2021届高三新高考数学人教A版一轮复习教学案：第二章第5节　指数与指数函数

第5节　指数与指数函数

考试要求　1.了解指数函数模型的实际背景；2.理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算；3.理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点，会画底数为2，3，10，，的指数函数的图象；4.体会指数函数是一类重要的函数模型.

知 识 梳 理

1.根式的概念及性质

(1)概念：式子叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数.

(2)性质：()n＝a(a使有意义)；当n为奇数时，＝a，当n为偶数时，＝|a|＝

2.分数指数幂

规定：正数的正分数指数幂的意义是a＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)；正数的负分数指数幂的意义是a－＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义.

3.指数幂的运算性质

实数指数幂的运算性质：aras＝ar＋s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr，其中a>0，b>0，r，s∈R.

4.指数函数及其性质

(1)概念：函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R，a是底数.

(2)指数函数的图象与性质

[常用结论与微点提醒]

1.画指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)，.

2.指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象和性质跟a的取值有关，要特别注意应分a>1与0<a<1来研究.

3.在第一象限内，指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象越高，底数越大.

诊 断 自 测

1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)

(1)＝－4.(　　)

(2)分数指数幂a可以理解为个a相乘.(　　)

(3)函数y＝2x－1是指数函数.(　　)

(4)函数y＝ax2＋1(a>1)的值域是(0，＋∞).(　　)

解析　(1)由于＝＝4，故(1)错.

(2)当<1时，不可以，故(2)错.

(3)由于指数函数解析式为y＝ax(a＞0，且a≠1)，

故y＝2x－1不是指数函数，故(3)错.

(4)由于x2＋1≥1，又a＞1，∴ax2＋1≥a.

故y＝ax2＋1(a＞1)的值域是[a，＋∞)，(4)错.

答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×

2.(老教材必修1P56例6改编)若函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)的图象经过，则f(－1)＝(　　)

A.1   B.2   C.   D.3

解析　依题意可知a2＝，解得a＝，

所以f(x)＝，所以f(－1)＝＝.

答案　C

3.(新教材必修第一册P119习题4.2T6改编)设a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，则a，b，c的大小关系是(　　)

A.a<b<c    B.a<c<b

C.b<a<c    D.b<c<a

解析　根据指数函数y＝0.6x在R上单调递减可得0.61.5<0.60.6<0.60＝1，而c＝1.50.6>1，∴b<a<c.

答案　C

4.(2017·北京卷)已知函数f(x)＝3x－，则f(x)(　　)

A.是偶函数，且在R上是增函数

B.是奇函数，且在R上是增函数

C.是偶函数，且在R上是减函数

D.是奇函数，且在R上是减函数

解析　函数f(x)的定义域为R，

f(－x)＝3－x－＝－3x＝－f(x)，

∴函数f(x)是奇函数.

又y＝3x在R上是增函数，函数y＝－在R上是增函数，

∴函数f(x)＝3x－在R上是增函数.

答案　B

5.(2020·河南名校联盟调研)函数f(x)＝ax－2 020＋2 020(a>0且a≠1)的图象过定点A，则点A的坐标为______.

解析　令x－2 020＝0，得x＝2 020，则y＝2 021，

故点A的坐标为(2 020，2 021).

答案　(2 020，2 021)

6.(2020·菏泽一中月考)计算：×＋8×－＝________.

解析　原式＝×1＋2×2－＝2.

答案　2

考点一　指数幂的运算

【例1】 化简下列各式：

(1)＋0.002－－10(－2)－1＋π0＝______.

(2)(a>0，b>0)＝________.

解析　(1)原式＝＋500－＋1

＝＋10－10－20＋1＝－.

(2)原式＝＝a＋－1＋b1＋－2－＝.

答案　(1)－　(2)

规律方法　1.指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，但应注意：(1)必须同底数幂相乘，指数才能相加；(2)运算的先后顺序.

2.当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数.

3.运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数.

【训练1】 化简下列各式：

(1)[(0.064)－2.5]－－π0；

(2)a·b－2·÷.

解　(1)原式＝－－1

＝－－1

＝－－1＝0.

(2)原式＝－a－b－3÷

＝－a－b－3÷(ab－)＝－a－·b－

＝－·＝－.

考点二　指数函数的图象及应用

【例2】 (1)已知实数a，b满足等式2 020a＝2 021b，下列五个关系式：

①0<b<a；②a<b<0；③0<a<b；④b<a<0；⑤a＝b.

其中不可能成立的关系式有(　　)

A.1个   B.2个   C.3个   D.4个

(2)若函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点，则实数b的取值范围是________.

解析　(1)如图，观察易知a，b的关系为a<b<0或0<b<a或a＝b＝0.

