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2021新高考数学（江苏专用）一轮复习学案：第二章第4节二次函数与幂函数
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第4节 二次函数与幂函数
考试要求 1.通过具体实例，结合y＝x，y＝，y＝x2，y＝，y＝x3的图象，理解它们的变化规律，了解幂函数；2.理解二次函数的图象和性质，能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题.
知 识 梳 理
1.幂函数
(1)幂函数的定义
一般地，我们把形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数.
(2)常见的五种幂函数的图象
(3)幂函数的性质
①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；
②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增；
③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减.
2.二次函数
(1)二次函数解析式的三种形式
一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0).
顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为(m，n).
零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点.
(2)二次函数的图象和性质
函数
y＝ax2＋bx＋c(a>0)
y＝ax2＋bx＋c(a<0)
图象
(抛物线)
定义域
R
值域
对称轴
x＝－
顶点
坐标
奇偶性
当b＝0时是偶函数，当b≠0时是非奇非偶函数
单调性
在上是减函数；
在上是增函数
在上是增函数；
在上是减函数
[常用结论与微点提醒]
1.二次函数的单调性、最值与抛物线的开口方向和对称轴及给定区间的范围有关.
2.若f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则当时恒有f(x)>0；当时，恒有f(x)<0.
3.(1)幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限；
(2)幂函数的图象过定点(1，1)，如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点.
诊 断 自 测
1.判断下列结论的正误.(在括号内打“√”或“×”)
(1)函数y＝2x是幂函数.( )
(2)当α>0时，幂函数y＝xα在(0，＋∞)上是增函数.( )
(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的两个零点可以确定函数的解析式.( )
(4)二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈[a，b])的最值一定是.( )
解析 (1)由于幂函数的解析式为f(x)＝xα，故y＝2x不是幂函数，(1)错.
(3)确定二次函数的解析式需要三个独立的条件，两个零点不能确定函数的解析式.
(4)对称轴x＝－，当－小于a或大于b时，最值不是，故(4)错.
答案 (1)× (2)√ (3)× (4)×
2.(多填题)(教材必修1P88例1改编)已知幂函数f(x)＝k·xα的图象过点，则k＝________，α＝________.
解析 因为f(x)＝k·xα是幂函数，所以k＝1.
又f(x)的图象过点，所以＝，
所以α＝.
答案 1
3.(新教材必修第一册P86T7改编)如果函数f(x)＝ax2＋2x－3在区间(－∞，4)上单调递增，则实数a的取值范围是________.
解析 当a＝0时，f(x)＝2x－3在(－∞，4)单调递增.
当a≠0时，f(x)在(－∞，4)上单调递增.
则a需满足解得－≤a<0.
综上可知，－≤a≤0.
答案
4.(2016·全国Ⅲ卷)已知a＝2，b＝3，c＝25，则( )
A.b
答案 A
5.(2020·南通模拟)已知函数f(x)＝3x2－2(m＋3)x＋m＋3的值域为[0，＋∞)，则实数m的取值范围为( )
A.{0，－3} B.[－3，0]
C.{0，3} D.(－∞，－3]∪[0，＋∞)
解析 依题意，得Δ＝4(m＋3)2－4×3(m＋3)＝0，则m＝0或m＝－3.∴实数m的取值范围是{0，－3}.
答案 A
6.(2018·上海卷)已知α∈，.若幂函数f(x)＝xα为奇函数，且在(0，＋∞)上递减，则α＝______.
解析 由y＝xα为奇函数，知α取－1，1，3.
又y＝xα在(0，＋∞)上递减，∴α<0，取α＝－1.
答案 －1
考点一 幂函数的图象和性质
【例1】 (1)幂函数y＝f(x)的图象过点(4，2)，则幂函数y＝f(x)的大致图象是( )
(2)(2020·盐城期中)已知点(m，8)在幂函数f(x)＝(m－1)xn的图象上，设a＝f，b＝f(ln π)，c＝f(2－)，则a，b，c的大小关系是( )
A.a
因为幂函数y＝f(x)的图象过点(4，2)，
所以2＝4α，解得α＝.
所以y＝，其定义域为[0，＋∞)，且是增函数，当0
所以m－1＝1，则m＝2，f(x)＝xn.
又点(2，8)在函数f(x)＝xn的图象上，
所以8＝2n，知n＝3，故f(x)＝x3，且在R上是增函数，
又ln π>1>2－＝>，
所以f(ln π)>f(2－)>f，则b>c>a.
答案 (1)C (2)A
规律方法 1.对于幂函数图象的掌握，需记住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即x＝1，y＝1，y＝x所分区域.根据α<0，0<α<1，α＝1，α>1的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定.
2.在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较.
【训练1】 (1)(多选题)已知点在幂函数f(x)＝(a－1)xb的图象上，则函数f(x)是( )
A.奇函数
B.偶函数
C.(0，＋∞)上的增函数
D.(0，＋∞)上的减函数
(2)若幂函数y＝x－1，y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象如图所示，则m与n的取值情况为( )
A.－1
(2)幂函数y＝xα，当α>0时，y＝xα在(0，＋∞)上为增函数，且0<α<1时，图象上凸，∴0
不妨令x＝2，由图象得2－1<2n，则－1
考点二 二次函数的解析式
【例2】 (一题多解)已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，试确定该二次函数的解析式.
