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初中数学北师大版八年级上册第四章 一次函数2 一次函数与正比例函数教学设计及反思
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这是一份初中数学北师大版八年级上册第四章 一次函数2 一次函数与正比例函数教学设计及反思，共23页。教案主要包含了知识导图，总结与反思，方法总结，2016·包头，中考•巴中，中考•阜新，中考.河南等内容，欢迎下载使用。
第2讲
讲
一次函数与正比例函数
通过对本节课的学习，你能够：
判断两个变量之间的关系是否可看作函数.
能够写出函数自变量的取值范围.
掌握一次函数、正比例函数的概念及关系.
概 述
【知识导图】
一、知识讲解
考点1 函数及其表示方法
做一做
1. 罐头盒等圆柱形的物体常常如下图那样堆放，随着层数的增加，物体的总数是如何变化的？
（1）填表
思考：层数n和物体总数y之间是什么关系?
2.一定质量的气体在体积不变时，假若温度降低到-273℃，则气体的压强为零.因此，物理学中把-273 ℃ 作为热力学温度的零度.热力学温度T(K)与摄氏温度t(℃)之间有如下数量关系：T=t+273, T≥0.
(1)当t分别为-43 ℃ ，-27 ℃, 0 ℃ , 18 ℃时，相应的热力学温度T是多少？
(2)给定一个大于-273 ℃的t值，你都能求出相应的T值吗？
思考：在关系式T=t+273中，两个变量中若知道其中一个，是否可以确定另外一个?
函数：一般地，如果在一个变化过程中有两个变量x和y，并且对于变量x的每一个值，变量y都有唯一的值与它对应，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量．
函数的表示法：①图象法；②列表法；③关系式法.
典例精析
例1.已知三角形的一边长为12，这边上的高是h，则三角形的面积S＝1/2×12·h，即S＝6h，在这个式子中，常量和变量分别是什么？
【总结与反思】
判断一个量是常量还是变量的方法：看在这个量所在的变化过程中，该量的值是否发生改变 (或者说是否会取不同的数值)，其中在变化过程中不变的量是常量，可以取不同数值的量是变量．
如图，各曲线中表示y是x的函数的是_______．(写出所有满足条件的图的序号)
【方法总结】
判断一个关系是不是函数关系的方法：一看是否存在一个变化过程；二看过程中是否存在两个变量；三看对于一个变量每取一个确定的值，另一个变量是否都有唯一确定的值与之对应，三者必须同时满足．解本例的技巧在于过x轴上任意一点作x轴的垂线，若垂线与曲线交于两点或多点，说明x取一值，有两个或多个y值与其对应，则y不是x的函数．
变式训练
1.函数是研究( )
A．常量之间的对应关系 B．常量与变量之间的对应关系
C．变量之间的对应关 D．以上说法都不对
2.下列关系式中，y不是x的函数的是( )
A．y＝±(x＞0) B．y＝x2 C．y＝－(x＞0) D．y＝()2(x＞0)
3.已知两个变量x和y，它们之间的3组对应值如下表所示：
则y与x之间的函数关系式可能是（ ）
A. B. C. D.
考点2 函数自变量的取值范围
例题1
函数自变量取值范围的确定：使函数有意义的自变量取值的全体实数叫做自变量的取值范围，
其确定方法是：
(1)当关系式是整式时，自变量为全体实数；
(2)当关系式是分母含字母的式子时，自变量的取值需保证分母不为0；
(3)当关系式是二次根式时，自变量的取值需使被开方数为非负实数；
(4)当关系式有零指数幂(或负整数指数幂)时，自变量的取值需使相应的底数不为0；
(5)当关系式是实际问题的关系式时，自变量的取值需使实际问题有意义；
(6)当关系式是复合形式时，自变量的取值需使所有式子同时有意义．
典例精析
例3.求下列函数中自变量x的取值范围：
(1) y＝3x＋7；(2)；(3) y＝。
【方法总结】
求自变量的取值范围，应按给出的各种式子的存在意义的条件求出．当给出的式子是复合形式时，应先求出使每个式子存在意义的范围，再找出它们的公共范围即可．
.
变式训练
1.(中考·广安)如图，数轴上表示的是某个函数自变量的取值范围，则这个函数表达式为( )
A．y＝x＋2 B．y＝x2＋2 C．y＝ D．
2.(中考·恩施州)函数的自变量x取值范围是( )
A．x≥2 B．x＞2 C．x≠2 D．x≤2
考点3 一次函数
例题1例题1
做一做
1.某弹簧的自然长度为3 cm.在弹性限度内，所挂物体的质量x每增 加1 kg,弹賛长度y增加0.5 cm.
(1)计算所挂物体的质量分别为1kg，2 kg，3 kg，4 kg，5 kg时弹簧的长度，并填入下表：
你能写出y与x之间的关系式吗？
2.某辆汽车油箱中原有汽油60 L，汽车每行驶50 km耗油6 L.
（1）完成下表：
(2)你能写出耗油量y（L )与汽车行驶路程x(km)之间的关系式吗？
(3 )你能写出油箱剩余油量z ( L )与汽车行驶路程x( km)之间的关系式吗？
一次函数：
若两个变量x，y间的对应关系可以表示成y=kx+b(k，b为常数，k≠0) 的形式，则称y是x的一次函数.
典例精析
例1 〈原创易错题〉已知函数y＝(n2－4)x2＋(2n－4)xm－2－(m＋n－8)．
(1)当m，n为何值时，函数是一次函数？
(2)如果函数是一次函数，计算当x＝1时的函数值．
【方法总结】
根据一次函数定义求待定字母的值时，要注意：
(1) 函数关系式是自变量的一次式，若含有一次以上的项，则其系数必为0；
(2) 注意隐含条件：一次项的系数不为0.
变式训练
1.下列函数①y＝2x－1，②y＝πx，③y＝，④y＝x2中，一次函数的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
2.已知y＝(m－3)x|m|－2＋1是y关于x的一次函数，则m的值是( )
A．－3 B．3 C．±3 D．±2
考点4. 正比例函数
定义：一般地，形如y＝kx(k是常数，k≠0)的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数．
也就是一次函数中当b=0时，称y＝ kx是x的正比例函数，即正比例函数是特殊的一次函数.
2.正比例函数是一次函数，但一次函数不一定是正比例函数．
典例精析
例2 已知函数y＝(k－2)x|k|－1(k为常数)是正比例函数，则k＝________．
例3 已知函数y＝(m－1)x＋1－3m.
