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人教版九年级上册24.2.2 直线和圆的位置关系一等奖教案
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这是一份人教版九年级上册24.2.2 直线和圆的位置关系一等奖教案，共36页。
24.2 点和圆、直线和圆的位置关系
1．点和圆的位置关系
（1）设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：点P在圆外⇔________；点P在圆上⇔________；点P在圆内⇔________.
（2）经过已知点A可以作________个圆，经过两个已知点A，B可以作________个圆；它们的圆心________上；经过不在同一条直线上的A，B，C三点可以作________圆．
（3）经过三角形的________的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形的三条边________的交点，叫做这个三角形的外心．
任意三角形的外接圆有________，而一个圆的内接三角形有________．
（4）用反证法证明命题的一般步骤：
①反设：___________________________；
②归缪：___________________________；
③下结论：___________________________.
2．直线和圆的位置关系
（1）直线和圆的位置关系
由于圆是轴对称和中心对称图形，所以关于圆的位置或计算题中常常出现分类讨论多解的情况．
（2）切线的性质与判定
a.切线的性质
（1）切线与圆只有_________个公共点．
（2）切线到圆心的距离________圆的半径．
（3）切线垂直于经过切点的半径．
利用切线的性质解决问题时，通常连过切点的半径，利用直角三角形的性质来解决问题．
b．切线的判定
（1）与圆只有一个公共点的直线是圆的切线（定义法）．
（2）到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线．
（3）经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
切线判定常用的证明方法：
①知道直线和圆有公共点时，连半径，证垂直；
②不知道直线与圆有没有公共点时，作垂直，证垂线段等于半径．
（3）切线长及切线长定理
①经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的_____________.
②从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线_______________两条切线的夹角.
（4）三角形的内切圆及内心
与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．
内心是三角形三条角平分线的交点，它到三角形的三条边的距离_____________．
1．（1）d＞r d＝r d＜r （2）无数 无数 在线段AB的垂直平分线 一个 （3）三个顶点 垂直平分线 一个 无数个 （4）假设命题结论不成立 从设出发，经过推理论证，得出矛盾
由矛盾判定假设不成立，从而肯定命题成立
2．（1）= （2）一 等于 切线长 平分 相等
一、判断点和圆的位置关系
理解点和圆的位置关系的“两点”技巧：ABCD
（1）等价关系：点和圆的位置关系点到圆心的距离（d)和半径（r）的数量关系.
（2）数形结合：解决点与圆的位置关系的捷径是利用数形结合的方法，借助图形进行判断.
已知的半径为，若，则可以得到的正确图形可能是
【答案】A
【解答】因为的半径为，，
∴OA
故选A.
二、直线与圆的位置关系的判断
利用点和圆的位置关系求半径的取值范围
（1）若点在圆内，则点到圆心的距离小于圆的半径；若点在圆上，则点到圆心的距离等于圆的半径；若点在圆外，则点到圆心的距离大于圆的半径.（2）解这类题时，常运用转化思想，将点与圆的位置关系转化成点到圆心的距离与圆的半径之间的数量关系，从而列出方程或不等式来解答.
已知∠AOB=30°，P是OA上的一点，OP=24 cm，以r为半径作⊙P．
（1）若r=12 cm，试判断⊙P与OB位置关系；
（2）若⊙P与OB相离，试求出r需满足的条件．
【答案】（1）相切；（2）0 cm＜r＜12 cm．
【解析】过点P作PC⊥OB，垂足为C，则∠OCP=90°．
∵∠AOB=30°，OP=24 cm，
∴PC=12OP=12 cm．
（1）∵PC =r=12 cm，
∴⊙P与OB相切，
即⊙P与OB位置关系是相切．
（2）当⊙P与OB相离时，r＜PC，
∴r需满足的条件是：0 cm＜r＜12 cm．
三、有关三角形外接圆的计算和证明
如图，是的外接圆，半径为R，∠A=45°，连接OB、OC，则边BC的长为
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】∵∠A=45°，
∴∠BOC=90°，
∵的半径为R，
∴，
∴BC=OB=R，
故选A.
四、过不在同一直线上的三点作圆
平面直角坐标系内的三个点A（1，0）、B（0，-3）、C（2，-3）______ 确定一个圆（填“能”或“不能”）．
【答案】能
【解析】∵B（0，-3）、C（2，-3），
∴BC∥x轴，
而点A（1，0）在x轴上，
∴点A、B、C三点不共线，
∴三个点A（1，0）、B（0，-3）、C（2，-3）能确定一个圆．
故答案为：能．
五、用反证法证明
（1）当一个命题直接证明很困难时，可考虑运用反证法证明.证明时要弄清楚反证法的思想及一般步骤，还要考虑结论的反面的所有情况，并一一否定.
（2）用反证法证明命题时，准确写出与原命题的结论相反的假设是关键.“一定”“可能”，“全都是”的否定分别为“不一定”“不可能’“不全是”；特别注意“一定”的否定不是“一定不”.
用反证法证明“三角形中至少有一个内角大于或等于60°时，应假设
A．三角形的二个内角小于60°
B．三角形的三个内角都小于60°
C．三角形的二个内角大于60°
D．三角形的三个内角都大于60°
【答案】B
【解析】用反证法证明“三角形中至少有一个内角大于或等于60°”时，第一步应先假设三角形的三个内角都小于60°，故选B.
六、直线和圆的位置关系
利用数量关系判断直线与圆的位置关系
（1）当图形中直线与圆的位置关系不明显时，一般不利用交点个数来判断直线与圆的位置关系，应通过比较圆心到直线的距离与半径的大小来确定它们之间的位置关系.（2）在没有给出d与r的具体数值的情况下，可先根据已知条件求出d与r的值，再通过比较它们的大小确定直线与圆的位置关系.
已知，的半径是一元二次方程的一个根，圆心O到直线l的距离d=4，则直线l与的位置关系是
A．相交B．相切
C．相离D．平行
【答案】A
【解析】，，
∵的半径是一元二次方程的一个根，
∴，
∵，∴直线l与的位置关系是相交，
故选A.
七、切线的性质与判定
切线的判定方法一——连半径，证垂直，某直线是圆的切线时，如果已知直线与圆有公共点，那么可作出经过该点的半径，证明直线垂直于该半径，即“有交点，连半径，证垂直”.
切线的判定方法二——作垂直，证半径
证明某直线是圆的切线时，如果未明确说明直线和圆有公共点，那么常过圆心作直线的垂线段，证明垂线段的长等于半径，即“无交点，作垂直，证半径”.
（2019·雅安）如图，已知AB是的直径，AC，BC是的弦，OE∥AC交BC于E，过点B作的切线交OE的延长线于点D，连接DC并延长交BA的延长线于点F.
（1）求证：DC是的切线；
（2）若∠ABC=30°，AB=8，求线段CF的长.
