2021届高三新高考数学人教A版一轮复习教学案：第二章第2节　函数的单调性与最值

第2节　函数的单调性与最值

考试要求　1.理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义；2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质.

知 识 梳 理

1.函数的单调性

(1)单调函数的定义

(2)单调区间的定义

如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y＝f(x)的单调区间.

2.函数的最值

[常用结论与微点提醒]

1.若f(x)，g(x)均为区间A上的增(减)函数，则f(x)＋g(x)也是区间A上的增(减)函数.

2.函数y＝f(x)(f(x)>0或f(x)<0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝的单调性相反.

3.“对勾函数”y＝x＋(a>0)的单调增区间为(－∞，－)，(，＋∞)；单调减区间是[－，0)，(0，].

诊 断 自 测

1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)

(1)对于函数f(x)，x∈D，若对任意x1，x2∈D，且x1≠x2有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0，则函数f(x)在区间D上是增函数.(　　)

(2)函数y＝的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞).(　　)

(3)对于函数y＝f(x)，若f(1)<f(3)，则f(x)为增函数.(　　)

(4)函数y＝f(x)在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞).(　　)

解析　(2)此单调区间不能用并集符号连接，取x1＝－1，x2＝1，则f(－1)＜f(1)，故应说成单调递减区间为(－∞，0)和(0，＋∞).

(3)应对任意的x1＜x2，f(x1)＜f(x2)成立才可以.

(4)若f(x)＝x，f(x)在[1，＋∞)上为增函数，但y＝f(x)的单调递增区间是R.

答案　(1)√　(2)×　(3)×　(4)×

2.(老教材必修1P39B3改编)下列函数中，在区间(0，＋∞)上单调递增的是(　　)

A.y＝x    B.y＝2－x

C.y＝logx    D.y＝

解析　函数y＝x在(0，+∞)上是增函数，函数y＝2－x，y＝logx，y＝在(0，+∞)上均是减函数.

答案　A

3.(新教材必修第一册P81例5改编)函数y＝在区间[2，3]上的最大值是________.

解析　函数y＝＝1＋在[2，3]上递减，

当x＝2时，y＝取得最大值＝2.

答案　2

4.(2017·全国Ⅱ卷)函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是(　　)

A.(－∞，－2)    B.(－∞，1)

C.(1，＋∞)    D.(4，＋∞)

解析　由x2－2x－8>0，得x>4或x<－2.

设t＝x2－2x－8，则y＝ln t为增函数.

要求函数f(x)的单调递增区间，即求函数t＝x2－2x－8的单调递增区间.

∵函数t＝x2－2x－8的单调递增区间为(4，＋∞)，

∴函数f(x)的单调递增区间为(4，＋∞).

答案　D

5.(2020·新乡模拟)函数y＝f(x)是定义在[－2，2]上的减函数，且f(a＋1)<f(2a)，则实数a的取值范围是________.

解析　由条件知解得－1≤a<1.

答案　[－1，1)

6.(2020·青岛二中月考)函数f(x)＝的最大值为________.

解析　当x≥1时，函数f(x)＝为减函数，所以f(x)在x＝1处取得最大值，为f(1)＝1；当x<1时，易知函数f(x)＝－x2＋2在x＝0处取得最大值，为f(0)＝2.

故函数f(x)的最大值为2.

答案　2

考点一　确定函数的单调性(区间)

【例1】 (1)函数y＝log(－x2＋x＋6)的单调增区间为(　　)

A.    B.

C.(－2，3)   D.

解析　由－x2＋x＋6>0，得－2<x<3，故函数的定义域为(－2，3)，令t＝－x2＋x＋6，则y＝logt，易知其为减函数，由复合函数的单调性法则可知本题等价于求函数t＝－x2＋x＋6在(－2，3)上的单调递减区间.利用二次函数的性质可得t＝－x2＋x＋6在定义域(－2，3)上的单调递减区间为，故选A.