(2)在同一平面直角坐标系中画出y＝|2x－2|与y＝b的图象，如图所示.

∴当0<b<2时，两函数图象有两个交点，从而函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点.

∴b的取值范围是(0，2).

答案　(1)B　(2)(0，2)

规律方法　1.对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到.特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论.

2.有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象，数形结合求解.

【训练2】 (1)函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是(　　)

A.a>1，b<0  B.a>1，b>0

C.0<a<1，b>0  D.0<a<1，b<0

(2)如果函数y＝|3x－1|＋m的图象不经过第二象限，则实数m的取值范围是________.

解析　(1)由f(x)＝ax－b的图象可以观察出，函数f(x)＝ax－b在定义域上单调递减，所以0<a<1.

函数f(x)＝ax－b的图象是在f(x)＝ax的基础上向左平移得到的，所以b<0.

(2)在同一平面直角坐标系中画出y＝|3x－1|与y＝－m的图象，如图所示.由函数y＝|3x－1|＋m的图象不经过第二象限，则y＝|3x－1|与y＝－m在第二象限没有交点，由图象知m≤－1.

答案　(1)D　(2)(－∞，－1]

考点三　解决与指数函数性质有关的问题多维探究

角度1　比较指数式的大小

【例3－1】 下列各式比较大小正确的是(　　)

A.1.72.5>1.73    B.0.6－1>0.62

C.0.8－0.1>1.250.2    D.1.70.3<0.93.1

解析　A中，∵函数y＝1.7x在R上是增函数，2.5<3，

∴1.72.5<1.73，错误；

B中，∵y＝0.6x在R上是减函数，－1<2，

∴0.6－1>0.62，正确；

C中，∵(0.8)－1＝1.25，

∴问题转化为比较1.250.1与1.250.2的大小.

∵y＝1.25x在R上是增函数，0.1<0.2，

∴1.250.1<1.250.2，即0.8－0.1<1.250.2，错误；

D中，∵1.70.3>1, 0<0.93.1<1，

∴1.70.3>0.93.1，错误.

答案　B

规律方法　比较指数式的大小的方法是：(1)能化成同底数的先化成同底数幂，再利用单调性比较大小；(2)不能化成同底数的，一般引入“1”等中间量比较大小.

角度2　解简单的指数方程或不等式

【例3－2】 (1)(2020·包头模拟)已知实数a≠1，函数f(x)＝若f(1－a)＝f(a－1)，则a的值为______.

(2)设函数f(x)＝若f(a)<1，则实数a的取值范围是________.

解析　(1)当a<1时，41－a＝21，解得a＝；

当a>1时，代入不成立.故a的值为.

(2)当a<0时，原不等式化为－7<1，

则2－a<8，解得a>－3，所以－3<a<0.

当a≥0时，则<1，0≤a<1.

综上，实数a的取值范围是(－3，1).

答案　(1)　(2)(－3，1)

规律方法　(1)af(x)＝ag(x)(a>0且a≠1)⇔f(x)＝g(x).(2)af(x)>ag(x)，当a>1时，等价于f(x)>g(x)；当0<a<1时，等价于f(x)<g(x).(3)有些含参数的指数不等式，需要分离变量，转化为求有关函数的最值问题.

角度3　指数函数性质的综合应用

【例3－3】 (1)若存在正数x使2x(x－a)<1成立，则a的取值范围是(　　)

A.(－∞，＋∞)    B.(－2，＋∞)

C.(0，＋∞)    D.(－1，＋∞)

(2)如果函数y＝a2x＋2ax－1(a>0，且a≠1)在区间[－1，1]上的最大值是14，则a的值为________.

解析　(1)不等式2x(x－a)<1可变形为x－a<，如图在同一平面直角坐标系中作出直线y＝x－a与y＝的图象，由题意知，在(0，＋∞)内，直线有一部分在y＝图象的下方，由图可知，－a<1，所以a>－1.

(2)令ax＝t，则y＝a2x＋2ax－1＝t2＋2t－1＝(t＋1)2－2.当a>1时，因为x∈[－1，1]，所以t∈，又函数y＝(t＋1)2－2在上单调递增，所以ymax＝(a＋1)2－2＝14，解得a＝3(负值舍去).当0<a<1时，因为x∈[－1，1]，所以t∈，又函数y＝(t＋1)2－2在上单调递增，则ymax＝－2＝14，解得a＝(负值舍去).综上，a＝3或a＝.

答案　(1)D　(2)3或

规律方法　求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断.

易错警示　在研究指数型函数的单调性时，当底数a与“1”的大小关系不确定时，要分类讨论.

