高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第五章 三角函数5.5 三角恒等变换达标测试

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第五章 三角函数5.5 三角恒等变换达标测试，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

课时分层作业(四十九) 简单的三角恒等变换


(建议用时：40分钟)





一、选择题


1．函数f(x)＝cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4)))，x∈R，则f(x)( )


A．是奇函数


B．是偶函数


C．既是奇函数，也是偶函数


D．既不是奇函数，也不是偶函数


D [原式＝eq \f(1,2)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1＋cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,2)))))


＝eq \f(1,2)(1－sin 2x)


＝eq \f(1,2)－eq \f(1,2)sin 2x，


此函数既不是奇函数也不是偶函数．]


2．已知eq \f(cs α,1＋sin α)＝eq \r(3)，则eq \f(cs α,sin α－1)的值为( )


A.eq \f(\r(3),3) B．－eq \f(\r(3),3)


C.eq \r(3) D．－eq \r(3)


B [∵eq \f(cs α,1＋sin α)·eq \f(cs α,sin α－1)＝eq \f(cs2α,sin2α－1)＝eq \f(1－sin2α,sin2α－1)＝－1


且eq \f(cs α,1＋sin α)＝eq \r(3)，∴eq \f(cs α,sin α－1)＝－eq \f(\r(3),3).]


3．在△ABC中，若cs A＝eq \f(1,3)，则sin2eq \f(B＋C,2)＋cs 2A＝( )


A．－eq \f(1,9) B.eq \f(1,9)


C．－eq \f(1,3) D．eq \f(1,3)


A [sin2eq \f(B＋C,2)＋cs 2A


＝eq \f(1－csB＋C,2)＋2cs2A－1


＝eq \f(1＋cs A,2)＋2cs2A－1


＝－eq \f(1,9).]


4．已知tan 2α＝eq \f(3,4)，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，函数f(x)＝sin(x＋α)－sin(x－α)－2sin α，且对任意的实数x，不等式f(x)≥0恒成立，则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))的值为( )


A．－eq \f(2\r(5),5) B．－eq \f(\r(5),5)


C．－eq \f(2\r(3),5) D．－eq \f(\r(3),5)


A [由tan 2α＝eq \f(3,4)，即eq \f(2tan α,1－tan2α)＝eq \f(3,4)，得tan α＝eq \f(1,3)或tan α＝－3.又f(x)＝sin(x＋α)－sin(x－α)－2sin α＝2cs xsin α－2sin α≥0恒成立，所以sin α≤0，tan α＝－3，sin α＝－eq \f(3,\r(10))，cs α＝eq \f(1,\r(10))，所以sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))＝sin αcseq \f(π,4)－cs αsineq \f(π,4)＝－eq \f(2\r(5),5)，故选A.]


5．已知f(x)＝2sin2x＋2sin xcs x，则f(x)的最小正周期和一个单调减区间分别为( )


A．2π，eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(3π,8)，\f(7π,8))) B．π，eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(3π,8)，\f(7π,8)))


C．2π，eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,8)，\f(3π,8))) D．π，eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,8)，\f(3π,8)))


B [∵f(x)＝1－cs 2x＋sin 2x


＝1＋eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,4)))，


∴f(x)的最小正周期T＝eq \f(2π,2)＝π，


由eq \f(π,2)＋2kπ≤2x－eq \f(π,4)≤eq \f(3π,2)＋2kπ，


得f(x)的单调减区间为


eq \f(3π,8)＋kπ≤x≤eq \f(7π,8)＋kπ，k∈Z，


当k＝0时，得f(x)的一个单调减区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(3π,8)，\f(7π,8)))，故选B.]


二、填空题


6．有以下四个关于三角函数的命题：


①∃x0∈R，sin2eq \f(x0,2)＋cs2eq \f(x0,2)＝eq \f(1,2)；②∃x0，y0∈R，sin(x0－y0)＝sin x0－sin y0；③∀x∈[0，π]，eq \r(\f(1－cs 2x,2))＝sin x；④sin x＝cs y⇒x＋y＝eq \f(π,2).


