2021届高考数学人教版一轮创新教学案：第3章第4讲　函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象及应用


第4讲　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用
[考纲解读]　1.了解函数y＝Asin(ωx＋φ)的物理意义，能用五点法画出y＝Asin(ωx＋φ)的图象，了解参数A，ω，φ对函数图象变化的影响．(重点)
2．能结合y＝Asin(ωx＋φ)的图象与三角函数的性质求函数解析式，熟练掌握对称轴与对称中心的求解方法及图象的平移和伸缩变换．(重点、难点)
3．了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，能用三角函数解决一些简单的实际问题．
[考向预测]　从近三年高考情况来看，本讲内容一直是高考的一个考查热点．预测2021年会把函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及性质和三角恒等变换相结合进行考查，尤其是函数图象的平移变换与性质的结合．题型以客观题的形式为主，有时也会出现于解答题中，试题难度以中档题为主.


对应学生用书P069
1.函数y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念
y＝Asin(ωx＋φ)
(A>0，ω>0)
振幅
周期
频率
相位
初相
A
T＝
f＝＝
ωx＋φ
φ

2．“五点法”作函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的简图
“五点法”作图的五点是在一个周期内的最高点、最低点及与x轴相交的三个点，作图时的一般步骤为
(1)定点：如下表所示．

x
－




ωx＋φ
0

π

2π
y＝Asin(ωx＋φ)
0
A
0
－A
0

(2)作图：在坐标系中描出这五个关键点，用平滑的曲线顺次连接得到y＝Asin(ωx＋φ)在一个周期内的图象．
(3)扩展：将所得图象，按周期向两侧扩展可得y＝Asin(ωx＋φ)在R上的图象．
3.函数y＝sinx的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的步骤


1．概念辨析
(1)将函数y＝3sin2x的图象左移个单位长度后所得图象的解析式是y＝3sin.(　　)
(2)利用图象变换作图时，“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移的长度一致．(　　)
(3)将函数y＝2sinx的图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得函数y＝2sin的图象．(　　)
(4)由图象求解析式时，振幅A的大小是由一个周期内图象中最高点的值与最低点的值确定的．(　　)
答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　

2．小题热身
(1)函数y＝2sin的振幅、频率和初相分别为(　　)
A．2，， B．2，，
C．2，， D．2，，－
答案　A
解析　函数y＝2sin的振幅是2，周期T＝＝π，频率f＝＝，初相是，故选A.
(2)用五点法作函数y＝sin在一个周期内的图象时，主要确定的五个点是________，________，__________，________，________.
答案　　　　　
解析　列表：

x





x－
0

π

2π
y＝sin
0
1
0
－1
0

五个点依次是，，，，.
(3)将函数f(x)＝－cos2x的图象向右平移个单位长度后，再将图象上各点的纵坐标伸长到原来的2倍，得到函数y＝g(x)的图象，则g＝________.
答案　
解析　函数f(x)＝－cos2x的图象向右平移个单位长度后得函数y＝－cos2＝－cos，再将图象上各点的纵坐标伸长到原来的2倍，得到函数g(x)＝－cos，所以g＝－cos＝sin＝.
(4)(2019·长春模拟)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π)的部分图象如图所示，则函数f(x)的解析式为________．

答案　f(x)＝sin
解析　由图象可知A＝，＝－＝，所以＝π，ω＝2，所以f(x)＝sin(2x＋φ)，又f＝－，所以2×＋φ＝2kπ＋，k∈Z，φ＝2kπ＋，k∈Z，又|φ|<π，所以φ＝，所以f(x)＝sin.


对应学生用书P070
题型 一　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换

1．(2019·天津高考)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π)是奇函数，将y＝f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象对应的函数为g(x)．若g(x)的最小正周期为2π，且g＝，则f＝(　　)
A．－2 B．－
C. D．2
答案　C
解析　因为f(x)是奇函数(显然定义域为R)，所以f(0)＝Asinφ＝0，所以sinφ＝0.又|φ|<π，所以φ＝0.
由题意得g(x)＝Asin，且g(x)的最小正周期为2π，
所以ω＝1，即ω＝2.所以g(x)＝Asinx，
所以g＝Asin＝A＝，所以A＝2.
所以f(x)＝2sin2x，所以f＝.故选C.
2．要得到函数y＝sin的图象，需要将函数y＝cos的图象(　　)
A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
答案　A
解析　因为y＝cos＝sin
＝sin，
y＝sin＝sin，
所以需要将函数y＝cos的图象向左平移个单位长度．
3．已知函数y＝cos.
(1)求它的振幅、周期、初相；
(2)用“五点法”作出它在区间[0，π]内的图象；
(3)说明y＝cos的图象可由y＝cosx的图象经过怎样的变换而得到．

