高中数学5.5 三角恒等变换第3课时课时训练

这是一份高中数学5.5 三角恒等变换第3课时课时训练，共7页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

课时分层作业(四十七) 两角和与差的正切公式


(建议用时：40分钟)





一、选择题


1．已知点P(1，a)在角α的终边上，taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝－eq \f(1,3)，则实数a的值是( )


A．2 B．eq \f(1,2)


C．－2 D．－eq \f(1,2)


C [∵taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝eq \f(tan α＋tan\f(π,4),1－tan αtan\f(π,4))


＝eq \f(tan α＋1,1－tan α)＝－eq \f(1,3)，


∴tan α＝－2，


∵点P(1，a)在角α的终边上，


∴tan α＝eq \f(a,1)＝a，


∴a＝－2.]


2.eq \f(\r(3)－tan 18°,1＋\r(3)tan 18°)的值等于( )


A．tan 42° B．tan 3°


C．1 D．tan 24°


A [∵tan 60°＝eq \r(3)，


∴原式＝eq \f(tan 60°－tan 18°,1＋tan 60°tan 18°)＝tan(60°－18°)＝tan 42°.]


3．若tan(180°－α)＝－eq \f(4,3)，则tan(α＋405°)等于( )


A.eq \f(1,7) B．7


C．－eq \f(1,7) D．－7


D [∵tan(180°－α)＝－tan α＝－eq \f(4,3)，∴tan α＝eq \f(4,3)，


∴tan(α＋405°)＝tan(α＋45°)＝eq \f(1＋tan α,1－tan α)＝eq \f(1＋\f(4,3),1－\f(4,3))＝－7.]


4．已知tan(α＋β)＝eq \f(3,5)，taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,4)))＝eq \f(1,4)，那么taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))等于( )


A.eq \f(13,18) B.eq \f(13,23)


C.eq \f(7,23) D．eq \f(1,6)


C [taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝taneq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(α＋β－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,4)))))＝eq \f(tanα＋β－tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,4))),1＋tanα＋βtan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,4))))＝eq \f(\f(3,5)－\f(1,4),1＋\f(3,5)×\f(1,4))＝eq \f(7,23).]


5．若tan 28°tan 32°＝m，则tan 28°＋tan 32°＝( )


A.eq \r(3)m B.eq \r(3)(1－m)


C.eq \r(3)(m－1) D．eq \r(3)(m＋1)


B [由公式变形tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)可得，tan 28°＋tan 32°＝tan 60°(1－tan 28°tan 32°)


＝eq \r(3)(1－m)．]


二、填空题


6．已知taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(β,2)))＝eq \f(1,2)，taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(α,2)))＝－eq \f(1,3)，则taneq \f(α＋β,2)＝ .


eq \f(1,7) [taneq \f(α＋β,2)＝taneq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(β,2)))＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(α,2)))))


＝eq \f(tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(β,2)))＋tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(α,2))),1－tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(β,2)))tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(α,2))))


＝eq \f(\f(1,2)－\f(1,3),1＋\f(1,2)×\f(1,3))＝eq \f(1,7).]


7．在△ABC中，若tan A，tan B是方程6x2－5x＋1＝0的两根，则角C＝ .


eq \f(3π,4) [由题意得tan A＋tan B＝eq \f(5,6)，tan Atan B＝eq \f(1,6)，


∴tan(A＋B)＝eq \f(tan A＋tan B,1－tan Atan B)＝eq \f(\f(5,6),1－\f(1,6))＝1.


又A＋B＋C＝π，


∴tan C＝－tan(A＋B)＝－1，


∴C＝eq \f(3π,4).]


8．化简：tan 10°tan 20°＋tan 20°tan 60°＋tan 60°tan 10°的值等于 ．


1 [原式＝tan 10°tan 20°＋tan 60°(tan 20°＋tan 10°)


＝tan 10°tan 20°＋eq \r(3)tan(20°＋10°)(1－tan 20°tan 10°)


＝tan 10°tan 20°＋1－tan 20°tan 10°


＝1.]


三、解答题


9．已知taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))＝2，tan β＝eq \f(1,2)，


(1)求tan α的值；


(2)求eq \f(sinα＋β－2sin αcs β,2sin αsin β＋csα＋β)的值．


[解] (1)∵taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))＝2，


∴eq \f(tan\f(π,4)＋tan α,1－tan\f(π,4)tan α)＝2，


∴eq \f(1＋tan α,1－tan α)＝2，解得tan α＝eq \f(1,3).


(2)原式


＝eq \f(sin αcs β＋cs αsin β－2sin αcs β,2sin αsin β＋cs αcs β－sin αsin β)


＝eq \f(cs αsin β－sin αcs β,cs αcs β＋sin αsin β)＝eq \f(sinβ－α,csβ－α)


＝tan(β－α)＝eq \f(tan β－tan α,1＋tan βtan α)


＝eq \f(\f(1,2)－\f(1,3),1＋\f(1,2)×\f(1,3))＝eq \f(1,7).


