初中数学北师大版八年级下册4 分式方程教学设计

这是一份初中数学北师大版八年级下册4 分式方程教学设计，共17页。教案主要包含了教学建议，知识导图等内容，欢迎下载使用。










第14讲


讲














分式方程


























概述





【教学建议】


本节的教学重点是使学生能熟练掌握分式方程的计算以及分式方程的应用。分式方程的计算重点在于分式化整式，分式方程有解无解的问题。教师在授课过程中注意学生对分式方程的验根。





学生学习本节时可能会在以下几个方面感到困难：


1. 分式方程有解无解的判定。


2. 分式方程的应用。





【知识导图】














教学过程








一、导入





【教学建议】


有关分式方程的问题，学生在计算和应用上容易出错，教师在授课过程中注意计算步骤以及验根的过程，应用上体现未知数做分母的思想。








二、知识讲解








知识点1 分式方程的概念及计算








1、定义：分式方程：分母中含有未知数得方程。


分式方程重要特征：


（1）含分母


（2）分母中含未知数


分式方程与整式方程的区别：分式方程中分母含有未知数，而整式方程中的分母不含有未知数。


2、解分式方程分式方程：注意事项：学生在解方程过程中易犯的错误：1、解方程时忘记检验；2、去分母时忘记加括号；3、去分母时漏乘不含分母的项.





知识点2 分式方程的应用





让学生类比列一元一次方程解应用题的一般步骤总结出列分式方程解应用题的一般步骤.强调两次验根的重要性.


“审---设---列---解---验---答”的步骤解决问题.





三、例题精析








例题1





【题干】下面是分式方程的是（ ）





【答案】D


【解析】根据分式方程的定义解题








例题2





【题干】小明乘出租车去体育场，有两条路线可供选择：路线一的全程是25千米 ，但交通比较拥堵，路线二的全程是30千米，平均车速比走路线一时的平均车速能提高80%，因此能比走路线一少用10分钟到达．若设走路线一时的平均速度为x千米/小时，根据题意得：（ ）


A． B．


C． D．





【答案】A．


【解析】若设走路线一时的平均速度为x千米/小时，根据路线一的全程是25千米，但交通比较拥堵，路线二的全程是30千米，平均车速比走路线一时的平均车速能提高80%，因此能比走路线一少用10分钟到达可列出方程．


．故选A．








例题3





【题干】解分式方程时，去分母后变形正确的为（ ）


A．2+（x+2）=3（x-1） B．2-x+2=3（x-1）


C．2-（x+2）=3 D．2-（x+2）=3（x-1）








【答案】D


【解析】根据分式方程的特点， 原方程化为： ，去分母时，两边同乘以x－1，得： ．故选D








例题4





【题干】已知关于x的分式方程的解是非负数，则m的取值范围是（ ）


A.m＞2 B.m≥2 C.m≥2且m≠3 D.m＞2且m≠3


【答案】C.


【解析】分式方程去分母得：m-3=x-1，


解得：x=m-2，


由方程的解为非负数，得到m-2≥0，且m-2≠1，


解得：m≥2且m≠3．故选C.





例题5





【题干】若分式方程有增根，则a的值是（ ）


A．1 B．0 C．—1 D．3


【答案】D．


【解析】去分母得：1+3x﹣6=a﹣x，由题意得：x﹣2=0，即x=2，代入整式方程得：1+6﹣6=a﹣2，解得：a=3．故选D．











四 、课堂运用








基础





1. 下列关于x的方程①，②，③1，④中，是分式方程的是 （ ）（填序号）





【答案】 ②


【解析】根据分式方程的定义即可判断.


符合分式方程的定义的是②





2.下面说法中,正确的是（ ）





A. 分式方程一定有解


B. 分式方程就是含有分母的方程


C. 分式方程中，分母中一定含有未知数


D. 把分式方程化为整式方程，则这个整式方程的解就是这个分式方程的解


【答案】C


【解析】A. 分式方程不一定有解，故本选项错误；


B. 根据方程必须具备两个条件：①含有未知数；②是等式，故本选项错误；


C. 分式方程中，分母中一定含有未知数，故本选项正确；


D. 把分式方程化为整式方程，这个整式方程的解不一定是这个分式方程的解，故本选项错误；故选C.





3.某电子元件厂准备生产4600 个电子元件，甲车间独立生产一半后，由于要尽快投入市场，乙车间也加入了该电子元件的生产，若乙车间每天生产的电子元件个数是甲车间的1．3倍，结果用33天完成任务，问甲车间每天生产电子元件多少个？在这个问题中设甲车间每天生产电子元件x个，根据题意可得方程为（ ）


