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2021届浙江省高考数学一轮学案:第三章第6节 幂函数、指数函数、对数函数
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第6节 幂函数、指数函数、对数函数
考试要求 1.了解幂函数的概念,掌握幂函数y=x,y=x2,y=x3,y=,y=x的图象和性质;2.理解指数函数的概念,掌握指数函数的图象、性质及应用;3.理解对数函数的概念,掌握对数函数的图象、性质及应用.
知 识 梳 理
1.幂函数
(1)幂函数的定义
一般地,形如y=xα的函数称为幂函数,其中x是自变量,α为常数.
(2)常见的5种幂函数的图象
(3)常见的5种幂函数的性质
2.指数函数及其性质
(1)概念:函数y=ax(a>0且a≠1)叫做指数函数,其中指数x是自变量,函数的定义域是R,a是底数.
(2)指数函数的图象与性质
a>1
0 图象
定义域
R
值域
(0,+∞)
性质
过定点(0,1),即x=0时,y=1
当x>0时,y>1;
当x<0时,0
当x<0时,y>1;
当x>0时,0
在(-∞,+∞)上是增函数
在(-∞,+∞)上是减函数
3.对数函数及其性质
(1)概念:函数y=logax(a>0,且a≠1)叫做对数函数,其中x是自变量,函数的定义域是(0,+∞).
(2)对数函数的图象与性质
a>1
0 图象
性质
定义域:(0,+∞)
值域:R
当x=1时,y=0,即过定点(1,0)
当x>1时,y>0;
当0
当x>1时,y<0;
当00
在(0,+∞)上是增函数
在(0,+∞)上是减函数
4.反函数
指数函数y=ax(a>0,且a≠1)与对数函数y=logax(a>0,且a≠1)互为反函数,它们的图象关于直线y=x对称.
[常用结论与易错提醒]
1.幂函数满足三个条件:(1)幂底是单自变量;(2)指数为常数;(3)系数为1.类似地指数函数、对数函数也分别满足三个条件.
2.(1)幂函数图象的分布规律:作一直线x=t>1,与幂函数交点在上面的幂函数的指数大;
(2)指数函数图象的分布规律:作一直线x=t>0,与指数函数交点在上面的指数函数的底数大;
(3)对数函数图象的分布规律:作一直线y=k>0,与对数函数交点在右边的对数函数的底数大.
诊 断 自 测
1.判断下列说法的正误.
(1)幂函数y=x0与常值函数y=1图象相同.( )
(2)函数y=2x是幂函数.( )
(3)y=2x-1是指数函数,y=loga(x2+1)(a>0,且a≠1)是对数函数.( )
(4)函数y=ln 与y=ln(x+1)-ln(x-1)的定义域相同.( )
解析 (1)错误,y=1的图象去掉点(0,1)才是y=x0的图象;
(2)错误,因为x的系数不是1;
(3)错误,y=2x-1=·2x,2x前面的系数不为1,
y=loga(x2+1)(a>0且a≠1),真数为x2+1而不是单自变量x.
(4)错误,y=ln 的定义域为(-∞,-1)∪(1,+∞),
而y=ln(x+1)-ln(x-1)的定义域为(1,+∞),
故函数的定义域不同.
答案 (1)× (2)× (3)× (4)×
2.(2019·浙江卷)在同一直角坐标系中,函数y=,y=loga(a>0,且a≠1)的图象可能是( )
解析 当0 于是函数y=的图象过定点(0,1),在R上单调递增,
函数y=loga的图象过定点,在上单调递减.
因此,选项D中的两个图象符合.
当a>1时,函数y=ax的图象过定点(0,1),在R上单调递增,
于是函数y=的图象过定点(0,1),在R上单调递减,函数
y=loga的图象过定点,在上单调递增.
显然A,B,C,D四个选项都不符合.
故选D.
答案 D
3.(一题多解)已知函数y=loga(x+c)(a,c为常数,其中a>0,且a≠1)的图象如图,则下列结论成立的是( )
A.a>1,c>1 B.a>1,0
C.01 D.0
解析 法一 由题图可知,函数在定义域内为减函数,所以00,即logac>0,所以0
法二 由图可知,y=loga(x+c)的图象是由y=logax的图象向左平移c(c>0)个单位而得到的,其中0<c<1,再根据单调性易知0<a<1.
答案 D
4.(2019·北京昌平区二模)已知幂函数f(x)=xα(α是实数)的图象经过点(2,),则f(4)的值为________.
解析 幂函数f(x)=xα的图象过点(2,),
所以f(2)=2α=,解得α=,
所以f(x)=x,则f(4)==2.
答案 2
5.若幂函数y=(m2-3m+3)xm2-m-2的图象不经过原点,则实数m的值为________.
解析 由解得m=1或2.
经检验m=1或2都适合.
答案 1或2
6.当a>0,且a≠1时,函数f(x)=ax-3-2必过定点________,其值域为________.
解析 函数f(x)=ax-3-2的图象是将函数y=ax的图象向右平移3个单位,再向下平移2个单位得到的.故函数f(x)=ax-3-2必过定点(3,-1),其值域为(-2,+∞).