【解析】（1）连接OC，AC，
∵OE//AC，
∴∠1=∠ACB，
∵AB是的直径，
∴∠1=∠ACB=90°，
∴OD⊥BC，由垂径定理得OD垂直平分BC，
∴DB=DC，
∴∠DBE=∠DCE，又OC=OB，
∴∠OBE=∠OCE，即∠DBO=∠OCD，
∵DB为的切线，OB是半径，
∴∠DBO=90°，
∴∠OCD=∠DBO=90°，即OC⊥DC，∵OC是的半径，
∴DC是的切线；
（2）在中，∠ABC=30°，
∴∠3=60°，又OA=OC，
∴是等边三角形，
∴∠COF=60°，
在中，易得,
根据勾股定理得.
如图，已知BC是⊙O的直径，AB是⊙O的弦，切线AD交BC的延长线于D，若∠D=40°，则∠B的度数是
A．40°B．50°
C．25°D．115°
【答案】C
【解析】连接OA，根据切线的性质得到OA⊥AD，由三角形的内角和得到∠AOC=50°，根据等腰三角形的性质得到∠B=∠OAB，根据圆周角定理可得到结论．
连接OA，
∵AD是⊙O的切线，∴OA⊥AD，
∴∠D=40°，∴∠AOC=50°，
∵BO=OA，∴∠B=∠BAO，
∴∠B+∠BAO=∠AOC=50°，
∴∠B=∠BAO=∠AOC=25°．
故选C．
八、三角形的内切圆
有关三角形内心的常用辅助线作法
解答该类问题时一般有两种作辅助线的方法：一是连接内心与三角形的顶点，即构建出三角形的角平分线；二是连接内心与切点得到线段垂直的位置关系，再连接内心与三角形的顶点进而运用直角三角形的相关知识来解答.
如图，⊙O为ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4.
（1）求ABC的面积；
（2）求⊙O的半径；
（3）求AF的长．
【答案】（1）6；（2）⊙O的半径为1；（3） 3.
【解析】（1）∵∠C＝90°，BC＝3，AC＝4， ∴S△ABC＝×3×4＝6；
（2）如图，连接OE，OD，OF.
∵⊙O为ABC的内切圆，D，E，F为切点，
∴EB＝FB，CD＝CE，AD＝AF，OE⊥BC，OD⊥AC.
又∵∠C＝90°，OD＝OE，∴四边形ECDO为正方形，
设OE＝OD＝CE＝CD＝x，
则EB＝3－x，AD＝4－x，FB＝3－x，AF＝4－x. 又∵AB＝＝5，∴3－x＋4－x＝5，
解得x＝1.即⊙O的半径为1；
（3）∵CD＝1，∴AF＝AD＝4－1＝3.
九、对圆的切线判定方法理解不透彻
已知，如图，OC平分∠AOB，D是OC上任意一点,D与OA相切于点E.
求证：直线OB与D相切.
证明：设F为OB与D的公共点，分别连接DF，DE.
∵OA与D相切于点E，DE⊥OA.
∵OC平分∠AOB，D是OC上任意一点，
∴∠EOD=∠FOD,DE=DF.
又∵OD=OD,.△ODE≌△ODF,
∴∠DEO=∠DFO=90°，即DF⊥OF,∴OB与D相切.
以上证明过程正确吗？若不正确，请给出正确的证明过程.
[易错提示】本题易错误地默认直线OB与D有交点.
正解：不正确.
证明：如图，连接DE，过点D作DF⊥OB于点F.
∵直线OA与D相切于点E，DE⊥OA.
∴DF⊥OB，点D是∠AOB的平分线上一点，
∴DE=DF,∴直线OB与D相切.
1．已知的直径是10，点到圆心的距离为8，则点与的位置关系是
A．在圆外B．在圆心
C．在圆上D．无法确定
2．如图，PA切⊙O于点A，PB切⊙O于点B，OP交⊙O于点C，下列结论中，错误的是
A．∠1＝∠2 B．PA＝PB
C．AB⊥OP D．
3．⊙O的直径为7，圆心O到直线l的距离为3，则直线l与⊙O的位置关系是
A．相离B．相切
C．相交D．相切或相交
4．如图 ，四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA和⊙O分别相切于点L，M，N，P.若四边形ABCD的周长为20，则AB＋CD等于
A．5 B．8
C．10 D．12
5．如图,圆O的直径AB=2,点D在AB的延长线上,DC与圆O相切于点C,连接AC.若∠A=30°,则CD长为
A．B．
C．D．
6．如图，将放在每个小正方形边长为1的网格中，点A、B、C均落在格点上，用一个圆面去覆盖ABC，能够完全覆盖这个三角形的最小圆面半径是
A．5 B．6
C．2 D．52
7．等边三角形外接圆的半径等于边长的____倍．
A． B．
C． D．
8．如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=3，以顶点D为圆心作半径为x的圆，使点A、B、C三点都在圆外，则x的取值范围是_________.
9．已知ABC的斜边AB=6 cm,直角边AC=3 cm.
（1）以C为圆心，2 cm长为半径的圆和直线AB的位置关系是_________；
（2）以C为圆心，4 cm长为半径的圆和直线AB的位置关系是_________；
（3）如果以C为圆心的圆和直线AB相切，则半径长为_________.