解　(1)函数y＝cos的振幅为1，周期T＝＝π，初相是－.
(2)列表：

2x－
－
0

π


x
0




π
y

1
0
－1
0


描点，连线．

(3)解法一：把y＝cosx的图象上所有的点向右平移个单位长度，得到y＝cos的图象；
再把y＝cos的图象上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，得到y＝cos的图象．
解法二：将y＝cosx的图象上所有点的横坐标缩短为原来的(纵坐标不变)，得到y＝cos2x的图象；
再将y＝cos2x的图象向右平移个单位长度，得到y＝cos＝cos的图象．

1．五点法作图
用“五点法”作y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)的简图，主要是通过变量代换，设z＝ωx＋φ，由z取0，，π，，2π来求出相应的x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象．如举例说明3.
2．掌握三角函数的图象变换的两种方法
(1)平移变换

沿x轴平移
由y＝f(x)变为y＝f(x＋φ)时，“左加右减”，即φ>0，左移；φ<0，右移
沿y轴平移
由y＝f(x)变为y＝f(x)＋k时，“上加下减”，即k>0，上移；k<0，下移

(2)伸缩变换
沿x轴
伸缩
由y＝f(x)变为y＝f(ωx)时，点的纵坐标不变，横坐标变为原来的倍．如举例说明1
沿y轴
伸缩
由y＝f(x)变为y＝Af(x)时，点的横坐标不变，纵坐标变为原来的|A|倍

3．注意三角函数图象变换中的三个问题
(1)变换前后，函数的名称要一致，若不一致，应先利用诱导公式转化为同名函数．如举例说明2；
(2)要弄清变换的方向，即变换的是哪个函数的图象，得到的是哪个函数的图象，切不可弄错方向；
(3)要弄准变换量的大小，特别是平移变换中，函数y＝Asinx到y＝Asin(x＋φ)的变换量是|φ|个单位，而函数y＝Asinωx到y＝Asin(ωx＋φ)时，变换量是个单位．如举例说明2.　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　


1．(2020·广州模拟)将函数y＝f(x)的图象向左平移个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍得到y＝sin的图象，则f(x)＝(　　)
A．sin B．sin
C．sin D．sin
答案　B
解析　由题意知，先将函数y＝sin的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，再将所得图象向右平移个单位长度即得到函数f(x)的图象，故f(x)＝sin＝sin.
2．(2019·青岛模拟)将函数f(x)＝2sin图象上的每个点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再将所得图象向左平移个单位得到函数g(x)的图象，在g(x)图象的所有对称轴中，离原点最近的对称轴方程为(　　)
A．x＝－ B．x＝
C．x＝ D．x＝
答案　A
解析　当函数f(x)＝2sin图象上的每个点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变时，此时函数解析式可表示为f1(x)＝2sin，再将所得图象向左平移个单位得到函数g(x)的图象，则g(x)可以表示为g(x)＝2sin＝2sin.
则函数g(x)的图象的对称轴方程可表示为4x＋＝＋kπ，k∈Z，即x＝－＋，k∈Z.则g(x)的图象离原点最近的对称轴方程，即g(x)的图象离y轴最近的对称轴方程为x＝－.
题型 二　由图象确定y＝Asin(ωx＋φ)的解析式

1．(2020·郑州市第一中学高三摸底考试)已知f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋b的图象如图所示，则函数f(x)的对称中心可以为(　　)
A. B.
C. D.
答案　D
解析　由图可知A＝＝2，b＝＝1，
T＝2×＝π，
所以ω＝2，所以f(x)＝2sin(2x＋φ)＋1，
因为点在函数f(x)的图象上．
所以3＝2sin＋1，即sin＝1.
所以＋φ＝2kπ＋(k∈Z)，
又|φ|<，所以φ＝，故f(x)＝2sin＋1，
令2x＋＝kπ(k∈Z)，
得x＝－(k∈Z)，当k＝0时，x＝－.
所以函数f(x)的对称中心可以为.
2．(2019·西安八校联考)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的图象上的一个最高点和它相邻的一个最低点的距离为2，且函数f(x)的图象过点P，则函数f(x)＝(　　)
A．sin B．sin
C．sin D．sin
答案　A
解析　由题意得 ＝2，解得ω＝，所以函数f(x)＝sin，又因为函数f(x)的图象过点P，所以sin(π＋φ)＝－，即－sinφ＝－，sinφ＝，又因为|φ|<，所以φ＝，所以f(x)＝sin.

