人教A版 (2019)必修 第一册第五章 三角函数5.5 三角恒等变换学案及答案

这是一份人教A版 (2019)必修 第一册第五章 三角函数5.5 三角恒等变换学案及答案，共7页。

《两角差的余弦公式》


、选择题


LISTNUM OutlineDefault \l 3 计算cs 78°cs 18°＋sin 78°sin 18°的值为( )


A.eq \f(1,2) B.eq \f(1,3) C.eq \f(\r(3),2) D.eq \f(\r(3),3)





LISTNUM OutlineDefault \l 3 计算cs(－15°)的值是( )


A.eq \f(\r(6)－\r(2),2) B.eq \f(\r(6)＋\r(2),2) C.eq \f(\r(6)－\r(2),4) D.eq \f(\r(6)＋\r(2),4)





LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知sin α－sin β=1－eq \f(\r(3),2)，cs α－cs β=eq \f(1,2)，则cs(α－β)=( )


A.－eq \f(\r(3),2) B.－eq \f(1,2) C.eq \f(1,2) D.eq \f(\r(3),2)





LISTNUM OutlineDefault \l 3 若sin αsin β=1，则cs(α－β)的值为( )


A.0 B.1 C.±1 D.－1





LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知α为锐角，β为第三象限角，且cs α=eq \f(12,13)，sin β=－eq \f(3,5)，则cs(α－β)的值为( )


A.－eq \f(63,65) B.－eq \f(33,65) C.eq \f(63,65) D.eq \f(33,65)





LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知sin α=eq \f(1,3)，α是第二象限角，则cs(α－60°)为( )


A.eq \f(－\r(3)－2\r(2),\r(2)) B.eq \f(\r(3)－2\r(2),6) C.eq \f(\r(3)＋2\r(2),6) D.eq \f(－\r(3)＋2\r(2),6)





LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知sin(eq \f(π,6)＋α)=eq \f(1,4)，则cs α＋eq \r(3)sin α的值为( )


A.-eq \f(1,4) B.eq \f(1,2) C.2 D.-1





LISTNUM OutlineDefault \l 3 若cs(α-β)=eq \f(\r(5),5)，cs 2α=eq \f(\r(10),10)，并且α、β均为锐角且α<β，则α＋β的值为( )


A.eq \f(π,6) B.eq \f(π,4) C.eq \f(3π,4) D.eq \f(5π,6)





、填空题


LISTNUM OutlineDefault \l 3 计算：cs(－43°)cs 17°＋sin 43°sin(－17°)=________.








LISTNUM OutlineDefault \l 3 若cs(α－β)=eq \f(1,3)，则(sin α＋sin β)2＋(cs α＋cs β)2=________.





LISTNUM OutlineDefault \l 3 在△ABC中，sin A=eq \f(4,5)，cs B=－eq \f(12,13)，则cs(A－B)=________.





LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知sin α＋sin β＋sin γ=0，cs α＋cs β＋cs γ=0，则cs(α-β)值是______.





、解答题


LISTNUM OutlineDefault \l 3 求下列各式的值：


(1)cs 105°；


(2)cs 46°cs 16°＋sin 46°sin 16°.



































LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知cs(α-β)=-eq \f(12,13)，cs(α＋β)=eq \f(12,13)，且α-β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，α＋β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，2π))，


求角β的值.










































































LISTNUM OutlineDefault \l 3 如图，在平面直角坐标系中，锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于A，B两点.





(1)如果A，B两点的纵坐标分别为eq \f(4,5)，eq \f(12,13)，求cs α和sin β；


(2)在(1)的条件下，求cs(β-α)的值.






































LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知cs(α－β)=－eq \f(4,5)，sin(α＋β)=－eq \f(3,5)，eq \f(π,2)<α－β<π，eq \f(3π,2)<α＋β<2π，求β的值.





























答案解析


LISTNUM OutlineDefault \l 3 \s 1 答案为：A；


解析：原式=cs(78°－18°)=cs 60°=eq \f(1,2).








LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：D；


解析：[cs(－15°)=cs 15°=cs(45°－30°)=cs 45°cs 30°＋sin 45°sin 30°


=eq \f(\r(2),2)×eq \f(\r(3),2)＋eq \f(\r(2),2)×eq \f(1,2)=eq \f(\r(6)＋\r(2),4).]








LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：D；


解析：因为sin α－sin β=1－eq \f(\r(3),2)，


所以sin2α－2sin αsin β＋sin2β=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(\r(3),2)))2， ①


因为cs α－cs β=eq \f(1,2)，所以cs2α－2cs αcs β＋cs2β=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2， ②


①，②两式相加得1－2cs(α－β)＋1=1－eq \r(3)＋eq \f(3,4)＋eq \f(1,4)


所以－2cs(α－β)=－eq \r(3)，所以cs(α－β)=eq \f(\r(3),2).








LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：B；


解析：[由sin αsin β=1，得cs αcs β=0，


cs(α－β)=cs αcs β＋sin αsin β=1.]








LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：A；


解析：[∵α为锐角，cs α=eq \f(12,13)，∴sin α=eq \r(1－cs2α)=eq \f(5,13)，


∵β为第三象限角，sin β=－eq \f(3,5)，∴cs β=－eq \r(1－sin2β)=－eq \f(4,5)，


∴cs(α－β)=cs αcs β＋sin αsin β=eq \f(12,13)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,5)))＋eq \f(5,13)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)))=－eq \f(63,65).]








LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：B；


解析：因为sin α=eq \f(1,3)，α是第二象限角，所以cs α=－eq \f(2\r(2),3)，


故cs(α－60°)=cs αcs 60°＋sin αsin 60°


=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2\r(2),3)))×eq \f(1,2)＋eq \f(1,3)×eq \f(\r(3),2)=eq \f(－2\r(2)＋\r(3),6).








LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：B；








LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：C；


解析：∵α，β∈(0，eq \f(π,2))，∴α-β∈(-eq \f(π,2)，0)，2α∈(0，π)，


sin(α-β)=-eq \f(2\r(5),5)，sin 2α=eq \f(3\r(10),10)，


∴cs(α＋β)=cs[2α-(α-β)]


=cs 2αcs(α-β)＋sin 2αsin(α-β)


=eq \f(\r(10),10)×eq \f(\r(5),5)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3\r(10),10)))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2\r(5),5)))=-eq \f(\r(2),2)，


∵α＋β∈(0，π)，∴α＋β=eq \f(3π,4).











、填空题


LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：eq \f(1,2)；


解析：原式=cs(－43°)cs 17°＋sin(－43°)sin 17°


=cs(－43°－17°)=cs(－60°)=cs 60°=eq \f(1,2).








LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：eq \f(8,3)；


解析：(sin α＋sin β)2＋(cs α＋cs β)2=2＋2cs(α－β)=eq \f(8,3).








LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：－eq \f(16,65)；


解析：因为cs B=－eq \f(12,13)，且0

所以sin B=eq \r(1－cs2 B)=eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(12,13)))\s\up12(2))=eq \f(5,13)，且0

所以cs A=eq \r(1－sin2 A)=eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,5)))\s\up12(2))=eq \f(3,5)，


所以cs(A－B)=cs Acs B＋sin Asin B，=eq \f(3,5)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(12,13)))＋eq \f(4,5)×eq \f(5,13)=－eq \f(16,65).








LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：-eq \f(1,2)；


解析：sin α＋sin β=-sin γ，①


cs α＋cs β=-cs γ， ②


①2＋②2⇒2＋2(sin αsin β＋cs αcs β)=1⇒cs(α-β)=-eq \f(1,2).











、解答题


LISTNUM OutlineDefault \l 3 解：(1)原式=cs(150°-45°)


=cs 150°cs 45°＋sin 150°sin 45°


=-eq \f(\r(3),2)×eq \f(\r(2),2)＋eq \f(1,2)×eq \f(\r(2),2)


=eq \f(\r(2)－\r(6),4).


(2)原式=cs(46°-16°)=cs 30°=eq \f(\r(3),2).








LISTNUM OutlineDefault \l 3 解：由α-β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，且cs(α-β)=-eq \f(12,13)，得sin(α-β)=eq \f(5,13).


由α＋β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，2π))，且cs(α＋β)=eq \f(12,13)，得sin(α＋β)=-eq \f(5,13).


∴cs 2β=cs[(α＋β)-(α-β)]


=cs(α＋β)cs(α-β)＋sin(α＋β)sin(α-β)


=eq \f(12,13)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(12,13)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5,13)))×eq \f(5,13)=-1.


又∵α＋β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，2π))，α-β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，∴2β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，\f(3π,2)))，


∴2β=π，则β=eq \f(π,2).








LISTNUM OutlineDefault \l 3 解：(1)∵OA=1，OB=1，且点A，B的纵坐标分别为eq \f(4,5)，eq \f(12,13)，


∴sin α=eq \f(4,5)，sin β=eq \f(12,13)，∴cs α=eq \f(3,5).


(2)∵β为钝角，由(1)知cs β=-eq \f(5,13)，


∴cs(β-α)=cs βcs α＋sin βsin α


=-eq \f(5,13)×eq \f(3,5)＋eq \f(12,13)×eq \f(4,5)=eq \f(33,65).








LISTNUM OutlineDefault \l 3 解：∵eq \f(π,2)<α－β<π，cs(α－β)=－eq \f(4,5)，


∴sin(α－β)=eq \f(3,5).


∵eq \f(3,2)π<α＋β<2π，sin(α＋β)=－eq \f(3,5)，


∴cs(α＋β)=eq \f(4,5).


∴cs 2β=cs[(α＋β)－(α－β)]


=cs(α＋β)cs(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β)


=eq \f(4,5)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,5)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)))×eq \f(3,5)=－1.


∵eq \f(π,2)<α－β<π，eq \f(3,2)π<α＋β<2π，


∴eq \f(π,2)<2β

∴β=eq \f(π,2).