10．如图，AC是⊙O的切线，切点为C，BC是⊙O的直径，AB交⊙O于点D，连接OD，若∠A=50°，则∠COD的度数为_____．
11．如图，在⊙O中，M是弦AB的中点，过点B作⊙O的切线，与OM延长线交于点C．
求证：∠A=∠C；
12．如图，已知A、B、C、D、E是⊙O上的五点，⊙O的直径BE=23，∠BCD=120°，A为的中点，延长BA到点P，使BA=AP，连接PE．
（1）求线段BD的长；
（2）求证：直线PE是⊙O的切线．
13．用反证法证明时，假设结论“点在圆外”不成立，那么点与圆的位置关系只能是
A．点在圆内 B．点在圆上
C．点在圆心上 D．点在圆上或圆内
14．如图，一把直尺，60°的直角三角板和光盘如图摆放，A为60°角与直尺交点，AB=3,则光盘的直径是
A．3 B．33
C．6 D．63
15．如图，BM与⊙O相切于点B，若∠MBA=140∘，则∠ACB的度数为
A．40∘ B．50∘
C．60∘ D．70∘
16．如图，点A，B，D在⊙O上，∠A=20°，BC是⊙O的切线，B为切点，OD的延长线交BC于点C，则∠OCB=_____度．
17．已知的三边a，b，c，满足a+b2+|c﹣6|+28=4a-1+10b，则△ABC的外接圆半径=__________．
18．如图，AB是⊙O的弦，点C在过点B的切线上，且OC⊥OA，OC交AB于点P，已知∠OAB=22°，则∠OCB=__________．
19．如图， P是ΔABC的内心，连接PA、PB、PC，ΔPAB、ΔPBC、ΔPAC的面积分别为S1、S2、S3，则S1___________S2+S3.(填“<”或“=”或“>”)
20．如图，AB是⊙O的直径，AC=BC，E是OB的中点，连接CE并延长到点F，使EF=CE．连接AF交⊙O于点D，连接BD，BF．
（1）求证：直线BF是⊙O的切线；
（2）若OB=2，求BD的长．
21．（2019·福建省）如图，PA、PB是⊙O切线，A、B为切点，点C在⊙O上,且∠ACB＝55°，则∠APB等于
A．55°B．70°
C．110°D．125°
22．（2019·广州市）平面内，⊙O的半径为1，点P到O的距离为2，过点P可作⊙O的切线条数为
A．0条B．1条
C．2条D．无数条
23．（2019·台州市）如图，等边三角形的边长为8，以上一点为圆心的圆分别与边，相切，则的半径为
A．B．3
C．4D．
24．（2019·苏州）如图，为的切线，切点为，连接，与交于点，延长与交于点，连接，若，则的度数为
A．B．
C．D．
25．（2019·杭州市）如图，P为⊙外一点，PA、PB分别切⊙于A、B两点，若，则
A．2B．3
C．4D．5
26．（2019·无锡市）如图，PA是⊙O的切线，切点为A，PO的延长线交⊙O于点B，若∠P=40°，则∠B的度数为
A．20°B．25°
C．40°D．50°
27．（2019·重庆市）如图，AB是⊙的直径，AC是⊙的切线，A为切点，BC与⊙交于点D，连接OD．若，则∠AOD的度数为
A．B．
C．D．
28．（2019·台州市）如图，是圆内接四边形的一条对角线，点关于的对称点在边上，连接．若，则的度数为__________．
29．（2019·省武威市、陇南市、庆阳市、平凉市、白银市、酒泉市、张掖市、临夏自治州）如图，在中，，点在边上，经过点和点且与边相交于点．
（1）求证：是的切线；
（2）若，求的半径．
30．（2019·盐城市）如图，在中，，是斜边上的中线，以为直径的分别交、于点、，过点作，垂足为．
（1）若的半径为，，求的长；（2）求证：与相切．
31．（2019·乐山市）已知关于的一元二次方程.
（1）求证：无论为任何实数，此方程总有两个实数根；
（2）若方程的两个实数根为、，满足，求的值；
（3）若的斜边为5，另外两条边的长恰好是方程的两个根、，求的内切圆半径.
32．（2019·凉山州）如图，点D是以AB为直径的⊙O上一点，过点B作⊙O的切线，交AD的延长线于点C，E是BC的中点，连接DE并延长与AB的延长线交于点F.
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）若，求AD的长．
1．【答案】A
【解析】∵⊙O的直径是10，
∴⊙O的半径r=5cm，
∵点P到圆心O的距离为8cm，5cm＜8cm，
∴点P在圆外．
故选A．
【名师点睛】本题考查点与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有点P在圆外⇔d＞r；点P在圆上⇔d=r；点P在圆内⇔d＜r．
2．【答案】D
【解析】∵PA、PB是⊙O的切线，切点是A、B， ∴PA=PB，∠1=∠2， ∴选项A、B正确；
∵PA=PB，∠1=∠2， ∴OP⊥AB，∴选项C正确；根据已知不能得出，故选项D符合题意； 故选D．
3．【答案】C
【解析】∵⊙O的直径为7，
∴半径r=3.5，
∵圆心O到直线l的距离为3，即d=3，
∴d＜r
∴直线l与⊙O的位置关系是相交．
故选：C．
【名师点睛】判断直线l与⊙O的位置关系.求出圆心与直线的距离是关键.
4．【答案】C
【解析】根据圆外切四边形的两组对边和相等得AB+CD=20÷2=10．故选C．
5．【答案】D
【解析】如图所示，连接BC，OC，
∵AB是圆O的直径，
∴∠BCA=90°，
又∵∠A=30°，
∴∠CBA=90°−30°=60°，
∵DC是切线，
∴∠BCD=∠A=30°,∠OCD=90°，
∴∠D=∠CBA−∠BCD=60°−30°=30°，
∵AB=2，
∴OC=1，
∴OD=2，
∴CD=，
故选D.
6．【答案】A
【解析】如图所示：
点O为外接圆圆心，则AO为外接圆半径，
故能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径是：5．
故选：A．
7．【答案】C
【解析】如图，
∵△ABC是等边三角形，
∴设AB=BC=2x，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，BD=BC=x，
∴AD=x，
∵点E是△ABC的外接圆的圆心，
∴∠EBD=30°，
∴AE=BE=2ED，
∴AE=x，
∴等边三角形外接圆的半径BE等于边长AB的倍．
故选C.
8．【答案】0＜x＜3
【解析】在ABD中，CD=AB=4，AD=3，
则BD= =5．
∵点A、B、C三点都在圆外，
∴0＜x＜3．
故答案为0＜x＜3.
【名师点睛】本题考查点与圆的位置关系，解题的关键是熟练掌握勾股定理及点与圆的位置关系．
9．【答案】相离 相交 332 cm
【解析】由已知可得，BC=AB2-AC2=62-32=33,
所以，斜边上的高CD=AC•BCAB=332,
（1）因为2<332,所以，以C为圆心，2 cm长为半径的圆和AB的位置关系是相离；
（2）因为4>332,所以，以C为圆心，4 cm长为半径的圆和AB的位置关系是相交；
(3)如果以C为圆心的圆和AB相切，则半径长为332 cm.
故答案为：（1）相离；（2）相交；（3）332 cm.
10．【答案】80°
【解析】∵AC是⊙O的切线，
∴∠C＝90°，
∵∠A＝50°，
∴∠B＝40°，
∵OB＝OD，
∴∠B＝∠ODB＝40°，
∴∠COD＝∠B＋∠ODB ＝40°＋40°＝80°．
故答案为80°．
11．【解析】连接OB，
∵BC是⊙O的切线，
∴∠OBC=90°，
∴∠OBM+∠CBM=90°，
∵OA=OB，
∴∠A=∠OBM，
∵M是AB的中点，
∴OM⊥AB．
∴∠C+∠CBM=90°，
∴∠C=∠OBM，
∴∠A=∠C.
12．【答案】（1）;（2）见解析.
【解析】（1）连接DE，如图，
∵∠BCD+∠DEB=180°，
∴∠DEB=180°﹣120°=60°，
∵BE为直径，
∴∠BDE=90°，
在Rt△BDE中，DE=12BE=12×23=3，
；
（2）证明：连接EA，如图，
∵BE为直径，
∴∠BAE=90°，
∵A为的中点，
∴∠ABE=45°，
∵BA=AP，
而EA⊥BA，
∴△BEP为等腰直角三角形，
∴∠PEB=90°，
∴PE⊥BE，
∴直线PE是⊙O的切线．
13．【答案】D
【解析】用反证法证明时，假设结论“点在圆外”不成立，
那么点应该在圆内或者圆上.
故选D.