答案　A

(2)(一题多解)试讨论函数f(x)＝(a≠0)在(－1，1)上的单调性.

解　法一　设－1<x1<x2<1，

f(x)＝a＝a，

f(x1)－f(x2)＝a－a＝，

由于－1<x1<x2<1，

所以x2－x1>0，x1－1<0，x2－1<0，

故当a>0时，f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，函数f(x)在(－1，1)上单调递减；

当a<0时，f(x1)－f(x2)<0，

即f(x1)<f(x2)，函数f(x)在(－1，1)上单调递增.

法二　f′(x)＝＝＝－.

当a>0时，f′(x)<0，函数f(x)在(－1，1)上单调递减；

当a<0时，f′(x)>0，函数f(x)在(－1，1)上单调递增.

规律方法　1.(1)求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间，如例1(1).(2)单调区间不能用集合或不等式表达，且图象不连续的单调区间要用“和”“，”连接.

2.(1)函数单调性的判断方法有：①定义法；②图象法；③利用已知函数的单调性；④导数法.

(2)函数y＝f[g(x)]的单调性应根据外层函数y＝f(t)和内层函数t＝g(x)的单调性判断，遵循“同增异减”的原则.

【训练1】 (1)设函数f(x)＝g(x)＝x2f(x－1)，则函数g(x)的递减区间是________.

解析　由题意知g(x)＝

函数的图象如图所示的实线部分，根据图象，g(x)的递减区间是[0，1).

答案　[0，1)

(2)判断并证明函数f(x)＝ax2＋(其中1<a<3)在x∈[1，2]上的单调性.

解　f(x)在[1，2]上单调递增，证明如下：

设1≤x1<x2≤2，则f(x2)－f(x1)＝ax＋－ax－

＝(x2－x1)，

由1≤x1<x2≤2，得x2－x1>0，2<x1＋x2<4.

1<x1x2<4，－1<－<－.

又因为1<a<3，所以2<a(x1＋x2)<12，

得a(x1＋x2)－>0，

从而f(x2)－f(x1)>0，即f(x2)>f(x1)，

故当a∈(1，3)时，f(x)在[1，2]上单调递增.

考点二　求函数的最值

【例2】 (1)已知函数f(x)＝ax＋logax(a>0，且a≠1)在[1，2]上的最大值与最小值之和为loga2＋6，则a的值为(　　)

A.   B.   C.2   D.4

(2)(2020·惠州一中月考)对于任意实数a，b，定义min{a，b}＝设函数f(x)＝－x＋3，g(x)＝log2x，则函数h(x)＝min{f(x)，g(x)}的最大值是________.

解析　(1)f(x)＝ax＋logax在[1，2]上是单调函数，

所以f(1)＋f(2)＝loga2＋6，

则a＋loga1＋a2＋loga2＝loga2＋6，

即(a－2)(a＋3)＝0，又a>0，所以a＝2.

(2)法一　在同一坐标系中，作函数f(x)，g(x)的图象，

依题意，h(x)的图象如图所示的实线部分.

易知点A(2，1)为图象的最高点，

因此h(x)的最大值为h(2)＝1.

法二　依题意，h(x)＝

当0<x≤2时，h(x)＝log2x是增函数，

当x>2时，h(x)＝3－x是减函数，

因此h(x)在x＝2时取得最大值h(2)＝1.

答案　(1)C　(2)1

规律方法　求函数最值的四种常用方法

(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值.

(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值.

(3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值.

(4)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值.

【训练2】 (1)定义max{a，b，c}为a，b，c中的最大值，设M＝max{2x，2x－3，6－x}，则M的最小值是(　　)

A.2   B.3   C.4   D.6

(2)设函数f(x)＝则f(x)的最小值是________.

解析　(1)画出函数M＝{2x，2x－3，6－x}的图象(如图)，由图可知，函数M在A(2，4)处取得最小值22＝6－2＝4，

故M的最小值为4.

