,得到E点坐标;
    (2)N为动点,故需要分三类讨论,即CE,DE,CD均可以为对角线构造平行四边形,画出草图,根据坐标与平移的关系,直接写出N点坐标.
    【解答】解:(1)∵A(﹣3,0),B(3,0),
    ∴AB=6,
    ∵四边形ABCD为平行四边形,
    ∴AB∥CD,AB=CD=6,
    又C(0,4),
    ∴D的坐标为(﹣6,4),
    ∵E是OD的中点,
    ∴E的坐标为(﹣3,2),
    即D(﹣6,4),E(﹣3,2);
    (2)存在一点N,使以C、D、E、N为顶点的四边形是平行四边形,
    ①当CE为平行四边形CDEN的对角线时,如图1,
    ∴EN∥CD,EN=CD=6,
    ∵CD∥AB,
    ∴EN∥AB,
    又E的坐标为(﹣3,2),EN=6,
    ∴N的坐标为(3,2),
    ②当DE为平行四边形CDNE的对角线时,如图2,
    ∴EN∥CD∥AB,EN=CD=6,
    ∴N的坐标为(﹣9,2),
    ③当DC为平行四边形CNDE的对角线时,如图3,
    则DE∥CN,DE=CN,
    由坐标与平移关系可得,N(﹣3,6),
    ∴N点坐标为(3,2),(﹣9,2),(﹣3,6).
    【变式6-3】(2023春•修水县期末)如图,在▱ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,OA=5cm,E,F为直线BD上的两个动点(点E,F始终在▱ABCD的外面),连接AE,CE,CF,AF.
    (1)若DEOD,BFOB,
    ①求证:四边形AFCE为平行四边形;
    ②若CA平分∠BCD,∠AEC=60°,求四边形AFCE的周长.
    (2)若DEOD,BFOB,四边形AFCE还是平行四边形吗?请写出结论并说明理由.若DEOD,BFOB呢?请直接写出结论.
    【分析】(1)①由平行四边形的性质可知OA=OC、OB=OD,结合DEOD,BFOB可得出OE=OF,根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”即可证出四边形AFCE为平行四边形;
    ②根据平行四边形的性质结合CA平分∠BCD,即可得出AD=CD,进而可得出OE是AC的垂直平分线,再根据∠AEC=60°可得出△ACE是等边三角形,根据OA的长度即可得出AE、CE的长度,套用平行四边形周长公式即可求出四边形AECF的周长;
    (2)由DEOD,BFOB可得出OE=OF,根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”即可证出四边形AFCE为平行四边形,由此可得出原结论成立,同理可得DEOD,BFOB,四边形AFCE还是平行四边形.
    【解答】(1)①证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
    ∴OA=OC,OB=OD.
    ∵DEOD,BFOB,
    ∴DE=BF,
    ∴OE=OF,
    ∴四边形AFCE为平行四边形;
    ②解:在▱ABCD中,AD∥BC,
    ∴∠DAC=∠BCA.
    ∵CA平分∠BCD,
    ∴∠BCA=∠DCA,
    ∴∠DCA=∠DAC,
    ∴AD=CD.
    ∵OA=OC,
    ∴OE⊥AC,
    ∴OE是AC的垂直平分线,
    ∴AE=CE.
    ∵∠AEC=60°,
    ∴△ACE是等边三角形,
    ∴AE=CE=AC=2OA=10(cm),
    ∴C四边形AECF=2(AE+CE)=2×(10+10)=40(cm);
    (2)解:若DEOD,BFOB,四边形AFCE是平行四边形,
    理由:∵DEOD,BFOB,OD=OB,
    ∴DE=BF,
    ∴OB+BF=OD+DE,
    即OF=OE,
    ∵OA=OC,
    ∴四边形AFCE为平行四边形.
    若DEOD,BFOB,则四边形AFCE为平行四边形,
    理由:∵DEOD,BFOB,OD=OB.
    ∴DE=BF,
    ∴OB+BF=OD+DE,
    即OF=OE,
    ∵OA=OC,
    ∴四边形AFCE为平行四边形.
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