14．【答案】D
【解析】如图，设光盘圆心为O，连接OC，OA，OB，
∵AC、AB都与圆O相切，
∴AO平分∠BAC，OC⊥AC，OB⊥AB，
∴∠CAO=∠BAO=60°，
∴∠AOB=30°，
在RtAOB中，AB=3 cm，∠AOB=30°，
∴OA=6 cm，
根据勾股定理得：OB=OA2-AB2=33，
则光盘的直径为63，
故选D.
15．【答案】A
【解析】如图，连接OA、OB．
∵BM是⊙O的切线，∴∠OBM=90°．
∵∠MBA=140°，∴∠ABO=50°．
∵OA=OB，∴∠ABO=∠BAO=50°，∴∠AOB=80°，∴∠ACB=12∠AOB=40°．
故选A．
16．【答案】50
【解析】∵∠A=20°，
∴∠BOC=40°，
∵BC是⊙O的切线，B为切点，
∴∠OBC=90°，
∴∠OCB=90°-40°=50°，
故答案为：50．
17．【答案】258
【解析】∵a+b2+|c-6|+28=4a-1+10b，
∴（a-1-4a-1+4）+（b2-10b+25）+|c-6|=0，
∴（a-1-2）2+（b-5）2+|c-6|=0，
∴a-1−2＝0，b-5=0，c-6=0，
解得，a=5，b=5，c=6，
∴AC=BC=5，AB=6，
作CD⊥AB于点D，
则AD=3，CD=4，
设△ABC的外接圆的半径为r，
则OC=r，OD=4-r，OA=r，
∴32+（4-r）2=r2，
解得，r=258，
故答案为258．
18．【答案】44°
【解析】连接OB，
∵BC是⊙O的切线，
∴OB⊥BC，
∴∠OBA+∠CBP=90°，
∵OC⊥OA，
∴∠A+∠APO=90°，
∵OA=OB，∠OAB=22°，
∴∠OAB=∠OBA=22°，
∴∠APO=∠CBP=68°，
∵∠APO=∠CPB，
∴∠CPB=∠ABP=68°，
∴∠OCB=180°-68°-68°=44°，
故答案为：44°
19．【答案】＜
【解析】∵点P是ABC的内心，
∴点P到△ABC三边的距离相等，
设这个距离为h，
∴S1=12AB•h，S2+S3=12BC•h+12AC•h，
∵AB＜BC+AC，
∴S1＜S2+S3，
故答案为＜.
20．【解析】（1）连接OC，
∵AB是⊙O的直径，AC=BC，∴∠BOC=90°，
∵E是OB的中点，∴OE=BE，
在△OCE和△BFE中，
OE=BE∠OEC=∠BEFCE=EF，
∴△OCE≌△BFE（SAS），
∴∠OBF=∠COE=90°，
∴直线BF是⊙O的切线；
（2）∵是⊙O的直径，∴.
∵OB=OC=2，由（1）得：△OCE≌△BFE，
∴BF=OC=2，
∴AF=AB2+BF2=42+22=25，
∴S△ABF=12AB·BF=12AF·BD，
即4×2=25BD，
∴BD=455．
21．【答案】B
【解析】连接OA，OB，
∵PA，PB是⊙O的切线，
∴PA⊥OA，PB⊥OB，
∵∠ACB＝55°，
∴∠AOB＝110°，
∴∠APB＝360°−90°−90°−110°＝70°．
故选B．
【名师点睛】本题考查了多边形的内角和定理，切线的性质，圆周角定理的应用，关键是求出∠AOB的度数．
22．【答案】C
【解析】因为点P到O的距离为2，大于半径1，所以点P在圆外，
所以，过点P可作⊙O的切线有2条；
故选C.
23．【答案】A
【解析】设与的切点为，
连接，，
∵等边三角形的边长为8，
∴，，
∵圆分别与边，相切，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴的半径为，
故选：A．
【名师点睛】此题主要考查圆的半径，解题的关键是根据题意作出辅助线进行求解.
24．【答案】D
【解析】切线性质得到，
，
，
，
，
，
故选D.
【名师点睛】本题主要考查圆的切线性质、三角形的外角性质等，掌握基础定义是解题关键
25．【答案】B
【解析】因为PA和PB与⊙相切，根据切线长定理，所以PA＝PB＝3，故选B.
【名师点睛】本题考查切线长定理，解题的关键是熟练掌握切线长定理.
26．【答案】B
【解析】连接OA，如图：
∵PA是⊙O的切线，切点为A，
∴OA⊥AP，
∴∠OAP=90°，
∵∠P=40°，
∴∠AOP=90°-40°=50°，
∴∠B=∠AOB=25°，
故选B.
【名师点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，正确添加辅助线，熟练掌握切线的性质定理是解题的关键.
27．【答案】C
【解析】∵AC是⊙的切线，
∴∠CAB=，
又∵，
∴∠ABC=-=40，
又∵OD=OB，
∴∠BDO=∠ABC=40，
又∵∠AOD=∠OBD+∠OBD，
∴∠AOD=40+40=80，
故选C.
【名师点睛】本题考查了圆的切线的性质、等腰三角形以及三角形外角的概念.其中解题关键是运用圆的切线垂直于半径的性质.
28．【答案】
【解析】∵圆内接四边形，
∴，
∵点关于的对称点在边上，
∴，
∴.
故答案为.
【名师点睛】此题主要考查圆内的角度计算，解题的关键是熟知圆周角定理与三角形的外角定理.
29．【答案】（1）见解析；（2）.
【解析】（1）连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是的切线；
（2）连接，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的半径．
【名师点睛】本题考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
30．【答案】（1）；（2）见解析.
【解析】（1）连接、，
，
．
为的斜边的中线，由于直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，
，，，
为圆的直径．，即，
由于等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合，
．
（2）、为、的中点，由于三角形中位线平行于底边，
，
．
，
，
即．
又为半径
与圆相切．
【名师点睛】本题综合考查“直角三角形斜边中线等于斜边的一半”，“等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合”，“三角形中位线平行于底边”等定律，以及圆的切线的判定定理.
31．【答案】（1）详见解析；（2）2；（3）1
【解析】（1）∵，
无论为任何实数时，此方程总有两个实数根.
（2）由题意得：，，
，
，
即，
解得：；
（3）解方程得：，，
根据题意得：，即，
设直角三角形的内切圆半径为，如图，
由切线长定理可得：，
直角三角形的内切圆半径=.
【名师点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，直角三角形内切圆的半径，解本题的关键是掌握根据直角三角形三边求其内切圆的半径公式.
32．【答案】（1）见解析；（2）.
【解析】（1）如图，连接OD，BD，
∵AB为⊙O的直径，
，
在中，，
，
∵BC是⊙O的切线，
，
，
又，
，
∴DF为⊙O的切线；
（2），
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
【名师点睛】考查了切线的判定和性质，直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．位置关系
相离
相切
相交
图形
公共点个数
0个
1个
2个
数量关系
d>r
d______r
d
点和圆的位置关系、圆的确定、直线和圆的位置关系、切线的判定与性质、切线长及切线长定理
帮—难点
反证法、三角形的外接圆、三角形的内切圆及内心
帮—易错
圆的确定、切线的判定
24.2 点和圆、直线和圆的位置关系
1．点和圆的位置关系
（1）设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：点P在圆外⇔________；点P在圆上⇔________；点P在圆内⇔________.