答案 (3,-1) (-2,+∞)
考点一 幂函数
【例1】 (1)(2018·上海卷)已知α∈.若幂函数f(x)=xα为奇函数,且在(0,+∞)上递减,则α=________.
(2)已知幂函数f(x)=(n2+2n-2)xn2-3n(n∈Z)的图象关于y轴对称,且在(0,+∞)上是减函数,则n的值为( )
A.-3 B.1
C.2 D.1或2
解析 (1)由f(x)为奇函数,所以α=-1,1,3,又在(0,+∞)上为递减可知α=-1.
(2)∵幂函数f(x)=(n2+2n-2)xn2-3n在(0,+∞)上是减函数,
∴∴n=1,
又n=1时,f(x)=x-2的图象关于y轴对称,故n=1.
答案 (1)-1 (2)B
规律方法 (1)可以借助幂函数的图象理解函数的对称性、单调性;
(2)在比较幂值的大小时,必须结合幂值的特点,选择适当的函数,借助其单调性进行比较,准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键.
【训练1】 (1)已知幂函数f(x)=k·xα的图象过点,则k+α=( )
A. B.1
C. D.2
(2)已知a=2,b=3,c=25,则( )
A.b C.b
(3)若(2m+1)>(m2+m-1),则实数m的取值范围是( )
A. B.
C.(-1,2) D.
解析 (1)由幂函数的定义知k=1.又f=,
所以=,解得α=,从而k+α=.
(2)因为a=2=4,b=3,c=5,又y=x在(0,+∞)上是增函数,所以c>a>b.
(3)因为函数y=x的定义域为[0,+∞),
且在定义域内为增函数,
所以不等式等价于
解得即≤m<2.
答案 (1)C (2)A (3)D
考点二 指数函数
【例2】 已知函数f(x)=.
(1)若a=-1,求f(x)的单调区间;
(2)若f(x)有最大值3,求a的值;
(3)若f(x)的值域是(0,+∞),求a的值.
解 (1)当a=-1时,f(x)=,
令u=-x2-4x+3=-(x+2)2+7.
在(-∞,-2)上单调递增,在(-2,+∞)上单调递减,而y=在R上单调递减,所以f(x)在(-∞,-2)上单调递减,在(-2,+∞)上单调递增,即函数f(x)的递增区间是(-2,+∞),递减区间是(-∞,-2).
(2)令h(x)=ax2-4x+3,y=,由于f(x)有最大值3,所以h(x)应有最小值-1,
因此必有解得a=1,
即当f(x)有最大值3时,a的值等于1.
(3)由f(x)的值域是(0,+∞)知,ax2-4x+3的值域为R,则必有a=0.
规律方法 (1)求解与指数函数有关的复合函数问题,首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质,其次要明确复合函数的构成,涉及值域、单调区间、最值等问题时,都要借助“同增异减”这一性质分析判断.
(2)比较指数式的大小的方法是:①能化成同底数的先化成同底数幂,再利用单调性比较大小;②不能化成同底数的,一般引入“1”等中间量比较大小;③当底数a与“1”的大小关系不确定时,要分类讨论.
【训练2】 (1)(2020·杭州二中检测)已知0 A.(1-a)>(1-a)b B.(1-a)b>(1-a)
C.(1+a)a>(1+b)b D.(1-a)a>(1-b)b
(2)设函数f(x)=则使得f(x)≤3成立的x的取值范围是________.
(3)若曲线|y|=2x+1与直线y=b没有公共点,则b的取值范围是________.
解析 (1)因为0(1-a)b>(1-b)b,故选D.
(2)当x≥8时,f(x)=x≤3,∴x≤27,即8≤x≤27;
当x<8时,f(x)=2ex-8≤3恒成立,故x<8.
综上,x∈(-∞,27].
(3)曲线|y|=2x+1与直线y=b的图象如图所示,由图象可知:如果|y|=2x+1与直线y=b没有公共点,则b应满足的条件是b∈[-1,1].
答案 (1)D (2)(-∞,27] (3)[-1,1]
考点三 对数函数
【例3】 已知函数f(x)=loga(ax2-x).
(1)若a=,求f(x)的单调区间;
(2)若f(x)在区间[2,4]上是增函数,求实数a的取值范围.
解 (1)当a=时,f(x)=log,
由x2-x>0,得x2-2x>0,解得x<0或x>2,
所以函数的定义域为(-∞,0)∪(2,+∞),
结合图象可得函数的单调递减区间为(2,+∞),
单调递增区间为(-∞,0).
(2)令g(x)=ax2-x,
则函数g(x)的图象为开口向上、对称轴为x=的抛物线,
①当0 则g(x)=ax2-x在[2,4]上单调递减,且g(x)min>0,
即此不等式组无解.
②当a>1时,要使函数f(x)在区间[2,4]上是增函数,
则g(x)=ax2-x在[2,4]上单调递增,且g(x)min>0,
即解得a>,
又a>1,所以a>1,综上可得a>1.