(2)当x≤1时，f(x)＝x2的最小值为0，

当x>1时，f(x)＝x＋－6≥2－6(当且仅当x＝时，取“＝”).

由于2－6<0，所以f(x)min＝2－6.

答案　(1)C　(2)2－6

考点三　函数单调性的应用　多维探究

角度1　利用单调性比较大小

【例3－1】 已知函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，当x2>x1>1时，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)<0恒成立，设a＝f，b＝f(2)，c＝f(e)，则a，b，c的大小关系为(　　)

A.c>a>b    B.c>b>a

C.a>c>b    D.b>a>c

解析　因为f(x)的图象关于直线x＝1对称，所以f＝f.由当x2>x1>1时，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)<0恒成立，知f(x)在(1，＋∞)上单调递减.又1<2<<e，所以f(2)>f>f(e)，即f(2)>f>f(e)，故b>a>c.

答案　D

角度2　求解函数不等式

【例3－2】 (2018·全国Ⅰ卷)设函数f(x)＝则满足f(x＋1)<f(2x)的x的取值范围是(　　)

A.(－∞，－1]    B.(0，＋∞)

C.(－1，0)    D.(－∞，0)

解析　当x≤0时，函数f(x)＝2－x是减函数，则f(x)≥f(0)＝1.

作出f(x)的大致图象如图所示，结合图象知，要使f(x＋1)＜f(2x)，当且仅当或

解得x<－1或－1≤x<0，即x<0.

答案　D

角度3　求参数的值或取值范围

【例3－3】 (1)(2018·全国Ⅱ卷)若f(x)＝cos x－sin x在[0，a]上是减函数，则a的最大值是(　　)

A.   B.   C.   D.π

(2)如果函数f(x)＝满足对任意x1≠x2，都有>0成立，那么a的取值范围是________.

解析　(1)∵f(x)＝cos x－sin x＝－sin，

∴当x－∈，即x∈时，

y＝sin单调递增，

f(x)＝－sin单调递减，

∴是f(x)在原点附近的单调减区间，

结合条件得[0，a]⊆，

∴a≤，即amax＝.

(2)对任意x1≠x2，都有>0，

所以y＝f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数.

所以解得≤a<2.

故实数a的取值范围是.

答案　(1)C　(2)

规律方法　1.比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决.

2.求解函数不等式，其实质是函数单调性的逆用，由条件脱去“f”.

3.利用单调性求参数的取值(范围)的思路是：根据其单调性直接构建参数满足的方程(组)(不等式(组))或先得到其图象的升降，再结合图象求解.对于分段函数，要注意衔接点的取值.

【训练3】 (1)(角度2)已知函数f(x)＝

若f(a－1)≥f(－a)，则实数a的取值范围是(　　)

A.    B.

C.    D.

(2)(角度1)(2019·全国Ⅲ卷)设f(x)是定义域为R的偶函数，且在(0，＋∞)单调递减，则(　　)

A.f>f(2－)>f(2－)

B.f>f(2－)>f(2－)

C.f(2－)>f(2－)>f

D.f(2－)>f(2－)>f

(3)(角度3)若函数f(x)＝－x2＋2ax与g(x)＝在区间[1，2]上都是减函数，则a的取值范围是(　　)

A.(－1，0)∪(0，1)   B.(－1，0)∪(0，1]

C.(0，1)    D.(0，1]

解析　(1)作出函数f(x)的图象如图所示，知函数f(x)在R上是减函数，

由f(a－1)≥f(－a)，得a－1≤－a，

解得a≤.

(2)因为f(x)是定义域为R的偶函数，

所以f＝f(－log34)＝f(log34).

又因为log34>1>2－>2－>0，且函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减，所以f(log34)<f(2－)<f(2－).

即f<f(2－)<f(2－).

(3)因为f(x)＝－x2＋2ax＝－(x－a)2＋a2在[1，2]上为减函数，所以由其图象得a≤1.g(x)＝，g′(x)＝－，要使g(x)在[1，2]上为减函数，需g′(x)<0在[1，2]上恒成立，故有－a<0，因此a>0.综上可知0<a≤1.