（2）经过已知点A可以作________个圆，经过两个已知点A，B可以作________个圆；它们的圆心________上；经过不在同一条直线上的A，B，C三点可以作________圆．
（3）经过三角形的________的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形的三条边________的交点，叫做这个三角形的外心．
任意三角形的外接圆有________，而一个圆的内接三角形有________．
（4）用反证法证明命题的一般步骤：
①反设：___________________________；
②归缪：___________________________；
③下结论：___________________________.
2．直线和圆的位置关系
（1）直线和圆的位置关系
由于圆是轴对称和中心对称图形，所以关于圆的位置或计算题中常常出现分类讨论多解的情况．
（2）切线的性质与判定
a.切线的性质
（1）切线与圆只有_________个公共点．
（2）切线到圆心的距离________圆的半径．
（3）切线垂直于经过切点的半径．
利用切线的性质解决问题时，通常连过切点的半径，利用直角三角形的性质来解决问题．
b．切线的判定
（1）与圆只有一个公共点的直线是圆的切线（定义法）．
（2）到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线．
（3）经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
切线判定常用的证明方法：
①知道直线和圆有公共点时，连半径，证垂直；
②不知道直线与圆有没有公共点时，作垂直，证垂线段等于半径．
（3）切线长及切线长定理
①经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的_____________.
②从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线_______________两条切线的夹角.
（4）三角形的内切圆及内心
与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．
内心是三角形三条角平分线的交点，它到三角形的三条边的距离_____________．
1．（1）d＞r d＝r d＜r （2）无数 无数 在线段AB的垂直平分线 一个 （3）三个顶点 垂直平分线 一个 无数个 （4）假设命题结论不成立 从设出发，经过推理论证，得出矛盾
由矛盾判定假设不成立，从而肯定命题成立
2．（1）= （2）一 等于 切线长 平分 相等
一、判断点和圆的位置关系
理解点和圆的位置关系的“两点”技巧：ABCD
（1）等价关系：点和圆的位置关系点到圆心的距离（d)和半径（r）的数量关系.
（2）数形结合：解决点与圆的位置关系的捷径是利用数形结合的方法，借助图形进行判断.
已知的半径为，若，则可以得到的正确图形可能是
【答案】A
【解答】因为的半径为，，
∴OA
故选A.
二、直线与圆的位置关系的判断
利用点和圆的位置关系求半径的取值范围
（1）若点在圆内，则点到圆心的距离小于圆的半径；若点在圆上，则点到圆心的距离等于圆的半径；若点在圆外，则点到圆心的距离大于圆的半径.（2）解这类题时，常运用转化思想，将点与圆的位置关系转化成点到圆心的距离与圆的半径之间的数量关系，从而列出方程或不等式来解答.
已知∠AOB=30°，P是OA上的一点，OP=24 cm，以r为半径作⊙P．
（1）若r=12 cm，试判断⊙P与OB位置关系；
（2）若⊙P与OB相离，试求出r需满足的条件．
【答案】（1）相切；（2）0 cm＜r＜12 cm．
【解析】过点P作PC⊥OB，垂足为C，则∠OCP=90°．
∵∠AOB=30°，OP=24 cm，
∴PC=12OP=12 cm．
（1）∵PC =r=12 cm，
∴⊙P与OB相切，
即⊙P与OB位置关系是相切．
（2）当⊙P与OB相离时，r＜PC，
∴r需满足的条件是：0 cm＜r＜12 cm．
三、有关三角形外接圆的计算和证明
如图，是的外接圆，半径为R，∠A=45°，连接OB、OC，则边BC的长为
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】∵∠A=45°，
∴∠BOC=90°，
∵的半径为R，
∴，
∴BC=OB=R，
故选A.
四、过不在同一直线上的三点作圆
平面直角坐标系内的三个点A（1，0）、B（0，-3）、C（2，-3）______ 确定一个圆（填“能”或“不能”）．
【答案】能
【解析】∵B（0，-3）、C（2，-3），
∴BC∥x轴，
而点A（1，0）在x轴上，
∴点A、B、C三点不共线，
∴三个点A（1，0）、B（0，-3）、C（2，-3）能确定一个圆．
故答案为：能．
五、用反证法证明
（1）当一个命题直接证明很困难时，可考虑运用反证法证明.证明时要弄清楚反证法的思想及一般步骤，还要考虑结论的反面的所有情况，并一一否定.
（2）用反证法证明命题时，准确写出与原命题的结论相反的假设是关键.“一定”“可能”，“全都是”的否定分别为“不一定”“不可能’“不全是”；特别注意“一定”的否定不是“一定不”.
用反证法证明“三角形中至少有一个内角大于或等于60°时，应假设
A．三角形的二个内角小于60°
B．三角形的三个内角都小于60°
C．三角形的二个内角大于60°
D．三角形的三个内角都大于60°
【答案】B
【解析】用反证法证明“三角形中至少有一个内角大于或等于60°”时，第一步应先假设三角形的三个内角都小于60°，故选B.
六、直线和圆的位置关系
利用数量关系判断直线与圆的位置关系
（1）当图形中直线与圆的位置关系不明显时，一般不利用交点个数来判断直线与圆的位置关系，应通过比较圆心到直线的距离与半径的大小来确定它们之间的位置关系.（2）在没有给出d与r的具体数值的情况下，可先根据已知条件求出d与r的值，再通过比较它们的大小确定直线与圆的位置关系.
已知，的半径是一元二次方程的一个根，圆心O到直线l的距离d=4，则直线l与的位置关系是
A．相交B．相切
C．相离D．平行
【答案】A
【解析】，，
∵的半径是一元二次方程的一个根，
∴，
∵，∴直线l与的位置关系是相交，
故选A.
七、切线的性质与判定
切线的判定方法一——连半径，证垂直，某直线是圆的切线时，如果已知直线与圆有公共点，那么可作出经过该点的半径，证明直线垂直于该半径，即“有交点，连半径，证垂直”.
切线的判定方法二——作垂直，证半径
证明某直线是圆的切线时，如果未明确说明直线和圆有公共点，那么常过圆心作直线的垂线段，证明垂线段的长等于半径，即“无交点，作垂直，证半径”.
（2019·雅安）如图，已知AB是的直径，AC，BC是的弦，OE∥AC交BC于E，过点B作的切线交OE的延长线于点D，连接DC并延长交BA的延长线于点F.
（1）求证：DC是的切线；
（2）若∠ABC=30°，AB=8，求线段CF的长.