实数a的取值范围为(1,+∞).
规律方法 (1)确定函数的定义域,研究或利用函数的性质,都要在其定义域上进行.
(2)如果需将函数解析式变形,一定要保证其等价性,否则结论错误.
(3)在解决与对数函数相关的比较大小或解不等式问题时,要优先考虑利用对数函数的单调性来求解.在利用单调性时,一定要明确底数a的取值对函数增减性的影响,及真数必须为正的限制条件.
【训练3】 (1)(2019·天津卷)已知a=log52,b=log0.50.2,c=0.50.2,则a,b,c的大小关系为( )
A.a
C.b
(2)(一题多解)当0
A. B. C.(1,) D.(,2)
(3)已知函数f(x)=设方程f(x)=t(t∈R)的四个不等实根从小到大依次为x1,x2,x3,x4,则下列判断中错误的是( )
A.x1+x2+x3+x4=40
B.x1x2=1
C.x3x4=361
D.x3x4-20(x3+x4)+399=0
解析 (1)因为y=log5x是增函数,所以a=log52log0.50.5=1.因为y=0.5x是减函数,所以0.5=0.51
(2)法一 由题意得,当0
当a>1时,不符合题意,舍去.
所以实数a的取值范围是.
法二 ∵当0<x≤时,1<4x≤2,要使4x<logax,
必须2<logax,
∴即对0<x≤恒成立,
∴解得<a<1.
(3)由题意知函数f(x)的图象关于直线x=10对称,且x1+x4=x2+x3=2×10,ln x1=-ln x2,ln(20-x3)=-ln(20-x4),所以x1+x2+x3+x4=40,x1=,20-x3=,化简得x1x2=1,x3x4-20(x3+x4)+399=0,故选C.
答案 (1)A (2)B (3)C
基础巩固题组
一、选择题
1.已知α∈{-1,1,2,3},则使函数y=xα的值域为R,且为奇函数的所有α的值为( )
A.1,3 B.-1,1
C.-1,3 D.-1,1,3
解析 因为函数y=xα为奇函数,故α的可能值为-1,1,3.又y=x-1的值域为{y|y≠0},函数y=x,y=x3的值域都为R.所以符合要求的α的值为1,3.
答案 A
2.(2019·浙江新高考仿真卷五)已知x,y∈R,且x>y>0,若a>b>1,则一定有( )
A.logax>logby B.sinax>sinby
C.ay>bx D.ax>by
解析 当x>y>0,a>b>1时,由指数函数的性质易得ax>ay>by,故选D.
答案 D
3.(一题多解)(2019·全国Ⅱ卷)若a>b,则( )
A.ln(a-b)>0 B.3a<3b
C.a3-b3>0 D.|a|>|b|
解析 法一 由函数y=ln x的图象(图略)知,当0b时,3a>3b,故B不正确;因为函数y=x3在R上单调递增,所以当a>b时,a3>b3,即a3-b3>0,故C正确;当b 法二 当a=0.3,b=-0.4时,ln(a-b)<0,3a>3b,|a|<|b|,故排除A,B,D.故选C.
答案 C
4.(2019·诸暨期末)若函数f(x)满足f(x)≤x2且f(x)≤2x(x∈R),则( )
A.若f(a)≤b2,则a≥b B.若f(a)≤2b,则a≤b
C.若f(a)≥b2,则a≤b D.若f(a)≥2b,则a≥b
解析 若f(a)≥2b,则由f(x)≤2x得f(a)≤2a,则2b≤2a,则a≥b,故选D.
答案 D
5.若函数f(x)=logax(0<a<1)在[a,2a]上的最大值是最小值的3倍,则a的值为( )
A. B.
C. D.
解析 因为0<a<1,所以f(x)在[a,2a]上是减函数.所以f(x)max=f(a)=logaa=1,f(x)min=f(2a)=loga(2a)=1+loga2,由题意知1=3(1+loga2),即loga2=-,
所以a=.
答案 C
6.若a-2>a2(a>0,且a≠1),则函数f(x)=loga(x-1)的图象大致是( )
解析 因为a-2>a2(a>0且a≠1),所以0 答案 C
7.已知奇函数f(x)在R上是增函数,g(x)=xf(x).若a=g(-log25.1),b=g(20.8),c=g(3),则a,b,c的大小关系为( )
A.a C.b 解析 因为f(x)是奇函数且在R上是增函数,所以当x>0时,f(x)>0,
从而g(x)=xf(x)是R上的偶函数,且在[0,+∞)上是增函数,
a=g(-log25.1)=g(log25.1),20.8<2,又4<5.1<8,则2
所以0<20.8
g(20.8)
所以b
答案 C
8.(一题多解)(2018·全国Ⅲ卷)下列函数中,其图象与函数y=ln x的图象关于直线x=1对称的是( )
A.y=ln(1-x) B.y=ln(2-x)
C.y=ln(1+x) D.y=ln(2+x)
解析 法一 设所求函数图象上任一点的坐标为(x,y),则其关于直线x=1的对称点的坐标为(2-x,y),由对称性知点(2-x,y)在函数f(x)=ln x的图象上,所以y=ln(2-x).故选B.
