2021版高考文科数学人教通用版大一轮复习基础自查学案：1.2　命题及其关系、充分条件与必要条件

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第二节　命题及其关系、充分条件与必要条件

知识体系

必备知识

1.命题

在数学中用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句叫做命题.其中判断为真的语句叫做真命题,判断为假的语句叫做假命题.

2.四种命题之间的关系

(1)四种命题间的相互关系.

(2)四种命题间的真假关系.

①两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性;

②两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性没有关系.

3.充分条件与必要条件

(1)如果p⇒q,那么p是q的充分条件,q是p的必要条件.

(2)如果p⇒q,q⇒p,那么p是q的充要条件.

1.易混淆否命题与命题的否定

否命题是既否定条件,又否定结论,而命题的否定是只否定命题的结论.

2.易忽视充分与必要条件的不同

A是B的充分不必要条件(A⇒B且BA)与A的充分不必要条件是B(B⇒A且AB)两者的不同.

基础小题

1.有下列命题:

①“若x+y>0,则x>0且y>0”的否命题;

②“矩形的对角线相等”的否命题;

③“若m≥1,则mx2-2(m+1)x+m+3>0的解集是R”的逆命题;

④“若a+7是无理数,则a是无理数”的逆否命题.其中是真命题的序号是________. 

【解析】①的逆命题为“若x>0且y>0,则x+y>0”为真,故否命题为真;

②的否命题为“不是矩形的图形,其对角线不相等”,为假命题;

③的逆命题为,若mx2-2(m+1)x+m+3>0的解集为R,则m≥1.

因为当m=0时,解集不是R,

所以应有即m>1.所以③是假命题;

④原命题为真,逆否命题也为真.

答案:①④

2.(教材改编)命题“若x>1,则x>0”的逆否命题是 (　　)

A.若x≤0,则x≤1　　 B.若x≤0,则x>1

C.若x>0,则x≤1  D.若x<0,则x<1

【解析】选A.依题意,命题“若x>1,则x>0”的逆否命题是“若x≤0,则x≤1”.

3.给定两个命题p,q,若﹁p是q的必要而不充分条件,则p是﹁q的 (　　)

A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

【解析】选A.由q⇒﹁p且﹁pq可得p⇒﹁q且﹁qp,所以p是﹁q的充分而不必要条件.

4.设θ∈R,则“<”是“sin θ<”的 (　　)

A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件

C.充要条件    D.既不充分也不必要条件

【解析】选A.<⇔0<θ<⇒sin θ<,但当θ=0时,满足sin θ<,不满足<,所以是充分而不必要条件.

5.函数f(x)=x2+mx+1的图象关于直线x=1对称的充要条件是________. 

【解析】已知函数f(x)=x2+mx+1的图象关于直线x=1对称,则m=-2;反之也成立,所以函数f(x)=x2+mx+1的图象关于直线x=1对称的充要条件是m=-2.

答案:m=-2

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