【训练3】 (1)(角度1)已知a＝20.2，b＝0.40.2，c＝0.40.6，则(　　)

A.a>b>c    B.a>c>b

C.c>a>b    D.b>c>a

(2)(角度2)(2020·安徽江南名校联考)若ea＋πb≥e－b＋π－a，则有(　　)

A.a＋b≤0    B.a－b≥0

C.a－b≤0    D.a＋b≥0

(3)(角度3)当x∈(－∞，－1]时，不等式(m2－m)·4x－2x<0恒成立，则实数m的取值范围是________.

(4)(角度3)已知函数f(x)＝b·ax(其中a，b为常量，且a>0，a≠1)的图象经过点A(1，6)，B(3，24).若不等式＋－m≥0在x∈(－∞，1]上恒成立，则实数m的最大值为________.

解析　(1)因为a＝20.2>1，b＝0.40.2<1，c＝0.40.6<1，所以a>b，a>c.又y＝0.4x是以0.4为底的指数函数，且在R上单调递减，所以0.40.2>0.40.6，即b>c，所以a>b>c.

(2)令f(x)＝ex－π－x，则f(x)在R上是增函数，

由ea＋πb≥e－b＋π－a，得ea－π－a≥e－b－πb，

则f(a)≥f(－b)，所以a≥－b，则a＋b≥0.

(3)原不等式变形为m2－m<，

因为函数y＝在(－∞，－1]上是减函数，所以≥＝2.

当x∈(－∞，－1]时，m2－m<恒成立等价于m2－m<2，解得－1<m<2.

(4)把A(1，6)，B(3，24)代入f(x)＝b·ax，得结合a>0，且a≠1，解得所以f(x)＝3·2x.要使＋≥m在区间(－∞，1]上恒成立，

只需保证函数y＝＋在区间(－∞，1]上的最小值不小于m即可.因为函数y＝＋在区间(－∞，1]上为减函数，所以当x＝1时，y＝＋有最小值.所以只需m≤即可.所以m的最大值为.

答案　(1)A　(2)D　(3)(－1，2)　(4)

A级　基础巩固

一、选择题

1.(2019·永州模拟)下列函数中，与函数y＝2x－2－x的定义域、单调性与奇偶性均一致的是(　　)

A.y＝sin x    B.y＝x3

C.y＝    D.y＝log2x

解析　y＝2x－2－x是定义域为R的单调递增函数，且是奇函数.y＝sin x不是单调递增函数，不符合题意；

y＝是非奇非偶函数，不符合题意；

y＝log2x的定义域是(0，＋∞)，不符合题意；

y＝x3是定义域为R的单调递增函数，且是奇函数，符合题意.

答案　B

2.函数f(x)＝ax－1(a>0，a≠1)的图象恒过点A，下列函数中图象不经过点A的是(　　)

A.y＝    B.y＝|x－2|

C.y＝2x－1    D.y＝log2(2x)

解析　f(x)过定点A(1，1)，将点A(1，1)代入四个选项，y＝的图象不过点A(1，1).

答案　A

3.(2020·西安调研)已知0<b<a<1，则ab，ba，aa，bb中最大的是(　　)

A.ba   B.aa   C.ab   D.bb

解析　∵0<b<a<1，∴y＝ax与y＝bx均为减函数，

∴ab>aa，ba<bb.

又y＝xb在(0，＋∞)上递增，∴ab>bb.

综上，ab最大.

答案　C

4.在我国大西北，某地区荒漠化土地面积每年平均比上一年增长10.4%，专家预测经过x年可能增长到原来的y倍，则函数y＝f(x)的图象大致为(　　)

解析　设原有荒漠化土地面积为b，经过x年后荒漠化面积为z，则z＝b(1＋10.4%)x，故y＝＝(1＋10.4%)x，其是底数大于1的指数函数.其图象应为选项D.

答案　D

5.若函数f(x)＝a|2x－4|(a>0，且a≠1)，满足f(1)＝，则f(x)的单调递减区间是(　　)

A.(－∞，2]    B.[2，＋∞)

C.[－2，＋∞)    D.(－∞，－2]

解析　由f(1)＝，得a2＝，

所以a＝或a＝－(舍去)，即f(x)＝.

由于y＝|2x－4|在(－∞，2]上单调递减，在[2，＋∞)上单调递增，所以f(x)在(－∞，2]上单调递增，在[2，＋∞)上单调递减.

答案　B

二、填空题

6.化简＝________.

解析　原式＝＝a－－－·b＋－＝.

答案　

7.若函数f(x)＝有最大值3，则a＝________.

解析　令h(x)＝ax2－4x＋3，y＝，由于f(x)有最大值3，所以h(x)应有最小值－1，

因此必有解得a＝1，

即当f(x)有最大值3时，a的值为1.