解 法一 (利用“一般式”解题)
设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0).
由题意得解得
∴所求二次函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.
法二 (利用“顶点式”解题)
设f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0).
因为f(2)＝f(－1)，
所以抛物线的对称轴为x＝＝，所以m＝.
又根据题意，函数有最大值8，所以n＝8，
所以y＝f(x)＝a＋8.
因为f(2)＝－1，所以a＋8＝－1，解得a＝－4，
所以f(x)＝－4＋8＝－4x2＋4x＋7.
法三 (利用“零点式”解题)
由已知f(x)＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1，
故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)(a≠0)，
即f(x)＝ax2－ax－2a－1.
又函数有最大值8，即＝8.
解得a＝－4或a＝0(舍).
故所求函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.
规律方法 求二次函数的解析式，一般用待定系数法，其关键是根据已知条件恰当选择二次函数解析式的形式，一般选择规律如下：
【训练2】 已知二次函数f(x)的图象经过点(4，3)，它在x轴上截得的线段长为2，并且对任意x∈R，都有f(2－x)＝f(2＋x)，则f(x)＝________.
解析 因为f(2－x)＝f(2＋x)对x∈R恒成立，
所以y＝f(x)的图象关于x＝2对称.
又y＝f(x)的图象在x轴上截得的线段长为2，
所以f(x)＝0的两根为2－＝1或2＋＝3.
所以二次函数f(x)与x轴的两交点坐标为(1，0)和(3，0).
因此设f(x)＝a(x－1)(x－3).
又点(4，3)在y＝f(x)的图象上，
所以3a＝3，则a＝1.
故f(x)＝(x－1)(x－3)＝x2－4x＋3.
答案 x2－4x＋3
考点三 二次函数的图象及应用
【例3】 (1)对数函数y＝logax(a>0且a≠1)与二次函数y＝(a－1)x2－x在同一坐标系内的图象可能是( )
(2)设函数f(x)＝x2＋x＋a(a>0)，已知f(m)<0，则( )
A.f(m＋1)≥0 B.f(m＋1)≤0
C.f(m＋1)>0 D.f(m＋1)<0
解析 (1)若0
y＝(a－1)x2－x图象开口向上，且对称轴在y轴右侧，
因此B项不正确，只有选项A满足.
(2)因为f(x)的对称轴为x＝－，f(0)＝a>0，所以f(x)的大致图象如图所示.
由f(m)<0，得－1
答案 (1)A (2)C
规律方法 1.研究二次函数图象应从“三点一线一开口”进行分析，“三点”中有一个点是顶点，另两个点是图象上关于对称轴对称的两个点，常取与x轴的交点；“一线”是指对称轴这条直线；“一开口”是指抛物线的开口方向.
2.求解与二次函数有关的不等式问题，可借助二次函数的图象特征，分析不等关系成立的条件.
【训练3】 一次函数y＝ax＋b与二次函数y＝ax2＋bx＋c在同一坐标系中的图象大致是( )
解析 A中，由一次函数y＝ax＋b的图象可得a>0，此时二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象应该开口向上，A错误；
B中，由一次函数y＝ax＋b的图象可得a>0，b>0，此时二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象应该开口向上，对称轴x＝－<0，B错误；C中，由一次函数y＝ax＋b的图象可得a<0，b<0，此时二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象应该开口向下，对称轴x＝－<0，C正确；
D中，由一次函数y＝ax＋b的图象可得a<0，b<0，此时二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象应该开口向下，D错误.
答案 C
考点四 二次函数的性质 多维探究
角度1 二次函数的单调性与最值
【例4－1】 已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋1(a，b∈R且a≠0)，x∈R.
(1)若函数f(x)的最小值为f(－1)＝0，求f(x)的解析式，并写出单调区间；
(2)在(1)的条件下，f(x)>x＋k在区间[－3，－1]上恒成立，试求k的取值范围.
解 (1)由题意知解得
所以f(x)＝x2＋2x＋1，
由f(x)＝(x＋1)2知，函数f(x)的单调递增区间为[－1，＋∞)，单调递减区间为
(－∞，－1].
(2)由题意知，x2＋2x＋1>x＋k在区间[－3，－1]上恒成立，即k
令g(x)＝x2＋x＋1，x∈[－3，－1]，
由g(x)＝＋知g(x)在区间[－3，－1]上是减函数，则g(x)min＝g(－1)＝1，所以k<1，
故k的取值范围是(－∞，1).
角度2 二次函数中的恒成立问题
【例4－2】 (2020·北京模拟)已知函数f(x)＝－x2＋ax－6，g(x)＝x＋4.若对任意x1∈(0，＋∞)，存在x2∈(－∞，－1]，使f(x1)≤g(x2)，则实数a的最大值为( )
A.6 B.4 C.3 D.2
解析 由题意f(x)max≤g(x)max，(*)
由g(x)在(－∞，－1]上单调递增，则g(x)max＝g(－1)＝3，
f(x)＝－x2＋ax－6＝－＋－6.
当a≤0时，f(x)在[0，＋∞)上单调递减，
所以f(x)
当a>0时，x＝∈(0，＋∞)，∴f(x)max＝f＝－6.
此时应有－6≤3，且a>0，解得0
答案 A
规律方法 1.二次函数最值问题的解法：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合图象，根据函数的单调性及分类讨论的思想求解.
