2021届高三新高考数学人教A版一轮复习教学案：第二章第4节　幂函数与二次函数

第4节　幂函数与二次函数

考试要求　1.了解幂函数的概念；结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x，y＝的图象，了解它们的变化情况；2.理解二次函数的图象和性质，能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题.

知 识 梳 理

1.幂函数

(1)幂函数的定义

一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数.

(2)常见的五种幂函数的图象

(3)幂函数的性质

①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；

②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增；

③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减.

2.二次函数

(1)二次函数解析式的三种形式

一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0).

顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为(m，n).

零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点.

(2)二次函数的图象和性质

[常用结论与微点提醒]

1.二次函数的单调性、最值与抛物线的开口方向和对称轴及给定区间的范围有关.

2.若f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则当时恒有f(x)>0；当时，恒有f(x)<0.

3.(1)幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限；

(2)幂函数的图象过定点(1，1)，如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点.

诊 断 自 测

1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)

(1)函数y＝2x是幂函数.(　　)

(2)当α>0时，幂函数y＝xα在(0，＋∞)上是增函数.(　　)

(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的两个零点可以确定函数的解析式.(　　)

(4)二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈[a，b])的最值一定是.(　　)

解析　(1)由于幂函数的解析式为f(x)＝xα，故y＝2x不是幂函数，(1)错.

(3)确定二次函数的解析式需要三个独立的条件，两个零点不能确定函数的解析式.

(4)对称轴x＝－，当－小于a或大于b时，最值不是，故(4)错.

答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)×

2.(老教材必修1P79T1改编)已知幂函数f(x)＝k·xα的图象过点，则k＋α＝(　　)

A.   B.1   C.   D.2

解析　因为f(x)＝k·xα是幂函数，所以k＝1.

又f(x)的图象过点，所以＝，

所以α＝，所以k＋α＝1＋＝.

答案　C

3.(新教材必修第一册P86T7改编)如果函数f(x)＝ax2＋2x－3在区间(－∞，4)上单调递增，则实数a的取值范围是________.

解析　当a＝0时，f(x)＝2x－3在(－∞，4)单调递增.

当a≠0时，f(x)在(－∞，4)上单调递增.

则a需满足解得－≤a<0.

综上可知，－≤a≤0.

答案　

4.(2016·全国Ⅲ卷)已知a＝2，b＝3，c＝25，则(　　)

A.b<a<c    B.a<b<c

C.b<c<a    D.c<a<b

解析　因为a＝2＝4，b＝3，c＝5又y＝x在(0，＋∞)上是增函数，所以c>a>b.

答案　A

5.(2020·河南省实验中学质检)已知函数f(x)＝3x2－2(m＋3)x＋m＋3的值域为[0，＋∞)，则实数m的取值范围为(　　)

A.{0，－3}    B.[－3，0]

C.{0，3}    D.(－∞，－3]∪[0，＋∞)

解析　依题意，得Δ＝4(m＋3)2－4×3(m＋3)＝0，则m＝0或m＝－3.∴实数m的取值范围是{0，－3}.

答案　A

6.(2018·上海卷)已知α∈，.若幂函数f(x)＝xα为奇函数，且在(0，＋∞)上递减，则α＝______.

解析　由y＝xα为奇函数，知α取－1，1，3.

又y＝xα在(0，＋∞)上递减，∴α<0，取α＝－1.

答案　－1

考点一　幂函数的图象和性质

【例1】 (1)幂函数y＝f(x)的图象过点(4，2)，则幂函数y＝f(x)的大致图象是(　　)

(2)(2020·衡水中学调研)已知点(m，8)在幂函数f(x)＝(m－1)xn的图象上，设a＝f，b＝f(ln π)，c＝f(2－)，则a，b，c的大小关系是(　　)

A.a<c<b    B.a<b<c

C.b<c<a    D.b<a<c

解析　(1)设幂函数的解析式为y＝xα，

因为幂函数y＝f(x)的图象过点(4，2)，

所以2＝4α，解得α＝.

所以y＝，其定义域为[0，＋∞)，且是增函数，当0<x<1时，其图象在直线y＝x的上方，对照选项，C正确.

(2)由于f(x)＝(m－1)xn为幂函数，

所以m－1＝1，则m＝2，f(x)＝xn.

又点(2，8)在函数f(x)＝xn的图象上，

所以8＝2n，知n＝3，故f(x)＝x3，且在R上是增函数，

又ln π>1>2－＝>，

所以f(ln π)>f(2－)>f，则b>c>a.