其中假命题的序号为 ．


①④ [因为sin2eq \f(x,2)＋cs2eq \f(x,2)＝1≠eq \f(1,2)，所以①为假命题；当x＝y＝0时，sin(x－y)＝sin x－sin y，所以②为真命题；因为eq \r(\f(1－cs 2x,2))＝eq \r(\f(1－1－2sin2x,2))＝|sin x|＝sin x，x∈[0，π]，所以③为真命题；当x＝eq \f(π,2)，y＝2π时，sin x＝cs y，但x＋y≠eq \f(π,2)，所以④为假命题．]


7．化简下列各式：


(1)eq \f(π,4)＜α＜eq \f(π,2)，则eq \r(1－sin 2α)＝ .


(2)α为第三象限角，则eq \f(\r(1＋cs 2α),cs α)－eq \f(\r(1－cs 2α),sin α)＝ .


(1)sin α－cs α (2)0 [(1)∵α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2)))，∴sin α＞cs α，


∴eq \r(1－sin 2α)＝eq \r(1－2sin αcs α)


＝eq \r(sin2α－2sin αcs α＋cs2α)


＝eq \r(sin α－cs α2)＝sin α－cs α.


(2)∵α为第三象限角，∴cs α＜0，sin α＜0，


∴eq \f(\r(1＋cs 2α),cs α)－eq \f(\r(1－cs 2α),sin α)＝eq \f(\r(2cs2α),cs α)－eq \f(\r(2sin2α),sin α)


＝eq \f(－\r(2)cs α,cs α)－eq \f(－\r(2)sin α,sin α)＝0.]


8．函数f(x)＝cs 2x＋4sin x的值域是 ．


[－5,3] [f(x)＝cs 2x＋4sin x＝1－2sin2x＋4sin x＝－2(sin x－1)2＋3.


当sin x＝1时，f(x)取得最大值3，


当sin x＝－1时，f(x)取得最小值－5，


所以函数f(x)的值域为[－5,3]．]


三、解答题


9．求证：taneq \f(3x,2)－taneq \f(x,2)＝eq \f(2sin x,cs x＋cs 2x).


[证明] 法一：(由左推右)taneq \f(3x,2)－taneq \f(x,2)


＝eq \f(sin\f(3x,2),cs\f(3x,2))－eq \f(sin\f(x,2),cs\f(x,2))


＝eq \f(sin\f(3x,2)cs\f(x,2)－cs\f(3x,2)sin\f(x,2),cs\f(3x,2)cs\f(x,2))


＝eq \f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3x,2)－\f(x,2))),cs\f(3x,2)cs\f(x,2))


＝eq \f(sin x,cs\f(3x,2)cs\f(x,2))


＝eq \f(2sin x,cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3x,2)＋\f(x,2)))＋cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3x,2)－\f(x,2))))


＝eq \f(2sin x,cs x＋cs 2x).


法二：(由右推左)eq \f(2sin x,cs x＋cs 2x)


＝eq \f(2sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3x,2)－\f(x,2))),cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3x,2)－\f(x,2)))＋cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3x,2)＋\f(x,2))))


＝eq \f(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin\f(3x,2)cs\f(x,2)－cs\f(3x,2)sin\f(x,2))),2cs\f(3x,2)cs\f(x,2))


＝eq \f(sin\f(3x,2),cs\f(3x,2))－eq \f(sin\f(x,2),cs\f(x,2))＝taneq \f(3x,2)－taneq \f(x,2).


10．已知函数f(x)＝2cs2eq \f(x,2)，g(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin\f(x,2)＋cs\f(x,2)))2.


(1)求证：feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－x))＝g(x)；


(2)求函数h(x)＝f(x)－g(x)(x∈[0，π])的单调区间，并求使h(x)取到最小值时x的值．


[解] (1)证明过程如下：f(x)＝2cs2eq \f(x,2)＝1＋cs x，


g(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin\f(x,2)＋cs\f(x,2)))eq \s\up12(2)


＝1＋2sineq \f(x,2)cseq \f(x,2)


＝1＋sin x，


∵feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－x))＝1＋cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－x))＝1＋sin x，


∴feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－x))＝g(x)，


命题得证．


(2)函数h(x)＝f(x)－g(x)＝cs x－sin x


＝eq \r(2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)cs x－\f(\r(2),2)sin x))


