湘教版九年级上册4.4 解直接三角形的应用学案及答案

这是一份湘教版九年级上册4.4 解直接三角形的应用学案及答案，共9页。学案主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题


1．坡度等于1∶eq \r(3)的斜坡的坡角等于( )


A．30° B．40° C．50° D．60°


2．2016·苏州如图K－36－1，长4 m的楼梯AB的倾斜角∠ABD为60°，为了改善楼梯的安全性能，准备重新建造楼梯，使其倾斜角∠ACD为45°，则调整后的楼梯AC的长为( )





图K－36－1


A．2 eq \r(3) m B．2 eq \r(6) m


C．(2 eq \r(3)－2) m D．(2 eq \r(6)－2) m


3．某水坝的坡度i＝1∶eq \r(3)，坡长为20米，则水坝的高度为( )


A．10米 B．20米 C．40米 D.eq \f(20 \r(3),3)米


4．如图K－36－2，在平地MN上用一块10 m长的木板AB搭了一个斜坡，两根支柱AC＝7.5 m，AD＝6 m，其中AC⊥AB，AD⊥MN，则斜坡AB的坡度是( )





图K－36－2


A．3∶5 B．4∶5 C．3∶4 D．4∶3


二、填空题


5．如图K－36－3，如果在坡度i＝1∶2.4的斜坡上两棵树之间的水平距离AC为3米，那么两棵树之间的坡面距离AB是________米．





图K－36－3


6．如图K－36－4，有一滑梯AB，其水平宽度AC为5.3米，铅直高度BC为2.8米，则∠A的度数约为________．(用科学计算器计算，结果精确到0.1°)





图K－36－4


7．一艘轮船和一艘渔船同时沿各自的航向从港口O出发，如图K－36－5所示，轮船从港口O沿北偏西20°的方向航行60海里到达点M处，同一时刻渔船已航行到与港口O相距80海里的点N处．若M，N两点相距100海里，则∠NOF＝________°.





图K－36－5


三、解答题


8．如图K－36－6，要测量点A到河岸BC的距离，在点B测得点A在点B的北偏东30°方向上，在点C测得点A在点C的北偏西45°方向上，又测得BC＝150 m．求点A到河岸BC的距离．(结果精确到1 mm，参考数据：eq \r(2)≈1.41，eq \r(3)≈1.73)





图K－36－6





9．2017·黔东南州如图K－36－7，某校教学楼AB后方有一斜坡，已知斜坡CD的长为12米，坡角α为60°，根据有关部门的规定，∠α≤39°时，才能避免滑坡危险，学校为了消除安全隐患，决定对斜坡CD进行改造，在保持坡脚C不动的情况下，学校至少要把坡顶D向后水平移动多少米才能保证教学楼的安全？(结果精确到1 m，参考数据：sin39°≈0.63，cs39°≈0.78，tan39°≈0.81，eq \r(2)≈1.41，eq \r(3)≈1.73，eq \r(5)≈2.24)





图K－36－7

















10．某地的一座人行天桥如图K－36－8所示，天桥高为6米，坡面BC的坡度为1∶1，为了方便行人推车过天桥，有关部门决定降低坡度，使新坡面的坡度为1∶eq \r(3).


(1)求新坡面的坡角α；


(2)原天桥底部正前方8米处(PB的长)的文化墙PM是否需要被拆除？请说明理由．





图K－36－8




















11．如图K－36－9，台风中心位于点O处，并沿东北方向(北偏东45°)，以40千米/时的速度匀速移动，在距离台风中心50千米的区域内会受到台风的影响，在点O的正东方向上，距离60 eq \r(2)千米处有一城市A.


(1)A市是否会受到此台风的影响？为什么？


(2)在点O的北偏东15°方向上，距离80千米处还有一城市B，B市是否会受到此台风的影响？若受到影响，请求出受到影响的时间；若不受到影响，请说明理由．








图K－36－9





12阅读与探究阅读材料：


在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即在△ABC中，设∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，则有eq \f(a,sinA)＝eq \f(b,sinB)＝eq \f(c,sinC)，利用上述结论可以求解如下题目：


在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c.若∠A＝45°，∠B＝30°，a＝6，求b.


解：在△ABC中，∵eq \f(a,sinA)＝eq \f(b,sinB)，∴b＝eq \f(a·sinB,sinA)＝eq \f(6×sin30°,sin45°)＝3 eq \r(2).


理解应用：


如图K－36－10，甲船以每小时30 eq \r(2)海里的速度向正北方向航行，当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的南偏西75°方向的B1处，且乙船从B1处按北偏东15°方向匀速直线航行，当甲船航行20分钟到达A2时，乙船航行到甲船的南偏西60°方向的B2处，此时两船相距10 eq \r(2)海里．


(1)判断△A1A2B2的形状，并给出证明；


(2)求乙船每小时航行多少海里？





图K－36－10





1．[答案] A


2．[解析] B 在Rt△ABD中，sin∠ABD＝eq \f(AD,AB)，则AD＝4sin60°＝2 eq \r(3)(m)．


在Rt△ACD中，sin∠ACD＝eq \f(AD,AC)，所以AC＝eq \f(2 \r(3),sin45°)＝2 eq \r(6)(m)．


3．[答案] A


4．[解析] C 由题意可得：AB＝10 m，AD＝6 m，则BD＝eq \r(AB2－AD2)＝8(m)，


故斜坡AB的坡度是AD∶BD＝6∶8＝3∶4.故选C.