答案　(1)C　(2)A

规律方法　1.对于幂函数图象的掌握，需记住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即x＝1，y＝1，y＝x所分区域.根据α<0，0<α<1，α＝1，α>1的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定.

2.在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较.

【训练1】 (1)(2019·荆门模拟)已知点在幂函数f(x)的图象上，则f(x)是(　　)

A.奇函数    B.偶函数

C.定义域内的减函数   D.定义域内的增函数

(2)若幂函数y＝x－1，y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象如图所示，则m与n的取值情况为(　　)

A.－1<m<0<n<1    B.－1<n<0<m

C.－1<m<0<n    D.－1<n<0<m<1

解析　(1)设幂函数y＝f(x)＝xα，且图象过点，

∴2α＝，得α＝－1，则f(x)＝x－1在x∈R且x≠0时为奇函数，但在定义域内不单调.

(2)幂函数y＝xα，当α>0时，y＝xα在(0，＋∞)上为增函数，且0<α<1时，图象上凸，∴0<m<1.

当α<0时，y＝xα在(0，＋∞)上为减函数.

不妨令x＝2，由图象得2－1<2n，则－1<n<0.

综上可知，－1<n<0<m<1.

答案　(1)A　(2)D

考点二　二次函数的解析式

【例2】 (一题多解)已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，试确定该二次函数的解析式.

解　法一　(利用“一般式”解题)

设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0).

由题意得解得

∴所求二次函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.

法二　(利用“顶点式”解题)

设f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0).

因为f(2)＝f(－1)，

所以抛物线的对称轴为x＝＝，所以m＝.

又根据题意，函数有最大值8，所以n＝8，

所以y＝f(x)＝a＋8.

因为f(2)＝－1，所以a＋8＝－1，解得a＝－4，

所以f(x)＝－4＋8＝－4x2＋4x＋7.

法三　(利用“零点式”解题)

由已知f(x)＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1，

故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)(a≠0)，

即f(x)＝ax2－ax－2a－1.

又函数有最大值8，即＝8.

解得a＝－4或a＝0(舍).

故所求函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.

规律方法　求二次函数的解析式，一般用待定系数法，其关键是根据已知条件恰当选择二次函数解析式的形式，一般选择规律如下：

【训练2】 已知二次函数f(x)的图象经过点(4，3)，它在x轴上截得的线段长为2，并且对任意x∈R，都有f(2－x)＝f(2＋x)，则f(x)＝________.

解析　因为f(2－x)＝f(2＋x)对x∈R恒成立，

所以y＝f(x)的图象关于x＝2对称.

又y＝f(x)的图象在x轴上截得的线段长为2，

所以f(x)＝0的两根为2－＝1或2＋＝3.

所以二次函数f(x)与x轴的两交点坐标为(1，0)和(3，0).

因此设f(x)＝a(x－1)(x－3).

又点(4，3)在y＝f(x)的图象上，

所以3a＝3，则a＝1.

故f(x)＝(x－1)(x－3)＝x2－4x＋3.

答案　x2－4x＋3

考点三　二次函数的图象及应用

【例3】 (1)对数函数y＝logax(a>0且a≠1)与二次函数y＝(a－1)x2－x在同一坐标系内的图象可能是(　　)

(2)设函数f(x)＝x2＋x＋a(a>0)，已知f(m)<0，则(　　)

A.f(m＋1)≥0    B.f(m＋1)≤0

C.f(m＋1)>0    D.f(m＋1)<0

解析　(1)若0<a<1，则y＝loga x在(0，＋∞)上单调递减，y＝(a－1)x2－x开口向下，其图象的对称轴在y轴左侧，排除C，D.

若a>1，则y＝loga x在(0，＋∞)上是增函数，

y＝(a－1)x2－x图象开口向上，且对称轴在y轴右侧，

因此B项不正确，只有选项A满足.

(2)因为f(x)的对称轴为x＝－，f(0)＝a>0，所以f(x)的大致图象如图所示.

由f(m)<0，得－1<m<0，

所以m＋1>0，所以f(m＋1)>f(0)>0.

答案　(1)A　(2)C

规律方法　1.研究二次函数图象应从“三点一线一开口”进行分析，“三点”中有一个点是顶点，另两个点是图象上关于对称轴对称的两个点，常取与x轴的交点；“一线”是指对称轴这条直线；“一开口”是指抛物线的开口方向.