(1)当m为何值时，y是x的一次函数？
(2)当m为何值时，y是x的正比例函数？
【方法总结】
由正比例函数的定义知正比例函数的自变量的指为1；应用定义求值时，不要忽视比例系数不为0这一条件．
变式训练
1.(中考·上海)下列y关于x的函数中，是正比例函数的为( )
A．y＝x2 B．y＝ C．y＝ D．y＝
2.已知函数y＝2x2a＋b＋2b是正比例函数，则a＝________，b＝________.
3.下列说法中正确的是( )
A．一次函数是正比例函数 B．正比例函数不是一次函数
C．不是正比例函数就不是一次函数 D．不是一次函数就不是正比例函数
3.若函数y＝(6＋3m)x＋n－4是一次函数，则满足________；若该函数是正比例函数，则满足________________；若m＝1，n＝－2，则函数关系式是______________．
考点5. 确定实际问题中一次函数关系式
典例精析
例4 我国自2011年9月1日起，个人工资、薪金所得税征收办法规定：月收入不超过3 500元的部分不收税；月收入超过3 500元但不超过5 000元的部分征收3%的所得税……如某人月收入3 860元，他应缴纳个人工资、薪金所得税为（3 860-3 500) ×3% = 10.8 (元）.
(1)当月收入超过3 500元而又不超过5 000元时，写出应缴纳个人工资、 薪金所得税y(元）与月收入x (元）之间的关系式；
(2)某人月收入为4 160元，他应缴纳个人工资、薪金所得税多少元？
(3)如果某人本月缴纳个人工资、薪金所得税19.2元，那么此人本月工资、 薪金收入是多少元？
例5 某移动通讯公司开设了两种通讯业务：“全球通”使用者先缴50元月租费，然后每通话1 min，再付话费0.4元；“神州行”使用者不缴月租 费，每通话1 min，付话费0.6元(均指市内通话)．若一个月内通话时间为x min，两种通讯业务的费用分别为y1元与y2元．
(1)分别写出y1，y2与x之间的函数关系式；
(2)一个月内通话时间为多少分钟时，两种通讯业务的费用相同？
(3)若某人一个月的话费为200元，则选择哪种通讯业务比较合算？
【方法总结】
确定实际问题中的一次函数关系式时，要注意自变量的取值范围 .
变式训练
1.(中考·广安)某油箱容量为60 L的汽车，加满汽油后行驶了100 km时，油箱中的汽油大约消耗了，如果加满汽油后汽车行驶的路程为x km，油箱中剩油量为y L，则y与x之间的函数关系式和自变量取值范围分别是( )
A．y＝0.12x，x>0 B．y＝60－0.12x，x>0
C．y＝0.12x，0≤x≤500 D．y＝60－0.12x，0≤x≤500
2.已知等腰三角形的周长为20 cm，底边长为y cm，腰长为x cm，则y与x之间的函数关系式为( )
A．y＝20－2x(0
C．y＝20－2x(5
考点6 正比例函数图像
1.函数的图象：把一个函数自变量的每一个值与对应的函数值分别作为点的横坐标和纵坐标，在直角坐标系内描出相应的点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象．
2.画函数图象的步骤：（1）列表；（2）描点；（3）连线.
3.正比例函数的图像是一条直线，而两点确定一条直线，画正比例函数的图像时，只需描两个点，然后过这两个点画一条直线.
正比例函数图象经过点(0,0)和点(1,k).
4.正比例函数y=kx（k≠0）图像性质：
（1）当k>0时，正比例函数的图像经过第一、三象限，自变量x逐渐增大时，y的值也随着逐渐增大；
（2）当k<0时，正比例函数的图像经过第二、四象限，自变量x逐渐增大时，y的值则随着逐渐减小.
（3）当 |k| 越大时，图像越靠近y轴；当 |k| 相等时，图像关于坐标轴对称.
典例精析
例1.下列各点在函数的图象上的是（ ）
A．（1，） B.（-1，） C.（3，） D.（，3）
例2. 已知函数的函数值随值的增大而增大，则函数的图象经过（ ）
A．第一、二象限 B.第一、三象限 C.第二、三象限 D.第二、四象限
变式训练
1.画函数图象，一般经过________，________，________三个步骤．
2.(中考·北海)正比例函数y＝kx的图象如图所示，则k的取值范围是( )
A．k>0 B．k<0
C．k>1 D．k<1
3.若正比例函数的图象经过点(2，－3)，则这个图象必经过点( )
A．(－3，－2) B．(2，3)
C．(3，－2) D．(－2，3)
4.〈广东珠海〉已知函数y＝3x的图象经过点A(－1，y1)、点B(－2，y2)，则y1________y2.(填“＞”“＜”或“＝”)
5. 若正比例函数y＝(3k－5)x的图象如图所示，则k的取值范围是________．
6.当k>0时，正比例函数y＝kx的图象大致是( )
7.(中考·陕西)设正比例函数y＝mx的图象经过点A(m，4)，且y的值随x值的增大而减小，则m等于( )
A．2 B．－2 C．4 D．－4
考点7 一次函数图像
画出一次函数y=－2x+1的图象.
【方法总结】
一次函数y=kx+b的图象是一条直线，因此画一次函数图象时，只要确定两个点，再过这两点画直线就可以了. 一次函数y=kx+b的图象也称为直线y=kx+b.
两点法：由于两点确定一条直线，因此在平面直角坐标系中画一次函数的图象时，先描出适合关系式的两点，再过这两点作直线即可．通常选取(0，b)和（），即与坐标轴相交的两点．
在不同的平面坐标系中画出下列一次函数的图象：y=x+1， y=x-1，y=- x+1，y=- x-1，并思考：当k，b取不同的值时，一次函数的图象经过的象限如何？
【方法总结】
变式训练
1.(中考·湘西州)已知k>0，b<0，则一次函数y＝kx－b的大致图象为( )
2.(中考·成都)一次函数y＝2x＋1的图象不经过( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
考点8 直线y=kx+b的位置与系数k、b的关系
例3 在同一平面直角坐标系中，画出下列函数的图象：(1)y1＝2x－1；(2)y2＝2x；(3)y3＝2x＋2.
然后观察图象，你能得到什么结论？
结论：一次函数关系式y＝kx＋b中的k值相等(b值不等)时，其图象是一组互相平行的直线．它们可以通过互相平移得到．
【方法总结】
1.平移法：直线y＝kx＋b可以看作由直线y＝kx平移得到：
①当b＞0时，把直线y＝kx向上平移b个单位得到直线y＝kx＋b；
②当b＜0时，把直线y＝kx向下平移|b|个单位得到直线y＝kx＋b.
用一句话来表述就是：“上加下减”；上、下是“形”的平移，加、减是“数”的变化．
2.直线y=kx+b与坐标轴的交点坐标：
（1）与y轴的交点为(0,b)；
（2）与x轴的交点为
例4.分别在同一直角坐标系内画出下列直线，并指出每一小题中两条直线的位置关系．
(1)y＝－x＋2，y＝－x－1；(2)y＝3x－2，y＝
.