法二 由题意知,对称轴上的点(1,0)在函数y=ln x的图象上也在所求函数的图象上,代入选项中的函数表达式逐一检验,排除A,C,D,选B.
答案 B
9.下列命题正确的是( )
A.若ln a-ln b=a-3b,则a>b>0
B.若ln a-ln b=a-3b,则0 C.若ln a-ln b=3b-a,则a>b>0
D.若ln a-ln b=3b-a,则0 解析 若ln a-ln b=3b-a,则a>0,b>0,所以ln a+a=ln b+3b>ln b+b,设f(x)=ln x+x,则易得函数f(x)=ln x+x在(0,+∞)上单调递增,所以a>b>0,C正确,故选C.
答案 C
二、填空题
10.(2018·上海卷)设常数a∈R,函数f(x)=log2(x+a).若f(x)的反函数的图像经过点(3,1),则a=________.
解析 由题意可知f(x)经过(1,3),log2(1+a)=3,a=7.
答案 7
11.方程2x=2-x的解的个数是________.
解析 方程的解可看作函数y=2x和y=2-x的图象交点的横坐标,分别作出这两个函数图象(如图).
由图象得只有一个交点,因此该方程只有一个解.
答案 1
12.已知max{a,b}表示a,b两数中的最大值.若f(x)=max{e|x|,e|x-2|},则f(x)的最小值为________.
解析 f(x)=
当x≥1时,f(x)=ex≥e(x=1时,取等号),
当x<1时,f(x)=e|x-2|=e2-x>e,
因此x=1时,f(x)有最小值f(1)=e.
答案 e
13.设f(x)=lg是奇函数,则使f(x)<0的x的取值范围是________.
解析 由f(x)是奇函数可得a=-1,
∴f(x)=lg,定义域为(-1,1).
由f(x)<0,可得0<<1,∴-1
答案 (-1,0)
14.(2019·浙江三校三联)函数f(x)=log2(3-2x-x2),则f(x)的单调递增区间为________,值域为________.
解析 令3-2x-x2>0得-3<x<1,所以函数f(x)=log2(3-2x-x2)的定义域为(-3,1).因为函数f(u)=log2u在(0,+∞)上单调递增,函数u(x)=3-2x-x2在(-3,-1)上单调递增,在(-1,1)上单调递减,所以函数f(x)=log2(3-2x-x2)的单调递增区间为(-3,-1).由x∈(-3,1)得u(x)∈(0,4],所以f(u)=log2u∈(-∞,2],故f(x)的值域为(-∞,2].
答案 (-3,-1) (-∞,2]
能力提升题组
15.(2016·浙江卷)已知函数f(x)满足:f(x)≥|x|且f(x)≥2x,x∈R.( )
A.若f(a)≤|b|,则a≤b
B.若f(a)≤2b,则a≤b
C.若f(a)≥|b|,则a≥b
D.若f(a)≥2b,则a≥b
解析 由题意得f(a)≥|a|,∴A项中由不等式传递性可知|a|≤|b|,不能得到a≤b,A错误.
∵f(a)≥2a,∴B项中有2a≤f(a)≤2b,∴a≤b,故B正确.C,D选项无法确定.故选B.
答案 B
16.(2020·浙江新高考仿真卷一)已知f(x)=loga(x2-ax+3)(a>0,a≠1)满足:对任意x1,x2∈,不等式<0恒成立,则a的取值范围是( )
A.(1,+∞) B.(1,2)
C.(2,+∞) D.(0,1)
解析 因为对任意x1,x2∈,不等式<0恒成立,则在上单调递减,由x2-ax+3在x=上有意义,且为最小值知函数f(x)的定义域为R,由(-a)2-4×3<0解得-2<a<2,又因为a为对数函数的底数,函数f(x)在上单调递减,函数y=x2-ax+3在上单调递减,所以函数y=logax在定义域上单调递增,所以1<a<2,即实数a的取值范围为(1,2),故选B.
答案 B
17.(2020·嵊州适考)已知函数f(x)=|ln x|+x,若f(x1)=f(x2),其中x1≠x2,则( )
A.x1+x2<2 B.x1+x2>2
C.+<2 D.+>2
解析 根据题意不妨设02,所以+=>>2,故选D.
答案 D
18.已知函数f(x)=loga(8-ax)(a>0,且a≠1),若f(x)>1在区间[1,2]上恒成立,则实数a的取值范围是________.
解析 当a>1时,f(x)=loga(8-ax)在[1,2]上是减函数,由f(x)>1在区间[1,2]上恒成立,
则f(x)min=loga(8-2a)>1,
解之得1 若0 由f(x)>1在区间[1,2]上恒成立,
则f(x)min=loga(8-a)>1,且8-2a>0.
∴a>4,且a<4,故a不存在.
综上可知实数a的取值范围是.
答案
19.(2018·上海卷)已知常数a>0,函数f(x)=的图象经过点P、Q,若2p+q=36pq,则a=________.
