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    初中数学4.2 正切导学案

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    这是一份初中数学4.2 正切导学案,共11页。学案主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。

    一、选择题


    1.如图K-33-1,P是∠α的边OA上一点,点P的坐标为(12,5),则tanα等于( )





    图K-33-1


    A.eq \f(5,13) B.eq \f(12,13) C.eq \f(5,12) D.eq \f(12,5)


    2.若tan(α+10°)= eq \r(3),则锐角α的度数是( )


    A.20° B.30° C.35° D.50°


    3.2017·宜昌△ABC在网格中的位置如图K-33-2所示(每个小正方形的边长均为1),AD⊥BC于点D,则下列四个选项中错误的是( )





    图K-33-2


    A.sinα=csα B.tanC=2


    C.sinβ=csβ D.tanα=1


    4.在△ABC中,若锐角A,B满足eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(csA-\f(\r(3),2)))+(1-tanB)2=0,则∠C的大小是( )


    A.45° B.60° C.75° D.105°


    5.在Rt△ABC中,∠C=90°,sinA=eq \f(2,3),那么tanB的值是( )


    A.eq \f(\r(5),2) B.eq \f(\r(5),3) C.eq \f(2 \r(5),5) D.eq \f(2,3)


    6.如图K-33-3,厂房屋顶人字形(等腰三角形)钢架的跨度BC=10米,∠B=36°,则中柱AD(D为底边的中点)的长是( )





    图K-33-3


    A.5sin36°米 B.5cs36°米


    C.5tan36°米 D.10tan36°米


    7如何求tan75°的值,按下列方法作图可解决问题.如图K-33-4,在Rt△ABC中,AC=k,∠ACB=90°,∠ABC=30°,延长CB至点M,在射线BM上截取线段BD,使BD=AB,连接AD,依据此图可求得tan75°的值为( )





    图K-33-4


    A.2-eq \r(3) B.2+eq \r(3) C.1+eq \r(3) D.eq \r(3)-1


    二、填空题


    8.如图K-33-5所示,BC是一条河的直线河岸,A是河岸BC对岸上的一点,AB⊥BC于点B,站在河岸的C处测得∠BCA=50°,BC=10 m,则桥长AB的长约为______m(用计算器计算,结果精确到0.1 m).





    图K-33-5


    9.如图K-33-6,在△ABC中,AB=AC=5,BC=8.若∠BPC=eq \f(1,2)∠BAC,则tan∠BPC=________.





    图K-33-6


    10.如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长,那么称这个三角形为“好玩三角形”.在Rt△ABC中,∠C=90°,若Rt△ABC是“好玩三角形”,则tanA=________.


    三、解答题


    11.计算:(1)3sin60°-cs30°+2tan45°;


























    (2)eq \f(tan45°,tan30°)-eq \f(cs45°,sin60°·tan60°).
































    12.如图K-33-7,在四边形ABCD中,AB⊥BC,AC⊥CD,AB=2,CD=8,tan∠BAC=2,求tanD的值.





    图K-33-7























    13.如图K-33-8,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠BAC的平分线交BC于点E,EF⊥AB于点F,点F恰好是AB的一个三等分点(AF>BF).


    (1)求证:△ACE≌△AFE;


    (2)求tan∠CAE的值.





    图K-33-8




















    14.如图K-33-9,在Rt△ABC中,∠C=90°,BD平分∠ABC,tanA=eq \f(\r(3),3),AD=20.求BC的长.





    图K-33-9


























    15.已知:如图K-33-10,在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,BE∶AB=3∶5,若CE=eq \r(2),cs∠ACD=eq \f(4,5),求tan∠AEC的值及CD的长.





    图K-33-10























    16新定义问题在△ABC中,∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c,∠C=90°.若定义ctA=eq \f(∠A的邻边,∠A的对边)=eq \f(b,a),则称它为锐角A的余切.根据这个定义解答下列问题:


    (1)ct30°=__________;


    (2)已知tanA=eq \f(3,4),其中∠A为锐角,试求ctA的值;


    (3)求证:tanA=ct(90°-∠A).