A． B．


C． D．





【答案】B


【解析】根据题意可知甲车间每天生产电子元件x个，则乙每天生产电子元件1．3x个，由此可知甲单独生产的天数为天，甲乙两车间合作生产的时间为天，根据一共用的得时间可列方程为+=33．故选B











巩固





1.某园林队计划由6名工人对200平方米的区域进行绿化，由于施工时增加了2名工人，结果比计划提前3小时完成任务，若每人每小时绿化面积相同，求每人每小时的绿化面积．设每人每小时的绿化面积为x平方米，列出满足题意的方程是（ ）


A． B．


C． D．





【答案】A


【解析】设每人每小时的绿化面积为x平方米，


由题意得，．故选A．


2.用换元法解分式方程时，如果设，将原方程化为关于的整式方程，那么这个整式方程是（ ）


A．B．C．D．


【答案】A


【解析】分式方程


变形为，，如果设，将原方程化为关于的整式方程为


3.已知关于x的分式方程的解是非正数，则a的取值范围是（ ）


A．a≤﹣1 B．a≤﹣1且a≠﹣2 C．a≤1且a≠﹣2 D．a≤1





【答案】B


【解析】分式方程去分母得：a+2=x+1，解得：x=a+1，


∵分式方程的解为非正数，∴a+1≤0，解得：a≤﹣1。


又当x=﹣1时，分式方程无意义，∴把x=﹣1代入x=a+1得。


∴要使分式方程有意义，必须a≠﹣2。


∴a的取值范围是a≤﹣1且a≠﹣2。 故选B。





4.新定义[a，b]为一次函数（其中a≠0，且a，b为实数）的“关联数”，若“关联数”[3，m+2]所对应的一次函数是正比例函数，则关于x的方程的解为 ．


【答案】.


【解析】根据“关联数”[3，m+2]所对应的一次函数是正比例函数，


得到y=3x+m+2为正比例函数，即m+2=0，


解得：m=-2，


则分式方程为，


去分母得：2-（x-1）=2（x-1），


去括号得：2-x+1=2x-2，


解得：x=，


经检验x=是分式方程的解











拔高





1.若关于x的分式方程有非负数解，则a的取值范围是 ．





【答案】且


【解析】解方程得：


有题意可得：，则且





2.若关于x的方程=+1无解，则a的值为（ ）


A．1 B．2 C．1或2 D．0或2





【答案】C


【解析】根据分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程无解，或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于0．因此把方程去分母得：ax=4+x﹣2，解得（a﹣1）x=2，因此可以分情况知：


当a﹣1=0即a=1时，整式方程无解，分式方程无解；


当a≠1时，x= x=2时分母为0，方程无解，即=2，因此a=2时方程无解．故选C．


3.某县为了落实中央的“强基惠民工程”，计划将某村的居民自来水管道进行改造．该工程若由甲队单独施工恰好在规定时间内完成；若乙队单独施工，则完成工程所需天数是规定天数的1.5倍．如果由甲、乙队先合做15天，那么余下的工程由甲队单独完成还需5天．


（1）这项工程的规定时间是多少天？


（2）已知甲队每天的施工费用为6500元，乙队每天的施工费用为3500元．为了缩短工期以减少对居民用水的影响，工程指挥部最终决定该工程由甲、乙队合做来完成．则该工程施工费用是多少？


【答案】（1）30天；（2）180000元


【解析】解：（1）设这项工程的规定时间是x天，


根据题意得：（+）×15+=1．


解得：x=30．


经检验x=30是原分式方程的解．


答：这项工程的规定时间是30天．


（2）该工程由甲、乙队合做完成，所需时间为：1÷（+）=18（天），


则该工程施工费用是：18×（6500+3500）=180000（元）．


答：该工程的费用为180000元．











课堂小结





解分式方程的步骤：1.去分母（找准最简公分母），将分式方程化为整式方程；2.解整式方程；3.验根


列分式方程解决实际问题：审---设---列---解---验---答


强调未知数做分母的思想。











扩展延伸








基础





1.下列方程中不是分式方程的是（ ）








【答案】C


【解析】根据分式方程的定义依次分析各项即可判断。A、B、D是分式方程，C是整式方程，故选C.








2. A．B两地相距48千米，一艘轮船从A地顺流航行至B地，又立即从B地逆流返回A地，共用去9小时，已知水流速度为4千米/时，若设该轮船在静水中的速度为x千米/时，则可列方程（ ）


A． B．


C． D．





【答案】A．


【解析】设该轮船在静水中的速度为x千米/时，由题意得：，故选A．


3.把分式方程=1化为一元一次方程________．








【答案】


【解析】方程两边乘以最简公分母，即可得到结果。


方程两边乘以最简公分母，得








巩固





1.某市为治理污水，需要铺设一段全长为300m的污水排放管道。铺设120m后，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，后来每天的工效比原计划增加20%，结果共用30天完成这一任务、求原计划每天铺设管道的长度，如果设原计划每天铺设xm管道，那么根据题意，可得方程______.