2.求解与二次函数有关的不等式问题，可借助二次函数的图象特征，分析不等关系成立的条件.

【训练3】 一次函数y＝ax＋b与二次函数y＝ax2＋bx＋c在同一坐标系中的图象大致是(　　)

解析　A中，由一次函数y＝ax＋b的图象可得a>0，此时二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象应该开口向上，A错误；

B中，由一次函数y＝ax＋b的图象可得a>0，b>0，此时二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象应该开口向上，对称轴x＝－<0，B错误；C中，由一次函数y＝ax＋b的图象可得a<0，b<0，此时二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象应该开口向下，对称轴x＝－<0，C正确；

D中，由一次函数y＝ax＋b的图象可得a<0，b<0，此时二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象应该开口向下，D错误.

答案　C

考点四　二次函数的性质　多维探究

角度1　二次函数的单调性与最值

【例4－1】 已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋1(a，b∈R且a≠0)，x∈R.

(1)若函数f(x)的最小值为f(－1)＝0，求f(x)的解析式，并写出单调区间；

(2)在(1)的条件下，f(x)>x＋k在区间[－3，－1]上恒成立，试求k的取值范围.

解　(1)由题意知解得

所以f(x)＝x2＋2x＋1，

由f(x)＝(x＋1)2知，函数f(x)的单调递增区间为[－1，＋∞)，单调递减区间为(－∞，－1].

(2)由题意知，x2＋2x＋1>x＋k在区间[－3，－1]上恒成立，即k<x2＋x＋1在区间[－3，－1]上恒成立，

令g(x)＝x2＋x＋1，x∈[－3，－1]，

由g(x)＝＋知g(x)在区间[－3，－1]上是减函数，则g(x)min＝g(－1)＝1，所以k<1，

故k的取值范围是(－∞，1).

角度2　二次函数中的恒成立问题

【例4－2】 (2020·沈阳模拟)已知函数f(x)＝－x2＋ax－6，g(x)＝x＋4.若对任意x1∈(0，＋∞)，存在x2∈(－∞，－1]，使f(x1)≤g(x2)，则实数a的最大值为(　　)

A.6  B.4   C.3   D.2

解析　由题意f(x)max≤g(x)max，(*)

由g(x)在(－∞，－1]上单调递增，则g(x)max＝g(－1)＝3，

f(x)＝－x2＋ax－6＝－＋－6.

当a≤0时，f(x)在[0，＋∞)上单调递减，

所以f(x)<f(0)＝－6，显然f(x)<g(x)max＝3.

所以当a≤0时，(*)恒成立.

当a>0时，x＝∈(0，＋∞)，∴f(x)max＝f＝－6.

此时应有－6≤3，且a>0，解得0<a≤6.

综上可知a≤6，则a的最大值为6.

答案　A

规律方法　1.二次函数最值问题的解法：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合图象，根据函数的单调性及分类讨论的思想求解.

2.由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键

(1)一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数.

(2)两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否易分离.这两个思路的依据是：a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max，a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min.

【训练4】 (1)(角度1)若函数f(x)＝x2＋ax＋b的图象与x轴的交点为(1，0)和(3，0)，则函数f(x)(　　)

A.在(－∞，2]上递减，在[2，＋∞)上递增

B.在(－∞，3)上递增

C.在[1，3]上递增

D.单调性不能确定

(2)(角度2)若函数f(x)＝ax2－(2a＋1)x＋a＋1对于x∈[－1，1]时恒有f(x)≥0，则实数a的取值范围是________.

解析　(1)由已知可得该函数图象的对称轴为x＝2，又二次项系数为1>0，所以f(x)在(－∞，2]上是递减的，在[2，＋∞)上是递增的.

(2)∀x∈[－1，1]时，f(x)≥0⇔a(x－1)2≥x－1.(*)

当x＝1时，a∈R，(*)式恒成立.

当x∈[－1，1)时，(*)式等价于a≥恒成立.

又t＝在[－1，1)上是减函数，a≥＝－.

综上知a≥－.

答案　(1)A　(2)

A级　基础巩固

一、选择题

1.(2020·濮阳模拟)已知函数f(x)＝(m2－m－1)xm2＋2m－3是幂函数，且其图象与两坐标轴都没有交点，则实数m＝(　　)

A.－1   B.2   C.3   D.2或－1

解析　由题意，得m2－m－1＝1，解得m＝2或m＝－1.