    1.[解析] C 过点P作PE⊥x轴于点E.


    ∵点P的坐标为(12,5),∴PE=5,OE=12,


    ∴tanα=eq \f(PE,OE)=eq \f(5,12).





    2.[答案] D


    3.[解析] C 由图可知,△ADB是等腰直角三角形,BD=AD=2,AB=2 eq \r(2),CD=1,AC=eq \r(5),∴sinα=csα=eq \f(\r(2),2),故A正确;tanC=eq \f(AD,CD)=2,故B正确;tanα=eq \f(BD,AD)=1,故D正确;∵sinβ=eq \f(CD,AC)=eq \f(\r(5),5),csβ=eq \f(AD,AC)=eq \f(2 \r(5),5),∴sinβ≠csβ,故C错误.故选C.


    4.[解析] D 由题意得csA=eq \f(\r(3),2),tanB=1,


    则∠A=30°,∠B=45°,


    则∠C=180°-30°-45°=105°.


    5.[解析] A ∵sinA=eq \f(BC,AB )=eq \f(2,3),∴设BC=2x,AB=3x,由勾股定理得:AC=eq \r(AB2-BC2)=eq \r(5)x,∴tanB=eq \f(AC,BC)=eq \f(\r(5)x,2x)=eq \f(\r(5),2).故选A.


    6.[解析] C ∵BC=10米,D为底边的中点,∴DC=BD=5米.


    ∵AB=AC,∴AD⊥BC.


    在Rt△ADB中,∠B=36°,∴tan36°=eq \f(AD,BD),


    即AD=BD·tan36°=5tan36°(米).


    7.[解析] B 在Rt△ABC中,AC=k,∠ACB=90°,∠ABC=30°,∴AB=BD=2k,∠BAD=∠BDA=15°,∴∠CAD=90°-∠BDA=75°.在Rt△ABC中,由勾股定理,得BC=eq \r(3)k,在Rt△ACD中,CD=BC+BD=eq \r(3)k+2k,则tan75°=tan∠CAD=eq \f(CD,AC)=eq \f(\r(3)k+2k,k)=2+eq \r(3).故选B.


    8.[答案] 11.9


    [解析] 在△ABC中,∵AB⊥BC,


    ∴tan∠BCA=eq \f(AB,BC).


    又∵BC=10 m,∠BCA=50°,


    ∴AB=BC·tan50°=10×tan50°≈11.9(m).


    9.[答案] eq \f(4,3)





    [解析] 过点A作AE⊥BC于点E.∵AB=AC=5,∴BE=eq \f(1,2)BC=eq \f(1,2)×8=4,∠BAE=eq \f(1,2)∠BAC.


    ∵∠BPC=eq \f(1,2)∠BAC,∴∠BPC=∠BAE.


    在Rt△BAE中,由勾股定理得


    AE=eq \r(AB2-BE2)=eq \r( 52-42)=3,


    ∴tan∠BPC=tan∠BAE=eq \f(BE,AE)=eq \f(4,3).


    10.[答案] eq \f(\r(3),2)或eq \f(2 \r(3),3)


    [解析] 分两种情况:(1)如图①,BD是AC边上的中线,BD=AC.设AD=CD=k,则BD=AC=2k.在Rt△BCD中,∵∠C=90°,∴BC=eq \r(BD2-CD2)=eq \r(3)k,∴tanA=eq \f(BC,AC)=eq \f(\r(3)k,2k)=eq \f(\r(3),2);(2)如图②,AD是BC边上的中线,AD=BC.设BD=CD=k,则AD=BC=2k.在Rt△ACD中,∵∠C=90°,∴AC=eq \r(AD2-CD2)=eq \r(3)k,∴tan∠CAB=eq \f(BC,AC)=eq \f(2k,\r(3)k)=eq \f(2 \r(3),3).综上可知,tanA的值为eq \f(\r(3),2)或eq \f(2 \r(3),3).