2.由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键
(1)一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数.
(2)两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否易分离.这两个思路的依据是：a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max，a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min.
【训练4】 (1)(角度1)若函数f(x)＝x2＋ax＋b的图象与x轴的交点为(1，0)和(3，0)，则函数f(x)( )
A.在(－∞，2]上递减，在[2，＋∞)上递增
B.在(－∞，3)上递增
C.在[1，3]上递增
D.单调性不能确定
(2)(角度2)若函数f(x)＝ax2－(2a＋1)x＋a＋1对于x∈[－1，1]时恒有f(x)≥0，则实数a的取值范围是________.
解析 (1)由已知可得该函数图象的对称轴为x＝2，又二次项系数为1>0，所以f(x)在(－∞，2]上是递减的，在[2，＋∞)上是递增的.
(2)∀x∈[－1，1]时，f(x)≥0⇔a(x－1)2≥x－1.(*)
当x＝1时，a∈R，(*)式恒成立.
当x∈[－1，1)时，(*)式等价于a≥恒成立.
又t＝在[－1，1)上是减函数，a≥＝－.
综上知a≥－.
答案 (1)A (2)
A级 基础巩固
一、选择题
1.(2020·濮阳模拟)已知函数f(x)＝(m2－m－1)xm2＋2m－3是幂函数，且其图象与两坐标轴都没有交点，则实数m＝( )
A.－1 B.2 C.3 D.2或－1
解析 由题意，得m2－m－1＝1，解得m＝2或m＝－1.
当m＝2时，f(x)＝x5的图象与坐标轴有交点，不合题意.
当m＝－1时，f(x)＝x－4的图象与坐标轴无交点，符合题意.
综上可知，m＝－1.
答案 A
2.已知p：|m＋1|<1，q：幂函数y＝(m2－m－1)xm在(0，＋∞)上单调递减，则p是q的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析 p：由|m＋1|<1得－2
所以m2－m－1＝1，且m<0，解得m＝－1.
故p是q的必要不充分条件.
答案 B
3.若函数f(x)＝x2＋ax＋b在区间[0，1]上的最大值是M，最小值是m，则M－m( )
A.与a有关，且与b有关 B.与a有关，但与b无关
C.与a无关，且与b无关 D.与a无关，但与b有关
解析 设x1，x2分别是函数f(x)在[0，1]上的最小值点与最大值点，则m＝x＋ax1＋b，M＝x＋ax2＋b.
所以M－m＝x－x＋a(x2－x1)，显然此值与a有关，与b无关.
答案 B
4.(多选题)(2020·济南一中调研)定义在R上的函数f(x)＝－x3＋m与函数g(x)＝f(x)＋x3＋x2－kx在[－1，1]上具有相同的单调性，则k的取值可以是( )
A.1 B. C.2 D.3
解析 易知f(x)＝－x3＋m在R上是减函数.
依题设，函数g(x)＝x2－kx＋m在[－1，1]上单调递减.
∴抛物线的对称轴x＝≥1，则k≥2.故k的取值可以是2，3.
答案 CD
5.若函数y＝x2－3x－4的定义域为[0，m]，值域为，则m的取值范围是( )
A.[0，4] B.
C. D.
解析 二次函数图象的对称轴为x＝，且f＝－，f(3)＝f(0)＝－4，结合函数图象(如图所示)，可得m∈.
答案 D
二、填空题
6.已知函数f(x)为幂函数，且f(4)＝，则当f(a)＝4f(a＋3)时，实数a等于________.
解析 设f(x)＝xα，则4α＝，所以α＝－.
因此f(x)＝x－，从而a－＝4(a＋3)－，解得a＝.
答案
7.已知函数f(x)＝－x2＋4x＋a，x∈[0，1]，若f(x)有最小值－2，则f(x)的最大值为________.
解析 f(x)＝－x2＋4x＋a＝－(x－2)2＋a＋4，
∴函数f(x)＝－x2＋4x＋a在[0，1]上单调递增，
∴当x＝0时，f(x)取得最小值，当x＝1时，f(x)取得最大值，
∴f(0)＝a＝－2，f(1)＝3＋a＝3－2＝1.
答案 1
8.已知二次函数f(x)满足f(2＋x)＝f(2－x)，且f(x)在[0，2]上是增函数，若f(a)≥f(0)，则实数a的取值范围是________.
解析 由题意可知函数f(x)的图象开口向下，对称轴为x＝2(如图)，若f(a)≥f(0)，从图象观察可知0≤a≤4.
答案 [0，4]
三、解答题
9.已知函数f(x)＝x2＋2ax＋3，x∈[－4，6].
(1)当a＝－2时，求f(x)的最值；
(2)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－4，6]上是单调函数.
解 (1)当a＝－2时，f(x)＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，由于x∈[－4，6]，
∴f(x)在[－4，2]上单调递减，在[2，6]上单调递增，
∴f(x)的最小值是f(2)＝－1，
又f(－4)＝35，f(6)＝15，故f(x)的最大值是35.
(2)由于函数f(x)的图象开口向上，对称轴是x＝－a，所以要使f(x)在[－4，6]上是单调函数，应有－a≤－4或－a≥6，即a≤－6或a≥4，
故a的取值范围是(－∞，－6]∪[4，＋∞).