答案　(1)A　(2)C　(3)D

A级　基础巩固

一、选择题

1.(2019·唐山调研)设函数f(x)＝x(ex＋e－x)，则f(x)(　　)

A.是奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数

B.是偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数

C.是奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数

D.是偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数

解析　f(－x)＝(－x)(e－x＋ex)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，f′(x)＝ex＋e－x＋x(ex－e－x)，当x>0时，ex－e－x>0，ex＋e－x>0，所以f′(x)>0.故f(x)在(0，＋∞)上是增函数.

答案　A

2.(2020·昆明诊断)已知函数f(x)在R上单调递减，且a＝33.1，b＝，c＝ln ，则f(a)，f(b)，f(c)的大小关系为(　　)

A.f(a)>f(b)>f(c)    B.f(b)>f(c)>f(a)

C.f(c)>f(a)>f(b)    D.f(c)>f(b)>f(a)

解析　因为a＝33.1>30＝1，0<b＝<＝1，c＝ln <ln 1＝0，所以c<b<a，又因为函数f(x)在R上单调递减，所以f(c)>f(b)>f(a).

答案　D

3.已知函数f(x)＝loga(－x2－2x＋3)(a>0且a≠1)，若f(0)<0，则此函数的单调递增区间是(　　)

A.(－∞，－1]    B.[－1，＋∞)

C.[－1，1)    D.(－3，－1]

解析　令g(x)＝－x2－2x＋3，由题意知g(x)>0，可得－3<x<1，故函数的定义域为{x|－3<x<1}.根据f(0)＝loga3<0，可得0<a<1，又g(x)在定义域(－3，1)内的减区间是[－1，1)，∴f(x)的单调递增区间为[－1，1).

答案　C

4.函数y＝，x∈(m，n]的最小值为0，则m的取值范围是(　　)

A.(1，2)    B.(－1，2)

C.[1，2)    D.[－1，2)

解析　函数y＝＝＝－1在区间(－1，＋∞)上是减函数，且f(2)＝0，所以n＝2.

根据题意，x∈(m，n]时，ymin＝0.

∴m的取值范围是[－1，2).

答案　D

5.(2020·福州调研)已知函数f(x)＝

(a>0且a≠1)在R上单调递减，则a的取值范围是(　　)

A.    B.

C.    D.

解析　由分段函数f(x)在R上单调递减，可得0<a<1，根据二次函数图象及性质，可得－≥0，解得a≤，又由3a≥loga(0＋1)＋1得3a≥1，解得a≥.

∴实数a的取值范围是.

答案　C

二、填空题

6.函数y＝|x|(1－x)的单调递增区间是________.

解析　y＝|x|(1－x)＝＝

函数的大致图象如图所示.

由图易知函数的单调递增区间是.

答案　

7.设函数f(x)＝在区间(－2，＋∞)上是增函数，那么a的取值范围是________.

解析　f(x)＝＝a－，

∵函数f(x)在区间(－2，＋∞)上是增函数，

∴即即a≥1.

答案　[1，＋∞)

8.设函数f(x)＝若函数y＝f(x)在区间(a，a＋1)上单调递增，则实数a的取值范围是________.

解析　作函数f(x)的图象如图所示，

由图象可知f(x)在(a，a＋1)上单调递增，需满足a≥4或a＋1≤2，即a≤1或a≥4.

答案　(－∞，1]∪[4，＋∞)

三、解答题

9.已知函数f(x)＝－(a>0，x>0).

(1)求证：f(x)在(0，＋∞)上是增函数；

(2)若f(x)在上的值域是，求a的值.

(1)证明　设x2>x1>0，则x2－x1>0，x1x2>0，

∵f(x2)－f(x1)＝－＝－＝>0，∴f(x2)>f(x1)，∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数.