10．如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知A，B的横坐标分别为eq \f(\r(2),10)，eq \f(2\r(5),5).





求：(1)tan(α＋β)的值；(2)α＋2β的大小．


[解] 由条件得cs α＝eq \f(\r(2),10)，cs β＝eq \f(2\r(5),5).


∵α，β为锐角，


∴sin α＝eq \r(1－cs2α)＝eq \f(7\r(2),10)，


sin β＝eq \r(1－cs2β)＝eq \f(\r(5),5).


因此tan α＝eq \f(sin α,cs α)＝7，


tan β＝eq \f(sin β,cs β)＝eq \f(1,2).


(1)tan(α＋β)＝eq \f(tan α＋tan β,1－tan α·tan β)


＝eq \f(7＋\f(1,2),1－7×\f(1,2))＝－3.


(2)∵tan 2β＝tan(β＋β)＝eq \f(2tan β,1－tan2β)


＝eq \f(2×\f(1,2),1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(2))＝eq \f(4,3)，


∴tan(α＋2β)＝eq \f(tan α＋tan 2β,1－tan α·tan 2β)


＝eq \f(7＋\f(4,3),1－7×\f(4,3))＝－1.


∵α，β为锐角，


∴0＜α＋2β＜eq \f(3π,2)，


∴α＋2β＝eq \f(3π,4).





11．若2cs α－sin α＝0，则taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))等于( )


A．－eq \f(1,3) B．eq \f(1,3)


C．－3 D．3


B [由题意知tan α＝2，


则taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))＝eq \f(tan α－tan\f(π,4),1＋tan αtan\f(π,4))＝eq \f(2－1,1＋2)＝eq \f(1,3).]


12．(多选题)已知tan α＝lg (10a)，tan β＝lgeq \f(1,a)，且α＋β＝eq \f(π,4)，则实数a的值为( )


A．1 B．10


C.eq \f(1,10) D．eq \f(1,100)


AC [∵α＋β＝eq \f(π,4)，


∴tan(α＋β)＝eq \f(tan α＋tan β,1－tan αtan β)＝1，


tan α＋tan β＝1－tan αtan β，


即lg (10a)＋lgeq \f(1,a)＝1－lg (10a)lgeq \f(1,a)，


1＝1－lg (10a)lgeq \f(1,a)，


∴lg (10a)lgeq \f(1,a)＝0，


∴lg (10a)＝0或lgeq \f(1,a)＝0，


解得a＝eq \f(1,10)或a＝1.]


13．已知eq \f(sin α＋cs α,sin α－cs α)＝3，tan(α－β)＝2，则tan(β－2α)＝ .


eq \f(4,3) [由条件知eq \f(sin α＋cs α,sin α－cs α)＝eq \f(tan α＋1,tan α－1)＝3，


则tan α＝2.


因为tan(α－β)＝2，


所以tan(β－α)＝－2，


故tan(β－2α)＝tan[(β－α)－α]


＝eq \f(tanβ－α－tan α,1＋tanβ－αtan α)＝eq \f(－2－2,1＋－2×2)＝eq \f(4,3).]


14．在△ABC中，tan A＋tan B＋tan C＝3eq \r(3)，tan2B＝tan A·tan C，则角B＝ .


60° [由公式变形得：


tan A＋tan B＝tan(A＋B)(1－tan Atan B)


＝tan(180°－C)(1－tan Atan B)


＝－tan C(1－tan Atan B)


＝－tan C＋tan Atan Btan C，


∴tan A＋tan B＋tan C


＝－tan C＋tan Atan Btan C＋tan C


＝tan Atan Btan C＝3eq \r(3).


∵tan2B＝tan Atan C，


∴tan3B＝3eq \r(3)，


∴tan B＝eq \r(3)，B＝60°.]





15．是否存在锐角α，β，使得(1)α＋2β＝eq \f(2π,3)，(2)taneq \f(α,2)tan β＝2－eq \r(3)同时成立？若存在，求出锐角α，β的值；若不存在，说明理由．


[解] 假设存在锐角α，β使得(1)α＋2β＝eq \f(2π,3)，(2)taneq \f(α,2)tan β＝2－eq \r(3)同时成立．


由(1)得eq \f(α,2)＋β＝eq \f(π,3)，


所以taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(α,2)＋β))＝eq \f(tan\f(α,2)＋tan β,1－tan\f(α,2)tan β)＝eq \r(3).


又taneq \f(α,2)tan β＝2－eq \r(3)，所以taneq \f(α,2)＋tan β＝3－eq \r(3)，因此taneq \f(α,2)，tan β可以看成是方程x2－(3－eq \r(3))x＋2－eq \r(3)＝0的两个根，


解得x1＝1，x2＝2－eq \r(3).


若taneq \f(α,2)＝1，则α＝eq \f(π,2)，这与α为锐角矛盾，所以taneq \f(α,2)＝2－eq \r(3)，tan β＝1，所以α＝eq \f(π,6)，β＝eq \f(π,4)，所以满足条件的α，β存在，且α＝eq \f(π,6)，β＝eq \f(π,4).