10.已知幂函数f(x)＝(m－1)2xm2－4m＋2在(0，＋∞)上单调递增，函数g(x)＝2x－k.
(1)求m的值；
(2)当x∈[1，2)时，记f(x)，g(x)的值域分别为集合A，B，设p：x∈A，q：x∈B，若p是q成立的必要条件，求实数k的取值范围.
解 (1)依题意得：(m－1)2＝1⇒m＝0或m＝2，
当m＝2时，f(x)＝x－2在(0，＋∞)上单调递减，与题设矛盾，舍去，∴m＝0.
(2)由(1)得，f(x)＝x2，
当x∈[1，2)时，f(x)∈[1，4)，即A＝[1，4)，
当x∈[1，2)时，g(x)∈[2－k，4－k)，
即B＝[2－k，4－k)，
因p是q成立的必要条件，则B⊆A，
则即得0≤k≤1.
故实数k的取值范围是[0，1].
B级 能力提升
11.幂函数y＝xα，当α取不同的正数时，在区间[0，1]上它们的图象是一组美丽的曲线(如图)，设点A(1，0)，B(0，1)，连接AB，线段AB恰好被其中的两个幂函数y＝xa，y＝xb的图象三等分，即有BM＝MN＝NA，那么a－＝( )
A.0 B.1 C. D.2
解析 BM＝MN＝NA，点A(1，0)，B(0，1)，
所以M，N，
将两点坐标分别代入y＝xa，y＝xb，得a＝log，b＝log，∴a－＝log－＝0.
答案 A
12.已知在(－∞，1]上递减的函数f(x)＝x2－2tx＋1，且对任意的x1，x2∈[0，t＋1]，总有|f(x1)－f(x2)|≤2，则实数t的取值范围是( )
A.[－，] B.[1，]
C.[2，3] D.[1，2]
解析 由于f(x)＝x2－2tx＋1的图象的对称轴为x＝t，
又y＝f(x)在(－∞，1]上是减函数，所以t≥1.
则在区间[0，t＋1]上，f(x)max＝f(0)＝1，
f(x)min＝f(t)＝t2－2t2＋1＝－t2＋1，
要使对任意的x1，x2∈[0，t＋1]，都有|f(x1)－f(x2)|≤2，
只需1－(－t2＋1)≤2，解得－≤t≤.
又t≥1，∴1≤t≤.
答案 B
13.已知函数f(x)＝mx2＋(2－m)x＋n(m>0)，当－1≤x≤1时，|f(x)|≤1恒成立，则f＝________.
解析 当x∈[－1，1]时，|f(x)|≤1恒成立.
∴
因此n＝－1，∴f(0)＝－1，f(1)＝1.
由f(x)的图象可知：要满足题意，则图象的对称轴为直线x＝0，∴2－m＝0，m＝2，
∴f(x)＝2x2－1，∴f＝－.
答案 －
14.已知二次函数f(x)满足f(x＋1)－f(x)＝2x，且f(0)＝1.
(1)求f(x)的解析式；
(2)当x∈[－1，1]时，函数y＝f(x)的图象恒在函数y＝2x＋m的图象的上方，求实数m的取值范围.
解 (1)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
由f(x＋1)－f(x)＝2x，得2ax＋a＋b＝2x.
所以，2a＝2且a＋b＝0，解得a＝1，b＝－1，
又f(0)＝1，所以c＝1.
因此f(x)的解析式为f(x)＝x2－x＋1.
(2)因为当x∈[－1，1]时，y＝f(x)的图象恒在y＝2x＋m的图象上方，
所以在[－1，1]上，x2－x＋1>2x＋m恒成立；
即x2－3x＋1>m在区间[－1，1]上恒成立.
所以令g(x)＝x2－3x＋1＝－，
因为g(x)在[－1，1]上的最小值为g(1)＝－1，
所以m<－1.故实数m的取值范围为(－∞，－1).
C级 创新猜想
15.(组合选择题)如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象的一部分，图象过点A(－3，0)，对称轴为x＝－1.给出下面四个结论：
①b2>4ac；②2a－b＝1；③a－b＋c＝0；④5a
A.②④ B.①④ C.②③ D.①③
解析 因为图象与x轴交于两点，所以b2－4ac>0，即b2>4ac，①正确.
对称轴为x＝－1，即－＝－1，2a－b＝0，②错误.
结合图象，当x＝－1时，y>0，即a－b＋c>0，③错误.
由对称轴为x＝－1知，b＝2a.
根据抛物线开口向下，知a<0，所以5a<2a，
即5a
16.(情景创新题)(2019·新海高级中学月考)若直角坐标平面内不同两点P，Q满足条件：①P，Q都在函数y＝f(x)的图象上，②P，Q关于原点对称，则称(P，Q)是函数y＝f(x)的一个“伙伴点组”(点组(P，Q)与(Q，P)可看成同一个“伙伴点组”).已知函数f(x)＝有两个“伙伴点组”，则实数k的取值范围是________.
解析 设点(m，n)(m＞0)是函数y＝f(x)的一个“伙伴点组”中的一个点，则其关于原点的对称点(－m，－n)必在该函数图象上，故消去n，整理得m2－km＋k＋1＝0.若函数f(x)有两个“伙伴点组”，则该方程有两个不相等的正实数根，即解得k＞2＋2.故实数k的取值范围是(2＋2，＋∞).