变式训练
1.(中考·遂宁)直线y＝2x－4与y轴的交点坐标是( )
A．(4，0) B．(0，4)
C．(－4，0) D．(0，－4)
2.(中考·徐州)将函数y＝－3x的图象沿 y 轴向上平移2个单位长度
后，所得图象对应的函数表达式为( )
A．y＝－3x＋2 B．y＝－3x－2
C．y＝－3(x＋2) D．y＝－3(x－2)
考点9 一次函数y=kx+b的性质
.
1.一次函数的增减性
（1）当k＞0时，直线自左向右上升，y的值随着x值的增大而增大；
当k＜0时，直线自左向右下降，y的值随着x 值的增大而减小．
（2）k＞0⇔y的值随着x值的增大而增大；
k＜0⇔y的值随着x值的增大而减小．
例5.已知一次函数y＝(3－k)x－2k2＋18.
(1)k为何值时，它的图象经过原点？
(2)k为何值时，它的图象经过点(0，－2)?
(3)k为何值时，它的图象平行于直线y＝－x?
(4)k为何值时，y的值随着x值的增大而减小？
【方法总结】
借助函数的图象，运用函数的性质，是解决有关一次函数问题的关键．
变式训练
1.(中考·海南)点(－1，y1)，(2，y2)是直线 y＝2x＋1上的两点，则 y1________y2(填“＞”“＝”或“＜”)．
2.已知点A(－2，y1)和点B(1，y2)是如图所示的一次函数y＝2x＋b图象上的两点，则y1与y2的大小关系是( )
A．y1＜y2 B．y1＞y2
C．y1＝y2 D．y1≥y2
考点10 由点的坐标求一次函数表达式
例1 已知：y与2x成正比例，且当x＝3时，y＝12，求y与x的函数关系式．
例2 如图，直线l是一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象．
求：(1)直线l对应的函数表达式；(2)当y＝2时，x的值．
【方法总结】
由图象求一次函数的表达式，关键是找出图象上的两点，将其坐标代入表达式，解出k和b的值即可．选取点时一般取图象与x轴和y轴的交点，以便求解．
变式训练
1.已知正比例函数y＝kx(k≠0)的图象经过点(1，－2)，则这个正比例函数的表达式为( )
A．y＝2x B．y＝－2x
C．y＝x D．y＝－x
2.已知正比例函数y＝kx(k≠0)的图象如图所示，则在下列选项中k值可能是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
考点11 由直线的位置变换求一次函数的表达式
1、两条直线平行的规律：
两条直线平行k值相等
2、平移规律：“上加下减”，上、下是形的平移，加、减是数的 变化：
直线y＝kx＋b可以看作由直线 y＝kx平移得到：
①当b＞0时，把直线y＝kx向上平移b个单位得到直线y＝kx＋b；
②当b＜0时，把直线y＝kx向下平移|b|个单位得到直线y＝kx＋b.
典例精析
一个一次函数的图象平行于直线y＝－2x，且过点A(－4，2)，求这个函数的表达式．
变式训练
1.若直线l与直线y＝2x－3关于x轴对称，则直线l的表达式为( )
A．y＝－2x－3 B．y＝－2x＋3 C．y＝x＋3 D．y＝－x－3
2.如图，把直线l向上平移2个单位得到直线l′，则l′的表达式为( )
A．y＝x＋1 B．y＝x－1
C．y＝－x－1 D．y＝－x＋1
考点12 由几何图形性质求一次函数的表达式
例4.如图，直线与两坐标轴分别交于A，B两点．
(1)求AB的长；
(2)过A的直线l交x轴正半轴于C，AB＝AC，求直线l对应的函数表达式．
变式训练
【2016·包头】如图，直线y＝x＋4与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C，D分别为线段AB，OB的中点，点P为OA上一动点．PC＋PD值最小时点P的坐标为( )
【方法总结】
1.确定一次函数的关系式，就是确定一次函数关系式y=kx+b(k≠0)中常数k , b的值.
2. 求一次函数关系式的步骤为：设→代→求→还原，即：
(1)设：设出一次函数关系式y=kx+b；
(2)代：将所给数据代入函数关系式；
(3)求：求出k的值；
(4)还原：写出一次函数关系式.
考点13 一次函数的表达式实际应用
1.利用函数方法解决实际问题，关键是分析题中的数量关系，联系实际生活及以前学过的内容，将
实际问题抽象、升华为一次函数模型，即建模，再利用函数的性质解决问题．一次函数的应用主
要有两种类型：
(1)给出了一次函数关系式，直接应用一次函数的性质解决问题；
(2)只用语言叙述或用表格、图象提供一次函数的情境时，应先求出关系式，进而利用函数性质解决问题．
2.要点精析：“建模”可以把实际问题转化为关于一次函数的数学问题，它的关键是确定函数与自变量之间
的关系式，并确定实际问题中自变量的取值范围．
变式训练
(中考·北京)一家游泳馆的游泳收费标准为30元/次，若购买会员年卡，可享受如下优惠：
例如，购买A类会员年卡，一年内游泳20次，消费50＋25×20＝550元，若一年内在该游泳馆游泳的次数介于45～55次之间，则最省钱的方式为( )
A．购买A类会员年卡 B．购买B类会员年卡
C．购买C类会员年卡 D．不购买会员年卡
2.(中考·重庆)今年“五一”节，小明外出爬山，他从山脚爬到山顶的过程中，中途休息了一段时间．设他从山脚出发后所用时间为t(min)，所走的路程为s(m)，s与t之间的函数关系如图所示．下列说法错误的是( )
A．小明中途休息了20 min
B．小明休息前爬山的平均速度为70 m/min
C．小明在上述过程中所走的路程为6 600 m
D．小明休息前爬山的平均速度大于休息后的平均速度
考点14 一次函数与一元一次方程的关系
1.一次函数和一元一次方程的联系：任何一个以x为未知数的一元一次方程都可以变形为ax＋b＝0(a≠0，a，b为常数)的形式，所以解一元一次方程可以转化为：求一次函数y＝ax＋b(a≠0，a，b为常数)的函数值为0时，自变量x的取值；反映在图象上，就是直线y＝ax＋b与x轴交点的横坐标．
2．利用一次函数图象解一元一次方程的步骤：
(1)转化：将一元一次方程转化为一次函数；
(2)画图象：画出一次函数的图象；
(3)找交点：找出一次函数图象与x轴的交点，得到其横坐标，即为一元一次方程的解．
变式训练
1.已知一次函数y＝2x＋n的图象如图所示，则方程2x＋n＝0的解是( )
A．x＝1 B．x＝