解析 由题意知+=1,∴2p+q=a2pq=36pq,∴a=6.
答案 6
20.若f(x)=是R上的奇函数,则实数a的值为________,f(x)的值域为________.
解析 ∵函数f(x)是R上的奇函数,∴f(0)=0,
∴=0,解得a=1,f(x)==1-.
∵2x+1>1,∴0<<2,∴-1<1-<1,
∴f(x)的值域为(-1,1).
答案 1 (-1,1)
第6节 幂函数、指数函数、对数函数
考试要求 1.了解幂函数的概念,掌握幂函数y=x,y=x2,y=x3,y=,y=x的图象和性质;2.理解指数函数的概念,掌握指数函数的图象、性质及应用;3.理解对数函数的概念,掌握对数函数的图象、性质及应用.
知 识 梳 理
1.幂函数
(1)幂函数的定义
一般地,形如y=xα的函数称为幂函数,其中x是自变量,α为常数.
(2)常见的5种幂函数的图象
(3)常见的5种幂函数的性质
2.指数函数及其性质
(1)概念:函数y=ax(a>0且a≠1)叫做指数函数,其中指数x是自变量,函数的定义域是R,a是底数.
(2)指数函数的图象与性质
a>1
0 图象
定义域
R
值域
(0,+∞)
性质
过定点(0,1),即x=0时,y=1
当x>0时,y>1;
当x<0时,0
当x>0时,0
在(-∞,+∞)上是减函数
3.对数函数及其性质
(1)概念:函数y=logax(a>0,且a≠1)叫做对数函数,其中x是自变量,函数的定义域是(0,+∞).
(2)对数函数的图象与性质
a>1
0 图象
性质
定义域:(0,+∞)
值域:R
当x=1时,y=0,即过定点(1,0)
当x>1时,y>0;
当0
当0
在(0,+∞)上是增函数
在(0,+∞)上是减函数
4.反函数
指数函数y=ax(a>0,且a≠1)与对数函数y=logax(a>0,且a≠1)互为反函数,它们的图象关于直线y=x对称.
[常用结论与易错提醒]
1.幂函数满足三个条件:(1)幂底是单自变量;(2)指数为常数;(3)系数为1.类似地指数函数、对数函数也分别满足三个条件.
2.(1)幂函数图象的分布规律:作一直线x=t>1,与幂函数交点在上面的幂函数的指数大;
(2)指数函数图象的分布规律:作一直线x=t>0,与指数函数交点在上面的指数函数的底数大;
(3)对数函数图象的分布规律:作一直线y=k>0,与对数函数交点在右边的对数函数的底数大.
诊 断 自 测
1.判断下列说法的正误.
(1)幂函数y=x0与常值函数y=1图象相同.( )
(2)函数y=2x是幂函数.( )
(3)y=2x-1是指数函数,y=loga(x2+1)(a>0,且a≠1)是对数函数.( )
(4)函数y=ln 与y=ln(x+1)-ln(x-1)的定义域相同.( )
解析 (1)错误,y=1的图象去掉点(0,1)才是y=x0的图象;
(2)错误,因为x的系数不是1;
(3)错误,y=2x-1=·2x,2x前面的系数不为1,
y=loga(x2+1)(a>0且a≠1),真数为x2+1而不是单自变量x.
(4)错误,y=ln 的定义域为(-∞,-1)∪(1,+∞),
而y=ln(x+1)-ln(x-1)的定义域为(1,+∞),
故函数的定义域不同.
答案 (1)× (2)× (3)× (4)×
2.(2019·浙江卷)在同一直角坐标系中,函数y=,y=loga(a>0,且a≠1)的图象可能是( )
解析 当0 于是函数y=的图象过定点(0,1),在R上单调递增,
函数y=loga的图象过定点,在上单调递减.
因此,选项D中的两个图象符合.
当a>1时,函数y=ax的图象过定点(0,1),在R上单调递增,
于是函数y=的图象过定点(0,1),在R上单调递减,函数
y=loga的图象过定点,在上单调递增.
显然A,B,C,D四个选项都不符合.
故选D.
答案 D
3.(一题多解)已知函数y=loga(x+c)(a,c为常数,其中a>0,且a≠1)的图象如图,则下列结论成立的是( )
A.a>1,c>1 B.a>1,0
答案 D
4.(2019·北京昌平区二模)已知幂函数f(x)=xα(α是实数)的图象经过点(2,),则f(4)的值为________.
解析 幂函数f(x)=xα的图象过点(2,),
所以f(2)=2α=,解得α=,
所以f(x)=x,则f(4)==2.
答案 2
5.若幂函数y=(m2-3m+3)xm2-m-2的图象不经过原点,则实数m的值为________.
解析 由解得m=1或2.
经检验m=1或2都适合.
答案 1或2
6.当a>0,且a≠1时,函数f(x)=ax-3-2必过定点________,其值域为________.
解析 函数f(x)=ax-3-2的图象是将函数y=ax的图象向右平移3个单位,再向下平移2个单位得到的.故函数f(x)=ax-3-2必过定点(3,-1),其值域为(-2,+∞).