【解析】（1）连接OC，AC，
∵OE//AC，
∴∠1=∠ACB，
∵AB是的直径，
∴∠1=∠ACB=90°，
∴OD⊥BC，由垂径定理得OD垂直平分BC，
∴DB=DC，
∴∠DBE=∠DCE，又OC=OB，
∴∠OBE=∠OCE，即∠DBO=∠OCD，
∵DB为的切线，OB是半径，
∴∠DBO=90°，
∴∠OCD=∠DBO=90°，即OC⊥DC，∵OC是的半径，
∴DC是的切线；
（2）在中，∠ABC=30°，
∴∠3=60°，又OA=OC，
∴是等边三角形，
∴∠COF=60°，
在中，易得,
根据勾股定理得.
如图，已知BC是⊙O的直径，AB是⊙O的弦，切线AD交BC的延长线于D，若∠D=40°，则∠B的度数是
A．40°B．50°
C．25°D．115°
【答案】C
【解析】连接OA，根据切线的性质得到OA⊥AD，由三角形的内角和得到∠AOC=50°，根据等腰三角形的性质得到∠B=∠OAB，根据圆周角定理可得到结论．
连接OA，
∵AD是⊙O的切线，∴OA⊥AD，
∴∠D=40°，∴∠AOC=50°，
∵BO=OA，∴∠B=∠BAO，
∴∠B+∠BAO=∠AOC=50°，
∴∠B=∠BAO=∠AOC=25°．
故选C．
八、三角形的内切圆
有关三角形内心的常用辅助线作法
解答该类问题时一般有两种作辅助线的方法：一是连接内心与三角形的顶点，即构建出三角形的角平分线；二是连接内心与切点得到线段垂直的位置关系，再连接内心与三角形的顶点进而运用直角三角形的相关知识来解答.
如图，⊙O为ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4.
（1）求ABC的面积；
（2）求⊙O的半径；
（3）求AF的长．
【答案】（1）6；（2）⊙O的半径为1；（3） 3.
【解析】（1）∵∠C＝90°，BC＝3，AC＝4， ∴S△ABC＝×3×4＝6；
（2）如图，连接OE，OD，OF.
∵⊙O为ABC的内切圆，D，E，F为切点，
∴EB＝FB，CD＝CE，AD＝AF，OE⊥BC，OD⊥AC.
又∵∠C＝90°，OD＝OE，∴四边形ECDO为正方形，
设OE＝OD＝CE＝CD＝x，
则EB＝3－x，AD＝4－x，FB＝3－x，AF＝4－x. 又∵AB＝＝5，∴3－x＋4－x＝5，
解得x＝1.即⊙O的半径为1；
（3）∵CD＝1，∴AF＝AD＝4－1＝3.
九、对圆的切线判定方法理解不透彻
已知，如图，OC平分∠AOB，D是OC上任意一点,D与OA相切于点E.
求证：直线OB与D相切.
证明：设F为OB与D的公共点，分别连接DF，DE.
∵OA与D相切于点E，DE⊥OA.
∵OC平分∠AOB，D是OC上任意一点，
∴∠EOD=∠FOD,DE=DF.
又∵OD=OD,.△ODE≌△ODF,
∴∠DEO=∠DFO=90°，即DF⊥OF,∴OB与D相切.
以上证明过程正确吗？若不正确，请给出正确的证明过程.
[易错提示】本题易错误地默认直线OB与D有交点.
正解：不正确.
证明：如图，连接DE，过点D作DF⊥OB于点F.
∵直线OA与D相切于点E，DE⊥OA.
∴DF⊥OB，点D是∠AOB的平分线上一点，
∴DE=DF,∴直线OB与D相切.
1．已知的直径是10，点到圆心的距离为8，则点与的位置关系是
A．在圆外B．在圆心
C．在圆上D．无法确定
2．如图，PA切⊙O于点A，PB切⊙O于点B，OP交⊙O于点C，下列结论中，错误的是
A．∠1＝∠2 B．PA＝PB
C．AB⊥OP D．
3．⊙O的直径为7，圆心O到直线l的距离为3，则直线l与⊙O的位置关系是
A．相离B．相切
C．相交D．相切或相交
4．如图 ，四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA和⊙O分别相切于点L，M，N，P.若四边形ABCD的周长为20，则AB＋CD等于
A．5 B．8
C．10 D．12
5．如图,圆O的直径AB=2,点D在AB的延长线上,DC与圆O相切于点C,连接AC.若∠A=30°,则CD长为
A．B．
C．D．
6．如图，将放在每个小正方形边长为1的网格中，点A、B、C均落在格点上，用一个圆面去覆盖ABC，能够完全覆盖这个三角形的最小圆面半径是
A．5 B．6
C．2 D．52
7．等边三角形外接圆的半径等于边长的____倍．
A． B．
C． D．
8．如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=3，以顶点D为圆心作半径为x的圆，使点A、B、C三点都在圆外，则x的取值范围是_________.
9．已知ABC的斜边AB=6 cm,直角边AC=3 cm.
（1）以C为圆心，2 cm长为半径的圆和直线AB的位置关系是_________；
（2）以C为圆心，4 cm长为半径的圆和直线AB的位置关系是_________；
（3）如果以C为圆心的圆和直线AB相切，则半径长为_________.
10．如图，AC是⊙O的切线，切点为C，BC是⊙O的直径，AB交⊙O于点D，连接OD，若∠A=50°，则∠COD的度数为_____．
11．如图，在⊙O中，M是弦AB的中点，过点B作⊙O的切线，与OM延长线交于点C．
求证：∠A=∠C；
12．如图，已知A、B、C、D、E是⊙O上的五点，⊙O的直径BE=23，∠BCD=120°，A为的中点，延长BA到点P，使BA=AP，连接PE．
（1）求线段BD的长；
（2）求证：直线PE是⊙O的切线．
13．用反证法证明时，假设结论“点在圆外”不成立，那么点与圆的位置关系只能是
A．点在圆内 B．点在圆上
C．点在圆心上 D．点在圆上或圆内
14．如图，一把直尺，60°的直角三角板和光盘如图摆放，A为60°角与直尺交点，AB=3,则光盘的直径是
A．3 B．33
C．6 D．63
15．如图，BM与⊙O相切于点B，若∠MBA=140∘，则∠ACB的度数为
A．40∘ B．50∘
C．60∘ D．70∘
16．如图，点A，B，D在⊙O上，∠A=20°，BC是⊙O的切线，B为切点，OD的延长线交BC于点C，则∠OCB=_____度．
17．已知的三边a，b，c，满足a+b2+|c﹣6|+28=4a-1+10b，则△ABC的外接圆半径=__________．
18．如图，AB是⊙O的弦，点C在过点B的切线上，且OC⊥OA，OC交AB于点P，已知∠OAB=22°，则∠OCB=__________．
19．如图， P是ΔABC的内心，连接PA、PB、PC，ΔPAB、ΔPBC、ΔPAC的面积分别为S1、S2、S3，则S1___________S2+S3.(填“<”或“=”或“>”)
20．如图，AB是⊙O的直径，AC=BC，E是OB的中点，连接CE并延长到点F，使EF=CE．连接AF交⊙O于点D，连接BD，BF．
（1）求证：直线BF是⊙O的切线；
（2）若OB=2，求BD的长．
21．（2019·福建省）如图，PA、PB是⊙O切线，A、B为切点，点C在⊙O上,且∠ACB＝55°，则∠APB等于
A．55°B．70°
C．110°D．125°
22．（2019·广州市）平面内，⊙O的半径为1，点P到O的距离为2，过点P可作⊙O的切线条数为
A．0条B．1条
C．2条D．无数条
23．（2019·台州市）如图，等边三角形的边长为8，以上一点为圆心的圆分别与边，相切，则的半径为
A．B．3
C．4D．
24．（2019·苏州）如图，为的切线，切点为，连接，与交于点，延长与交于点，连接，若，则的度数为
A．B．
C．D．
25．（2019·杭州市）如图，P为⊙外一点，PA、PB分别切⊙于A、B两点，若，则
A．2B．3
C．4D．5
26．（2019·无锡市）如图，PA是⊙O的切线，切点为A，PO的延长线交⊙O于点B，若∠P=40°，则∠B的度数为
A．20°B．25°
C．40°D．50°
27．（2019·重庆市）如图，AB是⊙的直径，AC是⊙的切线，A为切点，BC与⊙交于点D，连接OD．若，则∠AOD的度数为
A．B．
C．D．
28．（2019·台州市）如图，是圆内接四边形的一条对角线，点关于的对称点在边上，连接．若，则的度数为__________．
29．（2019·省武威市、陇南市、庆阳市、平凉市、白银市、酒泉市、张掖市、临夏自治州）如图，在中，，点在边上，经过点和点且与边相交于点．
（1）求证：是的切线；
（2）若，求的半径．
30．（2019·盐城市）如图，在中，，是斜边上的中线，以为直径的分别交、于点、，过点作，垂足为．
（1）若的半径为，，求的长；（2）求证：与相切．
31．（2019·乐山市）已知关于的一元二次方程.