当m＝2时，f(x)＝x5的图象与坐标轴有交点，不合题意.

当m＝－1时，f(x)＝x－4的图象与坐标轴无交点，符合题意.

综上可知，m＝－1.

答案　A

2.已知p：|m＋1|<1，q：幂函数y＝(m2－m－1)xm在(0，＋∞)上单调递减，则p是q的(　　)

A.充分不必要条件   B.必要不充分条件

C.充要条件    D.既不充分也不必要条件

解析　p：由|m＋1|<1得－2<m<0，

又幂函数y＝(m2－m－1)xm在(0，＋∞)上单调递减，

所以m2－m－1＝1，且m<0，解得m＝－1.

故p是q的必要不充分条件.

答案　B

3.若函数f(x)＝x2＋ax＋b在区间[0，1]上的最大值是M，最小值是m，则M－m(　　)

A.与a有关，且与b有关

B.与a有关，但与b无关

C.与a无关，且与b无关

D.与a无关，但与b有关

解析　设x1，x2分别是函数f(x)在[0，1]上的最小值点与最大值点，则m＝x＋ax1＋b，M＝x＋ax2＋b.

所以M－m＝x－x＋a(x2－x1)，显然此值与a有关，与b无关.

答案　B

4.(2020·长沙一中调研)定义在R上的函数f(x)＝－x3＋m与函数g(x)＝f(x)＋x3＋x2－kx在[－1，1]上具有相同的单调性，则k的取值范围是(　　)

A.(－∞，－2]    B.[2，＋∞)

C.[－2，2]    D.(－∞，－2]∪[2，＋∞)

解析　易知f(x)＝－x3＋m在R上是减函数.

依题设，函数g(x)＝x2－kx＋m在[－1，1]上单调递减.

∴抛物线的对称轴x＝≥1，则k≥2.

答案　B

5.若函数y＝x2－3x－4的定义域为[0，m]，值域为，则m的取值范围是(　　)

A.[0，4]    B.

C.    D.

解析　二次函数图象的对称轴为x＝，且f＝－，f(3)＝f(0)＝－4，结合函数图象(如图所示)，可得m∈.

答案　D

二、填空题

6.已知函数f(x)为幂函数，且f(4)＝，则当f(a)＝4f(a＋3)时，实数a等于________.

解析　设f(x)＝xα，则4α＝，所以α＝－.

因此f(x)＝x－，从而a－＝4(a＋3)－，解得a＝.

答案　

7.已知函数f(x)＝－x2＋4x＋a，x∈[0，1]，若f(x)有最小值－2，则f(x)的最大值为________.

解析　f(x)＝－x2＋4x＋a＝－(x－2)2＋a＋4，

∴函数f(x)＝－x2＋4x＋a在[0，1]上单调递增，

∴当x＝0时，f(x)取得最小值，当x＝1时，f(x)取得最大值，

∴f(0)＝a＝－2，f(1)＝3＋a＝3－2＝1.

答案　1

8.已知二次函数f(x)满足f(2＋x)＝f(2－x)，且f(x)在[0，2]上是增函数，若f(a)≥f(0)，则实数a的取值范围是________.

解析　由题意可知函数f(x)的图象开口向下，对称轴为x＝2(如图)，若f(a)≥f(0)，从图象观察可知0≤a≤4.

答案　[0，4]

三、解答题

9.已知函数f(x)＝x2＋2ax＋3，x∈[－4，6].

(1)当a＝－2时，求f(x)的最值；

(2)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－4，6]上是单调函数.

解　(1)当a＝－2时，f(x)＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，由于x∈[－4，6]，

∴f(x)在[－4，2]上单调递减，在[2，6]上单调递增，

∴f(x)的最小值是f(2)＝－1，

又f(－4)＝35，f(6)＝15，

故f(x)的最大值是35.

(2)由于函数f(x)的图象开口向上，对称轴是x＝－a，所以要使f(x)在[－4，6]上是单调函数，应有－a≤－4或－a≥6，即a≤－6或a≥4，

故a的取值范围是(－∞，－6]∪[4，＋∞).

10.已知幂函数f(x)＝(m－1)2xm2－4m＋2在(0，＋∞)上单调递增，函数g(x)＝2x－k.