确定y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0)中参数的方法
(1)求A，b：确定函数的最大值M和最小值m，则A＝，b＝.如举例说明1.
(2)求ω：确定函数的周期T，则可得ω＝.如举例说明1.
(3)求φ的常用方法
①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A，ω，b已知)或代入图象与直线y＝b的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)．如举例说明1.
②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口．具体如下：

第一点
图象上升时与x轴的交点
ωx＋φ＝0
第二点
图象的“峰点”
ωx＋φ＝
第三点
图象下降时与x轴的交点
ωx＋φ＝π
第四点
图象的“谷点”
ωx＋φ＝
第五点
图象第二次上升时与
x轴的交点
ωx＋φ＝2π


1．(2019·四川绵阳诊断)如图是函数f(x)＝cos(πx＋φ)的部分图象，则f(3x0)＝(　　)
A. B．－
C. D．－
答案　D
解析　∵f(x)＝cos(πx＋φ)的图象过点，∴＝cosφ，结合0<φ<，可得φ＝.∴由图象可得cos＝，πx0＋＝2π－，解得x0＝.∴f(3x0)＝f(5)＝cos＝－.
2．已知函数f(x)＝Atan(ωx＋φ)，y＝f(x)的部分图象如图所示，则f等于________．

答案　
解析　观察图象可知＝－，所以＝，ω＝2，所以f(x)＝Atan(2x＋φ)．
又因为函数图象过点，
所以0＝Atan，所以＋φ＝kπ(k∈Z)，
所以φ＝kπ－(k∈Z)．
又因为|φ|<，所以φ＝.又图象过点(0,1)，
所以A＝1.综上知，f(x)＝tan，
故f＝tan＝.

题型 三　三角函数图象性质的应用　

角度1　三角函数模型的应用
1．如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y＝3sin＋k，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为(　　)
A．5 B．6
C．8 D．10
答案　C
解析　由图象可知，ymin＝2，因为ymin＝－3＋k，所以－3＋k＝2，解得k＝5，所以这段时间水深的最大值是ymax＝3＋k＝3＋5＝8.
角度2　函数零点(方程根)问题
2．(2019·哈尔滨六中模拟)设函数f(x)＝sin，x∈，若方程f(x)＝a恰好有三个根x1，x2，x3，且x1 A. B.
C. D.
答案　B
解析　由题意x∈，则2x＋∈，画出函数的大致图象，如图所示，

由图得，当≤a<1时，方程f(x)＝a恰好有三个根，由2x＋＝得x＝，由2x＋＝得x＝，
由图知，点(x1,0)与点(x2,0)关于直线x＝对称，点(x2,0)与点(x3,0)关于直线x＝对称，∴x1＋x2＝，π≤x3<，则≤x1＋x2＋x3<，即x1＋x2＋x3的取值范围是，故选B.
角度3　三角函数图象性质的综合
3．(2019·泉州模拟)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图中实线所示，图中圆C与函数y＝f(x)的图象交于M，N两点，且点M在y轴上，则下列说法中正确的是(　　)

A．函数f(x)的最小正周期是2π
B．函数f(x)的图象关于点成中心对称
C．函数f(x)在上单调递增
D．将函数f(x)的图象向右平移个单位长度后图象关于原点成中心对称
答案　B
解析　设圆心C(a,0)，由函数y＝f(x)的图象可知M，N两点关于点C对称，所以＝a，即a＝，由图象可得＝－，所以函数f(x)的最小正周期T＝π，故A错误；函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的对称中心之间的差为＝的整数倍，由题图知点是函数f(x)的图象的一个对称中心．由－＝知，B正确；因为函数f(x)的周期为π，所以f(x)在的单调性与在的单调性相同．由题图可知，函数f(x)在上先减后增，故C错误；由题图可知，函数f(x)的图象向右平移＋·k(k∈N)个单位长度后图象关于原点成中心对称，故D错误．

