初中数学4.2 正切导学案
展开一、选择题
1.如图K-33-1,P是∠α的边OA上一点,点P的坐标为(12,5),则tanα等于( )
图K-33-1
A.eq \f(5,13) B.eq \f(12,13) C.eq \f(5,12) D.eq \f(12,5)
2.若tan(α+10°)= eq \r(3),则锐角α的度数是( )
A.20° B.30° C.35° D.50°
3.2017·宜昌△ABC在网格中的位置如图K-33-2所示(每个小正方形的边长均为1),AD⊥BC于点D,则下列四个选项中错误的是( )
图K-33-2
A.sinα=csα B.tanC=2
C.sinβ=csβ D.tanα=1
4.在△ABC中,若锐角A,B满足eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(csA-\f(\r(3),2)))+(1-tanB)2=0,则∠C的大小是( )
A.45° B.60° C.75° D.105°
5.在Rt△ABC中,∠C=90°,sinA=eq \f(2,3),那么tanB的值是( )
A.eq \f(\r(5),2) B.eq \f(\r(5),3) C.eq \f(2 \r(5),5) D.eq \f(2,3)
6.如图K-33-3,厂房屋顶人字形(等腰三角形)钢架的跨度BC=10米,∠B=36°,则中柱AD(D为底边的中点)的长是( )
图K-33-3
A.5sin36°米 B.5cs36°米
C.5tan36°米 D.10tan36°米
7如何求tan75°的值,按下列方法作图可解决问题.如图K-33-4,在Rt△ABC中,AC=k,∠ACB=90°,∠ABC=30°,延长CB至点M,在射线BM上截取线段BD,使BD=AB,连接AD,依据此图可求得tan75°的值为( )
图K-33-4
A.2-eq \r(3) B.2+eq \r(3) C.1+eq \r(3) D.eq \r(3)-1
二、填空题
8.如图K-33-5所示,BC是一条河的直线河岸,A是河岸BC对岸上的一点,AB⊥BC于点B,站在河岸的C处测得∠BCA=50°,BC=10 m,则桥长AB的长约为______m(用计算器计算,结果精确到0.1 m).
图K-33-5
9.如图K-33-6,在△ABC中,AB=AC=5,BC=8.若∠BPC=eq \f(1,2)∠BAC,则tan∠BPC=________.
图K-33-6
10.如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长,那么称这个三角形为“好玩三角形”.在Rt△ABC中,∠C=90°,若Rt△ABC是“好玩三角形”,则tanA=________.
三、解答题
11.计算:(1)3sin60°-cs30°+2tan45°;
(2)eq \f(tan45°,tan30°)-eq \f(cs45°,sin60°·tan60°).
12.如图K-33-7,在四边形ABCD中,AB⊥BC,AC⊥CD,AB=2,CD=8,tan∠BAC=2,求tanD的值.
图K-33-7
13.如图K-33-8,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠BAC的平分线交BC于点E,EF⊥AB于点F,点F恰好是AB的一个三等分点(AF>BF).
(1)求证:△ACE≌△AFE;
(2)求tan∠CAE的值.
图K-33-8
14.如图K-33-9,在Rt△ABC中,∠C=90°,BD平分∠ABC,tanA=eq \f(\r(3),3),AD=20.求BC的长.
图K-33-9
15.已知:如图K-33-10,在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,BE∶AB=3∶5,若CE=eq \r(2),cs∠ACD=eq \f(4,5),求tan∠AEC的值及CD的长.
图K-33-10
16新定义问题在△ABC中,∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c,∠C=90°.若定义ctA=eq \f(∠A的邻边,∠A的对边)=eq \f(b,a),则称它为锐角A的余切.根据这个定义解答下列问题:
(1)ct30°=__________;
(2)已知tanA=eq \f(3,4),其中∠A为锐角,试求ctA的值;
(3)求证:tanA=ct(90°-∠A).
1.[解析] C 过点P作PE⊥x轴于点E.
∵点P的坐标为(12,5),∴PE=5,OE=12,
∴tanα=eq \f(PE,OE)=eq \f(5,12).
2.[答案] D
3.[解析] C 由图可知,△ADB是等腰直角三角形,BD=AD=2,AB=2 eq \r(2),CD=1,AC=eq \r(5),∴sinα=csα=eq \f(\r(2),2),故A正确;tanC=eq \f(AD,CD)=2,故B正确;tanα=eq \f(BD,AD)=1,故D正确;∵sinβ=eq \f(CD,AC)=eq \f(\r(5),5),csβ=eq \f(AD,AC)=eq \f(2 \r(5),5),∴sinβ≠csβ,故C错误.故选C.
4.[解析] D 由题意得csA=eq \f(\r(3),2),tanB=1,
则∠A=30°,∠B=45°,
则∠C=180°-30°-45°=105°.
5.[解析] A ∵sinA=eq \f(BC,AB )=eq \f(2,3),∴设BC=2x,AB=3x,由勾股定理得:AC=eq \r(AB2-BC2)=eq \r(5)x,∴tanB=eq \f(AC,BC)=eq \f(\r(5)x,2x)=eq \f(\r(5),2).故选A.
6.[解析] C ∵BC=10米,D为底边的中点,∴DC=BD=5米.
∵AB=AC,∴AD⊥BC.
在Rt△ADB中,∠B=36°,∴tan36°=eq \f(AD,BD),
即AD=BD·tan36°=5tan36°(米).