答案 (2＋2，＋∞)
第4节 二次函数与幂函数
考试要求 1.通过具体实例，结合y＝x，y＝，y＝x2，y＝，y＝x3的图象，理解它们的变化规律，了解幂函数；2.理解二次函数的图象和性质，能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题.
知 识 梳 理
1.幂函数
(1)幂函数的定义
一般地，我们把形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数.
(2)常见的五种幂函数的图象
(3)幂函数的性质
①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；
②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增；
③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减.
2.二次函数
(1)二次函数解析式的三种形式
一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0).
顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为(m，n).
零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点.
(2)二次函数的图象和性质
函数
y＝ax2＋bx＋c(a>0)
y＝ax2＋bx＋c(a<0)
图象
(抛物线)
定义域
R
值域
对称轴
x＝－
顶点
坐标
奇偶性
当b＝0时是偶函数，当b≠0时是非奇非偶函数
单调性
在上是减函数；
在上是增函数
在上是增函数；
在上是减函数
[常用结论与微点提醒]
1.二次函数的单调性、最值与抛物线的开口方向和对称轴及给定区间的范围有关.
2.若f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则当时恒有f(x)>0；当时，恒有f(x)<0.
3.(1)幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限；
(2)幂函数的图象过定点(1，1)，如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点.
诊 断 自 测
1.判断下列结论的正误.(在括号内打“√”或“×”)
(1)函数y＝2x是幂函数.( )
(2)当α>0时，幂函数y＝xα在(0，＋∞)上是增函数.( )
(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的两个零点可以确定函数的解析式.( )
(4)二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈[a，b])的最值一定是.( )
解析 (1)由于幂函数的解析式为f(x)＝xα，故y＝2x不是幂函数，(1)错.
(3)确定二次函数的解析式需要三个独立的条件，两个零点不能确定函数的解析式.
(4)对称轴x＝－，当－小于a或大于b时，最值不是，故(4)错.
答案 (1)× (2)√ (3)× (4)×
2.(多填题)(教材必修1P88例1改编)已知幂函数f(x)＝k·xα的图象过点，则k＝________，α＝________.
解析 因为f(x)＝k·xα是幂函数，所以k＝1.
又f(x)的图象过点，所以＝，
所以α＝.
答案 1
3.(新教材必修第一册P86T7改编)如果函数f(x)＝ax2＋2x－3在区间(－∞，4)上单调递增，则实数a的取值范围是________.
解析 当a＝0时，f(x)＝2x－3在(－∞，4)单调递增.
当a≠0时，f(x)在(－∞，4)上单调递增.
则a需满足解得－≤a<0.
综上可知，－≤a≤0.
答案
4.(2016·全国Ⅲ卷)已知a＝2，b＝3，c＝25，则( )
A.b
答案 A
5.(2020·南通模拟)已知函数f(x)＝3x2－2(m＋3)x＋m＋3的值域为[0，＋∞)，则实数m的取值范围为( )
A.{0，－3} B.[－3，0]
C.{0，3} D.(－∞，－3]∪[0，＋∞)
解析 依题意，得Δ＝4(m＋3)2－4×3(m＋3)＝0，则m＝0或m＝－3.∴实数m的取值范围是{0，－3}.
答案 A
6.(2018·上海卷)已知α∈，.若幂函数f(x)＝xα为奇函数，且在(0，＋∞)上递减，则α＝______.
解析 由y＝xα为奇函数，知α取－1，1，3.
又y＝xα在(0，＋∞)上递减，∴α<0，取α＝－1.
答案 －1
考点一 幂函数的图象和性质
【例1】 (1)幂函数y＝f(x)的图象过点(4，2)，则幂函数y＝f(x)的大致图象是( )
(2)(2020·盐城期中)已知点(m，8)在幂函数f(x)＝(m－1)xn的图象上，设a＝f，b＝f(ln π)，c＝f(2－)，则a，b，c的大小关系是( )
A.a
因为幂函数y＝f(x)的图象过点(4，2)，
所以2＝4α，解得α＝.
所以y＝，其定义域为[0，＋∞)，且是增函数，当0
所以m－1＝1，则m＝2，f(x)＝xn.
又点(2，8)在函数f(x)＝xn的图象上，
所以8＝2n，知n＝3，故f(x)＝x3，且在R上是增函数，
又ln π>1>2－＝>，
所以f(ln π)>f(2－)>f，则b>c>a.
答案 (1)C (2)A
规律方法 1.对于幂函数图象的掌握，需记住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即x＝1，y＝1，y＝x所分区域.根据α<0，0<α<1，α＝1，α>1的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定.
2.在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较.
【训练1】 (1)(多选题)已知点在幂函数f(x)＝(a－1)xb的图象上，则函数f(x)是( )
A.奇函数
B.偶函数
C.(0，＋∞)上的增函数
D.(0，＋∞)上的减函数
(2)若幂函数y＝x－1，y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象如图所示，则m与n的取值情况为( )
A.－1
(2)幂函数y＝xα，当α>0时，y＝xα在(0，＋∞)上为增函数，且0<α<1时，图象上凸，∴0
不妨令x＝2，由图象得2－1<2n，则－1
考点二 二次函数的解析式
【例2】 (一题多解)已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，试确定该二次函数的解析式.
解 法一 (利用“一般式”解题)
设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0).