(1)三角函数模型在实际应用中体现的两个方面
①已知三角函数模型，利用三角函数的有关性质解决问题，其关键是准确理解自变量的意义及自变量与函数之间的对应法则．如举例说明1；
②把实际问题抽象转化成数学问题，建立三角函数模型，再利用三角函数的有关知识解决问题，其关键是建模．
(2)三角函数的零点、不等式问题的求解思路
①把函数表达式转化为正弦型函数形式y＝Asin(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0)；
②画出一个周期上的函数图象；
③利用图象解决有关三角函数的方程、不等式问题．如举例说明2.
(3)研究y＝Asin(ωx＋φ)的性质时可将ωx＋φ视为一个整体，利用换元法和数形结合思想解题．　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　

1．(2019·玉溪模拟)函数f(x)＝log4x的图象与函数g(x)＝sinπx的图象的交点个数是(　　)
A．2 B．3
C．4 D．5
答案　B
解析　如图，在同一坐标系中画出函数f(x)＝log4x，函数g(x)＝sinπx的图象，当x>4时，f(x)>1，与g(x)≤1不再有交点，结合图象可知，交点个数为3.
2．一个大风车的半径为8 m,12 min旋转一周，它的最低点P0离地面2 m，风车翼片的一个端点P从P0开始按逆时针方向旋转，则点P离地面距离h(m)与时间t(min)之间的函数关系式是(　　)

A．h(t)＝－8sint＋10
B．h(t)＝－cost＋10
C．h(t)＝－8sint＋8
D．h(t)＝－8cost＋10
答案　D
解析　设h(t)＝Acosωt＋B，因为12 min旋转一周，
所以＝12，所以ω＝，
由于最大值与最小值分别为18,2.
所以解得A＝－8，B＝10.
所以h(t)＝－8cost＋10.
3．函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图，则(　　)

A．函数f(x)的对称轴方程为x＝4kπ＋(k∈Z)
B．函数f(x)的递减区间为(k∈Z)
C．函数f(x)的递增区间为[8k＋1,8k＋5](k∈Z)
D．f(x)≥1的解集为(k∈Z)
答案　D
解析　由题图知，A＝2，函数f(x)的最小正周期T＝4×(3－1)＝8，故ω＝＝，所以f(x)＝2sin，因为点(1,2)在图象上，所以2sin＝2，因为|φ|<，所以φ＝，即f(x)＝2sin，由x＋＝kπ＋(k∈Z)得x＝4k＋1(k∈Z)，即函数f(x)的对称轴方程为x＝4k＋1(k∈Z)，所以A错误；由2kπ＋≤x＋≤2kπ＋(k∈Z)，得8k＋1≤x≤8k＋5(k∈Z)，即函数f(x)的单调减区间为[8k＋1,8k＋5](k∈Z)，所以B，C错误；由2sin≥1，得sin≥，所以2kπ＋≤x＋≤2kπ＋(k∈Z)，解得8k－≤x≤8k＋(k∈Z)，即不等式f(x)≥1的解集为(k∈Z)，故选D.

对应学生用书P280　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　组　基础关
1．(2019·绵阳模拟)将函数f(x)＝sin的图象向左平移个单位长度，得到函数g(x)的图象，则g(x)的解析式为(　　)
A．g(x)＝cos2x B．g(x)＝－cos2x
C．g(x)＝sin2x D．g(x)＝sin
答案　A
解析　将函数f(x)＝sin的图象向左平移个单位长度，得到函数y＝sin的图象．即g(x)＝sin＝cos2x.
2.若函数y＝sin(ωx＋φ)(ω>0)的部分图象如图，则ω等于(　　)

A．5 B．4
C．3 D．2
答案　B
解析　由图象可知，函数y＝sin(ωx＋φ)的最小正周期T＝2＝，所以＝，所以ω＝4.
3．(2019·山西五校联考)设k∈R，则函数f(x)＝sin＋k的部分图象不可能为(　　)