7.[解析] B 在Rt△ABC中,AC=k,∠ACB=90°,∠ABC=30°,∴AB=BD=2k,∠BAD=∠BDA=15°,∴∠CAD=90°-∠BDA=75°.在Rt△ABC中,由勾股定理,得BC=eq \r(3)k,在Rt△ACD中,CD=BC+BD=eq \r(3)k+2k,则tan75°=tan∠CAD=eq \f(CD,AC)=eq \f(\r(3)k+2k,k)=2+eq \r(3).故选B.
8.[答案] 11.9
[解析] 在△ABC中,∵AB⊥BC,
∴tan∠BCA=eq \f(AB,BC).
又∵BC=10 m,∠BCA=50°,
∴AB=BC·tan50°=10×tan50°≈11.9(m).
9.[答案] eq \f(4,3)
[解析] 过点A作AE⊥BC于点E.∵AB=AC=5,∴BE=eq \f(1,2)BC=eq \f(1,2)×8=4,∠BAE=eq \f(1,2)∠BAC.
∵∠BPC=eq \f(1,2)∠BAC,∴∠BPC=∠BAE.
在Rt△BAE中,由勾股定理得
AE=eq \r(AB2-BE2)=eq \r( 52-42)=3,
∴tan∠BPC=tan∠BAE=eq \f(BE,AE)=eq \f(4,3).
10.[答案] eq \f(\r(3),2)或eq \f(2 \r(3),3)
[解析] 分两种情况:(1)如图①,BD是AC边上的中线,BD=AC.设AD=CD=k,则BD=AC=2k.在Rt△BCD中,∵∠C=90°,∴BC=eq \r(BD2-CD2)=eq \r(3)k,∴tanA=eq \f(BC,AC)=eq \f(\r(3)k,2k)=eq \f(\r(3),2);(2)如图②,AD是BC边上的中线,AD=BC.设BD=CD=k,则AD=BC=2k.在Rt△ACD中,∵∠C=90°,∴AC=eq \r(AD2-CD2)=eq \r(3)k,∴tan∠CAB=eq \f(BC,AC)=eq \f(2k,\r(3)k)=eq \f(2 \r(3),3).综上可知,tanA的值为eq \f(\r(3),2)或eq \f(2 \r(3),3).
11.解:(1)原式=3×eq \f(\r(3),2)-eq \f(\r(3),2)+2×1=eq \r(3)+2.
(2)原式=eq \f(1,\f(\r(3),3))-eq \f(\f(\r(2),2),\f(\r(3),2)×\r(3))=eq \r(3)-eq \f(\r(2),3).
12.[解析] 利用tan∠BAC=2,AB=2,先求得BC=4,再利用勾股定理求得AC=2 eq \r(5),所以tanD=eq \f(AC,CD)=eq \f(\r(5),4).
解:在Rt△ABC中,tan∠BAC=2,
即eq \f(BC,AB)=2.又∵AB=2,∴BC=4,
∴在Rt△ABC中,由勾股定理得AC=eq \r(22+42)=2 eq \r(5).
在Rt△ACD中,tanD=eq \f(AC,CD)=eq \f(2 \r(5),8)=eq \f(\r(5),4).
13.解:(1)证明:因为AE平分∠CAB,
所以∠CAE=∠BAE.
又∠C=∠AFE=90°,AE=AE,
所以△ACE≌△AFE.
(2)设AB=3x,则BF=x,AF=AC=2x,
所以BC=eq \r(AB2-AC2)=eq \r(9x2-4x2)=eq \r(5)x.
由(1)知CE=EF,设CE=EF=m,
在△BEF中,BE2=EF2+BF2,
即(eq \r(5)x-m)2=m2+x2,
因为x≠0,所以m=eq \f(2 \r(5),5)x,
故tan∠CAE=eq \f(CE,AC)=eq \f(\f(2 \r(5),5)x,2x)=eq \f(\r(5),5).
14.解:∵tanA=eq \f(\r(3),3),∴∠A=30°,∴∠ABC=60°.又∵BD平分∠ABC,AD=20,∴∠A=∠ABD=∠CBD=30°,∴AD=BD=20,∴DC=10,即AC=AD+DC=30.又∵tanA=eq \f(BC,AC),∴BC=AC·tanA=30×eq \f(\r(3),3)=10 eq \r(3),即BC的长为10 eq \r(3).
15.解:在Rt△ACD与Rt△ABC中,∵∠ABC+∠CAD=90°,∠ACD+∠CAD=90°,∴∠ABC=∠ACD,∴cs∠ABC=cs∠ACD=eq \f(4,5),∴在Rt△ABC中,cs∠ABC=eq \f(BC,AB)=eq \f(4,5),令BC=
4k,AB=5k,则AC=3k,由BE∶AB=3∶5,知BE=3k,则CE=k,且CE=eq \r(2),则k=eq \r(2),∴AC=3 eq \r(2),
∴Rt△ACE中,tan∠AEC=eq \f(AC,CE)=3.∵Rt△ACD中,cs∠ACD=eq \f(CD,AC)=eq \f(4,5),∴CD=eq \f(12 \r(2),5).
16解:(1)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,
设∠A=30°,则AB=2BC,AC=eq \r(3)BC,
所以ct30°=eq \f(AC,BC)=eq \f(\r(3)BC,BC)=eq \r(3).
故答案为eq \r(3).
(2)在Rt△ABC中,∠C=90°,
∵tanA=eq \f(BC,AC)=eq \f(3,4),
∴可设BC=3k,则AC=4k,
∴ctA=eq \f(AC,BC)=eq \f(4k,3k)=eq \f(4,3).
(3)在Rt△ABC中,∠C=90°,
则∠A+∠B=90°,
即∠B=90°-∠A.
∵tanA=eq \f(BC,AC),ctB=eq \f(BC,AC),
∴tanA=ctB,
即tanA=ct(90°-∠A).
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