答案 (3,-1) (-2,+∞)
考点一 幂函数
【例1】 (1)(2018·上海卷)已知α∈.若幂函数f(x)=xα为奇函数,且在(0,+∞)上递减,则α=________.
(2)已知幂函数f(x)=(n2+2n-2)xn2-3n(n∈Z)的图象关于y轴对称,且在(0,+∞)上是减函数,则n的值为( )
A.-3 B.1
C.2 D.1或2
解析 (1)由f(x)为奇函数,所以α=-1,1,3,又在(0,+∞)上为递减可知α=-1.
(2)∵幂函数f(x)=(n2+2n-2)xn2-3n在(0,+∞)上是减函数,
∴∴n=1,
又n=1时,f(x)=x-2的图象关于y轴对称,故n=1.
答案 (1)-1 (2)B
规律方法 (1)可以借助幂函数的图象理解函数的对称性、单调性;
(2)在比较幂值的大小时,必须结合幂值的特点,选择适当的函数,借助其单调性进行比较,准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键.
【训练1】 (1)已知幂函数f(x)=k·xα的图象过点,则k+α=( )
A. B.1
C. D.2
(2)已知a=2,b=3,c=25,则( )
A.b C.b
A. B.
C.(-1,2) D.
解析 (1)由幂函数的定义知k=1.又f=,
所以=,解得α=,从而k+α=.
(2)因为a=2=4,b=3,c=5,又y=x在(0,+∞)上是增函数,所以c>a>b.
(3)因为函数y=x的定义域为[0,+∞),
且在定义域内为增函数,
所以不等式等价于
解得即≤m<2.
答案 (1)C (2)A (3)D
考点二 指数函数
【例2】 已知函数f(x)=.
(1)若a=-1,求f(x)的单调区间;
(2)若f(x)有最大值3,求a的值;
(3)若f(x)的值域是(0,+∞),求a的值.
解 (1)当a=-1时,f(x)=,
令u=-x2-4x+3=-(x+2)2+7.
在(-∞,-2)上单调递增,在(-2,+∞)上单调递减,而y=在R上单调递减,所以f(x)在(-∞,-2)上单调递减,在(-2,+∞)上单调递增,即函数f(x)的递增区间是(-2,+∞),递减区间是(-∞,-2).
(2)令h(x)=ax2-4x+3,y=,由于f(x)有最大值3,所以h(x)应有最小值-1,
因此必有解得a=1,
即当f(x)有最大值3时,a的值等于1.
(3)由f(x)的值域是(0,+∞)知,ax2-4x+3的值域为R,则必有a=0.
规律方法 (1)求解与指数函数有关的复合函数问题,首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质,其次要明确复合函数的构成,涉及值域、单调区间、最值等问题时,都要借助“同增异减”这一性质分析判断.
(2)比较指数式的大小的方法是:①能化成同底数的先化成同底数幂,再利用单调性比较大小;②不能化成同底数的,一般引入“1”等中间量比较大小;③当底数a与“1”的大小关系不确定时,要分类讨论.
【训练2】 (1)(2020·杭州二中检测)已知0 A.(1-a)>(1-a)b B.(1-a)b>(1-a)
C.(1+a)a>(1+b)b D.(1-a)a>(1-b)b
(2)设函数f(x)=则使得f(x)≤3成立的x的取值范围是________.
(3)若曲线|y|=2x+1与直线y=b没有公共点,则b的取值范围是________.
解析 (1)因为0(1-a)b>(1-b)b,故选D.
(2)当x≥8时,f(x)=x≤3,∴x≤27,即8≤x≤27;
当x<8时,f(x)=2ex-8≤3恒成立,故x<8.
综上,x∈(-∞,27].
(3)曲线|y|=2x+1与直线y=b的图象如图所示,由图象可知:如果|y|=2x+1与直线y=b没有公共点,则b应满足的条件是b∈[-1,1].
答案 (1)D (2)(-∞,27] (3)[-1,1]
考点三 对数函数
【例3】 已知函数f(x)=loga(ax2-x).
(1)若a=,求f(x)的单调区间;
(2)若f(x)在区间[2,4]上是增函数,求实数a的取值范围.
解 (1)当a=时,f(x)=log,
由x2-x>0,得x2-2x>0,解得x<0或x>2,
所以函数的定义域为(-∞,0)∪(2,+∞),
结合图象可得函数的单调递减区间为(2,+∞),
单调递增区间为(-∞,0).
(2)令g(x)=ax2-x,
则函数g(x)的图象为开口向上、对称轴为x=的抛物线,
①当0 则g(x)=ax2-x在[2,4]上单调递减,且g(x)min>0,
即此不等式组无解.
②当a>1时,要使函数f(x)在区间[2,4]上是增函数,
则g(x)=ax2-x在[2,4]上单调递增,且g(x)min>0,
即解得a>,
又a>1,所以a>1,综上可得a>1.
实数a的取值范围为(1,+∞).
规律方法 (1)确定函数的定义域,研究或利用函数的性质,都要在其定义域上进行.