答案　D
解析　当k＝0时，f(x)＝sin＝，其图象为A；当k＝2时，f(x)＝sin＋2，其图象为B；当k＝－1时，f(x)＝sin－1，其图象为C；由D的图象可知f(x)max＝2，则2＝1＋k⇒k＝1.此时，f(x)＝sin＋1的图象关于直线x＝对称，这与图象不符，故选D.
4．(2020·广东汕头摸底)若函数y＝3cos(2x＋φ)的图象关于点对称，则|φ|的最小值为(　　)
A. B.
C. D.
答案　A
解析　由题意得3cos＝3cos＝3cos＝0，∴＋φ＝kπ＋，k∈Z，∴φ＝kπ－，k∈Z.取k＝0，得|φ|的最小值为.
5．(2019·枣庄二模)将函数f(x)＝2sin的图象向左平移个单位，再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍，得到函数y＝g(x)的图象，则下列关于函数y＝g(x)的说法错误的是(　　)
A．最小正周期为π
B．图象关于直线x＝对称
C．图象关于点对称
D．初相为
答案　C
解析　易求得g(x)＝2sin，其最小正周期为π，初相为，即A，D正确；而g＝2sin＝2，故函数y＝g(x)的图象关于直线x＝对称，即B正确，C错误，故选C.
6．(2020·湖北襄阳摸底)将函数f(x)＝sin(2x＋θ)的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度后得到函数g(x)的图象，若f(x)，g(x)的图象都经过点P，则φ的值可以是(　　)
A. B.
C. D.
答案　B
解析　由题意知g(x)＝sin(2x＋θ－2φ)，由f(0)＝sinθ＝，－<θ<，知θ＝.由g(0)＝sin(θ－2φ)＝sin＝，得－2φ＝＋2kπ(k∈Z)或－2φ＝＋2kπ(k∈Z)，即φ＝－kπ(k∈Z)或φ＝－－kπ(k∈Z)，当k＝－1时，φ＝.故选B.
7．(2019·湖南省长郡中学模拟)函数f(x)＝Asin(2x＋φ)的部分图象如图所示，对不同的x1，x2∈[a，b]，若f(x1)＝f(x2)，有f(x1＋x2)＝，则(　　)
A．f(x)在上是减函数
B．f(x)在上是减函数
C．f(x)在上是增函数
D．f(x)在上是增函数
答案　C
解析　由题图可知A＝2，b－a＝＝.因为f(x1)＝f(x2)，所以sin＝1.所以2·＋φ＝，所以x1＋x2＝－φ.又f(x1＋x2)＝，所以sin[2(x1＋x2)＋φ]＝，所以π－2φ＋φ＝＋2kπ(k∈Z)或π－2φ＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，又因为|φ|≤，所以φ＝.所以f(x)＝2sin，令－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ(k∈Z)，解得－＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)，所以函数f(x)在上是增函数．
8．函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A>0，ω>0)的部分图象如图所示，则f的值是________．

答案　－
解析　由题中图象可知A＝，＝－＝，
即T＝π，又知T＝，∴ω＝2，
即函数f(x)＝sin(2x＋φ)．
由题意知f＝－，即sin＝－，
∴sin＝－1，∴＋φ＝2kπ＋，k∈Z.
∴φ＝2kπ＋(k∈Z)．
∴f(x)＝sin＝sin.
∴f＝sin＝－.
9．如表给出的是某港口在某季节每天几个时刻的水深关系．

时刻
t
0：00
3：00
6：00
9：00
12：00
15：00
18：00
21：00
24：00
水深
y(m)
5.0
7.0
5.0
3.0
5.0
7.0
5.0
3.0
5.0

若该港口的水深y(m)和时刻t(0≤t≤24)的关系可用函数y＝Asinωt＋h(其中A>0，ω>0，h>0)来近似描述，则该港口在11：00的水深为________ m.
答案　4
解析　从题表可以看出最大值和最小值分别为7,3，周期为T＝12，即且ω＝＝，解得
所以y＝2sint＋5，所以当t＝11时，y＝2sin＋5＝5－1＝4.
10．已知关于x的方程2sin＋1－a＝0在区间上存在两个根，则实数a的取值范围是________．
答案　[2,3)
解析　2sin＋1－a＝0化为sin＝，令t＝x＋，由x∈得，t＝x＋∈，画出函数y＝sint，t∈的图象和直线y＝，当≤<1，即2≤a<3时，函数y＝sint，t∈的图象和直线y＝有两个公共点，原方程有两个根．
　组　能力关
1．(2019·石嘴山模拟)将函数f(x)＝2sin(2x＋φ)(0<φ<π)的图象向左平移个单位后得到函数y＝g(x)的图象，若函数y＝g(x)为偶函数，则函数y＝f(x)在的值域为(　　)
A．[－1,2] B．[－1,1]
C．[，2] D．[－，]
答案　A
解析　由已知得g(x)＝f＝2sin＝2sin，因为函数y＝g(x)为偶函数，所以＋φ＝＋kπ，k∈Z.又0<φ<π，所以φ＝，所以f(x)＝2sin，由x∈得，2x＋∈，所以－≤sin≤1.所以函数y＝f(x)在的值域为[－1,2]．
2．若函数f(x)的部分图象如图，则函数f(x)的解析式以及S＝f(1)＋f(2)＋…＋f(2020)的值分别为(　　)

A．f(x)＝sin＋1，S＝2020
B．f(x)＝cos＋1，S＝2020
C．f(x)＝sin＋1，S＝2020.5
D．f(x)＝cos＋1，S＝2020.5
答案　A
解析　根据已知图象，设f(x)＝Asinωx＋1(ω>0，A>0)，由T＝4，得＝4，所以ω＝.
因为A＝＝＝，所以f(x)＝sin＋1.又函数f(x)的周期为4，且f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝1.5＋1＋0.5＋1＝4，所以S＝f(1)＋f(2)＋…＋f(2020)＝505×[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]＝505×4＝2020.