（1）求证：无论为任何实数，此方程总有两个实数根；
（2）若方程的两个实数根为、，满足，求的值；
（3）若的斜边为5，另外两条边的长恰好是方程的两个根、，求的内切圆半径.
32．（2019·凉山州）如图，点D是以AB为直径的⊙O上一点，过点B作⊙O的切线，交AD的延长线于点C，E是BC的中点，连接DE并延长与AB的延长线交于点F.
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）若，求AD的长．
1．【答案】A
【解析】∵⊙O的直径是10，
∴⊙O的半径r=5cm，
∵点P到圆心O的距离为8cm，5cm＜8cm，
∴点P在圆外．
故选A．
【名师点睛】本题考查点与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有点P在圆外⇔d＞r；点P在圆上⇔d=r；点P在圆内⇔d＜r．
2．【答案】D
【解析】∵PA、PB是⊙O的切线，切点是A、B， ∴PA=PB，∠1=∠2， ∴选项A、B正确；
∵PA=PB，∠1=∠2， ∴OP⊥AB，∴选项C正确；根据已知不能得出，故选项D符合题意； 故选D．
3．【答案】C
【解析】∵⊙O的直径为7，
∴半径r=3.5，
∵圆心O到直线l的距离为3，即d=3，
∴d＜r
∴直线l与⊙O的位置关系是相交．
故选：C．
【名师点睛】判断直线l与⊙O的位置关系.求出圆心与直线的距离是关键.
4．【答案】C
【解析】根据圆外切四边形的两组对边和相等得AB+CD=20÷2=10．故选C．
5．【答案】D
【解析】如图所示，连接BC，OC，
∵AB是圆O的直径，
∴∠BCA=90°，
又∵∠A=30°，
∴∠CBA=90°−30°=60°，
∵DC是切线，
∴∠BCD=∠A=30°,∠OCD=90°，
∴∠D=∠CBA−∠BCD=60°−30°=30°，
∵AB=2，
∴OC=1，
∴OD=2，
∴CD=，
故选D.
6．【答案】A
【解析】如图所示：
点O为外接圆圆心，则AO为外接圆半径，
故能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径是：5．
故选：A．
7．【答案】C
【解析】如图，
∵△ABC是等边三角形，
∴设AB=BC=2x，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，BD=BC=x，
∴AD=x，
∵点E是△ABC的外接圆的圆心，
∴∠EBD=30°，
∴AE=BE=2ED，
∴AE=x，
∴等边三角形外接圆的半径BE等于边长AB的倍．
故选C.
8．【答案】0＜x＜3
【解析】在ABD中，CD=AB=4，AD=3，
则BD= =5．
∵点A、B、C三点都在圆外，
∴0＜x＜3．
故答案为0＜x＜3.
【名师点睛】本题考查点与圆的位置关系，解题的关键是熟练掌握勾股定理及点与圆的位置关系．
9．【答案】相离 相交 332 cm
【解析】由已知可得，BC=AB2-AC2=62-32=33,
所以，斜边上的高CD=AC•BCAB=332,
（1）因为2<332,所以，以C为圆心，2 cm长为半径的圆和AB的位置关系是相离；
（2）因为4>332,所以，以C为圆心，4 cm长为半径的圆和AB的位置关系是相交；
(3)如果以C为圆心的圆和AB相切，则半径长为332 cm.
故答案为：（1）相离；（2）相交；（3）332 cm.
10．【答案】80°
【解析】∵AC是⊙O的切线，
∴∠C＝90°，
∵∠A＝50°，
∴∠B＝40°，
∵OB＝OD，
∴∠B＝∠ODB＝40°，
∴∠COD＝∠B＋∠ODB ＝40°＋40°＝80°．
故答案为80°．
11．【解析】连接OB，
∵BC是⊙O的切线，
∴∠OBC=90°，
∴∠OBM+∠CBM=90°，
∵OA=OB，
∴∠A=∠OBM，
∵M是AB的中点，
∴OM⊥AB．
∴∠C+∠CBM=90°，
∴∠C=∠OBM，
∴∠A=∠C.
12．【答案】（1）;（2）见解析.
【解析】（1）连接DE，如图，
∵∠BCD+∠DEB=180°，
∴∠DEB=180°﹣120°=60°，
∵BE为直径，
∴∠BDE=90°，
在Rt△BDE中，DE=12BE=12×23=3，
；
（2）证明：连接EA，如图，
∵BE为直径，
∴∠BAE=90°，
∵A为的中点，
∴∠ABE=45°，
∵BA=AP，
而EA⊥BA，
∴△BEP为等腰直角三角形，
∴∠PEB=90°，
∴PE⊥BE，
∴直线PE是⊙O的切线．
13．【答案】D
【解析】用反证法证明时，假设结论“点在圆外”不成立，
那么点应该在圆内或者圆上.
故选D.
14．【答案】D
【解析】如图，设光盘圆心为O，连接OC，OA，OB，
∵AC、AB都与圆O相切，
∴AO平分∠BAC，OC⊥AC，OB⊥AB，
∴∠CAO=∠BAO=60°，
∴∠AOB=30°，
在RtAOB中，AB=3 cm，∠AOB=30°，
∴OA=6 cm，
根据勾股定理得：OB=OA2-AB2=33，
则光盘的直径为63，
故选D.