【答案】=30.或=30


【解析】因为原计划每天铺设x(m)管道，所以后来的工作效率为(1+20%)x(m)，


根据题意，得


=30. 或=30


故答案为：=30. 或=30


2.下面是解分式方程的过程，阅读完后请填空．


解方程：．


解：方程两边都乘以，得


960 - 600=90，


解这个方程，得．


经检验，是原方程的根．


第一步计算中的是： ；这个步骤用到的依据是 ；


解方式方程与解一元一次方程之间的联系是： ．





【答案】 是分母x和2x的最简公分母；等式的基本性质；解分式方程就是利用等式的基本性质把分式方程转化为一元一次方程求解．


【解析】解：第一步计算中的是：分母x和2x的最简公分母；这个步骤用到的依据是等式的基本性质；解方式方程与解一元一次方程之间的联系是：解分式方程就是利用等式的基本性质把分式方程转化为一元一次方程求解．


3.分式方程 有增根，则增根可能是（ ）．


A．0 B．2 C．0或2 D．1








【答案】C


【解析】方程两边通乘以x（x-2）得x=2（x-2）+m，解得x=4-m，由于有增根，所以4-m=0或4-m=2．故选C








拔高





1.若关于的分式方程无解，则 ．


【答案】1或-2


【解析】解：方程两边都乘x（x-1）得，x（x-a）-3（x-1）=x（x-1），


整理得，（a+2）x=3，


当整式方程无解时，a+2=0即a=-2，


当分式方程无解时：①x=0时，a无解，


②x=1时，a=1，


所以a=1或-2时，原方程无解．


2.某家电销售商城电冰箱的销售价为每台2100元，空调的销售价为每台1750元，每台电冰箱的进价比每台空调的进价多400元，商城用80000元购进电冰箱的数量与用64000元购进空调的数量相等。


(1)求每台电冰箱与空调的进价分别是多少?


(2)现在商城准备一次购进这两种家电共100台，设购进电冰箱x台，这100台家电的销售总利润为y元，要求购进空调数量不超过电冰箱数量的2倍，总利润不低于13000元，请分析合理的方案共有多少种?并确定获利最大的方案以及最大利润；


(3)实际进货时,厂家对电冰箱出厂价下调k(0







【答案】见解析


【解析】解：（1）设每台空调的进价为x元，则每台电冰箱的进价为（x+400）元，


根据题意得：，


解得：x=1600，


经检验，x=1600是原方程的解，


x+400=1600+400=2000，


答：每台空调的进价为1600元，则每台电冰箱的进价为2000元．


（2）设购进电冰箱x台，这100台家电的销售总利润为y元，


则y=（2100-2000）x+（1750-1600）（100-x）=-50x+15000，


根据题意得：，


解得：，


∵x为正整数，


∴x=34，35，36，37，38，39，40，


∴合理的方案共有7种，


即①电冰箱34台，空调66台；②电冰箱35台，空调65台；③电冰箱36台，空调64台；④电冰箱37台，空调63台；⑤电冰箱38台，空调62台；⑥电冰箱39台，空调61台；⑦电冰箱40台，空调60台；


∵y=-50x+15000，k=-50＜0，


∴y随x的增大而减小，


∴当x=34时，y有最大值，最大值为：-50×34+15000=13300（元），


答：当购进电冰箱34台，空调66台获利最大，最大利润为13300元．


（3）当厂家对电冰箱出厂价下调k（0＜k＜100）元，若商店保持这两种家电的售价不变，


则利润y=（2100-2000+k）x+（1750-1600）（100-x）=（k-50）x+15000，


当k-50＞0，即50＜k＜100时，y随x的增大而增大，


∵，


∴当x=40时，这100台家电销售总利润最大，即购进电冰箱40台，空调60台；


当k-50＜0，即0＜k＜50时，y随x的增大而减小，


∵，


∴当x=34时，这100台家电销售总利润最大，即购进电冰箱34台，空调66台；


答：当50＜k＜100时，购进电冰箱40台，空调60台销售总利润最大；


当0＜k＜50时，购进电冰箱34台，空调66台销售总利润最大．











教学反思





适用学科
初中数学
适用年级
初中二年级
适用区域
北师版区域
课时时长（分钟）
120
知识点
1.分式方程的概念及计算


2.分式方程的应用
教学目标
1.理解分式方程的概念；


2.掌握解分式方程的基本方法和步骤；


3.通过日常生活中的情境创设，经历探索分式方程应用的过程，会检验根的合理性；
教学重点
解分式方程及应用
教学难点
解分式方程及应用
A．
B．
C．
D．