3．水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征．如图是一个半径为R的水车，一个水斗从点A出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时60秒．经过t秒后，水斗旋转到P点，设P的坐标为(x，y)，其纵坐标满足y＝f(t)＝Rsin(ωt＋φ).则下列叙述正确的是________．
①R＝6，ω＝，φ＝－；
②当t∈[35,55]时，点P到x轴的距离的最大值为6；
③当t∈[10,25]时，函数y＝f(t)单调递减；
④当t＝20时，|PA|＝6.
答案　①②④
解析　由点A(3，－3)，可得R＝6，
由旋转一周用时60秒，可得T＝＝60，则ω＝，由点A(3，－3)，可得∠AOx＝，则φ＝－，故①正确；由①知，f(t)＝6sin，当t∈[35,55]时，t－∈，
即当t－＝时，点P的坐标为(0，－6)，点P到x轴的距离的最大值为6，故②正确；
当t∈[10,25]时，t－∈，由正弦函数的单调性可知，函数y＝f(t)在[10,25]上有增有减，故③错误；
当t＝20时，水车旋转了三分之一周期，则∠AOP＝，
所以|PA|＝6，故④正确．
4．已知函数f(x)＝2sin(其中0<ω<1)，若点是函数f(x)图象的一个对称中心．
(1)求ω的值，并求出函数f(x)的增区间；
(2)先列表，再作出函数f(x)在区间x∈[－π，π]上的图象．
解　(1)因为点是函数f(x)图象的一个对称中心，
所以－＋＝kπ(k∈Z)，
所以ω＝－3k＋(k∈Z)，因为0<ω<1，
所以当k＝0时，可得ω＝.
所以f(x)＝2sin.
令2kπ－≤x＋≤2kπ＋(k∈Z)，
解得2kπ－≤x≤2kπ＋(k∈Z)，
所以函数f(x)的增区间为(k∈Z)．
(2)由(1)知，f(x)＝2sin，x∈[－π，π]．
列表如下：

x＋
－
－
0

π

x
－π
－
－


π
y
－1
－2
0
2
0
－1

作出函数的部分图象如图所示：

　组　素养关
1．已知函数f(x)＝cos＋2sinsin.
(1)求函数f(x)的单调递增区间；
(2)将y＝f(x)的图象向左平移个单位长度，再将得到的图象横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，得到y＝g(x)的图象．若函数y＝g(x)在区间上的图象与直线y＝a有三个交点，求实数a的取值范围．
解　(1)f(x)＝cos＋2sinsin
＝cos2x＋sin2x＋(sinx－cosx)(sinx＋cosx)
＝cos2x＋sin2x＋sin2x－cos2x
＝cos2x＋sin2x－cos2x
＝sin.
令2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，
得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.
所以函数f(x)的单调递增区间是，k∈Z.
(2)将f(x)的图象向左平移个单位长度，得y＝
sin＝sin＝cos2x的图象，再将得到的图象的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，得g(x)＝cosx的图象．
作函数g(x)＝cosx在区间上的图象，及直线y＝a.根据图象知，实数a的取值范围是.

2．已知函数f(x)＝Asin(2x＋φ)－的图象在y轴上的截距为1，且关于直线x＝对称，若存在x∈，使m2－3m≥f(x)成立，求实数m的取值范围．
解　∵函数f(x)＝Asin(2x＋φ)－的图象在y轴上的截距为1，
∴Asinφ－＝1，即Asinφ＝.
∵函数f(x)＝Asin(2x＋φ)－的图象关于直线x＝对称，
∴2×＋φ＝kπ＋，k∈Z，
又0<φ<，∴φ＝，∴A·sin＝，∴A＝，
∴f(x)＝sin－.
当x∈时，2x＋∈，
∴当2x＋＝，即x＝时，f(x)min＝－－＝－2.
令m2－3m≥－2，解得m≥2或m≤1.