15．【答案】A
【解析】如图，连接OA、OB．
∵BM是⊙O的切线，∴∠OBM=90°．
∵∠MBA=140°，∴∠ABO=50°．
∵OA=OB，∴∠ABO=∠BAO=50°，∴∠AOB=80°，∴∠ACB=12∠AOB=40°．
故选A．
16．【答案】50
【解析】∵∠A=20°，
∴∠BOC=40°，
∵BC是⊙O的切线，B为切点，
∴∠OBC=90°，
∴∠OCB=90°-40°=50°，
故答案为：50．
17．【答案】258
【解析】∵a+b2+|c-6|+28=4a-1+10b，
∴（a-1-4a-1+4）+（b2-10b+25）+|c-6|=0，
∴（a-1-2）2+（b-5）2+|c-6|=0，
∴a-1−2＝0，b-5=0，c-6=0，
解得，a=5，b=5，c=6，
∴AC=BC=5，AB=6，
作CD⊥AB于点D，
则AD=3，CD=4，
设△ABC的外接圆的半径为r，
则OC=r，OD=4-r，OA=r，
∴32+（4-r）2=r2，
解得，r=258，
故答案为258．
18．【答案】44°
【解析】连接OB，
∵BC是⊙O的切线，
∴OB⊥BC，
∴∠OBA+∠CBP=90°，
∵OC⊥OA，
∴∠A+∠APO=90°，
∵OA=OB，∠OAB=22°，
∴∠OAB=∠OBA=22°，
∴∠APO=∠CBP=68°，
∵∠APO=∠CPB，
∴∠CPB=∠ABP=68°，
∴∠OCB=180°-68°-68°=44°，
故答案为：44°
19．【答案】＜
【解析】∵点P是ABC的内心，
∴点P到△ABC三边的距离相等，
设这个距离为h，
∴S1=12AB•h，S2+S3=12BC•h+12AC•h，
∵AB＜BC+AC，
∴S1＜S2+S3，
故答案为＜.
20．【解析】（1）连接OC，
∵AB是⊙O的直径，AC=BC，∴∠BOC=90°，
∵E是OB的中点，∴OE=BE，
在△OCE和△BFE中，
OE=BE∠OEC=∠BEFCE=EF，
∴△OCE≌△BFE（SAS），
∴∠OBF=∠COE=90°，
∴直线BF是⊙O的切线；
（2）∵是⊙O的直径，∴.
∵OB=OC=2，由（1）得：△OCE≌△BFE，
∴BF=OC=2，
∴AF=AB2+BF2=42+22=25，
∴S△ABF=12AB·BF=12AF·BD，
即4×2=25BD，
∴BD=455．
21．【答案】B
【解析】连接OA，OB，
∵PA，PB是⊙O的切线，
∴PA⊥OA，PB⊥OB，
∵∠ACB＝55°，
∴∠AOB＝110°，
∴∠APB＝360°−90°−90°−110°＝70°．
故选B．
【名师点睛】本题考查了多边形的内角和定理，切线的性质，圆周角定理的应用，关键是求出∠AOB的度数．
22．【答案】C
【解析】因为点P到O的距离为2，大于半径1，所以点P在圆外，
所以，过点P可作⊙O的切线有2条；
故选C.
23．【答案】A
【解析】设与的切点为，
连接，，
∵等边三角形的边长为8，
∴，，
∵圆分别与边，相切，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴的半径为，
故选：A．
【名师点睛】此题主要考查圆的半径，解题的关键是根据题意作出辅助线进行求解.
24．【答案】D
【解析】切线性质得到，
，
，
，
，
，
故选D.
【名师点睛】本题主要考查圆的切线性质、三角形的外角性质等，掌握基础定义是解题关键
25．【答案】B
【解析】因为PA和PB与⊙相切，根据切线长定理，所以PA＝PB＝3，故选B.
【名师点睛】本题考查切线长定理，解题的关键是熟练掌握切线长定理.
26．【答案】B
【解析】连接OA，如图：
∵PA是⊙O的切线，切点为A，
∴OA⊥AP，
∴∠OAP=90°，
∵∠P=40°，
∴∠AOP=90°-40°=50°，
∴∠B=∠AOB=25°，
故选B.
【名师点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，正确添加辅助线，熟练掌握切线的性质定理是解题的关键.
27．【答案】C
【解析】∵AC是⊙的切线，
∴∠CAB=，
又∵，
∴∠ABC=-=40，
又∵OD=OB，
∴∠BDO=∠ABC=40，
又∵∠AOD=∠OBD+∠OBD，
∴∠AOD=40+40=80，
故选C.
【名师点睛】本题考查了圆的切线的性质、等腰三角形以及三角形外角的概念.其中解题关键是运用圆的切线垂直于半径的性质.
28．【答案】
【解析】∵圆内接四边形，
∴，
∵点关于的对称点在边上，
∴，
∴.
故答案为.
【名师点睛】此题主要考查圆内的角度计算，解题的关键是熟知圆周角定理与三角形的外角定理.
29．【答案】（1）见解析；（2）.
【解析】（1）连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是的切线；
（2）连接，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的半径．
【名师点睛】本题考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
30．【答案】（1）；（2）见解析.
【解析】（1）连接、，
，
．
为的斜边的中线，由于直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，
，，，
为圆的直径．，即，
由于等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合，
．
（2）、为、的中点，由于三角形中位线平行于底边，
，
．
，
，
即．
又为半径
与圆相切．
【名师点睛】本题综合考查“直角三角形斜边中线等于斜边的一半”，“等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合”，“三角形中位线平行于底边”等定律，以及圆的切线的判定定理.
31．【答案】（1）详见解析；（2）2；（3）1
【解析】（1）∵，
无论为任何实数时，此方程总有两个实数根.
（2）由题意得：，，
，
，
即，
解得：；
（3）解方程得：，，
根据题意得：，即，
设直角三角形的内切圆半径为，如图，
由切线长定理可得：，
直角三角形的内切圆半径=.
【名师点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，直角三角形内切圆的半径，解本题的关键是掌握根据直角三角形三边求其内切圆的半径公式.
32．【答案】（1）见解析；（2）.
【解析】（1）如图，连接OD，BD，
∵AB为⊙O的直径，
，
在中，，
，
∵BC是⊙O的切线，
，
，
又，
，
∴DF为⊙O的切线；
（2），
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
【名师点睛】考查了切线的判定和性质，直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．位置关系
相离
相切
相交
图形
公共点个数
0个
1个
2个
数量关系
d>r
d______r
d
点和圆的位置关系、圆的确定、直线和圆的位置关系、切线的判定与性质、切线长及切线长定理
帮—难点
反证法、三角形的外接圆、三角形的内切圆及内心
帮—易错
圆的确定、切线的判定
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