(2)如果需将函数解析式变形,一定要保证其等价性,否则结论错误.
(3)在解决与对数函数相关的比较大小或解不等式问题时,要优先考虑利用对数函数的单调性来求解.在利用单调性时,一定要明确底数a的取值对函数增减性的影响,及真数必须为正的限制条件.
【训练3】 (1)(2019·天津卷)已知a=log52,b=log0.50.2,c=0.50.2,则a,b,c的大小关系为( )
A.a
(3)已知函数f(x)=设方程f(x)=t(t∈R)的四个不等实根从小到大依次为x1,x2,x3,x4,则下列判断中错误的是( )
A.x1+x2+x3+x4=40
B.x1x2=1
C.x3x4=361
D.x3x4-20(x3+x4)+399=0
解析 (1)因为y=log5x是增函数,所以a=log52
当a>1时,不符合题意,舍去.
所以实数a的取值范围是.
法二 ∵当0<x≤时,1<4x≤2,要使4x<logax,
必须2<logax,
∴即对0<x≤恒成立,
∴解得<a<1.
(3)由题意知函数f(x)的图象关于直线x=10对称,且x1+x4=x2+x3=2×10,ln x1=-ln x2,ln(20-x3)=-ln(20-x4),所以x1+x2+x3+x4=40,x1=,20-x3=,化简得x1x2=1,x3x4-20(x3+x4)+399=0,故选C.
答案 (1)A (2)B (3)C
基础巩固题组
一、选择题
1.已知α∈{-1,1,2,3},则使函数y=xα的值域为R,且为奇函数的所有α的值为( )
A.1,3 B.-1,1
C.-1,3 D.-1,1,3
解析 因为函数y=xα为奇函数,故α的可能值为-1,1,3.又y=x-1的值域为{y|y≠0},函数y=x,y=x3的值域都为R.所以符合要求的α的值为1,3.
答案 A
2.(2019·浙江新高考仿真卷五)已知x,y∈R,且x>y>0,若a>b>1,则一定有( )
A.logax>logby B.sinax>sinby
C.ay>bx D.ax>by
解析 当x>y>0,a>b>1时,由指数函数的性质易得ax>ay>by,故选D.
答案 D
3.(一题多解)(2019·全国Ⅱ卷)若a>b,则( )
A.ln(a-b)>0 B.3a<3b
C.a3-b3>0 D.|a|>|b|
解析 法一 由函数y=ln x的图象(图略)知,当0b时,3a>3b,故B不正确;因为函数y=x3在R上单调递增,所以当a>b时,a3>b3,即a3-b3>0,故C正确;当b 法二 当a=0.3,b=-0.4时,ln(a-b)<0,3a>3b,|a|<|b|,故排除A,B,D.故选C.
答案 C
4.(2019·诸暨期末)若函数f(x)满足f(x)≤x2且f(x)≤2x(x∈R),则( )
A.若f(a)≤b2,则a≥b B.若f(a)≤2b,则a≤b
C.若f(a)≥b2,则a≤b D.若f(a)≥2b,则a≥b
解析 若f(a)≥2b,则由f(x)≤2x得f(a)≤2a,则2b≤2a,则a≥b,故选D.
答案 D
5.若函数f(x)=logax(0<a<1)在[a,2a]上的最大值是最小值的3倍,则a的值为( )
A. B.
C. D.
解析 因为0<a<1,所以f(x)在[a,2a]上是减函数.所以f(x)max=f(a)=logaa=1,f(x)min=f(2a)=loga(2a)=1+loga2,由题意知1=3(1+loga2),即loga2=-,
所以a=.
答案 C
6.若a-2>a2(a>0,且a≠1),则函数f(x)=loga(x-1)的图象大致是( )
解析 因为a-2>a2(a>0且a≠1),所以0 答案 C
7.已知奇函数f(x)在R上是增函数,g(x)=xf(x).若a=g(-log25.1),b=g(20.8),c=g(3),则a,b,c的大小关系为( )
A.a C.b 解析 因为f(x)是奇函数且在R上是增函数,所以当x>0时,f(x)>0,
从而g(x)=xf(x)是R上的偶函数,且在[0,+∞)上是增函数,
a=g(-log25.1)=g(log25.1),20.8<2,又4<5.1<8,则2
8.(一题多解)(2018·全国Ⅲ卷)下列函数中,其图象与函数y=ln x的图象关于直线x=1对称的是( )
A.y=ln(1-x) B.y=ln(2-x)
C.y=ln(1+x) D.y=ln(2+x)
解析 法一 设所求函数图象上任一点的坐标为(x,y),则其关于直线x=1的对称点的坐标为(2-x,y),由对称性知点(2-x,y)在函数f(x)=ln x的图象上,所以y=ln(2-x).故选B.
法二 由题意知,对称轴上的点(1,0)在函数y=ln x的图象上也在所求函数的图象上,代入选项中的函数表达式逐一检验,排除A,C,D,选B.