(1)求m的值；

(2)当x∈[1，2)时，记f(x)，g(x)的值域分别为集合A，B，设p：x∈A，q：x∈B，若p是q成立的必要条件，求实数k的取值范围.

解　(1)依题意得：(m－1)2＝1⇒m＝0或m＝2，

当m＝2时，f(x)＝x－2在(0，＋∞)上单调递减，与题设矛盾，舍去，∴m＝0.

(2)由(1)得，f(x)＝x2，

当x∈[1，2)时，f(x)∈[1，4)，即A＝[1，4)，

当x∈[1，2)时，g(x)∈[2－k，4－k)，

即B＝[2－k，4－k)，

因p是q成立的必要条件，则B⊆A，

则即得0≤k≤1.

故实数k的取值范围是[0，1].

B级　能力提升

11.幂函数y＝xα，当α取不同的正数时，在区间[0，1]上它们的图象是一组美丽的曲线(如图)，设点A(1，0)，B(0，1)，连接AB，线段AB恰好被其中的两个幂函数y＝xa，y＝xb的图象三等分，即有BM＝MN＝NA，那么a－＝(　　)

A.0   B.1   C.   D.2

解析　BM＝MN＝NA，点A(1，0)，B(0，1)，

所以M，N，

将两点坐标分别代入y＝xa，y＝xb，得a＝log，b＝log，

∴a－＝log－＝0.

答案　A

12.已知在(－∞，1]上递减的函数f(x)＝x2－2tx＋1，且对任意的x1，x2∈[0，t＋1]，总有|f(x1)－f(x2)|≤2，则实数t的取值范围是(　　)

A.[－，]    B.[1，] 

C.[2，3]    D.[1，2]

解析　由于f(x)＝x2－2tx＋1的图象的对称轴为x＝t，

又y＝f(x)在(－∞，1]上是减函数，所以t≥1.

则在区间[0，t＋1]上，f(x)max＝f(0)＝1，

f(x)min＝f(t)＝t2－2t2＋1＝－t2＋1，

要使对任意的x1，x2∈[0，t＋1]，都有|f(x1)－f(x2)|≤2，

只需1－(－t2＋1)≤2，解得－≤t≤.

又t≥1，∴1≤t≤.

答案　B

13.已知函数f(x)＝mx2＋(2－m)x＋n(m>0)，当－1≤x≤1时，|f(x)|≤1恒成立，则f＝________.

解析　当x∈[－1，1]时，|f(x)|≤1恒成立.

∴

因此n＝－1，∴f(0)＝－1，f(1)＝1.

由f(x)的图象可知：要满足题意，则图象的对称轴为直线x＝0，∴2－m＝0，m＝2，

∴f(x)＝2x2－1，∴f＝－.

答案　－

14.已知二次函数f(x)满足f(x＋1)－f(x)＝2x，且f(0)＝1.

(1)求f(x)的解析式；

(2)当x∈[－1，1]时，函数y＝f(x)的图象恒在函数y＝2x＋m的图象的上方，求实数m的取值范围.

解　(1)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，

由f(x＋1)－f(x)＝2x，得2ax＋a＋b＝2x.

所以，2a＝2且a＋b＝0，解得a＝1，b＝－1，

又f(0)＝1，所以c＝1.

因此f(x)的解析式为f(x)＝x2－x＋1.

(2)因为当x∈[－1，1]时，y＝f(x)的图象恒在y＝2x＋m的图象上方，

所以在[－1，1]上，x2－x＋1>2x＋m恒成立；

即x2－3x＋1>m在区间[－1，1]上恒成立.

所以令g(x)＝x2－3x＋1＝－，

因为g(x)在[－1，1]上的最小值为g(1)＝－1，

所以m<－1.故实数m的取值范围为(－∞，－1).

C级　创新猜想

15.(组合选择题)如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象的一部分，图象过点A(－3，0)，对称轴为x＝－1.给出下面四个结论：

①b2>4ac；②2a－b＝1；③a－b＋c＝0；④5a<b.

其中正确的是(　　)

A.②④   B.①④   C.②③   D.①③

解析　因为图象与x轴交于两点，所以b2－4ac>0，即b2>4ac，①正确.

对称轴为x＝－1，即－＝－1，2a－b＝0，②错误.

结合图象，当x＝－1时，y>0，即a－b＋c>0，③错误.

由对称轴为x＝－1知，b＝2a.

根据抛物线开口向下，知a<0，所以5a<2a，

即5a<b，④正确.

答案　B