C．x＝－ D．x＝－1
2.(中考·随州)甲骑摩托车从A地去B地，乙开汽车从B地去A地，同时出发，匀速行驶，各自到达终点后停止，设甲、乙两人间距离为s(单位：km)，甲行驶的时间为t(单位：h)，s与t之间的函数关系如图所示，有下列结论：
①出发1 h时，甲、乙在途中相遇；
②出发1.5 h时，乙比甲多行驶了60 km；
③出发3 h时，甲、乙同时到达终点；
④甲的速度是乙速度的一半．
其中，正确结论的个数是( )
A．4 B．3 C．2 D．1
考点15 从函数图像中获取信息的应用
1.甲、乙两商店销售同一种产品的销售价y(元)与销售量x(件)之间的图象如图所示．下列说法：①买2件甲、乙两家销售价一样；②买1件买乙家的合算；③买3件买甲家的合算；④买乙家的1件销售价约为3元，其中正确的说法是( )
A．①②
B．②③④
C．②③
D．①②③
2.(中考·荆门)在一次800 m的长跑比赛中，甲、乙两人所跑的路程s(m)与各自所用时间t(s)之间的函数图象分别为线段OA和折线OBCD，则下列说法正确的是( )
A．甲的速度随时间的增加而增大
B．乙的平均速度比甲的平均速度大
C．在起跑后第180 s时，两人相遇
D．在起跑后第50 s时，乙在甲的前面
课后作业
两个变量之间存在的关系式是y2＝x＋1(其中x是非负整数)，y是不是x的函数？如果变为用含y的代数式表示x的形式，x是不是y的函数？请说明原因
2．求下列函数中自变量的取值范围：
(1)； (2)； (3)
3.y＝(5m－3)x 2－n＋(m＋n)，当m，n为何值时，y是关于x的一次函数？当m，n为何值时，y是关于x的正比例函数？
【中考•巴中】小张的爷爷每天坚持体育锻炼，星期天爷爷从家里跑步到公园，打了一会儿太极拳，然后沿原路慢步走到家，下面能反映当天爷爷离家的距离y(m)与时间x(min)之间关系的大致图象的是( )
5.【中考•阜新】对于一次函数y＝kx＋k－1(k≠0)，下列叙述正确的是( )
A．当0
B．当k>0时，y随x的增大而减小
C．当k<1时，函数图象一定交于y轴的负半轴
D．函数图象一定经过点(－1，－2)
6.若实数a，b，c满足a＋b＋c＝0，且a＜b＜c，则函数y＝ax＋c的图象可能是( )
7.已知点M(1，a)和点N(2，b)是一次函数y＝－2x＋1的图象上的两点，则a与b的大小关系是( )
A．a＞b B．a＝b
C．a＜b D．以上都不对
8.已知一次函数的表达式是y＝(k－2)x＋12－3k.
(1)当图象与y轴的交点位于原点下方时，判断函数值随着自变量的增大而变化的趋势；
(2)如果函数值随着自变量的增大而增大，且函数图象与y轴的交点位于原点上方，确定满足条件的正整数k的值。
9.下列函数中，哪些是一次函数？哪些是正比例函数？
①y＝－2x－1；②y＝x；③y＝ ；④y＝－x2－1；
⑤2x－y＝0；⑥y＝－2(x－1)．
10.如图，过A点的一次函数的图象与正比例函数y＝2x的图象相交于点B.
(1)求一次函数的表达式；
(2)判断点C(4，－2)是否在该一次函数的图象上，说明理由；
(3)若该一次函数的图象与x轴交于D点，求△BOD的面积．
11.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x＋1与y＝－x＋3交于点A（ ， ），两直线分别交x轴于点B和点C.求：
(1)点B，C的坐标；
(2)△ABC的面积．
12.如图，一个正比例函数图象与一个一次函数图象交于点A(3，4)，且一次函数的图象与y轴相交于点B(0，－5)．求：
(1)这两个函数的表达式；
(2)△AOB的面积．
13.【中考.河南】某游泳馆普通票价20元/张，暑期为了促销，新推出两种优惠卡：
①金卡售价600元/张，每次凭卡不再收费；
②银卡售价150元/张，每次凭卡另收10元．
暑期普通票正常出售，两种优惠卡仅限暑期使用，不限次数．设游泳x次时，所需总费用为y元．
(1)分别写出选择银卡、普通票消费时，y与x之间的函数表达式；
(2)在同一个坐标系中，若三种消费方式对应的函数图象如图所示，请求出点A，B，C的坐标；
(3)请根据函数图象，直接写出选择哪种消费方式更合算．
14.为改善生态环境，防止水土流失，某村计划在河堤坡面种植白杨树，现有甲、乙两家林场可提供相同质量的白杨树苗，其具体销售方案如下：
设购买白杨树苗x棵，到两家林场购买所需费用分别为y甲元、y乙元．
(1)若需要购买1 500棵白杨树苗，则都在甲林场购买所需费用为________元，都在乙林场购买所需费用为________元；
(2)分别求出y甲，y乙与x之间的函数表达式；
(3)如果你是该村的负责人，应该选择到哪家林场购买树苗合算，为什么？
适用学科
初中数学
适用年级
初二
适用区域
北师版区域
课时时长（分钟）
120
知识点
函数及其表示方法
函数的值及自变量的取值范围
一次函数与正比例函数
教学目标
1、根据两个变量间的关系式，给定其中一个量，相应地会求出另一个量的值。
2、判断两个变量之间的关系是否可看作函数。
3、理解一次函数和正比例函数的概念，以及它们之间的关系。
4、能根据所给条件写出简单的一次函数表达式。
5、经历一般规律的探索过程、发展学生的抽象思维能力。
6、通过由已知信息写一次函数表达式的过程，发展学生的数学应用能力。
教学重点
1、一次函数、正比例函数的概念及关系。
2、会根据已知信息写出一次函数的表达式。
教学难点
会根据已知信息写出一次函数的表达式。
层数
1
2
3
…
x
钢管总数
x
-1
0
1
Y
-1
1
3
x/千克
0
1
2
3
4
5
y/厘米
汽车行驶路程x/千米
0
50
100
150
200
300
油箱剩余油量y/升
k，b的取值
直线y=kx+b经过的象限
k>0，b>0
1、2、3
k>0 , b<0
1、3、4
k<0, b>0
1、2、4
k<0, b<0
2、3、4
会员年卡类型
办卡费用/元
每次游泳收费/元
A类
50
25
B类
200
20
C类
400
15
甲林场
乙林场
购树苗数量
销售单价
购树苗数量
销售单价
不超过1 000棵时
4元
不超过2 000棵时
4元
超过1 000棵的部分
3.8元
超过2 000棵的部分
3.6元
第2讲
讲
一次函数与正比例函数
通过对本节课的学习，你能够：
判断两个变量之间的关系是否可看作函数.