由题意得解得
∴所求二次函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.
法二 (利用“顶点式”解题)
设f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0).
因为f(2)＝f(－1)，
所以抛物线的对称轴为x＝＝，所以m＝.
又根据题意，函数有最大值8，所以n＝8，
所以y＝f(x)＝a＋8.
因为f(2)＝－1，所以a＋8＝－1，解得a＝－4，
所以f(x)＝－4＋8＝－4x2＋4x＋7.
法三 (利用“零点式”解题)
由已知f(x)＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1，
故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)(a≠0)，
即f(x)＝ax2－ax－2a－1.
又函数有最大值8，即＝8.
解得a＝－4或a＝0(舍).
故所求函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.
规律方法 求二次函数的解析式，一般用待定系数法，其关键是根据已知条件恰当选择二次函数解析式的形式，一般选择规律如下：
【训练2】 已知二次函数f(x)的图象经过点(4，3)，它在x轴上截得的线段长为2，并且对任意x∈R，都有f(2－x)＝f(2＋x)，则f(x)＝________.
解析 因为f(2－x)＝f(2＋x)对x∈R恒成立，
所以y＝f(x)的图象关于x＝2对称.
又y＝f(x)的图象在x轴上截得的线段长为2，
所以f(x)＝0的两根为2－＝1或2＋＝3.
所以二次函数f(x)与x轴的两交点坐标为(1，0)和(3，0).
因此设f(x)＝a(x－1)(x－3).
又点(4，3)在y＝f(x)的图象上，
所以3a＝3，则a＝1.
故f(x)＝(x－1)(x－3)＝x2－4x＋3.
答案 x2－4x＋3
考点三 二次函数的图象及应用
【例3】 (1)对数函数y＝logax(a>0且a≠1)与二次函数y＝(a－1)x2－x在同一坐标系内的图象可能是( )
(2)设函数f(x)＝x2＋x＋a(a>0)，已知f(m)<0，则( )
A.f(m＋1)≥0 B.f(m＋1)≤0
C.f(m＋1)>0 D.f(m＋1)<0
解析 (1)若0
y＝(a－1)x2－x图象开口向上，且对称轴在y轴右侧，
因此B项不正确，只有选项A满足.
(2)因为f(x)的对称轴为x＝－，f(0)＝a>0，所以f(x)的大致图象如图所示.
由f(m)<0，得－1
答案 (1)A (2)C
规律方法 1.研究二次函数图象应从“三点一线一开口”进行分析，“三点”中有一个点是顶点，另两个点是图象上关于对称轴对称的两个点，常取与x轴的交点；“一线”是指对称轴这条直线；“一开口”是指抛物线的开口方向.
2.求解与二次函数有关的不等式问题，可借助二次函数的图象特征，分析不等关系成立的条件.
【训练3】 一次函数y＝ax＋b与二次函数y＝ax2＋bx＋c在同一坐标系中的图象大致是( )
解析 A中，由一次函数y＝ax＋b的图象可得a>0，此时二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象应该开口向上，A错误；
B中，由一次函数y＝ax＋b的图象可得a>0，b>0，此时二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象应该开口向上，对称轴x＝－<0，B错误；C中，由一次函数y＝ax＋b的图象可得a<0，b<0，此时二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象应该开口向下，对称轴x＝－<0，C正确；
D中，由一次函数y＝ax＋b的图象可得a<0，b<0，此时二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象应该开口向下，D错误.
答案 C
考点四 二次函数的性质 多维探究
角度1 二次函数的单调性与最值
【例4－1】 已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋1(a，b∈R且a≠0)，x∈R.
(1)若函数f(x)的最小值为f(－1)＝0，求f(x)的解析式，并写出单调区间；
(2)在(1)的条件下，f(x)>x＋k在区间[－3，－1]上恒成立，试求k的取值范围.
解 (1)由题意知解得
所以f(x)＝x2＋2x＋1，
由f(x)＝(x＋1)2知，函数f(x)的单调递增区间为[－1，＋∞)，单调递减区间为
(－∞，－1].
(2)由题意知，x2＋2x＋1>x＋k在区间[－3，－1]上恒成立，即k
令g(x)＝x2＋x＋1，x∈[－3，－1]，
由g(x)＝＋知g(x)在区间[－3，－1]上是减函数，则g(x)min＝g(－1)＝1，所以k<1，
故k的取值范围是(－∞，1).
角度2 二次函数中的恒成立问题
【例4－2】 (2020·北京模拟)已知函数f(x)＝－x2＋ax－6，g(x)＝x＋4.若对任意x1∈(0，＋∞)，存在x2∈(－∞，－1]，使f(x1)≤g(x2)，则实数a的最大值为( )
A.6 B.4 C.3 D.2
解析 由题意f(x)max≤g(x)max，(*)
由g(x)在(－∞，－1]上单调递增，则g(x)max＝g(－1)＝3，
f(x)＝－x2＋ax－6＝－＋－6.
当a≤0时，f(x)在[0，＋∞)上单调递减，
所以f(x)
当a>0时，x＝∈(0，＋∞)，∴f(x)max＝f＝－6.
此时应有－6≤3，且a>0，解得0
答案 A
规律方法 1.二次函数最值问题的解法：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合图象，根据函数的单调性及分类讨论的思想求解.
2.由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键
(1)一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数.