＝eq \r(2)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4)))，


∵x∈[0，π]，


∴eq \f(π,4)≤x＋eq \f(π,4)≤eq \f(5π,4)，


当eq \f(π,4)≤x＋eq \f(π,4)≤π，


即0≤x≤eq \f(3π,4)时，h(x)递减，


当π≤x＋eq \f(π,4)≤eq \f(5π,4)，即eq \f(3π,4)≤x≤π时，h(x)递增．


∴函数h(x)的单调递减区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(3π,4)))，


单调递增区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)，π))，


根据函数h(x)的单调性，可知当x＝eq \f(3π,4)时，函数h(x)取到最小值．





11．设a＝eq \f(1,2)cs 7°＋eq \f(\r(3),2)sin 7°，b＝eq \f(2tan 19°,1－tan219°)，c＝eq \r(\f(1－cs 72°,2))，则有( )


A．b＞a＞c B．a＞b＞c


C．a＞c＞b D．c＞b＞a


A [∵a＝sin 37°，b＝tan 38°，


c＝sin 36°，


∴b＞a＞c.]


12．设α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，且eq \f(sin α,cs α)＝eq \f(cs β,1－sin β)，则( )


A．2α＋β＝eq \f(π,2) B．2α－β＝eq \f(π,2)


C．α＋2β＝eq \f(π,2) D．α－2β＝eq \f(π,2)


B [由题意得sin α－sin αsin β＝cs αcs β，


sin α＝cs(α－β)，


∴cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))＝cs(α－β)．


∵eq \f(π,2)－α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，α－β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，


∴eq \f(π,2)－α＝α－β或eq \f(π,2)－α＋α－β＝0(舍去)，


∴2α－β＝eq \f(π,2).]


13．若函数f(x)＝(1＋eq \r(3)tan x)cs x,0≤x

2 [f(x)＝(1＋eq \r(3)tan x)cs x


＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\r(3)\f(sin x,cs x)))cs x


＝eq \r(3)sin x＋cs x


＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6))).


∵0≤x

∴eq \f(π,6)≤x＋eq \f(π,6)

∴当x＋eq \f(π,6)＝eq \f(π,2)时，


f(x)取到最大值2.]


14．(一题两空)若θ是第二象限角，且25sin2 θ＋sin θ－24＝0，则sin θ＝ ，cs eq \f(θ,2)＝ .


eq \f(24,25) ±eq \f(3,5) [由25sin2 θ＋sin θ－24＝0，


又θ是第二象限角，


得sin θ＝eq \f(24,25)或sin θ＝－1(舍去)．


故cs θ＝－eq \r(1－sin2 θ)＝－eq \f(7,25)，


由cs2 eq \f(θ,2)＝eq \f(1＋cs θ,2)得cs2 eq \f(θ,2)＝eq \f(9,25).


又eq \f(θ,2)是第一、三象限角，


所以cs eq \f(θ,2)＝±eq \f(3,5).]





15．如图所示，在直角坐标系xOy中，点P是单位圆上的动点，过点P作x轴的垂线与射线y＝eq \r(3)x(x≥0)交于点Q，与x轴交于点M.记∠MOP＝α，且α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2))).





(1)若sin α＝eq \f(1,3)，求cs∠POQ；


(2)求△OPQ面积的最大值．


[解] (1)由题意知∠QOM＝eq \f(π,3)，因为sin α＝eq \f(1,3)，


且α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，所以cs α＝eq \f(2\r(2),3)，


所以cs∠POQ＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－α))


＝cseq \f(π,3)cs α＋sineq \f(π,3)sin α＝eq \f(2\r(2)＋\r(3),6).


(2)由三角函数定义，得P(cs α，sin α)，


从而Q(cs α，eq \r(3)cs α)，


所以S△POQ＝eq \f(1,2)|cs α||eq \r(3)cs α－sin α|


＝eq \f(1,2)|eq \r(3)cs2α－sin αcs α|


＝eq \f(1,2)eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)＋\f(\r(3)cs 2α,2)－\f(1,2)sin 2α))


＝eq \f(1,2)eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)＋sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－2α))))


≤eq \f(1,2)eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)＋1))＝eq \f(\r(3),4)＋eq \f(1,2).


因为α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，


所以当α＝－eq \f(π,12)时，等号成立，


所以△OPQ面积的最大值为eq \f(\r(3),4)＋eq \f(1,2).