能够写出函数自变量的取值范围.
掌握一次函数、正比例函数的概念及关系.
概 述
【知识导图】
一、知识讲解
考点1 函数及其表示方法
做一做
1. 罐头盒等圆柱形的物体常常如下图那样堆放，随着层数的增加，物体的总数是如何变化的？
（1）填表
思考：层数n和物体总数y之间是什么关系?
2.一定质量的气体在体积不变时，假若温度降低到-273℃，则气体的压强为零.因此，物理学中把-273 ℃ 作为热力学温度的零度.热力学温度T(K)与摄氏温度t(℃)之间有如下数量关系：T=t+273, T≥0.
(1)当t分别为-43 ℃ ，-27 ℃, 0 ℃ , 18 ℃时，相应的热力学温度T是多少？
(2)给定一个大于-273 ℃的t值，你都能求出相应的T值吗？
思考：在关系式T=t+273中，两个变量中若知道其中一个，是否可以确定另外一个?
函数：一般地，如果在一个变化过程中有两个变量x和y，并且对于变量x的每一个值，变量y都有唯一的值与它对应，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量．
函数的表示法：①图象法；②列表法；③关系式法.
典例精析
例1.已知三角形的一边长为12，这边上的高是h，则三角形的面积S＝1/2×12·h，即S＝6h，在这个式子中，常量和变量分别是什么？
【总结与反思】
判断一个量是常量还是变量的方法：看在这个量所在的变化过程中，该量的值是否发生改变 (或者说是否会取不同的数值)，其中在变化过程中不变的量是常量，可以取不同数值的量是变量．
如图，各曲线中表示y是x的函数的是_______．(写出所有满足条件的图的序号)
【方法总结】
判断一个关系是不是函数关系的方法：一看是否存在一个变化过程；二看过程中是否存在两个变量；三看对于一个变量每取一个确定的值，另一个变量是否都有唯一确定的值与之对应，三者必须同时满足．解本例的技巧在于过x轴上任意一点作x轴的垂线，若垂线与曲线交于两点或多点，说明x取一值，有两个或多个y值与其对应，则y不是x的函数．
变式训练
1.函数是研究( )
A．常量之间的对应关系 B．常量与变量之间的对应关系
C．变量之间的对应关 D．以上说法都不对
2.下列关系式中，y不是x的函数的是( )
A．y＝±(x＞0) B．y＝x2 C．y＝－(x＞0) D．y＝()2(x＞0)
3.已知两个变量x和y，它们之间的3组对应值如下表所示：
则y与x之间的函数关系式可能是（ ）
A. B. C. D.
考点2 函数自变量的取值范围
例题1
函数自变量取值范围的确定：使函数有意义的自变量取值的全体实数叫做自变量的取值范围，
其确定方法是：
(1)当关系式是整式时，自变量为全体实数；
(2)当关系式是分母含字母的式子时，自变量的取值需保证分母不为0；
(3)当关系式是二次根式时，自变量的取值需使被开方数为非负实数；
(4)当关系式有零指数幂(或负整数指数幂)时，自变量的取值需使相应的底数不为0；
(5)当关系式是实际问题的关系式时，自变量的取值需使实际问题有意义；
(6)当关系式是复合形式时，自变量的取值需使所有式子同时有意义．
典例精析
例3.求下列函数中自变量x的取值范围：
(1) y＝3x＋7；(2)；(3) y＝。
【方法总结】
求自变量的取值范围，应按给出的各种式子的存在意义的条件求出．当给出的式子是复合形式时，应先求出使每个式子存在意义的范围，再找出它们的公共范围即可．
.
变式训练
1.(中考·广安)如图，数轴上表示的是某个函数自变量的取值范围，则这个函数表达式为( )
A．y＝x＋2 B．y＝x2＋2 C．y＝ D．
2.(中考·恩施州)函数的自变量x取值范围是( )
A．x≥2 B．x＞2 C．x≠2 D．x≤2
考点3 一次函数
例题1例题1
做一做
1.某弹簧的自然长度为3 cm.在弹性限度内，所挂物体的质量x每增 加1 kg,弹賛长度y增加0.5 cm.
(1)计算所挂物体的质量分别为1kg，2 kg，3 kg，4 kg，5 kg时弹簧的长度，并填入下表：
你能写出y与x之间的关系式吗？
2.某辆汽车油箱中原有汽油60 L，汽车每行驶50 km耗油6 L.
（1）完成下表：
(2)你能写出耗油量y（L )与汽车行驶路程x(km)之间的关系式吗？
(3 )你能写出油箱剩余油量z ( L )与汽车行驶路程x( km)之间的关系式吗？
一次函数：
若两个变量x，y间的对应关系可以表示成y=kx+b(k，b为常数，k≠0) 的形式，则称y是x的一次函数.
典例精析
例1 〈原创易错题〉已知函数y＝(n2－4)x2＋(2n－4)xm－2－(m＋n－8)．
(1)当m，n为何值时，函数是一次函数？
(2)如果函数是一次函数，计算当x＝1时的函数值．
【方法总结】
根据一次函数定义求待定字母的值时，要注意：
(1) 函数关系式是自变量的一次式，若含有一次以上的项，则其系数必为0；
(2) 注意隐含条件：一次项的系数不为0.
变式训练
1.下列函数①y＝2x－1，②y＝πx，③y＝，④y＝x2中，一次函数的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
2.已知y＝(m－3)x|m|－2＋1是y关于x的一次函数，则m的值是( )
A．－3 B．3 C．±3 D．±2
考点4. 正比例函数
定义：一般地，形如y＝kx(k是常数，k≠0)的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数．
也就是一次函数中当b=0时，称y＝ kx是x的正比例函数，即正比例函数是特殊的一次函数.
2.正比例函数是一次函数，但一次函数不一定是正比例函数．
典例精析
例2 已知函数y＝(k－2)x|k|－1(k为常数)是正比例函数，则k＝________．
例3 已知函数y＝(m－1)x＋1－3m.
(1)当m为何值时，y是x的一次函数？
(2)当m为何值时，y是x的正比例函数？
【方法总结】
由正比例函数的定义知正比例函数的自变量的指为1；应用定义求值时，不要忽视比例系数不为0这一条件．
变式训练
1.(中考·上海)下列y关于x的函数中，是正比例函数的为( )
A．y＝x2 B．y＝ C．y＝ D．y＝
2.已知函数y＝2x2a＋b＋2b是正比例函数，则a＝________，b＝________.
