高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第五章 三角函数5.5 三角恒等变换学案

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第五章 三角函数5.5 三角恒等变换学案，共6页。

《两角和与差的正切公式》


、选择题


LISTNUM OutlineDefault \l 3 计算tan 285°的值等于( )


A.2＋eq \r(3) B.2－eq \r(3) C.－2－eq \r(3) D.－2＋eq \r(3)





LISTNUM OutlineDefault \l 3 若tan(α＋β)=3，tan(α－β)=5，则tan 2α=( )


A.eq \f(4,7) B.－eq \f(4,7) C.eq \f(1,2) D.－eq \f(1,2)





LISTNUM OutlineDefault \l 3 设A，B，C为三角形的三个内角，且tan A，tan B是方程3x2－5x＋1=0的两个实根，则△ABC为( )


A.等边三角形 B.等腰直角三角形


C.锐角三角形 D.钝角三角形





LISTNUM OutlineDefault \l 3 若eq \f(sin α＋cs α,sin α－cs α)=eq \f(1,2)，则tan(2α＋eq \f(π,4))=( )


A.－7 B.7 C.－eq \f(1,7) D.eq \f(1,7)





LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知cs α=－eq \f(4,5)，且α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，则taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)\r()－α))等于( )


A.－eq \f(1,7) B.－7 C.eq \f(1,7) D.7





LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知A＋B=45°，则(1＋tan A)(1＋tan B)的值为( )


A.1 B.2 C.－2 D.不确定





LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知tan(α＋β)=eq \f(2,5)，taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,4)))=eq \f(1,4)，则taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))的值为( )


A.eq \f(3,22) B.eq \f(22,13) C.eq \f(13,18) D.eq \f(1,6)





LISTNUM OutlineDefault \l 3 A，B，C是△ABC的三个内角，且tan A，tan B是方程3x2－5x＋1=0的两个实数根，则△ABC是( )


A.钝角三角形 B.锐角三角形


C.直角三角形 D.无法确定





、填空题


LISTNUM OutlineDefault \l 3 计算taneq \f(11π,12)=________.





LISTNUM OutlineDefault \l 3 化简：eq \f(1－\r(3)tan 75°,\r(3)＋tan 75°)=________.








LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知角α，β均为锐角，且cs α=eq \f(3,5)，tan(α－β)=－eq \f(1,3)，则tan β=________.








LISTNUM OutlineDefault \l 3 如图，在△ABC中，AD⊥BC，D为垂足，AD在△ABC的外部，且BD∶CD∶AD=2∶3∶6，则tan∠BAC=________.








、解答题


LISTNUM OutlineDefault \l 3 求下列各式的值：


(1)eq \f(cs 75°－sin 75°,cs 75°＋sin 75°)；


(2)eq \f(1－tan 27°tan 33°,tan 27°＋tan 33°).
































LISTNUM OutlineDefault \l 3 若锐角α，β满足(1＋eq \r(3)tan α)(1＋eq \r(3)tan β)=4，求α＋β的值.






























































LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,12)＋α))=eq \r(2)，taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,3)))=2eq \r(2)，求：


(1)taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋β－\f(π,4)))的值；


(2)tan(α＋β)的值.









































LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知tan(eq \f(π,4)＋α)=2，tan(α－β)=eq \f(1,2)，α∈(0，eq \f(π,4))，β∈(－eq \f(π,4)，0).


(1)求tan α的值；


(2)求eq \f(1,2sin αcs α＋cs2α)的值；


(3)求2α－β的值.
































答案解析


LISTNUM OutlineDefault \l 3 \s 1 答案为：C.





LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：B.





LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：D.


因为tan A，tan B是方程3x2－5x＋1=0的两个实根，


所以tan A＋tan B=eq \f(5,3)，tan Atan B=eq \f(1,3)，


所以tan C=－tan(A＋B)=－eq \f(tan A＋tan B,1－tan Atan B)=eq \f(\f(5,3),\f(1,3)－1)=－eq \f(5,2)＜0，


所以eq \f(π,2)＜C＜π，故选D.





LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：B.


解析：因为eq \f(sin α＋cs α,sin α－cs α)=eq \f(1,2)，所以eq \f(tan α＋1,tan α－1)=eq \f(1,2)，


解方程得tan α=－3.又eq \f(tan α＋1,tan α－1)=eq \f(tan α＋tan \f(π,4),tan αtan \f(π,4)－1)=－tan(α＋eq \f(π,4))=eq \f(1,2)，


所以tan(α＋eq \f(π,4))=－eq \f(1,2)，


tan(2α＋eq \f(π,4))=tan[(α＋eq \f(π,4))＋α]=7.





LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：D；





LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：B；


解析：(1＋tan A)(1＋tan B)


=1＋(tan A＋tan B)＋tan Atan B


=1＋tan(A＋B)(1－tan Atan B)＋tan Atan B


=1＋1－tan Atan B＋tan Atan B=2.





LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：A；


解析：因为α＋eq \f(π,4)=(α＋β)－(β－eq \f(π,4))，


所以taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))=eq \f(tanα＋β－tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,4))),1＋tanα＋βtan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,4))))=eq \f(\f(2,5)－\f(1,4),1＋\f(2,5)×\f(1,4))=eq \f(3,22).





LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：A；


解析：∵tan A＋tan B=eq \f(5,3)，tan A·tan B=eq \f(1,3)，


∴tan(A＋B)=eq \f(5,2)，∴tan C=－tan(A＋B)=－eq \f(5,2)，


∴C为钝角，即△ABC为钝角三角形.





LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：－2＋eq \r(3)；


解析：[taneq \f(11π,12)=－taneq \f(π,12)=－taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－\f(π,6)))


=－eq \f(tan\f(π,4)－tan\f(π,6),1＋tan\f(π,4)tan\f(π,6))=－eq \f(1－\f(\r(3),3),1＋\f(\r(3),3))=－2＋eq \r(3).]





LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：－1；





LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：3；





LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：eq \f(1,7)；


解析：∵AD⊥BC且BD∶CD∶AD=2∶3∶6，


∴tan∠BAD=eq \f(BD,AD)=eq \f(1,3)，tan∠CAD=eq \f(CD,AD)=eq \f(1,2)，


tan∠BAC=tan(∠CAD－∠BAD)=eq \f(tan∠CAD－tan∠BAD,1＋tan∠CADtan∠BAD)=eq \f(1,7).]





LISTNUM OutlineDefault \l 3 解：


(1)原式=eq \f(1－tan 75°,1＋tan 75°)=eq \f(tan 45°－tan 75°,1＋tan 45°tan 75°)


=tan(45°－75°)=tan(－30°)=－tan 30°=－eq \f(\r(3),3).


(2)原式=eq \f(1,tan27°＋33°)=eq \f(1,tan 60°)=eq \f(\r(3),3).





LISTNUM OutlineDefault \l 3 解：∵(1＋eq \r(3)tan α)(1＋eq \r(3)tan β)


=1＋eq \r(3)(tan α＋tan β)＋3tan αtan β=4，


∴tan α＋tan β=eq \r(3)(1－tan αtan β)，


∴tan(α＋β)=eq \f(tan α＋tan β,1－tan αtan β)=eq \r(3).


又∵α，β均为锐角，∴0°<α＋β<180°，


∴α＋β=60°.





LISTNUM OutlineDefault \l 3 解：(1)taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋β－\f(π,4)))=taneq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,12)))＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,3)))))


=eq \f(tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,12)))＋tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,3))),1－tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,12)))tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,3))))=eq \f(\r(2)＋2\r(2),1－\r(2)×2\r(2))=－eq \r(2).


(2)tan(α＋β)=taneq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋β－\f(π,4)))＋\f(π,4)))


=eq \f(tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋β－\f(π,4)))＋tan \f(π,4),1－tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋β－\f(π,4)))tan \f(π,4))=eq \f(－\r(2)＋1,1＋\r(2)×1)=2eq \r(2)－3.





LISTNUM OutlineDefault \l 3 解：(1)tan(eq \f(π,4)＋α)=eq \f(1＋tan α,1－tan α)=2，得tan α=eq \f(1,3).


(2)eq \f(1,2sin αcs α＋cs2α)=eq \f(sin2α＋cs2α,2sin αcs α＋cs2α)=eq \f(tan2α＋1,2tan α＋1)=eq \f(2,3).


(3)因为tan(2α－β)=tan[α＋(α－β)]


=eq \f(tan α＋tanα－β,1－tan αtanα－β)=1，


又α∈(0，eq \f(π,4))，β∈(－eq \f(π,4)，0)，


得2α－β∈(0，eq \f(3π,4))，所以2α－β=eq \f(π,4).