    11.解:(1)原式=3×eq \f(\r(3),2)-eq \f(\r(3),2)+2×1=eq \r(3)+2.


    (2)原式=eq \f(1,\f(\r(3),3))-eq \f(\f(\r(2),2),\f(\r(3),2)×\r(3))=eq \r(3)-eq \f(\r(2),3).


    12.[解析] 利用tan∠BAC=2,AB=2,先求得BC=4,再利用勾股定理求得AC=2 eq \r(5),所以tanD=eq \f(AC,CD)=eq \f(\r(5),4).


    解:在Rt△ABC中,tan∠BAC=2,


    即eq \f(BC,AB)=2.又∵AB=2,∴BC=4,


    ∴在Rt△ABC中,由勾股定理得AC=eq \r(22+42)=2 eq \r(5).


    在Rt△ACD中,tanD=eq \f(AC,CD)=eq \f(2 \r(5),8)=eq \f(\r(5),4).


    13.解:(1)证明:因为AE平分∠CAB,


    所以∠CAE=∠BAE.


    又∠C=∠AFE=90°,AE=AE,


    所以△ACE≌△AFE.


    (2)设AB=3x,则BF=x,AF=AC=2x,


    所以BC=eq \r(AB2-AC2)=eq \r(9x2-4x2)=eq \r(5)x.


    由(1)知CE=EF,设CE=EF=m,


    在△BEF中,BE2=EF2+BF2,


    即(eq \r(5)x-m)2=m2+x2,


    因为x≠0,所以m=eq \f(2 \r(5),5)x,


    故tan∠CAE=eq \f(CE,AC)=eq \f(\f(2 \r(5),5)x,2x)=eq \f(\r(5),5).


    14.解:∵tanA=eq \f(\r(3),3),∴∠A=30°,∴∠ABC=60°.又∵BD平分∠ABC,AD=20,∴∠A=∠ABD=∠CBD=30°,∴AD=BD=20,∴DC=10,即AC=AD+DC=30.又∵tanA=eq \f(BC,AC),∴BC=AC·tanA=30×eq \f(\r(3),3)=10 eq \r(3),即BC的长为10 eq \r(3).


    15.解:在Rt△ACD与Rt△ABC中,∵∠ABC+∠CAD=90°,∠ACD+∠CAD=90°,∴∠ABC=∠ACD,∴cs∠ABC=cs∠ACD=eq \f(4,5),∴在Rt△ABC中,cs∠ABC=eq \f(BC,AB)=eq \f(4,5),令BC=


    4k,AB=5k,则AC=3k,由BE∶AB=3∶5,知BE=3k,则CE=k,且CE=eq \r(2),则k=eq \r(2),∴AC=3 eq \r(2),


    ∴Rt△ACE中,tan∠AEC=eq \f(AC,CE)=3.∵Rt△ACD中,cs∠ACD=eq \f(CD,AC)=eq \f(4,5),∴CD=eq \f(12 \r(2),5).


    16解:(1)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,


    设∠A=30°,则AB=2BC,AC=eq \r(3)BC,


    所以ct30°=eq \f(AC,BC)=eq \f(\r(3)BC,BC)=eq \r(3).


    故答案为eq \r(3).





    (2)在Rt△ABC中,∠C=90°,


    ∵tanA=eq \f(BC,AC)=eq \f(3,4),


    ∴可设BC=3k,则AC=4k,


    ∴ctA=eq \f(AC,BC)=eq \f(4k,3k)=eq \f(4,3).


    (3)在Rt△ABC中,∠C=90°,


    则∠A+∠B=90°,


    即∠B=90°-∠A.


    ∵tanA=eq \f(BC,AC),ctB=eq \f(BC,AC),


    ∴tanA=ctB,


    即tanA=ct(90°-∠A).


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