3.下列说法中正确的是( )
A．一次函数是正比例函数 B．正比例函数不是一次函数
C．不是正比例函数就不是一次函数 D．不是一次函数就不是正比例函数
3.若函数y＝(6＋3m)x＋n－4是一次函数，则满足________；若该函数是正比例函数，则满足________________；若m＝1，n＝－2，则函数关系式是______________．
考点5. 确定实际问题中一次函数关系式
典例精析
例4 我国自2011年9月1日起，个人工资、薪金所得税征收办法规定：月收入不超过3 500元的部分不收税；月收入超过3 500元但不超过5 000元的部分征收3%的所得税……如某人月收入3 860元，他应缴纳个人工资、薪金所得税为（3 860-3 500) ×3% = 10.8 (元）.
(1)当月收入超过3 500元而又不超过5 000元时，写出应缴纳个人工资、 薪金所得税y(元）与月收入x (元）之间的关系式；
(2)某人月收入为4 160元，他应缴纳个人工资、薪金所得税多少元？
(3)如果某人本月缴纳个人工资、薪金所得税19.2元，那么此人本月工资、 薪金收入是多少元？
例5 某移动通讯公司开设了两种通讯业务：“全球通”使用者先缴50元月租费，然后每通话1 min，再付话费0.4元；“神州行”使用者不缴月租 费，每通话1 min，付话费0.6元(均指市内通话)．若一个月内通话时间为x min，两种通讯业务的费用分别为y1元与y2元．
(1)分别写出y1，y2与x之间的函数关系式；
(2)一个月内通话时间为多少分钟时，两种通讯业务的费用相同？
(3)若某人一个月的话费为200元，则选择哪种通讯业务比较合算？
【方法总结】
确定实际问题中的一次函数关系式时，要注意自变量的取值范围 .
变式训练
1.(中考·广安)某油箱容量为60 L的汽车，加满汽油后行驶了100 km时，油箱中的汽油大约消耗了，如果加满汽油后汽车行驶的路程为x km，油箱中剩油量为y L，则y与x之间的函数关系式和自变量取值范围分别是( )
A．y＝0.12x，x>0 B．y＝60－0.12x，x>0
C．y＝0.12x，0≤x≤500 D．y＝60－0.12x，0≤x≤500
2.已知等腰三角形的周长为20 cm，底边长为y cm，腰长为x cm，则y与x之间的函数关系式为( )
A．y＝20－2x(0
C．y＝20－2x(5
考点6 正比例函数图像
1.函数的图象：把一个函数自变量的每一个值与对应的函数值分别作为点的横坐标和纵坐标，在直角坐标系内描出相应的点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象．
2.画函数图象的步骤：（1）列表；（2）描点；（3）连线.
3.正比例函数的图像是一条直线，而两点确定一条直线，画正比例函数的图像时，只需描两个点，然后过这两个点画一条直线.
正比例函数图象经过点(0,0)和点(1,k).
4.正比例函数y=kx（k≠0）图像性质：
（1）当k>0时，正比例函数的图像经过第一、三象限，自变量x逐渐增大时，y的值也随着逐渐增大；
（2）当k<0时，正比例函数的图像经过第二、四象限，自变量x逐渐增大时，y的值则随着逐渐减小.
（3）当 |k| 越大时，图像越靠近y轴；当 |k| 相等时，图像关于坐标轴对称.
典例精析
例1.下列各点在函数的图象上的是（ ）
A．（1，） B.（-1，） C.（3，） D.（，3）
例2. 已知函数的函数值随值的增大而增大，则函数的图象经过（ ）
A．第一、二象限 B.第一、三象限 C.第二、三象限 D.第二、四象限
变式训练
1.画函数图象，一般经过________，________，________三个步骤．
2.(中考·北海)正比例函数y＝kx的图象如图所示，则k的取值范围是( )
A．k>0 B．k<0
C．k>1 D．k<1
3.若正比例函数的图象经过点(2，－3)，则这个图象必经过点( )
A．(－3，－2) B．(2，3)
C．(3，－2) D．(－2，3)
4.〈广东珠海〉已知函数y＝3x的图象经过点A(－1，y1)、点B(－2，y2)，则y1________y2.(填“＞”“＜”或“＝”)
5. 若正比例函数y＝(3k－5)x的图象如图所示，则k的取值范围是________．
6.当k>0时，正比例函数y＝kx的图象大致是( )
7.(中考·陕西)设正比例函数y＝mx的图象经过点A(m，4)，且y的值随x值的增大而减小，则m等于( )
A．2 B．－2 C．4 D．－4
考点7 一次函数图像
画出一次函数y=－2x+1的图象.
【方法总结】
一次函数y=kx+b的图象是一条直线，因此画一次函数图象时，只要确定两个点，再过这两点画直线就可以了. 一次函数y=kx+b的图象也称为直线y=kx+b.
两点法：由于两点确定一条直线，因此在平面直角坐标系中画一次函数的图象时，先描出适合关系式的两点，再过这两点作直线即可．通常选取(0，b)和（），即与坐标轴相交的两点．
在不同的平面坐标系中画出下列一次函数的图象：y=x+1， y=x-1，y=- x+1，y=- x-1，并思考：当k，b取不同的值时，一次函数的图象经过的象限如何？
【方法总结】
变式训练
1.(中考·湘西州)已知k>0，b<0，则一次函数y＝kx－b的大致图象为( )
2.(中考·成都)一次函数y＝2x＋1的图象不经过( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
考点8 直线y=kx+b的位置与系数k、b的关系
例3 在同一平面直角坐标系中，画出下列函数的图象：(1)y1＝2x－1；(2)y2＝2x；(3)y3＝2x＋2.
然后观察图象，你能得到什么结论？
结论：一次函数关系式y＝kx＋b中的k值相等(b值不等)时，其图象是一组互相平行的直线．它们可以通过互相平移得到．
【方法总结】
1.平移法：直线y＝kx＋b可以看作由直线y＝kx平移得到：
①当b＞0时，把直线y＝kx向上平移b个单位得到直线y＝kx＋b；
②当b＜0时，把直线y＝kx向下平移|b|个单位得到直线y＝kx＋b.
用一句话来表述就是：“上加下减”；上、下是“形”的平移，加、减是“数”的变化．
2.直线y=kx+b与坐标轴的交点坐标：
（1）与y轴的交点为(0,b)；
（2）与x轴的交点为
例4.分别在同一直角坐标系内画出下列直线，并指出每一小题中两条直线的位置关系．
(1)y＝－x＋2，y＝－x－1；(2)y＝3x－2，y＝
.