答案　1

8.设偶函数g(x)＝a|x＋b|在(0，＋∞)上单调递增，则g(a)与g(b－1)的大小关系是________.

解析　由于g(x)＝a|x＋b|是偶函数，知b＝0，

又g(x)＝a|x|在(0，＋∞)上单调递增，得a>1.

则g(b－1)＝g(－1)＝g(1)，故g(a)>g(1)＝g(b－1).

答案　g(a)>g(b－1)

三、解答题

9.已知函数f(x)＝为奇函数.

(1)求a的值；

(2)判断函数f(x)的单调性，并加以证明.

解　(1)因为函数f(x)是奇函数，且f(x)的定义域为R；所以f(0)＝＝0，所以a＝－1(经检验，a＝－1时f(x)为奇函数，满足题意).

(2)由(1)知f(x)＝＝1－，函数f(x)在定义域R上单调递增.证明如下：

设x1<x2∈R，

则f(x1)－f(x2)＝.

因为x1<x2，所以3x1<3x2，所以3x1－3x2<0，

所以f(x1)<f(x2)，所以函数f(x)在定义域R上单调递增.

10.已知函数f(x)＝ax＋b(a>0，a≠1)，其中a，b均为实数.

(1)若函数f(x)的图象经过点A(0，2)，B(1，3)，求函数y＝的值域；

(2)如果函数f(x)的定义域和值域都是[－1，0]，求a＋b的值.

解　(1)因为函数f(x)的图象经过点A(0，2)，B(1，3)，

∴∴

∴函数f(x)＝2x＋1>1，函数y＝＝<1.

又＝>0，故函数y＝的值域为(0，1).

(2)如果函数f(x)的定义域和值域都是[－1，0]，

若a>1，则函数f(x)＝ax＋b为增函数，

∴无解.

若0<a<1，则函数f(x)＝ax＋b为减函数，

∴解得

∴a＋b＝－.

B级　能力提升

11.设函数f(x)＝x2－a与g(x)＝ax(a>1且a≠2)在区间(0，＋∞)上具有不同的单调性，则M＝(a－1)0.2与N＝的大小关系是(　　)

A.M＝N    B.M≤N

C.M<N    D.M>N

解析　因为f(x)＝x2－a与g(x)＝ax(a>1且a≠2)在区间(0，＋∞)上具有不同的单调性，所以a>2，所以M＝(a－1)0.2>1，N＝<1，所以M>N.

答案　D

12.(2020·衡水中学检测)已知函数f(x)＝－x且满足f(2a－1)>f(3)，则a的取值范围为(　　)

A.a>2    B.a<2

C.－1<a<2    D.a<－1或a>2

解析　易知f(x)＝－x是R上的偶函数，

又当x>0时，f(x)＝－x单调递减.

由f(2a－1)>f(3)⇔f(|2a－1|)>f(3)，

∴|2a－1|<3，解得－1<a<2.

答案　C

13.(2018·上海卷)已知常数a>0，函数f(x)＝的图象经过点P，Q.若2p＋q＝36pq，则a＝________.

解析　因为f(x)＝＝，且其图象经过点P，Q，

则f(p)＝＝，即＝－，①

f(q)＝＝－，即＝－6，②

①×②得＝1，则2p＋q＝a2pq＝36pq，

所以a2＝36，解得a＝±6，因为a>0，所以a＝6.

答案　6

14.已知定义在R上的函数f(x)＝2x－.

(1)若f(x)＝，求x的值；

(2)若2tf(2t)＋mf(t)≥0对任意t∈[1，2]恒成立，求实数m的取值范围.

解　(1)当x<0时，f(x)＝0，故f(x)＝无解；

当x≥0时，f(x)＝2x－，

由2x－＝，得2·22x－3·2x－2＝0，

将上式看成关于2x的一元二次方程，

解得2x＝2或2x＝－，

因为2x>0，所以2x＝2，所以x＝1.

(2)当t∈[1，2]时，2t＋m≥0，

即m(22t－1)≥－(24t－1)，因为22t－1>0，

所以m≥－(22t＋1)，

又y＝－22t－1，t∈[1，2]为减函数，

∴ymax＝－22－1＝－5，故m≥－5.

C级　创新猜想

15.(多填题)已知函数f(x)＝的图象关于点对称，则a＝________，f(x)的值域为________.

解析　依题设f(x)＋f(－x)＝1，

则＋＝1，

整理得(a－1)[4x＋(a－1)·2x＋1]＝0.

所以a－1＝0，则a＝1.

因此f(x)＝＝1－.

由于1＋2x>1，∴0<<1，∴0<f(x)<1.

故f(x)的值域为(0，1).

答案　1　(0，1)