(2)两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否易分离.这两个思路的依据是：a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max，a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min.
【训练4】 (1)(角度1)若函数f(x)＝x2＋ax＋b的图象与x轴的交点为(1，0)和(3，0)，则函数f(x)( )
A.在(－∞，2]上递减，在[2，＋∞)上递增
B.在(－∞，3)上递增
C.在[1，3]上递增
D.单调性不能确定
(2)(角度2)若函数f(x)＝ax2－(2a＋1)x＋a＋1对于x∈[－1，1]时恒有f(x)≥0，则实数a的取值范围是________.
解析 (1)由已知可得该函数图象的对称轴为x＝2，又二次项系数为1>0，所以f(x)在(－∞，2]上是递减的，在[2，＋∞)上是递增的.
(2)∀x∈[－1，1]时，f(x)≥0⇔a(x－1)2≥x－1.(*)
当x＝1时，a∈R，(*)式恒成立.
当x∈[－1，1)时，(*)式等价于a≥恒成立.
又t＝在[－1，1)上是减函数，a≥＝－.
综上知a≥－.
答案 (1)A (2)
A级 基础巩固
一、选择题
1.(2020·濮阳模拟)已知函数f(x)＝(m2－m－1)xm2＋2m－3是幂函数，且其图象与两坐标轴都没有交点，则实数m＝( )
A.－1 B.2 C.3 D.2或－1
解析 由题意，得m2－m－1＝1，解得m＝2或m＝－1.
当m＝2时，f(x)＝x5的图象与坐标轴有交点，不合题意.
当m＝－1时，f(x)＝x－4的图象与坐标轴无交点，符合题意.
综上可知，m＝－1.
答案 A
2.已知p：|m＋1|<1，q：幂函数y＝(m2－m－1)xm在(0，＋∞)上单调递减，则p是q的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析 p：由|m＋1|<1得－2
所以m2－m－1＝1，且m<0，解得m＝－1.
故p是q的必要不充分条件.
答案 B
3.若函数f(x)＝x2＋ax＋b在区间[0，1]上的最大值是M，最小值是m，则M－m( )
A.与a有关，且与b有关 B.与a有关，但与b无关
C.与a无关，且与b无关 D.与a无关，但与b有关
解析 设x1，x2分别是函数f(x)在[0，1]上的最小值点与最大值点，则m＝x＋ax1＋b，M＝x＋ax2＋b.
所以M－m＝x－x＋a(x2－x1)，显然此值与a有关，与b无关.
答案 B
4.(多选题)(2020·济南一中调研)定义在R上的函数f(x)＝－x3＋m与函数g(x)＝f(x)＋x3＋x2－kx在[－1，1]上具有相同的单调性，则k的取值可以是( )
A.1 B. C.2 D.3
解析 易知f(x)＝－x3＋m在R上是减函数.
依题设，函数g(x)＝x2－kx＋m在[－1，1]上单调递减.
∴抛物线的对称轴x＝≥1，则k≥2.故k的取值可以是2，3.
答案 CD
5.若函数y＝x2－3x－4的定义域为[0，m]，值域为，则m的取值范围是( )
A.[0，4] B.
C. D.
解析 二次函数图象的对称轴为x＝，且f＝－，f(3)＝f(0)＝－4，结合函数图象(如图所示)，可得m∈.
答案 D
二、填空题
6.已知函数f(x)为幂函数，且f(4)＝，则当f(a)＝4f(a＋3)时，实数a等于________.
解析 设f(x)＝xα，则4α＝，所以α＝－.
因此f(x)＝x－，从而a－＝4(a＋3)－，解得a＝.
答案
7.已知函数f(x)＝－x2＋4x＋a，x∈[0，1]，若f(x)有最小值－2，则f(x)的最大值为________.
解析 f(x)＝－x2＋4x＋a＝－(x－2)2＋a＋4，
∴函数f(x)＝－x2＋4x＋a在[0，1]上单调递增，
∴当x＝0时，f(x)取得最小值，当x＝1时，f(x)取得最大值，
∴f(0)＝a＝－2，f(1)＝3＋a＝3－2＝1.
答案 1
8.已知二次函数f(x)满足f(2＋x)＝f(2－x)，且f(x)在[0，2]上是增函数，若f(a)≥f(0)，则实数a的取值范围是________.
解析 由题意可知函数f(x)的图象开口向下，对称轴为x＝2(如图)，若f(a)≥f(0)，从图象观察可知0≤a≤4.
答案 [0，4]
三、解答题
9.已知函数f(x)＝x2＋2ax＋3，x∈[－4，6].
(1)当a＝－2时，求f(x)的最值；
(2)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－4，6]上是单调函数.
解 (1)当a＝－2时，f(x)＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，由于x∈[－4，6]，
∴f(x)在[－4，2]上单调递减，在[2，6]上单调递增，
∴f(x)的最小值是f(2)＝－1，
又f(－4)＝35，f(6)＝15，故f(x)的最大值是35.
(2)由于函数f(x)的图象开口向上，对称轴是x＝－a，所以要使f(x)在[－4，6]上是单调函数，应有－a≤－4或－a≥6，即a≤－6或a≥4，
故a的取值范围是(－∞，－6]∪[4，＋∞).
10.已知幂函数f(x)＝(m－1)2xm2－4m＋2在(0，＋∞)上单调递增，函数g(x)＝2x－k.