变式训练
1.(中考·遂宁)直线y＝2x－4与y轴的交点坐标是( )
A．(4，0) B．(0，4)
C．(－4，0) D．(0，－4)
2.(中考·徐州)将函数y＝－3x的图象沿 y 轴向上平移2个单位长度
后，所得图象对应的函数表达式为( )
A．y＝－3x＋2 B．y＝－3x－2
C．y＝－3(x＋2) D．y＝－3(x－2)
考点9 一次函数y=kx+b的性质
.
1.一次函数的增减性
（1）当k＞0时，直线自左向右上升，y的值随着x值的增大而增大；
当k＜0时，直线自左向右下降，y的值随着x 值的增大而减小．
（2）k＞0⇔y的值随着x值的增大而增大；
k＜0⇔y的值随着x值的增大而减小．
例5.已知一次函数y＝(3－k)x－2k2＋18.
(1)k为何值时，它的图象经过原点？
(2)k为何值时，它的图象经过点(0，－2)?
(3)k为何值时，它的图象平行于直线y＝－x?
(4)k为何值时，y的值随着x值的增大而减小？
【方法总结】
借助函数的图象，运用函数的性质，是解决有关一次函数问题的关键．
变式训练
1.(中考·海南)点(－1，y1)，(2，y2)是直线 y＝2x＋1上的两点，则 y1________y2(填“＞”“＝”或“＜”)．
2.已知点A(－2，y1)和点B(1，y2)是如图所示的一次函数y＝2x＋b图象上的两点，则y1与y2的大小关系是( )
A．y1＜y2 B．y1＞y2
C．y1＝y2 D．y1≥y2
考点10 由点的坐标求一次函数表达式
例1 已知：y与2x成正比例，且当x＝3时，y＝12，求y与x的函数关系式．
例2 如图，直线l是一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象．
求：(1)直线l对应的函数表达式；(2)当y＝2时，x的值．
【方法总结】
由图象求一次函数的表达式，关键是找出图象上的两点，将其坐标代入表达式，解出k和b的值即可．选取点时一般取图象与x轴和y轴的交点，以便求解．
变式训练
1.已知正比例函数y＝kx(k≠0)的图象经过点(1，－2)，则这个正比例函数的表达式为( )
A．y＝2x B．y＝－2x
C．y＝x D．y＝－x
2.已知正比例函数y＝kx(k≠0)的图象如图所示，则在下列选项中k值可能是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
考点11 由直线的位置变换求一次函数的表达式
1、两条直线平行的规律：
两条直线平行k值相等
2、平移规律：“上加下减”，上、下是形的平移，加、减是数的 变化：
直线y＝kx＋b可以看作由直线 y＝kx平移得到：
①当b＞0时，把直线y＝kx向上平移b个单位得到直线y＝kx＋b；
②当b＜0时，把直线y＝kx向下平移|b|个单位得到直线y＝kx＋b.
典例精析
一个一次函数的图象平行于直线y＝－2x，且过点A(－4，2)，求这个函数的表达式．
变式训练
1.若直线l与直线y＝2x－3关于x轴对称，则直线l的表达式为( )
A．y＝－2x－3 B．y＝－2x＋3 C．y＝x＋3 D．y＝－x－3
2.如图，把直线l向上平移2个单位得到直线l′，则l′的表达式为( )
A．y＝x＋1 B．y＝x－1
C．y＝－x－1 D．y＝－x＋1
考点12 由几何图形性质求一次函数的表达式
例4.如图，直线与两坐标轴分别交于A，B两点．
(1)求AB的长；
(2)过A的直线l交x轴正半轴于C，AB＝AC，求直线l对应的函数表达式．
变式训练
【2016·包头】如图，直线y＝x＋4与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C，D分别为线段AB，OB的中点，点P为OA上一动点．PC＋PD值最小时点P的坐标为( )
【方法总结】
1.确定一次函数的关系式，就是确定一次函数关系式y=kx+b(k≠0)中常数k , b的值.
2. 求一次函数关系式的步骤为：设→代→求→还原，即：
(1)设：设出一次函数关系式y=kx+b；
(2)代：将所给数据代入函数关系式；
(3)求：求出k的值；
(4)还原：写出一次函数关系式.
考点13 一次函数的表达式实际应用
1.利用函数方法解决实际问题，关键是分析题中的数量关系，联系实际生活及以前学过的内容，将
实际问题抽象、升华为一次函数模型，即建模，再利用函数的性质解决问题．一次函数的应用主
要有两种类型：
(1)给出了一次函数关系式，直接应用一次函数的性质解决问题；
(2)只用语言叙述或用表格、图象提供一次函数的情境时，应先求出关系式，进而利用函数性质解决问题．
2.要点精析：“建模”可以把实际问题转化为关于一次函数的数学问题，它的关键是确定函数与自变量之间
的关系式，并确定实际问题中自变量的取值范围．
变式训练
(中考·北京)一家游泳馆的游泳收费标准为30元/次，若购买会员年卡，可享受如下优惠：
例如，购买A类会员年卡，一年内游泳20次，消费50＋25×20＝550元，若一年内在该游泳馆游泳的次数介于45～55次之间，则最省钱的方式为( )
A．购买A类会员年卡 B．购买B类会员年卡
C．购买C类会员年卡 D．不购买会员年卡
2.(中考·重庆)今年“五一”节，小明外出爬山，他从山脚爬到山顶的过程中，中途休息了一段时间．设他从山脚出发后所用时间为t(min)，所走的路程为s(m)，s与t之间的函数关系如图所示．下列说法错误的是( )
A．小明中途休息了20 min
B．小明休息前爬山的平均速度为70 m/min
C．小明在上述过程中所走的路程为6 600 m
D．小明休息前爬山的平均速度大于休息后的平均速度
考点14 一次函数与一元一次方程的关系
1.一次函数和一元一次方程的联系：任何一个以x为未知数的一元一次方程都可以变形为ax＋b＝0(a≠0，a，b为常数)的形式，所以解一元一次方程可以转化为：求一次函数y＝ax＋b(a≠0，a，b为常数)的函数值为0时，自变量x的取值；反映在图象上，就是直线y＝ax＋b与x轴交点的横坐标．
2．利用一次函数图象解一元一次方程的步骤：
(1)转化：将一元一次方程转化为一次函数；
(2)画图象：画出一次函数的图象；
(3)找交点：找出一次函数图象与x轴的交点，得到其横坐标，即为一元一次方程的解．
变式训练
1.已知一次函数y＝2x＋n的图象如图所示，则方程2x＋n＝0的解是( )
A．x＝1 B．x＝