答案 B
9.下列命题正确的是( )
A.若ln a-ln b=a-3b,则a>b>0
B.若ln a-ln b=a-3b,则0 C.若ln a-ln b=3b-a,则a>b>0
D.若ln a-ln b=3b-a,则0 解析 若ln a-ln b=3b-a,则a>0,b>0,所以ln a+a=ln b+3b>ln b+b,设f(x)=ln x+x,则易得函数f(x)=ln x+x在(0,+∞)上单调递增,所以a>b>0,C正确,故选C.
答案 C
二、填空题
10.(2018·上海卷)设常数a∈R,函数f(x)=log2(x+a).若f(x)的反函数的图像经过点(3,1),则a=________.
解析 由题意可知f(x)经过(1,3),log2(1+a)=3,a=7.
答案 7
11.方程2x=2-x的解的个数是________.
解析 方程的解可看作函数y=2x和y=2-x的图象交点的横坐标,分别作出这两个函数图象(如图).
由图象得只有一个交点,因此该方程只有一个解.
答案 1
12.已知max{a,b}表示a,b两数中的最大值.若f(x)=max{e|x|,e|x-2|},则f(x)的最小值为________.
解析 f(x)=
当x≥1时,f(x)=ex≥e(x=1时,取等号),
当x<1时,f(x)=e|x-2|=e2-x>e,
因此x=1时,f(x)有最小值f(1)=e.
答案 e
13.设f(x)=lg是奇函数,则使f(x)<0的x的取值范围是________.
解析 由f(x)是奇函数可得a=-1,
∴f(x)=lg,定义域为(-1,1).
由f(x)<0,可得0<<1,∴-1
14.(2019·浙江三校三联)函数f(x)=log2(3-2x-x2),则f(x)的单调递增区间为________,值域为________.
解析 令3-2x-x2>0得-3<x<1,所以函数f(x)=log2(3-2x-x2)的定义域为(-3,1).因为函数f(u)=log2u在(0,+∞)上单调递增,函数u(x)=3-2x-x2在(-3,-1)上单调递增,在(-1,1)上单调递减,所以函数f(x)=log2(3-2x-x2)的单调递增区间为(-3,-1).由x∈(-3,1)得u(x)∈(0,4],所以f(u)=log2u∈(-∞,2],故f(x)的值域为(-∞,2].
答案 (-3,-1) (-∞,2]
能力提升题组
15.(2016·浙江卷)已知函数f(x)满足:f(x)≥|x|且f(x)≥2x,x∈R.( )
A.若f(a)≤|b|,则a≤b
B.若f(a)≤2b,则a≤b
C.若f(a)≥|b|,则a≥b
D.若f(a)≥2b,则a≥b
解析 由题意得f(a)≥|a|,∴A项中由不等式传递性可知|a|≤|b|,不能得到a≤b,A错误.
∵f(a)≥2a,∴B项中有2a≤f(a)≤2b,∴a≤b,故B正确.C,D选项无法确定.故选B.
答案 B
16.(2020·浙江新高考仿真卷一)已知f(x)=loga(x2-ax+3)(a>0,a≠1)满足:对任意x1,x2∈,不等式<0恒成立,则a的取值范围是( )
A.(1,+∞) B.(1,2)
C.(2,+∞) D.(0,1)
解析 因为对任意x1,x2∈,不等式<0恒成立,则在上单调递减,由x2-ax+3在x=上有意义,且为最小值知函数f(x)的定义域为R,由(-a)2-4×3<0解得-2<a<2,又因为a为对数函数的底数,函数f(x)在上单调递减,函数y=x2-ax+3在上单调递减,所以函数y=logax在定义域上单调递增,所以1<a<2,即实数a的取值范围为(1,2),故选B.
答案 B
17.(2020·嵊州适考)已知函数f(x)=|ln x|+x,若f(x1)=f(x2),其中x1≠x2,则( )
A.x1+x2<2 B.x1+x2>2
C.+<2 D.+>2
解析 根据题意不妨设0
答案 D
18.已知函数f(x)=loga(8-ax)(a>0,且a≠1),若f(x)>1在区间[1,2]上恒成立,则实数a的取值范围是________.
解析 当a>1时,f(x)=loga(8-ax)在[1,2]上是减函数,由f(x)>1在区间[1,2]上恒成立,
则f(x)min=loga(8-2a)>1,
解之得1 若0 由f(x)>1在区间[1,2]上恒成立,
则f(x)min=loga(8-a)>1,且8-2a>0.
∴a>4,且a<4,故a不存在.
综上可知实数a的取值范围是.
答案
19.(2018·上海卷)已知常数a>0,函数f(x)=的图象经过点P、Q,若2p+q=36pq,则a=________.
解析 由题意知+=1,∴2p+q=a2pq=36pq,∴a=6.
答案 6
20.若f(x)=是R上的奇函数,则实数a的值为________,f(x)的值域为________.
解析 ∵函数f(x)是R上的奇函数,∴f(0)=0,
∴=0,解得a=1,f(x)==1-.
∵2x+1>1,∴0<<2,∴-1<1-<1,
∴f(x)的值域为(-1,1).
答案 1 (-1,1)
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