(1)求m的值；
(2)当x∈[1，2)时，记f(x)，g(x)的值域分别为集合A，B，设p：x∈A，q：x∈B，若p是q成立的必要条件，求实数k的取值范围.
解 (1)依题意得：(m－1)2＝1⇒m＝0或m＝2，
当m＝2时，f(x)＝x－2在(0，＋∞)上单调递减，与题设矛盾，舍去，∴m＝0.
(2)由(1)得，f(x)＝x2，
当x∈[1，2)时，f(x)∈[1，4)，即A＝[1，4)，
当x∈[1，2)时，g(x)∈[2－k，4－k)，
即B＝[2－k，4－k)，
因p是q成立的必要条件，则B⊆A，
则即得0≤k≤1.
故实数k的取值范围是[0，1].
B级 能力提升
11.幂函数y＝xα，当α取不同的正数时，在区间[0，1]上它们的图象是一组美丽的曲线(如图)，设点A(1，0)，B(0，1)，连接AB，线段AB恰好被其中的两个幂函数y＝xa，y＝xb的图象三等分，即有BM＝MN＝NA，那么a－＝( )
A.0 B.1 C. D.2
解析 BM＝MN＝NA，点A(1，0)，B(0，1)，
所以M，N，
将两点坐标分别代入y＝xa，y＝xb，得a＝log，b＝log，∴a－＝log－＝0.
答案 A
12.已知在(－∞，1]上递减的函数f(x)＝x2－2tx＋1，且对任意的x1，x2∈[0，t＋1]，总有|f(x1)－f(x2)|≤2，则实数t的取值范围是( )
A.[－，] B.[1，]
C.[2，3] D.[1，2]
解析 由于f(x)＝x2－2tx＋1的图象的对称轴为x＝t，
又y＝f(x)在(－∞，1]上是减函数，所以t≥1.
则在区间[0，t＋1]上，f(x)max＝f(0)＝1，
f(x)min＝f(t)＝t2－2t2＋1＝－t2＋1，
要使对任意的x1，x2∈[0，t＋1]，都有|f(x1)－f(x2)|≤2，
只需1－(－t2＋1)≤2，解得－≤t≤.
又t≥1，∴1≤t≤.
答案 B
13.已知函数f(x)＝mx2＋(2－m)x＋n(m>0)，当－1≤x≤1时，|f(x)|≤1恒成立，则f＝________.
解析 当x∈[－1，1]时，|f(x)|≤1恒成立.
∴
因此n＝－1，∴f(0)＝－1，f(1)＝1.
由f(x)的图象可知：要满足题意，则图象的对称轴为直线x＝0，∴2－m＝0，m＝2，
∴f(x)＝2x2－1，∴f＝－.
答案 －
14.已知二次函数f(x)满足f(x＋1)－f(x)＝2x，且f(0)＝1.
(1)求f(x)的解析式；
(2)当x∈[－1，1]时，函数y＝f(x)的图象恒在函数y＝2x＋m的图象的上方，求实数m的取值范围.
解 (1)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
由f(x＋1)－f(x)＝2x，得2ax＋a＋b＝2x.
所以，2a＝2且a＋b＝0，解得a＝1，b＝－1，
又f(0)＝1，所以c＝1.
因此f(x)的解析式为f(x)＝x2－x＋1.
(2)因为当x∈[－1，1]时，y＝f(x)的图象恒在y＝2x＋m的图象上方，
所以在[－1，1]上，x2－x＋1>2x＋m恒成立；
即x2－3x＋1>m在区间[－1，1]上恒成立.
所以令g(x)＝x2－3x＋1＝－，
因为g(x)在[－1，1]上的最小值为g(1)＝－1，
所以m<－1.故实数m的取值范围为(－∞，－1).
C级 创新猜想
15.(组合选择题)如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象的一部分，图象过点A(－3，0)，对称轴为x＝－1.给出下面四个结论：
①b2>4ac；②2a－b＝1；③a－b＋c＝0；④5a
A.②④ B.①④ C.②③ D.①③
解析 因为图象与x轴交于两点，所以b2－4ac>0，即b2>4ac，①正确.
对称轴为x＝－1，即－＝－1，2a－b＝0，②错误.
结合图象，当x＝－1时，y>0，即a－b＋c>0，③错误.
由对称轴为x＝－1知，b＝2a.
根据抛物线开口向下，知a<0，所以5a<2a，
即5a
16.(情景创新题)(2019·新海高级中学月考)若直角坐标平面内不同两点P，Q满足条件：①P，Q都在函数y＝f(x)的图象上，②P，Q关于原点对称，则称(P，Q)是函数y＝f(x)的一个“伙伴点组”(点组(P，Q)与(Q，P)可看成同一个“伙伴点组”).已知函数f(x)＝有两个“伙伴点组”，则实数k的取值范围是________.
解析 设点(m，n)(m＞0)是函数y＝f(x)的一个“伙伴点组”中的一个点，则其关于原点的对称点(－m，－n)必在该函数图象上，故消去n，整理得m2－km＋k＋1＝0.若函数f(x)有两个“伙伴点组”，则该方程有两个不相等的正实数根，即解得k＞2＋2.故实数k的取值范围是(2＋2，＋∞).
答案 (2＋2，＋∞)
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