(2)解　∵f(x)在上的值域是，

又由(1)知f(x)在上是单调增函数，

∴f＝，f(2)＝2，易得a＝.

10.已知函数f(x)＝a－.

(1)求f(0)；

(2)探究f(x)的单调性，并证明你的结论；

(3)若f(x)为奇函数，求满足f(ax)<f(2)的x的范围.

解　(1)f(0)＝a－＝a－1.

(2)f(x)在R上单调递增.证明如下：

∵f(x)的定义域为R，∴任取x1，x2∈R且x1<x2，

则f(x1)－f(x2)＝a－－a＋

＝，

∵y＝2x在R上单调递增且x1<x2，

∴0<2x1<2x2，∴2x1－2x2<0，2x1＋1>0，2x2＋1>0.

∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2).

∴f(x)在R上单调递增.

(3)∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，

即a－＝－a＋，解得a＝1.

∴f(ax)<f(2)即为f(x)<f(2)，

又∵f(x)在R上单调递增，∴x<2.

∴x的取值范围是(－∞，2).

B级　能力提升

11.已知函数f(x)＝若f(2－x2)>f(x)，则实数x的取值范围是(　　)

A.(－∞，－1)∪(2，＋∞)   B.(－∞，－2)∪(1，＋∞)

C.(－1，2)    D.(－2，1)

解析　∵当x＝0时，两个表达式对应的函数值都为0，

∴函数的图象是一条连续的曲线.又∵当x≤0时，函数f(x)＝x3为增函数，当x>0时，f(x)＝ln(x＋1)也是增函数，∴函数f(x)是定义在R上的增函数.因此，不等式f(2－x2)>f(x)等价于2－x2>x，即x2＋x－2<0，解得－2<x<1.

答案　D

12.(2020·皖东名校联盟联考)若函数f(x)＝

的值域是[e－1，＋∞)，其中e是自然对数的底数，则实数m的最小值是________.

解析　当x≥e时，(x－ln x)′＝1－>0，此时函数f(x)在[e，＋∞)上单调递增，值域是[e－1，＋∞).

当x<e时，y＝－x＋m是减函数，其值域是.因此⊆[e－1，＋∞).

于是－＋m≥e－1，解得m≥－1，

故实数m的最小值是－1.

答案　－1

13.已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f(x)是增函数，f(1)＝0，f(3)＝1.

(1)解不等式0<f(x2－1)<1；

(2)若f(x)≤m2－2am＋1对所有x∈(0，3]，a∈[－1，1]恒成立，求实数m的取值范围.

解　(1)由解得<x<2或－2<x<－.

∴原不等式的解集为{x|－2<x<－或<x<2}.

(2)∵函数f(x)在(0，3]上是增函数，

∴f(x)在(0，3]上的最大值为f(3)＝1，

∴不等式f(x)≤m2－2am＋1对所有x∈(0，3]，a∈[－1，1]恒成立转化为1≤m2－2am＋1对所有a∈[－1，1]恒成立，即m2－2am≥0对所有a∈[－1，1]恒成立.

设g(a)＝－2ma＋m2，a∈[－1，1]，

∴需满足即

解该不等式组，得m≤－2或m≥2或m＝0，

即实数m的取值范围为(－∞，－2]∪{0}∪[2，＋∞).

C级　创新猜想

14.(多填题)(2019·北京卷)设函数f(x)＝ex＋ae－x(a为常数).若f(x)为奇函数，则a＝________；若f(x)是R上的增函数，则a的取值范围是________.

解析　若f(x)为奇函数，则f(－x)＝－f(x)，

即e－x＋aex＝－(ex＋ae－x)，

即(a＋1)(ex＋e－x)＝0对任意的x恒成立，所以a＝－1.

若函数f(x)＝ex＋ae－x是R上的增函数，

则f′(x)＝ex－ae－x≥0恒成立，

所以a≤e2x恒成立，则有a≤0，

即a的取值范围是(－∞，0].

答案　－1　(－∞，0]