C．x＝－ D．x＝－1
2.(中考·随州)甲骑摩托车从A地去B地，乙开汽车从B地去A地，同时出发，匀速行驶，各自到达终点后停止，设甲、乙两人间距离为s(单位：km)，甲行驶的时间为t(单位：h)，s与t之间的函数关系如图所示，有下列结论：
①出发1 h时，甲、乙在途中相遇；
②出发1.5 h时，乙比甲多行驶了60 km；
③出发3 h时，甲、乙同时到达终点；
④甲的速度是乙速度的一半．
其中，正确结论的个数是( )
A．4 B．3 C．2 D．1
考点15 从函数图像中获取信息的应用
1.甲、乙两商店销售同一种产品的销售价y(元)与销售量x(件)之间的图象如图所示．下列说法：①买2件甲、乙两家销售价一样；②买1件买乙家的合算；③买3件买甲家的合算；④买乙家的1件销售价约为3元，其中正确的说法是( )
A．①②
B．②③④
C．②③
D．①②③
2.(中考·荆门)在一次800 m的长跑比赛中，甲、乙两人所跑的路程s(m)与各自所用时间t(s)之间的函数图象分别为线段OA和折线OBCD，则下列说法正确的是( )
A．甲的速度随时间的增加而增大
B．乙的平均速度比甲的平均速度大
C．在起跑后第180 s时，两人相遇
D．在起跑后第50 s时，乙在甲的前面
课后作业
两个变量之间存在的关系式是y2＝x＋1(其中x是非负整数)，y是不是x的函数？如果变为用含y的代数式表示x的形式，x是不是y的函数？请说明原因
2．求下列函数中自变量的取值范围：
(1)； (2)； (3)
3.y＝(5m－3)x 2－n＋(m＋n)，当m，n为何值时，y是关于x的一次函数？当m，n为何值时，y是关于x的正比例函数？
【中考•巴中】小张的爷爷每天坚持体育锻炼，星期天爷爷从家里跑步到公园，打了一会儿太极拳，然后沿原路慢步走到家，下面能反映当天爷爷离家的距离y(m)与时间x(min)之间关系的大致图象的是( )
5.【中考•阜新】对于一次函数y＝kx＋k－1(k≠0)，下列叙述正确的是( )
A．当0
B．当k>0时，y随x的增大而减小
C．当k<1时，函数图象一定交于y轴的负半轴
D．函数图象一定经过点(－1，－2)
6.若实数a，b，c满足a＋b＋c＝0，且a＜b＜c，则函数y＝ax＋c的图象可能是( )
7.已知点M(1，a)和点N(2，b)是一次函数y＝－2x＋1的图象上的两点，则a与b的大小关系是( )
A．a＞b B．a＝b
C．a＜b D．以上都不对
8.已知一次函数的表达式是y＝(k－2)x＋12－3k.
(1)当图象与y轴的交点位于原点下方时，判断函数值随着自变量的增大而变化的趋势；
(2)如果函数值随着自变量的增大而增大，且函数图象与y轴的交点位于原点上方，确定满足条件的正整数k的值。
9.下列函数中，哪些是一次函数？哪些是正比例函数？
①y＝－2x－1；②y＝x；③y＝ ；④y＝－x2－1；
⑤2x－y＝0；⑥y＝－2(x－1)．
10.如图，过A点的一次函数的图象与正比例函数y＝2x的图象相交于点B.
(1)求一次函数的表达式；
(2)判断点C(4，－2)是否在该一次函数的图象上，说明理由；
(3)若该一次函数的图象与x轴交于D点，求△BOD的面积．
11.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x＋1与y＝－x＋3交于点A（ ， ），两直线分别交x轴于点B和点C.求：
(1)点B，C的坐标；
(2)△ABC的面积．
12.如图，一个正比例函数图象与一个一次函数图象交于点A(3，4)，且一次函数的图象与y轴相交于点B(0，－5)．求：
(1)这两个函数的表达式；
(2)△AOB的面积．
13.【中考.河南】某游泳馆普通票价20元/张，暑期为了促销，新推出两种优惠卡：
①金卡售价600元/张，每次凭卡不再收费；
②银卡售价150元/张，每次凭卡另收10元．
暑期普通票正常出售，两种优惠卡仅限暑期使用，不限次数．设游泳x次时，所需总费用为y元．
(1)分别写出选择银卡、普通票消费时，y与x之间的函数表达式；
(2)在同一个坐标系中，若三种消费方式对应的函数图象如图所示，请求出点A，B，C的坐标；
(3)请根据函数图象，直接写出选择哪种消费方式更合算．
14.为改善生态环境，防止水土流失，某村计划在河堤坡面种植白杨树，现有甲、乙两家林场可提供相同质量的白杨树苗，其具体销售方案如下：
设购买白杨树苗x棵，到两家林场购买所需费用分别为y甲元、y乙元．
(1)若需要购买1 500棵白杨树苗，则都在甲林场购买所需费用为________元，都在乙林场购买所需费用为________元；
(2)分别求出y甲，y乙与x之间的函数表达式；
(3)如果你是该村的负责人，应该选择到哪家林场购买树苗合算，为什么？
适用学科
初中数学
适用年级
初二
适用区域
北师版区域
课时时长（分钟）
120
知识点
函数及其表示方法
函数的值及自变量的取值范围
一次函数与正比例函数
教学目标
1、根据两个变量间的关系式，给定其中一个量，相应地会求出另一个量的值。
2、判断两个变量之间的关系是否可看作函数。
3、理解一次函数和正比例函数的概念，以及它们之间的关系。
4、能根据所给条件写出简单的一次函数表达式。
5、经历一般规律的探索过程、发展学生的抽象思维能力。
6、通过由已知信息写一次函数表达式的过程，发展学生的数学应用能力。
教学重点
1、一次函数、正比例函数的概念及关系。
2、会根据已知信息写出一次函数的表达式。
教学难点
会根据已知信息写出一次函数的表达式。
层数
1
2
3
…
x
钢管总数
x
-1
0
1
Y
-1
1
3
x/千克
0
1
2
3
4
5
y/厘米
汽车行驶路程x/千米
0
50
100
150
200
300
油箱剩余油量y/升
k，b的取值
直线y=kx+b经过的象限
k>0，b>0
1、2、3
k>0 , b<0
1、3、4
k<0, b>0
1、2、4
k<0, b<0
2、3、4
会员年卡类型
办卡费用/元
每次游泳收费/元
A类
50
25
B类
200
20
C类
400
15
甲林场
乙林场
购树苗数量
销售单价
购树苗数量
销售单价
不超过1 000棵时
4元
不超过2 000棵时
4元
超过1 000棵的部分
3.8元
超过2 000棵的部分
3.6元
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