5．[答案] 3.25


[解析] ∵坡度i＝1∶2.4，∴设BC＝x米，则AC＝2.4x米，∴AB＝eq \r(BC2＋AC2)＝eq \r(x2＋（2.4x）2)＝2.6x.∵AC＝3米，∴eq \f(AC,AB)＝eq \f(3,AB)＝eq \f(2.4x,2.6x)，解得AB＝3.25(米)．


6．[答案] 27.8°


[解析] ∵tanA＝eq \f(BC,AC)＝eq \f(2.8,5.3)，∴∠A≈27.8°.


7．[答案] 70


[解析] ∵OM＝60海里，ON＝80海里，MN＝100海里，∴OM2＋ON2＝MN2，∴∠MON＝90°.∵∠EOM＝20°，∴∠NOF＝180°－20°－90°＝70°.


8．解：如图，过点A作AD⊥BC于点D，


设AD＝x m.


在Rt△ABD中，∵∠ADB＝90°，∠BAD＝30°，


∴BD＝AD·tan30°＝eq \f(\r(3),3)x(m)．


在Rt△ACD中，∵∠ADC＝90°，∠CAD＝45°，


∴CD＝AD＝x m.


∵BD＋CD＝BC，∴eq \f(\r(3),3)x＋x＝150，


∴x＝75(3－eq \r(3))≈95(m)．


答：点A到河岸BC的距离约为95 m.








9．解：假设点D平移到点D′的位置时，恰好∠α＝39°，过点D作DE⊥AC于点E，过点D′作D′E′⊥AC于点E′.∵CD＝12米，∠DCE＝60°，∴DE＝CD·sin60°＝12×eq \f(\r(3),2)＝6 eq \r(3)(米)，CE＝CD·cs60°＝12×eq \f(1,2)＝6(米)．∵DE⊥AC，D′E′⊥AC，DD′∥CE′，∴四边形DEE′D′是矩形，∴DE＝D′E′＝6 eq \r(3)米．∵∠D′CE′＝39°，∴CE′＝eq \f(D′E′,tan39°)≈eq \f(6 \r(3),0.81)≈12.8(米)，∴DD′＝EE′＝CE′－CE≈12.8－6＝6.8≈7(米)．


答：学校至少要把坡顶D向后水平移动约7米才能保证教学楼的安全．





10．解：(1)∵新坡面的坡度为1∶eq \r(3)，


∴tanα＝tan∠CAB＝eq \f(1,\r(3))＝eq \f(\r(3),3)，∴∠α＝30°.


答：新坡面的坡角α为30°.


(2)文化墙PM不需要被拆除．理由：过点C作CD⊥AB于点D，则CD＝6米．∵坡面BC的坡度为1∶1，新坡面的坡度为1∶eq \r(3)，∴BD＝CD＝6米，AD＝6 eq \r(3)米，∴AB＝AD－BD＝(6 eq \r(3)－6)米＜8米，∴文化墙PM不需要被拆除．


11 解：(1)A市不会受到此台风的影响．理由如下：


过点A作AD⊥OC于点D，由题意得∠DOA＝45°，OA＝60 eq \r(2)千米，∴AD＝DO＝60千米．∵60＞50，∴A市不会受到此台风的影响．


(2)B市会受到此台风的影响．如图，过点B作BG⊥OC于点G.


由题意得∠BOC＝30°，OB＝80千米，


∴BG＝eq \f(1,2)OB＝40千米．


∵40＜50，∴B市会受到此台风的影响．


如图，设台风中心位于EF之间时，B市受到影响，则由题意，得BE＝BF＝50千米，


∴EG＝eq \r(BE2－BG2)＝30千米，


∴EF＝2EG＝60千米．


∵风速为40千米/时，


∴60÷40＝1.5(时)，∴B市受到影响的时间为1.5小时．








11 解：(1)△A1A2B2是等边三角形．


证明：连接A1B2.


∵甲船以每小时30 eq \r(2)海里的速度向正北方向航行，航行20分钟到达点A2，


∴A1A2＝30 eq \r(2)×eq \f(1,3)＝10 eq \r(2)(海里)．





又∵A2B2＝10 eq \r(2)海里，∠A1A2B2＝60°，


∴△A1A2B2是等边三角形．


(2)如图，∵B1N∥A1A2，


∴∠A1B1N＝75°，


∴∠A1B1B2＝75°－15°＝60°.


∵△A1A2B2是等边三角形，


∴∠A2A1B2＝60°，A1B2＝A1A2＝10 eq \r(2)海里，


∴∠B1A1B2＝180°－75°－60°＝45°.


在△B1A1B2中，∵A1B2＝10 eq \r(2)海里，∠B1A1B2＝45°，∠A1B1B2＝60°，


由阅读材料可知eq \f(B1B2,sin45°)＝eq \f(A1B2,sin60°)，


解得B1B2＝eq \f(10 \r(2)×\f(\r(2),2),\f(\r(3),2))＝eq \f(20 \r(3),3)(海里)，


∴乙船每小时航行eq \f(20 \r(3),3)÷eq \f(1,3)＝20 eq \r(3)(海里)．