北师大版2021年中考数学总复习《三角形的证明》（含答案） 试卷
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《三角形的证明》
一 、选择题
1.如图，已知AD∥BC，AP平分∠DAB，BP平分∠ABC，点P恰好在CD上，则PD与PC的大小关系是（ ）
A.PD＞PC B.PD=PC C.PD＜PC D.无法判断
2.如图，已知点P到AE、AD、BC的距离相等
下列说法：
①点P在∠BAC的平分线上；
②点P在∠CBE的平分线上；
③点P在∠BCD的平分线上；
④点P在∠BAC，∠CBE，∠BCD的平分线的交点上.
其中正确的是( )
A.①②③④ B.①②③ C.④ D.②③
3.如图，△ABC的三边AB，BC，CA长分别是20，30，40，其三条角平分线将△ABC分为三个三角形，则S△ABO：S△BCO：S△CAO等于（ ）
A.1：1：1 B.1：2：3 C.2：3：4 D.3：4：5
4.如图，已知AB=AC，∠A=36°，AC的垂直平分线MN交AB于D，AC于M.以下结论：
①△BCD是等腰三角形； ②射线CD是△ACB的角平分线；
③△BCD的周长C△BCD=AB+BC； ④△ADM≌△BCD.
正确的有（ ）
A.①② B.①③ C.②③ D.③④
5.在Rt△ABC中，∠A=40°，∠B=90°，AC的垂直平分线MN分别与AB，AC交于点D，E，则∠BCD的度数为（ ）
A.10° B.15° C.40° D.50°
6.一个等腰三角形的一边长是7cm，另一边长为5cm，那么这个等腰三角形的周长是（ ）
A．12cm B．17cm C．19cm D．17cm或19cm
7.如图，点P是∠AOB内任意一点，OP=5cm，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，△PMN周长的最小值是5cm，则∠AOB的度数是（ ）
A．25° B．30° C．35° D．40°
8.如图，已知下列三角形中，AB=AC，则经过三角形的一个顶点的一条直线能够将这个三角形分成两个小等腰三角形的是（ ）
A.①③④ B.①②③④ C.①②④ D.①③
二 、填空题
9.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D．若BD：DC=3：2，点D到AB的距离为6，则BC的长是 ．
10.如图，在△ABC中，AB＞AC，按以下步骤作图：分别以点B和点C为圆心，大于BC一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN交AB于点D；连结CD．若AB=8，AC=3，则△ACD的周长为 ．
11.如图，∠BAC=110°，若MP和NQ分别垂直平分AB和AC，则∠PAQ的度数是______．
12.如图，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB=90°，若AB=5，BC=8，则EF的长为 .
三 、解答题
13.如图所示，已知AB=AC，BD=CD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F.
求证：DE=DF．
14.如图，四边形ABDC中，∠D=∠ABD=90°，点O为BD的中点，且OA平分∠BAC.
(1)求证：CO平分∠ACD；
(2)求证：AB+CD=AC.
15.如图，△ACB和△ADE均为等边三角形，点C、E、D在同一直线上，连接BD，试猜想线段CE、BD之间的数量关系，并说明理由.
16.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，∠BAC的平分线AE交BC于点D，且AE⊥BE.
(1)求∠DBE的大小；
(2)求证：AD=2BE.
参考答案
1.B
2.A
3.C
4.答案为：B
5.A
6.D
7.解：分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，
分别交OA、OB于点M、N，连接OC、OD、PM、PN、MN，如图所示：
∵点P关于OA的对称点为D，关于OB的对称点为C,∴PM=DM，OP=OD，∠DOA=∠POA；
∵点P关于OB的对称点为C，∴PN=CN，OP=OC，∠COB=∠POB，
∴OC=OP=OD，∠AOB=∠COD，
∵△PMN周长的最小值是5cm，∴PM+PN+MN=5，∴DM+CN+MN=5，
即CD=5=OP，∴OC=OD=CD，即△OCD是等边三角形，
∴∠COD=60°，∴∠AOB=30°；故选：B．
8.答案为：A.
9.答案为：15．
10.答案为：11．
11.答案为：40°．
12.答案为：1.5；
13.证明：连接AD，
在△ACD和△ABD中，，
∴△ACD≌△ABD（SSS），
∴∠EAD=∠FAD，即AD平分∠EAF，
∵DE⊥AE，DF⊥AF，
∴DE=DF．
14.证明：(1)过O点作OE⊥AC于点E.
∵∠ABD=90°且OA平分∠BAC
∴OB=OE，
又∵O是BD中点
∴OB=OD，
∴OE=OD，
∵OE⊥AC，∠D=90°
∴点O在∠ACD 的角平分线上
∴OC平分∠ACD.
(2)在Rt△ABO和Rt△AEO中
∵
∴Rt△ABO≌Rt△AEO(HL)，
∴AB=AE，
在Rt△CDO和Rt△CEO中
∵
∴Rt△CDO≌Rt△CEO(HL)，
∴CD=CE，
∴AB+CD=AE+CE=AC.
15.解：CE=BD，
理由：∵△ACB和△ADE均为等边三角形，
∴AD=AE，AB=AC，∠DAE=∠BAC=60°，
∴∠DAE﹣∠BAE=∠BAC﹣∠BAE，
∴∠DAB=∠EAC.
在△ADB和△AEC中，，
∴△ADB≌△AEC（SAS），
∴CE=BD.
16.解：(1)∵∠C=90°，AC=BC，
∴∠BAC=45°，
∵AE是∠BAC的平分线，
∴∠CAD=∠BAC=22.5°，
∵AE⊥BE，∴∠BED=90°，
∴∠ACD=∠BED=90°，
∵∠ADC=∠BDE，
∴∠DBE=∠CAD=22.5°.
(2)延长AC、BE交于点G.
∵AE⊥BG，∴∠AEB=∠AEG=90°，
在△AEB和△AEG中，，
∴△AEB≌△AEG，
∴BE=EG，
在△ACD和△BCG中，，
∴△ACD≌△BCG，
∴AD=BG=2BE，
∴AD=2BE.
